Dans le message de Mme Audrey Azoulay, Directrice g\u00e9n\u00e9rale de l’UNESCO, \u00e0 l’occasion de la cr\u00e9ation de la Journ\u00e9e mondiale de la logique le 14 janvier 2020 [1] :<\/p>\n
– C\u2019est pourquoi, pour attirer l’attention sur l’importance de la logique, l’UNESCO a proclam\u00e9 le 14 janvier Journ\u00e9e mondiale de la logique. Cette date a \u00e9t\u00e9 choisie en l’honneur de deux grands logiciens du vingti\u00e8me si\u00e8cle : Kurt G\u00f6del et Alfred Tarski. G\u00f6del, d\u00e9c\u00e9d\u00e9 le 14 janvier 1978, a d\u00e9montr\u00e9 le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude qui a transform\u00e9 l’\u00e9tude de la logique au vingti\u00e8me si\u00e8cle. Tarski, n\u00e9 le 14 janvier 1901, a d\u00e9velopp\u00e9 des th\u00e9ories qui ont interagi avec celles de G\u00f6del.<\/i><\/p>\n En pr\u00e9sentant la biographie de Kurt G\u00f6del,\u00a0Journey to the Edge of Reason – The Life of Kurt G\u00f6del<\/i> par Stephen Budiansky (2021), l\u2019\u00e9diteur Norton affirmait [2] :<\/p>\n –\u00a0La premi\u00e8re grande biographie \u00e9crite pour le grand public du logicien et math\u00e9maticien dont les th\u00e9or\u00e8mes d’incompl\u00e9tude ont contribu\u00e9 \u00e0 lancer une r\u00e9volution scientifique moderne. Pr\u00e8s de cent ans apr\u00e8s sa publication, la c\u00e9l\u00e8bre d\u00e9monstration de Kurt G\u00f6del selon laquelle tout syst\u00e8me math\u00e9matique doit contenir des propositions qui sont vraies – mais jamais prouvables – continue de perturber les math\u00e9matiques, la philosophie et l’informatique.<\/i><\/p>\n Alors qu’y a-t-il dans le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del qui provoque un tel malaise\u00a0jusqu’\u00e0 aujourd\u2019hui\u00a0?\u00a0Si nous y regardons de plus pr\u00e8s, nous voyons que ce malaise n’est pas caus\u00e9 par la conclusion que le syst\u00e8me formel contient des\u00a0propositions vraies mais ind\u00e9montrable, mais par la d\u00e9monstration de G\u00f6del, puisqu\u2019il prend comme pr\u00e9misse le paradoxe du menteur et\u00a0argumente\u00a0que ce paradoxe est une proposition vraie mais ind\u00e9montrable dans le syst\u00e8me formel. En d’autres termes, il d\u00e9coule de la d\u00e9monstration de G\u00f6del qu’il existe des propositions telles que le paradoxe du menteur dans le syst\u00e8me formel.<\/p>\n La d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del a \u00e9t\u00e9 contest\u00e9e depuis sa publication, John W. Dawson Jr. en a fait l\u2019historique dans son article\u00a0\u00ab\u00a0The reception of G\u00f6del’s Incompleteness Theorems\u00a0\u00bb\u00a0([3], pp. 74-95) :<\/p>\n Jacques Herbrand a \u00e9galement d\u00e9clar\u00e9\u00a0dans une lettre \u00e0 G\u00f6del en 1931\u00a0[4] (pp. 3-14) que le syst\u00e8me formel de la d\u00e9monstration de G\u00f6del ne pouvait pas exprimer des fonctions r\u00e9cursives non primitives telles celles d\u2019Ackermann.<\/p>\n Il faut \u00e9galement red\u00e9couvrir la d\u00e9monstration du probl\u00e8me d’Entscheidung <\/i>pr\u00e9sent\u00e9e par Alan Turing dans son article (1936) [5], o\u00f9 Turing faisait allusion aux erreurs commises par G\u00f6del sans mentionner son nom et s\u2019aventurait \u00e0 les corriger.<\/p>\n Le malaise provoqu\u00e9 par la d\u00e9monstration de G\u00f6del n’a cess\u00e9 d’\u00eatre explor\u00e9 dans les sciences humaines [6-8], voire m\u00eame dans la collision entre les sciences humaines et les sciences naturelles, comme l\u2019\u00ab\u00a0affaire Sokal\u00a0\u00bb\u00a0initi\u00e9e par le physicien Sokal [9] ; la remise en cause de la d\u00e9monstration de G\u00f6del dans la perspective de l\u2019Anthropologie des connaissances par l’anthropologue Paul Jorion [10].<\/p>\n Pourtant dans le domaine de la logique math\u00e9matique, un tel malaise est aujourd’hui quasiment \u00e9lud\u00e9. Ainsi dans le livre Le Point Aveugle, Cours de Logique – Vers la perfection<\/i>\u00a0(chapitre 2, \u00ab\u00a0The Incompleteness Theorem\u00a0\u00bb) du logicien fran\u00e7ais Jean-Yves Girard, l\u2019auteur\u00a0d\u00e9clare [11] :<\/p>\n – Il est hors de question de rentrer dans les arcanes techniques du th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del, pour plusieurs raisons :<\/i><\/p>\n – Ce r\u00e9sultat, au fond tr\u00e8s facile (sic), ne se per\u00e7oit bien, comme les peintures de vieillesse de Claude Monet, que d\u2019une certaine distance. De pr\u00e8s, ce ne sont que d\u00e9tails fastidieux qu\u2019on n\u2019a pas forc\u00e9ment envie de connaitre.<\/i><\/p>\n – On n\u2019en a pas besoin non plus, car ce th\u00e9or\u00e8me est un cul-de-sac scientifique : il signale une voie sans issue. Puisqu\u2019il n\u2019y a rien \u00e0 chercher par l\u00e0, il ne sert \u00e0 rien d\u2019\u00eatre expert \u00e8s th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del.<\/i><\/span><\/p>\n Nous souhaitons confronter aujourd\u2019hui ce sentiment de malaise en revisitant la d\u00e9monstration d\u2019origine de G\u00f6del \u00e0 la lumi\u00e8re de la logique de la d\u00e9couverte scientifique.<\/p>\n 2. La logique de la d\u00e9couverte scientifique<\/b><\/p>\n Y a-t-il une logique de la d\u00e9couverte scientifique\u00a0? Comment les chercheurs trouvent-ils leurs hypoth\u00e8ses et font-ils avancer nos connaissances\u00a0?\u00a0<\/span>Charles Sanders\u00a0<\/span>Peirce utilisa le terme\u00a0\u00ab\u00a0abduction\u00a0\u00bb\u00a0[12], en r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 la\u00a0d\u00e9duction\u00a0et \u00e0 l\u2019induction, pour d\u00e9signer le raisonnement de l’effet \u00e0 la cause\u00a0par lequel on adopte une hypoth\u00e8se, o\u00f9 le terme\u00a0\u00ab\u00a0hypoth\u00e8se\u00a0\u00bb\u00a0d\u00e9signe une explication propos\u00e9e pour un ph\u00e9nom\u00e8ne. Sans la connaissance de la cause, nous serions condamn\u00e9s \u00e0 ne conna\u00eetre que le ph\u00e9nom\u00e8ne, mais pas son essence. En ce sens, on peut consid\u00e9rer que l\u2019abduction est la logique de la d\u00e9couverte scientifique.<\/span><\/p>\n La forme de l\u2019abduction est par cons\u00e9quent celle-ci :<\/p>\n – Un ph\u00e9nom\u00e8ne surprenant C est observ\u00e9 ;<\/p>\n – Or si\u00a0<\/span>A est vrai, C se produit\u00a0;<\/span><\/p>\n – Donc, il y a une raison de suspecter que A est vrai.<\/span><\/p>\n L’hypoth\u00e8se A est con\u00e7ue par la pens\u00e9e et doit \u00eatre transform\u00e9e en une d\u00e9duction pour v\u00e9rifier sa v\u00e9rit\u00e9 : Si A est vrai, C se produit ; et A est vrai ; donc C se produit.<\/span><\/p>\n La validit\u00e9 de l’abduction d\u00e9pend donc de deux facteurs : si l’hypoth\u00e8se peut expliquer le\u00a0ph\u00e9nom\u00e8ne<\/span>, et si l’hypoth\u00e8se peut \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9e. En d’autres termes, la question la plus fondamentale de l’abduction concerne la relation entre le pouvoir explicatif et la v\u00e9rit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se.<\/p>\n 3. Initiative de revisiter l’article de G\u00f6del de 1931 L’origine du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del est mentionn\u00e9e dans l\u2019article de John W. Dawson [3] :<\/p>\n –\u00a0Dans l’\u00e9bauche d’une r\u00e9ponse \u00e0 la question d’un \u00e9tudiant dipl\u00f4m\u00e9 en 1970, G\u00f6del indique que c’est pr\u00e9cis\u00e9ment sa reconnaissance du contraste entre la d\u00e9finissabilit\u00e9 formelle de la d\u00e9montrabilit\u00e9 et l’ind\u00e9finissabilit\u00e9 formelle de la v\u00e9rit\u00e9 qui l’a conduit \u00e0 la d\u00e9couverte de l’incompl\u00e9tude.\u00a0<\/i><\/span><\/p>\n En d’autres termes, l’incompl\u00e9tude\u00a0est en fait une\u00a0d\u00e9couverte\u00a0\u00e9tonnante de G\u00f6del, mais pour \u00eatre pr\u00e9cis, cette\u00a0d\u00e9couverte\u00a0provient initialement du\u00a0Entscheidungsproblem\u00a0(probl\u00e8me de la d\u00e9cision) propos\u00e9 par Hilbert\u00a0[13]\u00a0<\/span>(<\/span>pp. 45-53). Afin de transformer cette\u00a0d\u00e9couverte\u00a0en\u00a0connaissance\u00a0– un th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude – G\u00f6del a con\u00e7u sa c\u00e9l\u00e8bre d\u00e9monstration dans son article de 1931 (\u00dcber formal unentscheidbare S\u00e4tze der\u00a0Principia Mathematica\u00a0und verwandter Systeme<\/i>) [3][14]\u00a0[15]\u00a0[16]\u00a0. Ainsi, la v\u00e9ritable contribution de G\u00f6del devrait \u00eatre sa\u00a0d\u00e9monstration.\u00a0<\/span><\/p>\n La d\u00e9monstration de G\u00f6del est bas\u00e9e sur deux paradoxes : le\u00a0paradoxe de Richard\u00a0comme point de d\u00e9part et le\u00a0paradoxe du menteur\u00a0comme point d\u2019arriv\u00e9e. La d\u00e9monstration se d\u00e9roule principalement dans les premi\u00e8re et deuxi\u00e8me parties de son article : dans la partie 1, G\u00f6del utilise\u00a0le\u00a0paradoxe de Richard\u00a0pour construire la proposition paradoxale qui dit qu\u2019elle est ind\u00e9montrable, \u00e0 savoir le paradoxe du menteur; puis dans la partie 2, G\u00f6del argumente, dans un syst\u00e8me formel de sa propre d\u00e9finition, que la proposition paradoxale du chapitre 1 est\u00a0ind\u00e9montrable. Ainsi, Il d\u00e9clare avoir prouv\u00e9 l’existence de\u00a0propositions ind\u00e9cidables\u00a0dans les syst\u00e8mes formels comme celui de Peano, c’est-\u00e0-dire l’incompl\u00e9tude du syst\u00e8me formel.<\/span><\/p>\n Dans le cadre de l’abduction,\u00a0nous pouvons nous demander :<\/p>\n 1)\u00a0<\/i><\/span>La d\u00e9monstration de G\u00f6del nous aide-t-elle \u00e0 comprendre les propositions ind\u00e9cidables dans les syst\u00e8mes formels ?<\/i><\/p>\n 2)\u00a0<\/i><\/span>Comment est construite la proposition paradoxale G de G\u00f6del (qui dit qu’elle est ind\u00e9montrable) ? La proposition G existe-t-elle dans le syst\u00e8me formel consid\u00e9r\u00e9 par G\u00f6del ? Si la proposition G n’existe pas, la d\u00e9monstration de G\u00f6del est-elle toujours valable ?<\/i><\/p>\n 3)\u00a0<\/i><\/span>Lorsque le paradoxe de Russell est apparu dans la th\u00e9orie des ensembles, il a \u00e9t\u00e9 consid\u00e9r\u00e9 comme une crise et les gens se sont efforc\u00e9s de le dissiper. Pourquoi, alors, les gens n’ont-ils pas \u00e9t\u00e9 alert\u00e9s lorsque le paradoxe du menteur est apparu dans la d\u00e9monstration de G\u00f6del ?<\/i><\/span><\/p>\n Aujourd’hui, \u00e0 l’occasion de la Journ\u00e9e mondiale de la logique, nous\u00a0<\/span>proposons donc de revisiter l’article de G\u00f6del de 1931, de p\u00e9n\u00e9trer dans la d\u00e9monstration originale de G\u00f6del, de d\u00e9passer les limites de nos pens\u00e9es pour nous confronter ensemble au malaise que suscite la d\u00e9monstration de G\u00f6del.\u00a0Nous pensons qu’en ces temps de crise, l’aspiration \u00e0 la v\u00e9rit\u00e9 et la recherche de la v\u00e9rit\u00e9 sont les moyens les plus fondamentaux de dissoudre le malaise.\u00a0En ce sens, lire G\u00f6del, c’est aussi se lire soi-m\u00eame, …<\/p>\n R\u00e9f\u00e9rence :\u00a0<\/b><\/p>\n [1]\u00a0https:\/\/unesdoc.unesco.org\/ark:\/48223\/pf0000372449_chi<\/span><\/a><\/span><\/p>\n [2]\u00a0<\/span>Stephen Budiansky, Journey to the Edge of Reason – The Life of Kurt G\u00f6del (2021).\u00a0https:\/\/wwnorton.com\/books\/9781324005445\/overview<\/span><\/a><\/p>\n [3]\u00a0<\/span>S.G. Shanker (ed.), G\u00f6del\u2019s Theorem in Focus, Croom Helm 1988,\u00a0https:\/\/pdfslide.net\/documents\/godels-theorem-in-focus-philosophers-in-focus.html<\/span><\/a><\/span><\/p>\n [4]\u00a0<\/span>Kurt G\u00f6del: Collected Works: Volume V, Volume\u00a05<\/span><\/p>\n https:\/\/books.google.fr\/books?id=4rTYxQEACAAJ&printsec=copyright&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false<\/a><\/span><\/p>\n [5]\u00a0<\/span>Alan Turing, \u00ab On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem \u00bb,\u00a0https:\/\/www.cs.virginia.edu\/~robins\/Turing_Paper_1936.pdf<\/span><\/a><\/p>\n [6]\u00a0<\/span>Rebecca Goldstein, Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt G\u00f6del<\/span>\uff09<\/span>:\u00a0https:\/\/www.essra.org.cn\/upload\/202102\/Incompleteness%20-%20The%20Proof%20and%20Paradox%20of%20Kurt%20Godel%20by%20Rebecca%20Goldstein%EF%BC%882005%EF%BC%89.pdf<\/span><\/a><\/span><\/p>\n [7]\u00a0<\/span>Pierre Cassou-Nogu\u00e8s, Les D\u00e9mons de G\u00f6del – Logique et folie (2007).\u00a0https:\/\/www.amazon.fr\/D%C3%A9mons-G%C3%B6del-Logique-folie\/dp\/2020923394<\/span><\/a><\/p>\n [8]\u00a0<\/span>James R Meyer, The shackles of conviction. Paperback (2022).\u00a0https:\/\/www.amazon.com\/Shackles-Conviction-James-R-Meyer\/dp\/1906706093<\/span><\/a><\/span><\/p>\n [9]\u00a0https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Affaire_Sokal<\/span><\/a><\/span><\/p>\n [10]\u00a0<\/span>Paul Jorion, Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es (Gallimard 2009).\u00a0https:\/\/www.gallimard.fr\/Catalogue\/GALLIMARD\/Bibliotheque-des-Sciences-humaines\/Comment-la-verite-et-la-realite-furent-inventees<\/span><\/a><\/span><\/p>\n [11]\u00a0<\/span>Jean-Yves Girard , Le Point Aveugle, Cours de Logique – Vers la perfection.\u00a0http:\/\/recherche.ircam.fr\/equipes\/repmus\/mamux\/hermann.pdf<\/span><\/a><\/p>\n [12]\u00a0<\/span>Fr\u00e9d\u00e9ric Roudaut, Comment on invente les hypoth\u00e8ses : Peirce et la th\u00e9orie de l\u2019abduction,\u00a0https:\/\/www.cairn.info\/revue-cahiers-philosophiques-2017-3-page-45.htm<\/span><\/a><\/p>\n [13]\u00a0<\/span>The Essential Turing: Seminal Writings in Computing, Logic, Philosophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life:<\/p>\n Plus The Secrets of Enigma, B. Jack Copeland, Editor :<\/p>\n http:\/\/www.cse.chalmers.se\/~aikmitr\/papers\/Turing.pdf<\/a><\/span><\/p>\n [14]\u00a0<\/span>Godel,\u00a0<\/span>On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, translated by Bernard Meltzer :\u00a0\u00a0<\/span><\/p>\n https:\/\/monoskop.org\/images\/9\/93\/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf<\/a><\/span><\/p>\n [15]\u00a0<\/span>Godel,\u00a0<\/span>On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, in \u00ab\u00a0The Undecidable\u00a0\u00bb, edited by Martin Davis :\u00a0<\/span><\/p>\n https:\/\/books.google.fr\/books?id=qW8x7sQ4JXgC&pg=PA4&hl=fr&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false<\/a><\/span><\/p>\n [16]\u00a0Godel,\u00a0<\/span>On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, translated in French by\u00a0Jean-Baptiste Scherrer<\/span><\/a>\u00a0:<\/span><\/p>\n\n
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