{"id":131806,"date":"2022-03-05T17:48:48","date_gmt":"2022-03-05T16:48:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/?p=131806"},"modified":"2023-04-22T19:23:49","modified_gmt":"2023-04-22T17:23:49","slug":"que-demontrent-les-mathematiciens-et-le-font-ils-dune-maniere-digne-de-ce-nom","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2022\/03\/05\/que-demontrent-les-mathematiciens-et-le-font-ils-dune-maniere-digne-de-ce-nom\/","title":{"rendered":"Que d\u00e9montrent les math\u00e9maticiens, et le font-ils d\u2019une mani\u00e8re digne de ce nom ?<\/b>"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/p>\n

Contribution in\u00e9dite au travail collaboratif que j’ai entrepris avec Yu Li (Universit\u00e9 de Picardie) sur la conjecture P vs. NP<\/em>.<\/p><\/blockquote>\n

Que d\u00e9montrent les math\u00e9maticiens, et le font-ils d\u2019une mani\u00e8re digne de ce nom ?<\/b><\/p>\n

Qu\u2019est-ce qui est vrai en math\u00e9matiques ?<\/i><\/p>\n

Il est \u00e9crit dans une introduction aux travaux de Kurt G\u00f6del :<\/p>\n

\u00ab\u00a0 \u2026 La logique aristot\u00e9licienne repose sur deux piliers : un ensemble de pr\u00e9misses, ou hypoth\u00e8ses, qui sont consid\u00e9r\u00e9es comme vraies sans preuve, et une collection de r\u00e8gles d\u2019inf\u00e9rence, par lesquelles nous transformons un jugement vrai en un nouveau jugement vrai. [\u2026] Tant que nous pouvons nous convaincre que les pr\u00e9misses sont vraies, alors les conclusions [sont] un fait aussi solide et in\u00e9luctable qu\u2019il ne le sera jamais. C\u2019est une certitude qui d\u00e9coule du contenu s\u00e9mantique des pr\u00e9misses et du processus de d\u00e9duction \u00e9tabli dans notre esprit et formalis\u00e9 par Aristote. Ce que G\u00f6del a d\u00e9couvert, c\u2019est que m\u00eame s\u2019il existe des relations vraies entre des nombres purs, les m\u00e9thodes de la logique d\u00e9ductive sont tout simplement trop faibles pour que nous puissions prouver tous ces faits. En d\u2019autres termes, la v\u00e9rit\u00e9 est simplement plus vaste que la preuve\u00a0\u00bb Casti & DePauli 2000 : 4-5).<\/p><\/blockquote>\n


\nBien que largement accept\u00e9, ce qui est affirm\u00e9 dans le deuxi\u00e8me paragraphe du passage cit\u00e9 ci-dessus, repose sur un malentendu. En fait, que la v\u00e9rit\u00e9 soit plus vaste que la preuve n\u2019est pas une d\u00e9couverte de G\u00f6del, c\u2019est en fait le point de d\u00e9part de toute la r\u00e9flexion d\u2019Aristote sur la v\u00e9rit\u00e9.<\/p>\n

Ce malentendu fondamental est cependant loin d\u2019\u00eatre anodin : il a infect\u00e9 les math\u00e9matiques de diff\u00e9rentes mani\u00e8res. Les math\u00e9maticiens ont tent\u00e9 de d\u00e9montrer des affirmations qui n\u2019avaient aucun besoin d\u2019\u00eatre d\u00e9montr\u00e9es puisque leur v\u00e9rit\u00e9 \u00e9tait \u00e9tablie autrement, et ce faisant, ils ont introduit des d\u00e9monstrations erron\u00e9es visant \u00e0 prouver\u2026 l\u2019ind\u00e9montrable.<\/p>\n

\u00ab\u00a0La v\u00e9rit\u00e9 est simplement plus vaste que la preuve\u00a0\u00bb. En effet, la preuve n\u2019\u00e9tait qu\u2019une des trois sources de la v\u00e9rit\u00e9 selon Aristote.<\/p>\n

Aristote a d\u00e9termin\u00e9 qu\u2019il y avait trois moyens connus pour atteindre la v\u00e9rit\u00e9, pour montrer que quelque chose est vrai et aucun n\u2019a \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9 \u00e0 sa liste depuis son temps :<\/p>\n

1\u00b0 La v\u00e9rit\u00e9 connue \u00e0 partir de l\u2019\u00e9vidence que nous procure la perception des cinq sens, lorsqu\u2019elle peut \u00eatre corrobor\u00e9e en sorte que l\u2019on puisse distinguer avec certitude les faits des illusions.<\/p>\n

2\u00b0 La v\u00e9rit\u00e9 tir\u00e9e des d\u00e9finitions commun\u00e9ment admises, par lesquelles nous attribuons \u00e0 un unique mot ou \u00e0 une expression, la signification d\u2019un autre ensemble de mots : \u00ab\u00a0le faon est le petit du cerf et de la biche\u00a0\u00bb ; d\u00e9sormais, chaque fois que je serai tent\u00e9 de dire \u00ab\u00a0petit du cerf et de la biche\u00a0\u00bb, je pourrai dire\u00a0 <\/span>plut\u00f4t \u00ab\u00a0faon\u00a0\u00bb. En math\u00e9matiques, les d\u00e9finitions sont appel\u00e9es \u00ab\u00a0axiomes\u00a0\u00bb.<\/p>\n

3\u00b0 La v\u00e9rit\u00e9 atteinte dans les conclusions de syllogismes bien form\u00e9s, c\u2019est-\u00e0-dire syntaxiquement corrects, par des d\u00e9ductions valides \u00e0 partir de pr\u00e9misses vraies. En math\u00e9matiques, nous appelons l\u2019\u00e9quivalent de suites de conclusions de syllogismes valides, des \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8mes\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Transpos\u00e9s dans le langage des math\u00e9matiques, ces trois types de v\u00e9rit\u00e9 deviennent :<\/p>\n

1\u00b0 La v\u00e9rit\u00e9 issue d\u2019observations du monde physique exprim\u00e9e en langage math\u00e9matique (les math\u00e9matiques en tant \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb)<\/p>\n

2\u00b0 La v\u00e9rit\u00e9 qu\u2019\u00e9tablissent les axiomes, qui sont des d\u00e9finitions exprim\u00e9es en langage math\u00e9matique<\/p>\n

3\u00b0 La v\u00e9rit\u00e9 obtenue par la d\u00e9monstration d\u2019un th\u00e9or\u00e8me (la conclusion de la preuve apport\u00e9e).<\/p>\n

Parce qu\u2019au cours des r\u00e9cents si\u00e8cles les math\u00e9maticiens ont ignor\u00e9 la principale et premi\u00e8re source de la v\u00e9rit\u00e9 : l\u2019\u00e9vidence des sens (v\u00e9rification faite qu\u2019il ne s\u2019agit pas d\u2019une illusion perceptive), ils ont essay\u00e9 de prouver tout ce qui semblait \u00eatre vrai uniquement \u00e0 l’aide d’axiomes et de th\u00e9or\u00e8mes, en n\u00e9gligeant les v\u00e9rit\u00e9s \u00ab\u00a0\u00e9videntes\u00a0\u00bb qui nous viennent des perceptions de nos sens, c’est-\u00e0-dire comme donn\u00e9es capt\u00e9es \u00e0 partir du monde qui nous entoure tel qu’il est.\u00a0<\/span><\/p>\n

Il existe ainsi un \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8me de (Reuben) Goodstein\u00a0\u00bb qui \u00ab\u00a0prouve\u00a0\u00bb \u2026 une observation sur les nombres naturels. Ainsi, au lieu qu\u2019il soit dit : \u00ab\u00a0Voil\u00e0 une curiosit\u00e9 qui appara\u00eet lorsque nous d\u00e9finissons d\u2019une certaine mani\u00e8re une suite de nombres naturels\u00a0\u00bb, Goodstein a cru bon de d\u00e9montrer un th\u00e9or\u00e8me \u00e9non\u00e7ant ce que nous pouvons observer, prenant comme point de d\u00e9part de sa d\u00e9monstration, un ensemble d’axiomes. R\u00e9v\u00e9lateur du caract\u00e8re artificiel de la d\u00e9monstration math\u00e9matique d\u2019un fait d\u2019observation, le fait que si le th\u00e9or\u00e8me de Goodstein peut \u00eatre d\u00e9montr\u00e9 dans un certain cadre math\u00e9matique (arithm\u00e9tique du second ordre), il ne l\u2019est pas dans un autre qui lui est pourtant \u00e9troitement apparent\u00e9 (arithm\u00e9tique de Peano).<\/p>\n

Dans leur volont\u00e9 de tout d\u00e9montrer, les math\u00e9maticiens ont produit des d\u00e9monstrations erron\u00e9es : des tentatives maladroites et truff\u00e9es d\u2019erreurs de d\u00e9montrer ce qui n\u2019avait aucun besoin d\u2019\u00eatre d\u00e9montr\u00e9 \u2013 et qui \u00e9tait donc essentiellement ind\u00e9montrable. Ces preuves inutiles ont \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9es en recourant \u00e0 diverses astuces telles que partir de fausses pr\u00e9misses (illusions, paradoxes, raisonnements fallacieux), ou pr\u00e9senter comme conclusion d\u2019une d\u00e9monstration digne de ce nom, une v\u00e9rit\u00e9 qui est en r\u00e9alit\u00e9, soit une observation du monde physique traduite en langage math\u00e9matique (\u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb), soit un axiome.<\/p>\n

D\u00e9montrer comme un th\u00e9or\u00e8me ce qui a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 \u00e9tabli comme vrai par le moyen plus imm\u00e9diat de l\u2019observation ne pr\u00e9sente aucun int\u00e9r\u00eat. La d\u00e9monstration est dans ce cas-l\u00e0 bien entendu superflue et un tel \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8me-n\u2019ayant-pas-besoin-d\u2019\u00eatre-d\u00e9montr\u00e9\u00a0\u00bb est alors vrai,<\/p>\n

1\u00b0 soit parce qu\u2019il est dans ce cas-l\u00e0, un axiome d\u00e9guis\u00e9 (c\u2019est-\u00e0-dire une d\u00e9finition) et que la d\u00e9monstration est alors un simple sophisme : une petitio principii<\/i>, un raisonnement circulaire, o\u00f9 ce que l\u2019on pr\u00e9tend avoir d\u00e9couvert in fine<\/i> \u00e9tait connu avant m\u00eame de commencer, la d\u00e9monstration constituant de fait une simple reformulation des axiomes.<\/p>\n

2\u00b0 soit parce qu\u2019est dissimul\u00e9e dans l\u2019un des axiomes une observation d\u00e9riv\u00e9e de l\u2019\u00e9vidence des cinq sens ; dans un tel cas, les math\u00e9matiques ont \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9es par les math\u00e9maticiens pour b\u00e2tir une \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb et ce sont leurs intuitions du monde qui nous entoure qui les ont guid\u00e9s \u00e0 leur insu.\u00a0<\/span><\/p>\n

J\u2019ai rapport\u00e9 dans Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es <\/i>que dans le cas historique du calcul infinit\u00e9simal, il ne s\u2019agissait pas d\u2019intuitions dont les rouages seraient rest\u00e9s opaques \u00e0 la conscience de Newton et Leibniz, les protagonistes \u00e0 l\u2019\u0153uvre, mais de mani\u00e8re quasi explicite chez eux, d\u2019une validation exp\u00e9rimentale des math\u00e9matiques dont ils mettaient au point la m\u00e9thodologie. Ils d\u00e9finissaient en effet ce que seraient les r\u00e8gles de cette nouvelle m\u00e9thode de calcul de telle mani\u00e8re que leurs mod\u00e8les de l\u2019orbite des plan\u00e8tes soient le reflet exact du mouvement observ\u00e9, r\u00e9v\u00e9lant la pr\u00e9\u00e9minence qu\u2019ils accordaient implicitement \u00e0 la physique sur les math\u00e9matiques dans la mise au point de leur nouvelle m\u00e9thodologie (Jorion 2009 : 332-346). L\u2019autre approche possible aurait \u00e9t\u00e9 d\u2019exiger avant tout la rigueur math\u00e9matique, laquelle aurait fait appara\u00eetre de l\u00e9g\u00e8res anomalies dans l\u2019orbite des plan\u00e8tes, la pr\u00e9\u00e9minence \u00e9tant accord\u00e9e dans ce cas-ci aux pr\u00e9ceptes math\u00e9matiques plut\u00f4t qu\u2019au souci de rendre compte avec exactitude des ph\u00e9nom\u00e8nes physiques.\u00a0<\/span><\/p>\n

Les conditions \u00e0 remplir par une d\u00e9monstration pour \u00eatre digne de ce nom<\/i><\/p>\n

Dans la critique syst\u00e9matique que je fais de la d\u00e9monstration par G\u00f6del de son th\u00e9or\u00e8me d\u2019incompl\u00e9tude de l\u2019arithm\u00e9tique dans Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es <\/i>(2009 : 285-326), je montre en particulier comment \u00e0 un tournant critique, G\u00f6del triche en glissant subrepticement dans sa d\u00e9monstration le fait qu\u2019une proposition soit vraie alors que sa v\u00e9rit\u00e9 ne lui vient ni d\u2019\u00eatre un axiome, ni un th\u00e9or\u00e8me d\u00e9montr\u00e9, mais de r\u00e9sulter de l\u2019\u00e9vidence des sens. Autrement dit, au moment o\u00f9 il se retrouve embourb\u00e9 dans un paradoxe de sa propre construction, G\u00f6del fait passer en douce de la physique pour de la math\u00e9matique. \u00a0<\/span><\/p>\n

La d\u00e9monstration par G\u00f6del de son th\u00e9or\u00e8me d\u2019incompl\u00e9tude de l\u2019arithm\u00e9tique \u00e9choue \u00e0 \u00eatre \u00ab\u00a0digne de ce nom\u00a0\u00bb pour deux s\u00e9ries de raisons : pour avoir utilis\u00e9 \u00e0 diff\u00e9rentes \u00e9tapes de sa d\u00e9monstration des arguments (r\u00e8gles de transformation) d\u2019un trop faible niveau de validit\u00e9 (d\u00e9monstrabilit\u00e9<\/i>) et pour s\u2019\u00eatre appuy\u00e9 sur une notion intuitive de la v\u00e9rit\u00e9 dont le concept pr\u00e9cis varie selon son bon vouloir en fonction des contextes.<\/p>\n

Au lieu de s\u2019en tenir \u00e0 des arguments jug\u00e9s de qualit\u00e9 \u00ab\u00a0analytique\u00a0\u00bb par Aristote, c\u2019est-\u00e0-dire dignes d\u2019\u00eatre utilis\u00e9s dans une v\u00e9ritable d\u00e9monstration au statut \u00ab\u00a0scientifique\u00a0\u00bb, G\u00f6del s\u2019est \u00e9gar\u00e9 en recourant \u00e0 des arguments jug\u00e9s plus modestement de qualit\u00e9 \u00ab\u00a0dialectique\u00a0\u00bb (acceptables devant les tribunaux et dans la sph\u00e8re du politique) telle la preuve par l\u2019absurde,<\/i> ou allant m\u00eame jusqu\u2019\u00e0 utiliser des arguments purement \u00ab\u00a0rh\u00e9toriques\u00a0\u00bb (acceptables uniquement dans la conversation courante). Tel est le cas dans sa d\u00e9monstration, d\u2019une proposition affirmant d\u2019elle-m\u00eame qu\u2019elle est ind\u00e9montrable, n\u2019ayant pour soutenir cette affirmation aucune autre preuve que sa \u00ab\u00a0propre parole\u00a0\u00bb, l\u2019\u00e9quivalent dans une conversation courante de \u00ab\u00a0C\u2019est vrai parce que je te le dis\u00a0\u00bb. On attire souvent l\u2019attention sur le fait qu\u2019il y a \u00e0 cet endroit une faiblesse dans la d\u00e9monstration parce que l\u2019affirmation est auto-r\u00e9f\u00e9rentielle, mais le fond du probl\u00e8me est en r\u00e9alit\u00e9 que rien ne vient soutenir cette pseudo-affirmation d\u2019une proposition \u00e0 son propre propos, une proposition ne pouvant \u00eatre \u00ab\u00a0crue sur parole\u00a0\u00bb, faute d\u2019\u00eatre capable d\u2019engager sa responsabilit\u00e9.<\/p>\n

Quand G\u00f6del affirme \u00e0 propos de cette proposition qu\u2019elle est vraie bien qu\u2019il soit impossible de la prouver, cela signifie par n\u00e9cessit\u00e9 qu\u2019elle est vraie pour l\u2019une des deux autres raisons possibles pour lesquelles une proposition est vraie : soit, qu\u2019elle est un axiome (l\u2019\u00e9quivalent math\u00e9matique d\u2019une d\u00e9finition), soit qu\u2019elle d\u00e9rive de l\u2019\u00e9vidence des sens (v\u00e9rification faite qu\u2019il ne s\u2019agit pas d\u2019une illusion perceptive). Comme le contexte de la d\u00e9monstration exclut que la proposition en question ne soit qu\u2019une vaste tautologie : un axiome cach\u00e9 ou non reconnu, la seule option restante est que sa v\u00e9rit\u00e9 d\u00e9coule de l\u2019\u00e9vidence des sens. Mais cela aurait pour implication que cette proposition aurait pour r\u00e9f\u00e9rence le monde sensible qui nous entoure, dont elle offrirait un compte rendu v\u00e9ridique, ce qui voudrait dire que G\u00f6del apporte \u00e0 son insu le renfort de la physique \u00e0 ce qu\u2019il affirme ne relever que des math\u00e9matiques.<\/p>\n

Comment est-il possible que G\u00f6del n\u2019ait pas not\u00e9 une telle confusion dans son argumentation entre math\u00e9matiques et physique ? Parce qu\u2019il est de notori\u00e9t\u00e9 publique qu\u2019il confondait les deux : G\u00f6del \u00e9tait un platonicien<\/i> par conviction id\u00e9ologique, convaincu que le monde est fait de nombres dans sa constitution intime et que, comme l\u2019une des cons\u00e9quences de cette croyance, tout ce que nous connaissons dans le monde par l\u2019\u00e9vidence des sens peut \u00e9galement \u00eatre prouv\u00e9 math\u00e9matiquement. Bertrand Russell a dit de lui : \u00ab\u00a0G\u00f6del s\u2019est av\u00e9r\u00e9 \u00eatre un platonicien pur et dur, et croyait apparemment qu\u2019un \u2018Non\u2019 \u00e9ternel \u00e9tait inscrit au firmament, o\u00f9 les logiciens vertueux pouvaient esp\u00e9rer le rencontrer un jour\u00a0\u00bb (dans Autobiography<\/i> de Russell, cit\u00e9 par Dawson 1988 : 8).<\/p>\n

Je d\u00e9fends ici au contraire la th\u00e8se que pour \u00eatre \u00ab\u00a0digne de ce nom\u00a0\u00bb, une d\u00e9monstration math\u00e9matique n\u2019est pas autoris\u00e9e \u00e0 importer subrepticement des \u00e9l\u00e9ments de preuves emprunt\u00e9s \u00e0 la physique : elle est tenue de se cantonner enti\u00e8rement au domaine de nature formelle<\/i> des math\u00e9matiques. On comprend ais\u00e9ment que si cette distinction n\u2019\u00e9tait pas faite, la notion de \u00ab\u00a0mod\u00e8le math\u00e9matique inad\u00e9quat de la r\u00e9alit\u00e9 physique\u00a0\u00bb perdrait toute signification.\u00a0<\/span><\/p>\n

Dans leur ouvrage d\u00e9j\u00e0 cit\u00e9, Casti & DePauli, trahissent involontairement leur malaise \u00e0 cet \u00e9gard lorsqu\u2019ils \u00e9crivent : \u00ab\u00a0Ce que G\u00f6del a d\u00e9couvert, c\u2019est que m\u00eame s\u2019il existe des relations vraies entre des nombres purs, les m\u00e9thodes de la logique d\u00e9ductive sont tout bonnement trop faibles pour que nous puissions prouver tous ces faits. En d\u2019autres termes, la v\u00e9rit\u00e9 couvre davantage que ce qui peut \u00eatre prouv\u00e9. Ce fait ne semble pas trop surprenant lorsqu\u2019on le replace dans le contexte de la vie quotidienne. Nous sommes tous conscients de choses que nous \u2018savons\u2019, mais qui, selon nous, ne peuvent jamais \u00eatre d\u00e9duites logiquement de mani\u00e8re formelle, \u00e0 la mani\u00e8re d\u2019Aristote. En fait, le professeur et philosophe \u00e0 Oxford J. L. Austin, lorsqu\u2019il fut inform\u00e9 pour la premi\u00e8re fois du r\u00e9sultat de G\u00f6del, fit la remarque : \u2018Qui eut pu penser autrement ?\u2019. L\u2019homme de la rue dirait probablement la m\u00eame chose si quelqu\u2019un annon\u00e7ait que tout ce qui est vrai ne peut \u00eatre connu qu\u2019en suivant un processus de d\u00e9duction logique. Mais ce n\u2019est pas le cas des math\u00e9maticiens !\u00a0\u00bb (2000 : 4-5). Casti & DePauli auraient d\u00fb \u00e9crire plus sp\u00e9cifiquement : \u00ab\u00a0Mais ce n\u2019est pas le cas des math\u00e9maticiens acquis \u00e0 la conception mystique platonicienne<\/i>\u00a0\u00bb dont la croyance est que les math\u00e9matiques et la physique ne sont qu\u2019une seule et m\u00eame chose, ou tout au moins sont incapables de faire la distinction entre les deux. D\u2019o\u00f9 leur indiff\u00e9rence \u00e0 la qualit\u00e9 de la preuve mobilis\u00e9e dans leurs d\u00e9monstrations, et la n\u00e9gligence \u00ab\u00a0je-m\u2019en-foutiste\u00a0\u00bb de G\u00f6del en particulier sous ce rapport.<\/p>\n

Que le n\u0153ud du probl\u00e8me – source de toutes les confusions chez lui – r\u00e9side dans l\u2019engagement id\u00e9ologique platonicien<\/i> de G\u00f6del, Casti et DePauli le mettent encore davantage en lumi\u00e8re – m\u00eame si ce n\u2019est qu\u2019accidentellement – dans un passage o\u00f9 ils tentent de clarifier sa d\u00e9marche \u00e0 l\u2019aide d\u2019une illustration mettant en sc\u00e8ne des\u2026 g\u00e2teaux au chocolat :<\/p>\n

\u00ab\u00a0V\u00e9rit\u00e9s<\/i> = tous les g\u00e2teaux concevables qui satisfont au test d\u2019\u00eatre un g\u00e2teau au chocolat<\/i>.<\/p>\n

Preuves<\/i> = toutes les recettes permettant de faire r\u00e9ellement des g\u00e2teaux au chocolat \u00e0 l\u2019aide de la Machine \u00e0 G\u00e2teaux au Chocolat.<\/p>\n

Voici maintenant la question cruciale : existe-t-il une recette pour chaque g\u00e2teau au chocolat imaginable ? Ou, de mani\u00e8re \u00e9quivalente, toute affirmation vraie est-elle d\u00e9montrable ? Ce que nous demandons ici, c\u2019est s\u2019il existe de braves g\u00e2teaux au chocolat dans l\u2019univers platonicien des g\u00e2teaux pour lesquels aucune recette ne peut \u00eatre propos\u00e9e\u00a0\u00bb (ibid. 19-20).<\/p>\n

\u00ab\u00a0Dans l\u2019univers platonicien<\/i>\u2026\u00a0\u00bb, on ne pouvait mieux dire : la d\u00e9monstration de G\u00f6del n\u2019a de sens et n\u2019est significative que sur la sc\u00e8ne d\u2019un th\u00e9\u00e2tre o\u00f9 le R\u00e9el serait tout entier constitu\u00e9 de nombres et uniquement de nombres et o\u00f9, du coup, la confusion serait enti\u00e8re entre deux repr\u00e9sentations : celle du monde qui nous entoure, dont rend compte la physique, et celle du monde des entit\u00e9s math\u00e9matiques, outils que nous avons imagin\u00e9s pour offrir une vision stylis\u00e9e du monde autour de nous.<\/p>\n

R\u00e9f\u00e9rences bibliographiques :<\/b><\/p>\n

Casti, John L. & Werner DePauli, G\u00f6del. A Life of Logic<\/i>, Cambridge (Mass.) Perseus : 2000<\/p>\n

Dawson, John W., \u00ab\u00a0Kurt G\u00f6del in Sharper Focus\u00a0\u00bb, in S. G. Shanker, G\u00f6del\u2019s Theorem in Focus<\/i>, London : Croom Helm 1988<\/p>\n

Jorion, Paul, Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i>, Paris : Gallimard 2009<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\n

\"\"<\/p>\n

Contribution in\u00e9dite au travail collaboratif que j’ai entrepris avec Yu Li (Universit\u00e9 de Picardie) sur la conjecture P vs. NP<\/em>.<\/p>\n<\/blockquote>\n

Que d\u00e9montrent les math\u00e9maticiens, et le font-ils d\u2019une mani\u00e8re digne de ce nom ?<\/b><\/p>\n

Qu\u2019est-ce qui est vrai en math\u00e9matiques ?<\/i><\/p>\n

Il est \u00e9crit dans une […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[7313,4577,8601,16,8],"tags":[1342,359,8004,5335,753],"class_list":["post-131806","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-comment-la-verite-et-la-realite-furent-inventees","category-epistemologie","category-fondement-des-mathematiques","category-mathematiques","category-philosophie-des-sciences","tag--comment-la-verite-et-la-realite-furent-inventees-","tag-aristote","tag-fondements-des-mathematiques","tag-kurt-godel","tag-verite"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/131806","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=131806"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/131806\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":135876,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/131806\/revisions\/135876"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=131806"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=131806"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=131806"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}