{"id":131576,"date":"2022-02-10T18:31:55","date_gmt":"2022-02-10T17:31:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/?p=131576"},"modified":"2022-02-10T20:59:53","modified_gmt":"2022-02-10T19:59:53","slug":"stephen-wolfram-et-les-trois-facons-de-montrer-que-quelque-chose-est-vrai","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2022\/02\/10\/stephen-wolfram-et-les-trois-facons-de-montrer-que-quelque-chose-est-vrai\/","title":{"rendered":"Stephen Wolfram et les trois fa\u00e7ons de montrer que quelque chose est vrai<\/b>"},"content":{"rendered":"
\"\"
Portrait of Aristoteles. Copy of the Imperial era (1st or 2nd century) of a lost bronze sculpture made by Lysippos<\/figcaption><\/figure>\n

Stephen Wolfram et les trois fa\u00e7ons de montrer que quelque chose est vrai<\/b><\/p>\n

R\u00e9flexion en chantier\u00a0<\/span><\/i><\/p>\n

Aristote disait qu’il y a trois fa\u00e7ons de montrer que quelque chose est vrai :<\/p>\n

– Se fonder sur l\u2019\u00e9vidence : la perception de nos sens, lorsqu\u2019elle peut \u00eatre corrobor\u00e9e (afin de distinguer les faits des illusions) ;<\/p>\n

– Renvoyer \u00e0 une d\u00e9finition commun\u00e9ment admise, par laquelle nous attribuons \u00e0 un ensemble de mots la signification d’un autre ensemble de mots : \u00ab\u00a0le faon est le petit de la biche\u00a0\u00bb (en math\u00e9matiques, nous appelons les d\u00e9finitions des \u00ab\u00a0axiomes\u00a0\u00bb) ;<\/p>\n

– Les conclusions de syllogismes bien form\u00e9s, c\u2019est-\u00e0-dire syntaxiquement corrects (en math\u00e9matiques, nous appelons l’\u00e9quivalent, des \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8mes\u00a0\u00bb).
\n
\nLes math\u00e9maticiens ont une tendance historique \u00e0 vouloir tout prouver uniquement \u00e0 l’aide d’axiomes et de th\u00e9or\u00e8mes, en n\u00e9gligeant les v\u00e9rit\u00e9s \u00ab\u00a0\u00e9videntes\u00a0\u00bb qui nous viennent des perceptions de nos sens, c’est-\u00e0-dire comme donn\u00e9es capt\u00e9es \u00e0 partir du monde autour de nous tel qu’il est.<\/p>\n

Il existe ainsi un \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8me de Goodstein\u00a0\u00bb qui \u00e9nonce une observation sur les nombres naturels. Mais au lieu de dire : \u00ab\u00a0C’est une chose que nous pouvons voir lorsque nous examinons la s\u00e9quence des nombres naturels\u00a0\u00bb, Goodstein a d\u00e9montr\u00e9 \u00e0 ce sujet un th\u00e9or\u00e8me ayant comme point de d\u00e9part un ensemble d’axiomes.\u00a0<\/span><\/p>\n

Dans la critique que je fais de la d\u00e9monstration par G\u00f6del de son th\u00e9or\u00e8me d\u2019incompl\u00e9tude de l\u2019arithm\u00e9tique dans Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i> (2009), je montre en particulier comment \u00e0 un tournant critique, il triche en glissant subrepticement dans sa d\u00e9monstration le fait qu\u2019une proposition soit vraie alors que sa v\u00e9rit\u00e9 ne lui vient ni d\u2019\u00eatre un axiome, ni un th\u00e9or\u00e8me d\u00e9montr\u00e9, mais de r\u00e9sulter de l\u2019\u00e9vidence des sens. Autrement dit, au moment o\u00f9 il s\u2019embourb\u00e9 dans un paradoxe, G\u00f6del fait passer en douce de la physique pour de la math\u00e9matique. \u00a0<\/span><\/p>\n

* * *<\/p>\n

On trouve chez Aristote ces trois fa\u00e7ons d’\u00e9tablir la v\u00e9rit\u00e9 en tant que trois approches distinctes. Les th\u00e9or\u00e8mes sont sans aucun doute d\u00e9riv\u00e9s des axiomes, mais je n\u2019ai pas trouv\u00e9 chez lui (lecture incompl\u00e8te peut-\u00eatre de ma part ?) ce qu\u2019il concevrait comme la relation existant entre la v\u00e9rit\u00e9 obtenue par les sens et celle qui nous vient des d\u00e9finitions ou des conclusions de syllogismes. Creusons un peu. \u00a0<\/span><\/p>\n

Les math\u00e9matiques nous aident \u00e0 concevoir des mod\u00e8les de la r\u00e9alit\u00e9 physique. Nous produisons des mod\u00e8les causaux : si telle chose se produit, telle autre chose s’ensuit. Nous pouvons \u00e9galement r\u00e9aliser des simulations : nous savons quels sont les \u00e9l\u00e9ments de diff\u00e9rents types impliqu\u00e9s dans un ph\u00e9nom\u00e8ne collectif et la mani\u00e8re dont ils interagissent : mettons cela en sc\u00e8ne, laissons des instances d\u2019objets interagir pendant un certain temps et observons ce qui en r\u00e9sulte.\u00a0<\/span><\/p>\n

Toutes les math\u00e9matiques existantes ne semblent pas se pr\u00eater \u00e0 la construction de mod\u00e8les physiques.<\/p>\n

On peut remarquer que les nouveaux d\u00e9veloppements en math\u00e9matiques sont souvent rapidement utilis\u00e9s pour g\u00e9n\u00e9rer de nouvelles avanc\u00e9es en physique (ce fut le cas pour Einstein aussit\u00f4t que l\u2019outil des tenseurs<\/i> fut disponible), ce qui n’est pas une co\u00efncidence : de nouveaux outils en puissance sont test\u00e9s pour voir s’ils peuvent \u00eatre d’une quelconque utilit\u00e9.<\/p>\n

Mais comment les axiomes sont-ils d\u00e9finis ? Dans Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i> j\u2019ai d\u00e9fendu la th\u00e8se qu’ils ne sont pas produits accidentellement mais pr\u00e9cis\u00e9ment pour que les math\u00e9matiques puissent aider \u00e0 g\u00e9n\u00e9rer des mod\u00e8les en physique. J\u2019ai soulign\u00e9 qu\u2019il ne s\u2019agissait pas d\u2019une strat\u00e9gie d\u00e9lib\u00e9r\u00e9e mais se passait ainsi \u00e0 l’insu de leurs auteurs.\u00a0<\/span><\/p>\n

De quelle mani\u00e8re ? Les math\u00e9maticiens affirment qu’ils se fient \u00e0 leur intuition, dont ils laissent entendre qu\u2019elle est une chose tr\u00e8s abstraite et tr\u00e8s difficile \u00e0 d\u00e9finir plus pr\u00e9cis\u00e9ment. On trouve ainsi, par exemple, chez Alan Turing, dans sa th\u00e8se \u00ab\u00a0Systems of Logic Based on Ordinals\u00a0\u00bb (1938) : \u00ab\u00a0L\u2019activit\u00e9 de l\u2019intuition consiste \u00e0 produire des jugements spontan\u00e9s qui ne r\u00e9sultent pas de trains de raisonnement conscients [\u2026] Je ne tenterai pas d\u2019expliquer de mani\u00e8re plus explicite cette id\u00e9e d\u2019intuition\u00a0\u00bb (page 192 dans Jack Copeland, The Essential Turing<\/i> 2004). En r\u00e9alit\u00e9, l\u2019intuition des math\u00e9maticiens doit sa forme au monde tel qu’il est. Ce que les math\u00e9maticiens produisent donc, depuis les origines de leur discipline, ce sont des math\u00e9matiques constituant, jusqu\u2019\u00e0 plus ample inform\u00e9, une \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb.\u00a0<\/span><\/p>\n

J’ai expos\u00e9 cela de mani\u00e8re syst\u00e9matique dans Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i> en prenant comme exemple la naissance du calcul infinit\u00e9simal o\u00f9 l\u2019on observe que les math\u00e9matiques nouvellement con\u00e7ues par Newton, Leibniz, etc. sont malmen\u00e9es (sacrifiant la rigueur affirm\u00e9e) jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019elles \u00ab\u00a0collent\u00a0\u00bb \u00e0 la m\u00e9canique c\u00e9leste pour laquelle elles ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9es. Le fameux \u00e9v\u00eaque philosophe Berkeley d\u00e9nonce alors la supercherie : \u00ab\u00a0Vos pr\u00e9tendues maths sont de la camelote !\u00a0\u00bb (une camelote qui tient toujours, notons-le).<\/p>\n

Comment les th\u00e9or\u00e8mes ou les syllogismes sont-ils g\u00e9n\u00e9r\u00e9s ? Leur d\u00e9monstration implique des \u00e9tapes, ce qui veut dire qu\u2019existe automatiquement dans leur engendrement, une dimension temporelle. Th\u00e9or\u00e8mes et syllogismes int\u00e8grent automatiquement le mode progressif du devenir propre \u00e0 notre univers dans sa constante transformation : comme une succession (continue ou discr\u00e8te<\/i>) de moments durant lesquels des \u00e9l\u00e9ments voisins (ou actant \u00e0 distance, comme la masse d\u2019un gros corps) s\u2019influencent mutuellement et \u00e9volueront en quelque chose qui diff\u00e9rera l\u00e9g\u00e8rement ou de mani\u00e8re dramatique de ce qu\u2019il \u00e9tait un instant auparavant.\u00a0<\/span><\/p>\n

Le monde que nos sens per\u00e7oivent est dynamique (H\u00e9raclite : \u00ab\u00a0On ne se baigne pas deux fois dans le m\u00eame fleuve\u00a0\u00bb). Les d\u00e9finitions (et axiomes) sont statiques : ce ne sont en fait que des r\u00e9\u00e9critures. Toute d\u00e9monstration est elle, par essence, dynamique. \u00a0<\/span><\/p>\n

* * *<\/p>\n

Un certain nombre de choses que Stephen Wolfram nous dit ces jours-ci \u00e0 propos des math\u00e9matiques, jette un \u00e9clairage sur ce que je viens de dire.\u00a0<\/span><\/p>\n

Stephen Wolfram, A Project to Find the Fundamental Theory of Physics<\/i> 2020 :\u00a0<\/span><\/p>\n

\u00ab\u00a0 … nous avons d\u00e9j\u00e0 d\u00e9fini certains \u00e9l\u00e9ments au moins de notre langage de description : il s’agit du genre de choses que nos sens d\u00e9tectent, que nos appareils de mesure mesurent et que notre physique actuelle d\u00e9crit. Notre d\u00e9fi est donc maintenant de trouver une r\u00e8gle qui d\u00e9crit avec succ\u00e8s notre univers dans ce cadre\u00a0\u00bb (p. 64).\u00a0<\/span><\/p><\/blockquote>\n

\u00c9vidence des sens donc, d\u00e9multipli\u00e9e le cas \u00e9ch\u00e9ant par les instruments de mesure que nous avons invent\u00e9s dans un cadre de corroboration et de rejet d\u2019\u00e9ventuelles illusions. Il faudrait nommer la r\u00e8gle qui, par son d\u00e9veloppement dynamique, rend compte du monde autour de nous.<\/p>\n

\u00ab\u00a0… il n’y a pas de moyen g\u00e9n\u00e9ral de raccourcir la s\u00e9rie d’\u00e9tapes n\u00e9cessaires pour d\u00e9river un th\u00e9or\u00e8me. En d’autres termes, il peut \u00eatre arbitrairement difficile d’obtenir un r\u00e9sultat en math\u00e9matiques\u00a0\u00bb (pp. 558-59).<\/p><\/blockquote>\n

Il n\u2019est pas toujours possible de dresser une carte plus petite que le pays. Tout d\u00e9pend du cas.<\/p>\n

\u00ab\u00a0… il se pourrait que la plupart des r\u00e9sultats math\u00e9matiques auxquels on s’int\u00e9resse soient ind\u00e9cidables. Alors pourquoi cela n’arrive-t-il pas ? [\u2026] d’une certaine mani\u00e8re, les math\u00e9matiques choisissent les \u00eeles o\u00f9 les th\u00e9or\u00e8mes peuvent r\u00e9ellement \u00eatre prouv\u00e9s – souvent en s’enorgueillissant particuli\u00e8rement des endroits proches de la mer de l’ind\u00e9cidabilit\u00e9 o\u00f9 la preuve ne peut \u00eatre faite qu’avec un grand effort\u00a0\u00bb (559).<\/p><\/blockquote>\n

Logique du r\u00e9verb\u00e8re : on ne cherche ses cl\u00e9s que l\u00e0 o\u00f9 il y a suffisamment de lumi\u00e8re pour qu\u2019on puisse les voir. Les math\u00e9maticiens ne prouvent des th\u00e9or\u00e8mes que l\u00e0 o\u00f9 ils sont susceptibles\u2026 d\u2019en prouver.<\/p>\n

\u00ab\u00a0Peut-\u00eatre qu’il y a quelque chose de sp\u00e9cial dans les axiomes particuliers utilis\u00e9s en math\u00e9matiques.\u00a0Et certainement si l’on pense qu’ils sont ceux qui d\u00e9crivent uniquement la science et le monde, il pourrait y avoir une raison pour cela\u00a0\u00bb (p. 559).<\/p><\/blockquote>\n

C’est pr\u00e9cis\u00e9ment le point que j’avais d\u00e9velopp\u00e9 syst\u00e9matiquement dans Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i>, en parlant des math\u00e9matiques comme \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb. En prenant comme point de d\u00e9part des axiomes qui sont d\u00e9j\u00e0 de fait de la \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb, des th\u00e9or\u00e8mes sont produits qui sont aussi, par construction, de la \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb.<\/p>\n

\u00ab\u00a0N’y a-t-il qu’un seul chemin historique qui puisse \u00eatre emprunt\u00e9, disons de l’arithm\u00e9tique \u00e0 l’alg\u00e8bre jusqu’aux plus hautes sph\u00e8res des math\u00e9matiques modernes ? Ou existe-t-il une diversit\u00e9 infinie de chemins possibles, avec des histoires compl\u00e8tement diff\u00e9rentes pour les math\u00e9matiques ? La r\u00e9ponse va d\u00e9pendre […] de la \u2018structure de l’espace m\u00e9tamath\u00e9matique\u2019 : quel est le r\u00e9seau de th\u00e9or\u00e8mes vrais qui \u00e9vite la mer de l’ind\u00e9cidabilit\u00e9 ? Peut-\u00eatre que ce sera diff\u00e9rent pour diff\u00e9rents types de math\u00e9matiques, et que certains seront plus \u2018inexorables\u2019 (de sorte qu’on a l’impression que les math\u00e9matiques sont \u2018d\u00e9couvertes\u2019) que d’autres (o\u00f9 on a plut\u00f4t l’impression que les math\u00e9matiques sont arbitraires et \u2018invent\u00e9es\u2019)\u00a0\u00bb (p. 560).<\/p><\/blockquote>\n

Il y a l\u00e0 sans doute l\u2019explication du fait que certains, comme le physicien Eugene Wigner (1902-1995), sont \u00e9pat\u00e9s par ce qu\u2019ils appellent : \u00ab\u00a0L’efficacit\u00e9 d\u00e9raisonnable des math\u00e9matiques en sciences naturelles\u00a0\u00bb, alors que d\u2019autres, comme mon ma\u00eetre en math\u00e9matiques, Georges-Th\u00e9odule Guilbaud (1912-2008), dit que les math\u00e9matiques \u00e9chouent aussit\u00f4t qu\u2019on cherche \u00e0 les utiliser : elles ne sont pas m\u00eame fichues de mesurer la diagonale d\u2019un carr\u00e9 par rapport \u00e0 son c\u00f4t\u00e9 (\u221a2), la circonf\u00e9rence ou la surface d\u2019un cercle par rapport \u00e0 son diam\u00e8tre (\u03c0), etc. On s\u2019\u00e9pate de voir que les math\u00e9matiques marchent l\u00e0 o\u00f9 elles parviennent \u00e0 rendre compte du monde autour de nous, et on ignore l\u00e0 o\u00f9 \u00e7a ne marche pas, on dit : \u00ab\u00a0Ben oui ! Q\u2019est-ce que vous voulez : c\u2019est des irrationnels<\/i>\u00a0\u00bb (\u221a2, \u03c0, etc.). \u00a0<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Stephen Wolfram et les trois fa\u00e7ons de montrer que quelque chose est vrai<\/b><\/p>\n

R\u00e9flexion en chantier\u00a0<\/span><\/i><\/p>\n

Aristote disait qu’il y a trois fa\u00e7ons de montrer que quelque chose est vrai :<\/p>\n

– Se fonder sur l\u2019\u00e9vidence : la perception de nos sens, lorsqu\u2019elle peut \u00eatre corrobor\u00e9e (afin de distinguer les faits des illusions) ;<\/p>\n

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