![\"\"](\"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-content\/uploads\/Russell-2022-09-12-a\u0300-16.38.09-219x300.png\")
Je connais la th\u00e8se selon laquelle les propositions auto-r\u00e9f\u00e9rentes formul\u00e9es en langage naturel ne seraient pas n\u00e9cessairement \u00ab pathologiques \u00bb (contrairement \u00e0 l\u2019assertion du paradoxe du menteur par exemple), mais je n\u2019ai aucun exemple de telles propositions<\/b>. Je pr\u00e9cise ici les exigences que je mets dans cette absence de \u00ab\u00a0pathologie\u00a0\u00bb.<\/p>\n
Par exemple, il n’est pas contestable que l’assertion auto-r\u00e9f\u00e9rente : \u00ab\u00a0la pr\u00e9sente phrase est\u00a0form\u00e9e<\/em><\/strong>\u00a0de 46 caract\u00e8res\u00a0\u00bb est vraie, chaque espace \u00e9tant compt\u00e9 pour un caract\u00e8re.<\/p>\n Le sens de cette phrase Phi peut s’\u00e9crire symboliquement Nbcar(Script(Phi))=46, o\u00f9 Nbcar d\u00e9signe la fonction \u00ab\u00a0Nombre de caract\u00e8res de\u00a0\u00bb, et o\u00f9 Script d\u00e9signe la fonction \u00ab\u00a0Forme \u00e9crite de\u00a0\u00bb.<\/p>\n Cependant, la valeur de v\u00e9rit\u00e9 de cette phrase est totalement contingente. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, la port\u00e9e s\u00e9mantique de cette assertion est strictement born\u00e9e par la nature purement arbitraire du choix de la fonction de codage \u00ab\u00a0Script\u00a0\u00bb utilis\u00e9e pour l’exprimer, et totalement d\u00e9pendante de ce choix arbitraire. Ainsi, l’assertion : \u00ab\u00a0la pr\u00e9sente phrase est\u00a0constitu\u00e9e<\/em><\/strong>\u00a0de 46 caract\u00e8res\u00a0\u00bb, bien qu’ayant exactement le m\u00eame sens que la pr\u00e9c\u00e9dente, \u00e0 savoir Nbcar(Script(Phi))=46, est fausse. Pour moi, cette phrase est donc \u00ab\u00a0pathologique\u00a0\u00bb.<\/p>\n Dans l’analyse de la d\u00e9monstration de G\u00f6del, il y a un point sur lequel je suis en plein accord avec Jean-Yves Girard\u00a0 (auteur de \u00ab\u00a0Le th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del\u00a0\u00bb) et en d\u00e9saccord avec Peter Smith (auteur de \u00ab\u00a0G\u00f6del Without (Too Many) Tears\u00a0\u00bb), \u00e0 savoir que cette d\u00e9monstration suit le sch\u00e9ma logique du paradoxe de Richard, et non pas le simple sch\u00e9ma du paradoxe du menteur.<\/p>\n Pour rappel, le paradoxe de Richard se construit comme suit :<\/p>\n Supposons que les propri\u00e9t\u00e9s connues des nombres entiers soient recens\u00e9es, puis formul\u00e9es dans un langage naturel, en fran\u00e7ais par exemple. Cette op\u00e9ration conduit \u00e0 une liste d’\u00e9nonc\u00e9s tels que : \u00ab\u00a0\u00eatre un nombre premier\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0\u00eatre la somme de deux nombres premiers\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0\u00eatre un carr\u00e9\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0\u00eatre la somme de deux carr\u00e9s\u00a0\u00bb, etc.<\/p>\n Supposons que les \u00e9nonc\u00e9s de cette liste soient ensuite class\u00e9s par ordre alphab\u00e9tique croissant, puis num\u00e9rot\u00e9s, du premier au dernier (pour autant qu’il y en ait un !), par ordre num\u00e9rique \u00e9galement croissant.<\/p>\n Dans la liste ordonn\u00e9e qui en r\u00e9sulte, chaque num\u00e9ro d’\u00e9nonc\u00e9 se trouvera bien s\u00fbr soit poss\u00e9der la propri\u00e9t\u00e9 identifi\u00e9e par l’\u00e9nonc\u00e9 correspondant, soit ne pas la poss\u00e9der.<\/p>\n Par exemple si l’\u00e9nonc\u00e9 num\u00e9ro 5 concerne la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0\u00eatre la somme de deux nombres premiers\u00a0\u00bb, et plus g\u00e9n\u00e9ralement si le num\u00e9ro de l’\u00e9nonc\u00e9 poss\u00e8de la propri\u00e9t\u00e9 identifi\u00e9e par celui-ci, le nombre repr\u00e9sent\u00e9 par ce num\u00e9ro sera dit \u00ab\u00a0compatible\u00a0\u00bb. Si en revanche l’\u00e9nonc\u00e9 num\u00e9ro 8 concerne la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0\u00eatre un carr\u00e9\u00a0\u00bb, et plus g\u00e9n\u00e9ralement si le num\u00e9ro de l’\u00e9nonc\u00e9 ne poss\u00e8de pas la propri\u00e9t\u00e9 identifi\u00e9e par celui-ci, le nombre repr\u00e9sent\u00e9 par ce num\u00e9ro sera dit \u00ab\u00a0incompatible\u00a0\u00bb.<\/p>\n Dans ces conditions, la question paradoxale est celle de savoir si le nombre repr\u00e9sentant le num\u00e9ro de l’\u00e9nonc\u00e9 relatif \u00e0 la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0\u00eatre incompatible\u00a0\u00bb est compatible ou incompatible. En effet, pour qu\u2019un tel nombre puisse \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme compatible, il faudrait que l’\u00e9nonc\u00e9 auquel il renvoie porte sur la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0\u00eatre compatible\u00a0\u00bb, ce qui n\u2019est justement pas le cas puisque la question concerne l\u2019\u00e9nonc\u00e9 qui d\u00e9finit la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0\u00eatre incompatible\u00a0\u00bb. Mais pour qu\u2019un tel nombre puisse \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme incompatible, il faudrait que l’\u00e9nonc\u00e9 auquel il renvoie porte sur la propri\u00e9t\u00e9 inverse, \u00e0 savoir \u00ab\u00a0\u00eatre compatible\u00a0\u00bb, ce qui n\u2019est toujours pas le cas non plus puisque la question concerne, comme rappel\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, l\u2019\u00e9nonc\u00e9 qui d\u00e9finit la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0\u00eatre incompatible\u00a0\u00bb.<\/p>\n En r\u00e9alit\u00e9, l’\u00e9nonc\u00e9 de ce paradoxe pr\u00e9sente 4 points critiques : (i) d’abord, l’incompatibilit\u00e9 n’est pas une propri\u00e9t\u00e9 arithm\u00e9tique associ\u00e9e aux nombres entiers, mais une propri\u00e9t\u00e9 m\u00e9ta-arithm\u00e9tique ;\u00a0 (ii) comme cette propri\u00e9t\u00e9 d’incompatibilit\u00e9 n’appartient donc pas originellement \u00e0 la liste des propri\u00e9t\u00e9s arithm\u00e9tiques des entiers, il faut la \u00ab\u00a0rentrer en force a posteriori\u00a0\u00bb dans l’ensemble des propri\u00e9t\u00e9s arithm\u00e9tiques ; (iii) la d\u00e9finition et l’utilisation de cette m\u00e9ta-propri\u00e9t\u00e9 imposent le recours \u00e0 des op\u00e9rations dont le choix est totalement arbitraire, notamment le choix d’une langue pour \u00e9noncer les propri\u00e9t\u00e9s arithm\u00e9tiques, le type d’ordre utilis\u00e9 pour classer ces \u00e9nonc\u00e9s, et les mesures prises pour assimiler cette propri\u00e9t\u00e9 m\u00e9ta-arithm\u00e9tique \u00e0 une propri\u00e9t\u00e9 arithm\u00e9tique ; (iv) enfin, il n’existe aucune proc\u00e9dure accessible qui permettrait de v\u00e9rifier directement, c’est-\u00e0-dire en s’affranchissant du cadre de ces choix totalement arbitraires et de leurs cons\u00e9quences, si la propri\u00e9t\u00e9 d’incompatibilit\u00e9 est, ou non, de nature incompatible, ce qui semble d\u2019ailleurs \u00eatre le n\u0153ud principal de ce paradoxe.<\/p>\n Or, ces 4 points critiques se retrouvent \u00e0 l’identique dans la d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude. En effet, (i) la d\u00e9montrabilit\u00e9 d’une proposition n’est pas une propri\u00e9t\u00e9 arithm\u00e9tique mais une propri\u00e9t\u00e9 m\u00e9ta-arithm\u00e9tique ; (ii) le sens m\u00e9ta-arithm\u00e9tique de cette propri\u00e9t\u00e9 doit \u00eatre \u00ab\u00a0rentr\u00e9 en force\u00a0\u00bb dans le cadre de l’arithm\u00e9tique, objectif atteint par G\u00f6del au moyen d\u2019un syst\u00e8me de codage\/num\u00e9ration ; (iii) le syst\u00e8me de codage\/num\u00e9ration choisi par G\u00f6del est totalement arbitraire, comme le serait bien s\u00fbr aussi le choix de n’importe quel autre syst\u00e8me ; et (iv) il n’existe aucun moyen de v\u00e9rifier directement, c’est-\u00e0-dire en s’affranchissant du caract\u00e8re arbitraire du choix de ce syst\u00e8me de codage\/num\u00e9ration, si la formule G de G\u00f6del est, ou non, d\u00e9montrable puisqu’elle n’a pas d’autre objet qu’elle-m\u00eame.<\/p>\n En cons\u00e9quence, rien ne permet notamment d’exclure l’existence, au sein de l’ensemble a priori non born\u00e9 de syst\u00e8mes de codage\/num\u00e9ration possibles, d’un syst\u00e8me de codage dans lequel la valeur num\u00e9rique que prend le nombre de G\u00f6del de la formule G (qui affirme sa propre ind\u00e9montrabilit\u00e9 dans le syst\u00e8me de codage sp\u00e9cifiquement choisi par G\u00f6del), signifierait au contraire \u00ab\u00a0La pr\u00e9sente formule est d\u00e9montrable\u00a0\u00bb. De plus, non seulement tous les syst\u00e8mes de codage possibles sont tout \u00e0 fait arbitraires, mais ils sont aussi totalement extrins\u00e8ques \u00e0 l’arithm\u00e9tique. Il est donc impossible de justifier, au sein de l’arithm\u00e9tique, le choix arbitraire de l’un quelconque de ces syst\u00e8mes de codage\/num\u00e9ration, et d\u2019affirmer qu’il serait le seul \u00e0 pouvoir offrir \u00ab\u00a0la\u00a0\u00bb v\u00e9ritable interpr\u00e9tation m\u00e9ta-arithm\u00e9tique de la valeur que prend le nombre de G\u00f6del de la formule G suppos\u00e9e affirmer sa propre ind\u00e9montrabilit\u00e9. En d’autres termes, rien n’assure que le repli et le confinement forc\u00e9 d’un raisonnement m\u00e9ta-arithm\u00e9tique au sein de l’arithm\u00e9tique, de surcro\u00eet au moyen de conventions arbitraires et extrins\u00e8ques \u00e0 l\u2019arithm\u00e9tique, puissent conserver intact le sens attribu\u00e9 \u00e0 ce raisonnement en dehors de l’arithm\u00e9tique.<\/p>\n Bien cordialement.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Je connais la th\u00e8se selon laquelle les propositions auto-r\u00e9f\u00e9rentes formul\u00e9es en langage naturel ne seraient pas n\u00e9cessairement \u00ab pathologiques \u00bb (contrairement \u00e0 l\u2019assertion du paradoxe du menteur par exemple), mais je n\u2019ai aucun exemple de telles propositions<\/b>. 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