{"id":135105,"date":"2023-01-23T16:57:59","date_gmt":"2023-01-23T15:57:59","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/?p=135105"},"modified":"2023-01-23T16:57:59","modified_gmt":"2023-01-23T15:57:59","slug":"p-vs-np-deuxieme-episode-le-8-mars-2021-retranscription","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2023\/01\/23\/p-vs-np-deuxieme-episode-le-8-mars-2021-retranscription\/","title":{"rendered":"<b>P vs NP &#8211; Deuxi\u00e8me \u00e9pisode<\/b>, le 8 mars 2021 &#8211; Retranscription"},"content":{"rendered":"<blockquote><p><em>Pour une raison X ou Y j&rsquo;ai oubli\u00e9 \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque de mettre en ligne la retranscription de <a href=\"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2021\/03\/14\/video-p-vs-np-deuxieme-episode\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">cette vid\u00e9o<\/a>. Je la retrouve \u00e0 l&rsquo;occasion de la r\u00e9daction en ce moment de mes conclusions sur la conjecture P vs NP. Ce que je disais l\u00e0 n&rsquo;exprimait pas par avance mes conclusions \u00e0 venir : il s&rsquo;agissait d&rsquo;une r\u00e9flexion en cours mais elle me semble toujours refl\u00e9ter en gros des choses que je pense encore aujourd&rsquo;hui.<\/em><\/p><\/blockquote>\n<p class=\"p2\">Nous sommes le 8 mars 2021 et ce sera probablement une vid\u00e9o \u00e0 diffusion restreinte parce que la derni\u00e8re fois que j\u2019ai parl\u00e9 de ce genre de choses sur mon blog, il y a quelqu\u2019un qui a dit\u00a0: \u00ab\u00a0Ah, vous n\u2019y comprenez rien. C\u2019est des propos caf\u00e9 du commerce. Vous \u00eates sorti du domaine de vos comp\u00e9tences\u00a0\u00bb \u2026 J\u2019aurais pu simplement \u00e9liminer son message mais alors bon, le type serait rest\u00e9 convaincu qu\u2019effectivement, je ne comprenais pas ce que je disais et j\u2019ai pr\u00e9f\u00e9r\u00e9 lui r\u00e9pondre en disant\u00a0: \u00ab\u00a0Non, ce qui vous fait r\u00e9agir comme \u00e7a, c\u2019est que vous ne voyez pas qu\u2019il s\u2019agit d\u2019un d\u00e9bat classique \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur des discussions sur les fondements des math\u00e9matiques et que je me situe \u00e0 un endroit bien particulier qui est l\u2019empirisme, ce qui est appel\u00e9 empirisme ou est appel\u00e9 aussi le \u00ab\u00a0point de vue critique\u00a0\u00bb ou qui est appel\u00e9 aussi l\u2019antir\u00e9alisme par opposition \u00e0 la position platonicienne\u00a0\u00bb. Alors, je r\u00e9sume. La position platonicienne, c\u2019est consid\u00e9rer que le math\u00e9maticien est un explorateur dans un monde qui existe v\u00e9ritablement et Bertrand Russell riait en pensant \u00e0 G\u00f6del, en pensant qu\u2019il \u00e9tait de ce type-l\u00e0 en disant\u00a0: \u00ab\u00a0Son r\u00eave, c\u2019est que quand il mourra et qu\u2019il rouvrira les yeux apr\u00e8s, il verra inscrit en lettres de feu le signe de la n\u00e9gation logique au firmament\u00a0\u00bb. Ce qui prouve que Russell, lui, \u00e9tait un empiriste, \u00e9tait un antir\u00e9aliste. Les antir\u00e9alistes, les empiristes consid\u00e8rent, \u00e0 la suite d\u2019Aristote, que l\u2019activit\u00e9 math\u00e9matique n\u2019est pas une activit\u00e9 d\u2019explorateur, de d\u00e9couvreur de continent encore inconnu, que c\u2019est une entreprise de type invention. On se d\u00e9finit un langage et on invente un certain nombre de choses dans ce cadre-l\u00e0.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KNDlrY-JZzs\" width=\"700\" height=\"400\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><span data-mce-type=\"bookmark\" style=\"display: inline-block; width: 0px; overflow: hidden; line-height: 0;\" class=\"mce_SELRES_start\">\ufeff<\/span><\/iframe><\/p>\n<p><em>Et si le programme de Hilbert tenait toujours ?<br \/>\n(Et si G\u00f6del, Church, Turing, Kleene avaient \u00e9t\u00e9 de mauvaise foi ?)<\/em><\/p>\n<p class=\"p2\">Ce que j\u2019ai pu montrer dans <i>Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i> c\u2019est qu\u2019est-ce qui guide le math\u00e9maticien pour ne pas faire absolument n\u2019importe quoi, le platonicien\u00a0? En fait, il est guid\u00e9 par son intuition du monde r\u00e9el, enfin de la r\u00e9alit\u00e9 objective telle qu\u2019il la con\u00e7oit. C\u2019est-\u00e0-dire qu\u2019il a des intuitions et je mettais en \u00e9vidence ce que je viens de dire en m\u2019int\u00e9ressant \u00e0 l\u2019histoire du calcul infinit\u00e9simal par Leibniz et Newton essentiellement et que, comme Berkeley l\u2019a remarqu\u00e9 par la suite, en fait, ils ne font pas des math\u00e9matiques, ils mettent au point un outil, un outil pour d\u00e9crire la m\u00e9canique c\u00e9leste &#8211; outil qui n\u2019existe pas encore. Et ils ne font pas de la bonne math\u00e9matique : ils \u00e9liminent, comme les \u00ab\u00a0fant\u00f4mes de quantit\u00e9s disparues\u00a0\u00bb, des quantit\u00e9s en les consid\u00e9rant n\u00e9gligeables, etc. Il y a des tas de raccourcis. Pourquoi ces raccourcis\u00a0? Et l\u00e0, je le souligne, c\u2019est simplement parce qu\u2019ils veulent coller \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9 physique. En fait, ce qui les guide dans la mise au point de ce calcul diff\u00e9rentiel, ce n\u2019est pas une rigueur math\u00e9matique : ils sacrifient la rigueur math\u00e9matique, comme le dit Berkeley, quand il leur faut coller \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9 : le mouvement des astres. Entre la physique et un purisme math\u00e9matique, ils choisissent \u00e0 tout moment la physique comme \u00e9tant le cadre de r\u00e9f\u00e9rence.<\/p>\n<p class=\"p2\">Ce n\u2019est pas vrai pour tout, ce n\u2019est pas vrai dans le m\u00eame degr\u00e9 pour tous les objets math\u00e9matiques qui ont \u00e9t\u00e9 invent\u00e9s. Mais on le sait par l\u2019histoire des math\u00e9matiques et l\u2019histoire de la physique, en g\u00e9n\u00e9ral, quand un nouvel objet math\u00e9matique est cr\u00e9\u00e9, soit il est rapidement oubli\u00e9 parce que, voil\u00e0, \u00e7a ne sert \u00e0 rien, soit il y a des physiciens embusqu\u00e9s dans un coin &#8211; \u00e7a a \u00e9t\u00e9 le cas d\u2019Einstein par rapport aux tenseurs &#8211; d\u00e8s qu\u2019on met au point les tenseurs comme objet math\u00e9matique, il saute dessus et il l\u2019utilise pour sa th\u00e9orie de la relativit\u00e9.<\/p>\n<p class=\"p2\">Donc il y a, voil\u00e0, c\u2019est un tango : un tango entre math\u00e9maticiens et physiciens. Les math\u00e9maticiens croient souvent qu\u2019ils sont en train simplement de d\u00e9couvrir un monde mais, en fait, ils sont en train de l\u2019inventer. Je suis moi, d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment, je dirais, de mani\u00e8re militante, dans le camp des aristot\u00e9liciens empiristes antir\u00e9alistes : ils sont en train de l\u2019inventer mais ils croient qu\u2019ils explorent, ils croient qu\u2019ils d\u00e9couvrent des choses et quand ils utilisent un proc\u00e9d\u00e9 qui est un proc\u00e9d\u00e9 en r\u00e9alit\u00e9 ill\u00e9gitime et que ce proc\u00e9d\u00e9 ill\u00e9gitime, comme la diagonalisation de Cantor, fait appara\u00eetre que, quand on a donn\u00e9 une d\u00e9finition qui permet une \u00e9num\u00e9ration compl\u00e8te d\u2019un certain type de nombres, que par un processus de diagonalisation, on va faire appara\u00eetre des nombres qui ne sont pas dans la liste qui a \u00e9t\u00e9 \u00e9tablie. Et donc, Cantor, qu\u2019est-ce qu\u2019il fait quand il d\u00e9couvre \u00e7a\u00a0? Il dit\u00a0: \u00ab\u00a0Eh bien, voil\u00e0, il y a un certain nombre de nombres auxquels on n\u2019avait pas pens\u00e9s, qu\u2019on n\u2019avait pas encore d\u00e9couverts, les nombres transfinis\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p class=\"p2\">Bon, il y avait une autre approche possible. Quand il voit appara\u00eetre en manipulant des nombres qui sont dans sa liste compl\u00e8te, quand il voit appara\u00eetre d\u2019autres nombres qui ne sont pas dans sa liste compl\u00e8te, la r\u00e9action d\u2019un antir\u00e9aliste, d\u2019un empiriste, de quelqu\u2019un qui n\u2019est pas platonicien, c\u2019est de dire\u00a0: \u00ab\u00a0Votre d\u00e9finition d\u2019une \u00ab\u00a0liste compl\u00e8te\u00a0\u00bb \u00e9tait inexacte, \u00e9tait fautive. Il faut que vous y retourniez pour qu\u2019elle puisse inclure ces nouveaux nombres que vous avez vu appara\u00eetre\u00a0\u00bb, voil\u00e0.<\/p>\n<p class=\"p2\">Alors, qu\u2019est-ce qui va se passer, qu\u2019est-ce qui se passe\u00a0? Il se passe la chose suivante, c\u2019est que David Hilbert, un Allemand, en 1900, \u00e9tablit un programme. Il r\u00e9agit au fait que les math\u00e9maticiens introduisent des paradoxes. Il consid\u00e8re qu\u2019on fait n\u2019importe quoi en math\u00e9matiques et il dit\u00a0: \u00ab\u00a0On va \u00e9liminer, on va \u00e9liminer ou si pas \u00e9liminer, on va restreindre le champ d\u2019exercice de l\u2019intuition du math\u00e9maticien\u00a0\u00bb. Et qu\u2019est-ce que c\u2019est\u00a0? Moi, je viens de dire ce que c\u2019est, cette intuition. Cette intuition, c\u2019est l\u2019intuition du monde physique, des choses qui sont possibles, du math\u00e9maticien dont il n\u2019a pas la ma\u00eetrise : qu\u2019il ne se rend pas compte que c\u2019est cela qui se passe dans son intuition. C\u2019est une bo\u00eete noire \u00e0 ses yeux et du coup, il ne sait pas ce qui s\u2019y passe exactement. Et qu\u2019est-ce qu\u2019il y a dans cette intuition\u00a0? Il y a sa compr\u00e9hension du monde physique autour de nous qui revient comme \u00e7a et qui lui donne une ligne de conduite \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de son exploration suppos\u00e9e qui est en fait son invention de certaines choses.<\/p>\n<p class=\"p2\">Bon, alors, il y a un petit paradoxe dans le fait qu\u2019Hilbert est lui un platonicien mais il va en m\u00eame temps, je dirais, d\u00e9finir le programme des math\u00e9matiques comme le voudraient les empiristes ou les antir\u00e9alistes. Qu\u2019est-ce qu\u2019il va dire\u00a0? Il va dire\u00a0: \u00ab\u00a0Eliminons \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur des math\u00e9matiques le recours \u00e0 l\u2019intuition. D\u00e9finissons un langage. D\u00e9finissons les propositions qu\u2019on peut produire de mani\u00e8re valide, l\u00e9gitime, \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de ce langage et restons \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de cela et s\u2019il faut faire des consid\u00e9rations suppl\u00e9mentaires, appelons \u00e7a non pas math\u00e9matiques mais \u00ab\u00a0m\u00e9tamath\u00e9matiques\u00a0\u00bb et, dit-il, il y a bien un moment o\u00f9\u2026\u00a0\u00bb et l\u00e0, il y a une certaine confusion chez lui dans le terme d\u2019intuition parce qu\u2019il renvoie \u00e0 la fois \u00e0 ce que nous appelons l\u2019intuition, c\u2019est-\u00e0-dire la bo\u00eete noire des d\u00e9cisions que nous prenons sans comprendre exactement comment \u00e7a marche et intuition au sens de ce qui contient la perception, la simple perception. Il dit\u00a0: \u00ab\u00a0Bon, il y a bien un moment en amont o\u00f9 il y a simplement, je dirais, au lieu de l\u2019intuition, il y a bien de la perception\u00a0\u00bb. L\u00e0, on est d\u2019accord mais maintenons \u00e7a dans ce que nous appelons m\u00e9tamath\u00e9matiques, voil\u00e0, et on va s\u00e9parer les deux et on va faire des math\u00e9matiques dans un champ extr\u00eamement restreint, d\u2019un langage qu\u2019on a d\u00e9fini, des propositions qui sont valides, des propositions qu\u2019on peut d\u00e9river \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de cela par des d\u00e9monstrations dont\u00a0<span class=\"s1\">on donne les r\u00e8gles pr\u00e9cises,<\/span> <span class=\"s1\">etc<\/span>. : le programme de Hilbert.<\/p>\n<p class=\"p2\">Et alors, qu\u2019est-ce qui va se passer\u00a0? Et en fait, il y a un parall\u00e8le, il y a un parall\u00e8le entre ce que je vais dire maintenant sur ce qui va se passer et ce qui s\u2019est pass\u00e9 au 16<span class=\"s2\"><sup>\u00e8me<\/sup><\/span> si\u00e8cle avec l\u2019apparition de gens comme Kepler, comme Galil\u00e9e. Ils vont faire un coup de force. Un coup de force, c\u2019est-\u00e0-dire qu\u2019ils vont remettre en question un certain nombre de choses qui avaient \u00e9t\u00e9 \u00e9tablies par la scolastique, c\u2019est-\u00e0-dire la distinction entre parler du r\u00e9el &#8211; c\u2019est-\u00e0-dire le monde tel qu\u2019il est, voil\u00e0, d\u2019une certaine mani\u00e8re inconnaissable puisque, comme l\u2019avait dit Kant, nous sommes outill\u00e9s pour comprendre une partie de ce monde mais nous ne sommes probablement pas outill\u00e9s pour comprendre le tout &#8211; et ce qu\u2019on appelait la \u00ab\u00a0r\u00e9alit\u00e9 objective\u00a0\u00bb qui est une description dont les platoniciens du d\u00e9part, les n\u00e9o-platoniciens, avaient bien compris que c\u2019\u00e9tait une repr\u00e9sentation, que ce n\u2019est pas le R\u00e9el lui-m\u00eame, que la \u00ab\u00a0r\u00e9alit\u00e9 objective\u00a0\u00bb, c\u2019est la partie de ce R\u00e9el que nous pouvons appr\u00e9hender par nos raisonnements de type logique et par les math\u00e9matiques. Et donc, il y a un reste, il y a une diff\u00e9rence. Si vous faites R\u00e9el [\u00ab\u00a0\u00catre-donn\u00e9\u00a0\u00bb], c\u2019est-\u00e0-dire, voil\u00e0, le monde tel qu\u2019il est, moins \u00ab\u00a0r\u00e9alit\u00e9 objective\u00a0\u00bb, il y a un reste, il y a un reste, il y a une partie qu\u2019on ne peut pas comprendre. Par exemple, Ren\u00e9 Thom dira\u00a0: \u00ab\u00a0Nous sommes dans un monde \u00e0 4 dimensions qui appara\u00eet non-d\u00e9terministe\u00a0mais le monde en r\u00e9alit\u00e9 a davantage de dimensions que cela et donc, la partie qui manque c\u2019est, disons, N le nombre inconnu de dimensions &#8211; 4\u00a0\u00bb. Le reste, c\u2019est ce qui n\u2019est pas per\u00e7u, c\u2019est le N-4, c\u2019est les dimensions auxquelles nous n\u2019avons pas acc\u00e8s dans la perspective de Ren\u00e9 Thom.<\/p>\n<p class=\"p2\">Bon, alors Hilbert propose son programme. On va faire des math\u00e9matiques et l\u00e0, \u00e0 tout moment, on ne parle pas de l\u2019intuition. On ne parle pas de \u00ab\u00a0sens commun\u00a0\u00bb comme le fera Turing dans son article de 1954. On ne dira pas\u00a0: \u00ab\u00a0Il y a des choses que la raison ne peut pas percevoir\u00a0\u00bb dans la conclusion aussi de l\u2019article de 1954 de Turing. Non, on fait des math\u00e9matiques dans le cadre : c\u2019est un jeu, comme aux \u00e9checs. Aux \u00e9checs, on ne peut pas mettre deux pi\u00e8ces dans la m\u00eame case, des choses de cet ordre-l\u00e0 : on ne peut pas d\u00e9cider d\u2019enlever certaines de ses propres pi\u00e8ces provisoirement de l\u2019\u00e9chiquier si elles n\u2019ont pas \u00e9t\u00e9 prises par l\u2019adversaire et ainsi de suite. Programme de Hilbert en 1900.<\/p>\n<p class=\"p2\">Et vont appara\u00eetre, comme les Galil\u00e9e, comme les Tycho-Brah\u00e9, comme les Kepler, un certain nombre de gens qui ne vont pas respecter les r\u00e8gles qui existaient jusque-l\u00e0. Je les appelle des jeunes turcs dans <i>Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i>\u00a0\u00bb. On va voir appara\u00eetre en math\u00e9matiques, vis-\u00e0-vis de ce programme de Hilbert, on va voir appara\u00eetre des jeunes turcs, essentiellement Kurt G\u00f6del, Alonzo Church, Stephen Kleene, et Alan Turing. Ce sont les gens qui vont dire qu\u2019ils ont montr\u00e9 que le programme de Hilbert n\u2019\u00e9tait pas faisable, r\u00e9alisable. Ils vont montrer qu\u2019il y a des incoh\u00e9rences. Ils vont montrer que l\u2019arithm\u00e9tique est incompl\u00e8te comme c\u2019est le cas pour G\u00f6del mais, que vont-ils faire, que vont-ils faire pour le faire\u00a0? Ils ne vont pas respecter les r\u00e8gles du jeu qu\u2019avait d\u00e9fini Hilbert. Il y aura un recours syst\u00e9matique \u00e0 l\u2019intuition. Ils introduiront, comme le fera Turing, un \u00ab\u00a0oracle\u00a0\u00bb qui est une bo\u00eete noire pour des probl\u00e8mes qu\u2019on ne sait pas comment r\u00e9soudre mais on va faire provisoirement comme s\u2019il y avait, voil\u00e0, une bo\u00eete noire qu\u2019on pouvait mettre-l\u00e0 et \u00e7a va nous permettre de d\u00e9finir diff\u00e9rents degr\u00e9s d\u2019insolvabilit\u00e9 de probl\u00e8mes, etc.<\/p>\n<p class=\"p2\">On va utiliser les paradoxes de mani\u00e8re syst\u00e9matique. On va invoquer ces paradoxes et on va dire\u00a0: \u00ab\u00a0C\u2019est la preuve de quelque chose\u00a0\u00bb et c\u2019est exactement la chose que Hilbert avait prohib\u00e9e. C\u2019\u00e9tait parce qu\u2019il y avait ces paradoxes, parce qu\u2019on avait permis ces paradoxes\u2026 Je vais dire ce que c\u2019est, ces paradoxes. C\u2019est parce qu\u2019il y avait ces paradoxes qu\u2019Hilbert a \u00e9tabli son programme. Or, que font les jeunes turcs Church, Kleene, Turing, G\u00f6del\u00a0? Ils font un recours massif \u00e0 ces paradoxes. Ils consid\u00e8rent &#8211; moi j\u2019ai appel\u00e9 \u00e7a l\u2019autre jour, il faut appeler \u00e7a \u00ab\u00a0quitter la route\u00a0\u00bb. Qu\u2019est-ce que \u00e7a prouve\u00a0? \u00c7a ne prouve rien du tout. J\u2019avais dit\u00a0: \u00ab\u00a0\u00c7a prouve simplement que le gars ne sait pas conduire\u00a0\u00bb. Dans le cadre d\u00e9fini par Hilbert, ils montrent qu\u2019ils ne savent pas conduire mais ils vont affirmer qu\u2019ils ont remis en cause une fois pour toute le programme de Hilbert en ne le respectant pas.<\/p>\n<p class=\"p2\">Qu\u2019est-ce qui leur permet de faire \u00e7a\u00a0? C\u2019est parce qu\u2019il y a un platonisme sous-jacent. Ils vont utiliser des modes de preuve qui sont de bonne qualit\u00e9 selon Aristote, d\u2019autres, de tr\u00e8s mauvaise qualit\u00e9 selon Aristote, des choses qu\u2019on ne devrait jamais introduire dans une d\u00e9monstration math\u00e9matique parce qu\u2019ils ne font pas la distinction entre les diff\u00e9rents types d\u2019arguments et la qualit\u00e9 convaincante, persuasive, de conviction de ces types d\u2019arguments. Pourquoi est-ce qu\u2019ils ne le font pas\u00a0? Parce qu\u2019ils sont platoniciens, c\u2019est-\u00e0-dire que, comme ils d\u00e9couvrent un monde &#8211; que vous d\u00e9couvriez une nouvelle esp\u00e8ce de coccinelle dans la jungle amazonienne parce que vous \u00e9tiez parti dans une exp\u00e9dition qui avait co\u00fbt\u00e9 un million \u00e0 pr\u00e9parer pour rechercher cette coccinelle ou que vous la d\u00e9couvriez par hasard, en-dessous d\u2019une feuille, \u00e7a n\u2019a pas d\u2019importance, vous avez trouv\u00e9 cette coccinelle &#8211; et c\u2019est \u00e7a qu\u2019ils vont faire. Tous les proc\u00e9d\u00e9s sont bons, tous les proc\u00e9d\u00e9s sont bons pour prouver que le programme d\u2019Hilbert ne peut pas \u00eatre respect\u00e9. R\u00e9sultat, c\u2019est que, quand on commence \u00e0 poser\u2026 comme par exemple quand Stephen Cook produit son th\u00e9or\u00e8me, il le fait dans un cadre o\u00f9 on consid\u00e8re d\u00e9j\u00e0 comme admis les r\u00e9sultats de G\u00f6del, les r\u00e9sultats de Church, de Kleene et de Turing. C\u2019est dans un cadre o\u00f9 on n\u2019a pas respect\u00e9 le cadre qu\u2019avait d\u00e9fini Hilbert pour son programme mais on consid\u00e8re n\u00e9anmoins que le programme d\u2019Hilbert est irr\u00e9alisable alors qu\u2019on est en infraction totale avec la d\u00e9finition qu\u2019il avait donn\u00e9e du probl\u00e8me.<\/p>\n<p class=\"p2\">Alors, quand appara\u00eet le probl\u00e8me \u00ab\u00a0P vs NP\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0P et NP\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0est-ce que P est \u00e9gal \u00e0 NP\u00a0\u00bb, \u00e7a appara\u00eet dans un cadre &#8211; on est en 1971 avec le th\u00e9or\u00e8me de Cook &#8211; o\u00f9 tous les proc\u00e9d\u00e9s utilis\u00e9s par mes jeunes turcs Church, Kleene, Turing, G\u00f6del &#8211; je ne vais pas tout le temps r\u00e9p\u00e9ter la m\u00eame liste &#8211;<span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0 <\/span>il est consid\u00e9r\u00e9 comme admissible ce qu\u2019ils ont fait.<\/p>\n<p class=\"p2\">Qu\u2019est-ce \u00e7a pose\u00a0? \u00c7a pose le probl\u00e8me de la validit\u00e9 de ce qu\u2019ils consid\u00e8rent avoir \u00e9tabli. G\u00f6del, dans son second th\u00e9or\u00e8me, consid\u00e8re avoir \u00e9tabli l\u2019incompl\u00e9tude de l\u2019arithm\u00e9tique et l\u00e0, qu\u2019est-ce que j\u2019ai fait dans mon livre <i>Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es,<\/i> j\u2019ai pris syst\u00e9matiquement la d\u00e9monstration de G\u00f6del, de son th\u00e9or\u00e8me, et, bon, j\u2019avais une bo\u00eete \u00e0 outils dont <span class=\"s3\">je rappelle les \u00e9l\u00e9ments principaux\u00a0: la critique de Perelman qui, donc, fut mon <\/span>professeur de philosophie \u00e0 Bruxelles, grand logicien qui avait critiqu\u00e9 la d\u00e9monstration de G\u00f6del en mettant en \u00e9vidence que, voil\u00e0, il avait r\u00e9introduit les paradoxes que Hilbert avait voulu qu\u2019on n\u2019utilise pas, la critique de Georges-Th\u00e9odule Guilbaud qui f\u00fbt mon professeur \u00e0 l\u2019Ecole pratique des hautes \u00e9tudes qui est, lui, math\u00e9maticien et, lui, ce qu\u2019il reprochait essentiellement au th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del, c\u2019est que, justement, comme ce que j\u2019ai dit pour la diagonalisation, on travaille avec des d\u00e9finitions boiteuses. <em>On dit\u00a0: \u00ab\u00a0Voil\u00e0, je m\u2019int\u00e9resse aux nombres que j\u2019ai d\u00e9finis de telle mani\u00e8re\u00a0\u00bb mais en fait, c\u2019est une d\u00e9finition incompl\u00e8te. On n\u2019a pas dit v\u00e9ritablement tous les nombres qui seraient inclus dans \u00e7a ou bien on en donne une d\u00e9finition purement dynamique et \u00e7a renvoie \u00e0 la discussion classique \u00e0 la fin du 19<span class=\"s2\"><sup>\u00e8me<\/sup><\/span> sur l\u2019infini. C\u2019est quoi l\u2019infini\u00a0? Est-ce que c\u2019est une vraie cat\u00e9gorie qu\u2019on peut manipuler ou bien est-ce qu\u2019il n\u2019y a jamais\u2026 On reprend la distinction entre un infini en acte et un infini en puissance. Bon, on utilise les cat\u00e9gories aristot\u00e9liciennes de <span class=\"s1\">l\u2019en puissance<\/span> et de <span class=\"s1\">l\u2019en l\u2019acte<\/span> et il y a confusion entre un infini en puissance et un infini en acte, c\u2019est-\u00e0-dire qui est en train v\u00e9ritablement de se r\u00e9aliser. Un infini en acte n\u2019est en r\u00e9alit\u00e9 pas r\u00e9alisable puisqu\u2019on ne peut pas faire une \u00e9num\u00e9ration. Il n\u2019y a pas de d\u00e9finition en extension, par la liste compl\u00e8te, par l\u2019\u00e9num\u00e9ration compl\u00e8te des nombres puisque la d\u00e9finition m\u00eame du nombre infini est que cette op\u00e9ration ne pourra pas \u00eatre termin\u00e9e, voil\u00e0, elle ne s\u2019arr\u00eatera jamais. <\/em><\/p>\n<p class=\"p2\">Alors, o\u00f9 est-ce que \u00e7a nous m\u00e8ne vis-\u00e0-vis du probl\u00e8me P et NP\u00a0? Il est b\u00e2ti enti\u00e8rement sur le fait que, voil\u00e0, que mes 4 jeunes turcs auraient eu raison, auraient d\u00e9truit le programme de Hilbert. En fait, le programme de Hilbert, il a une faiblesse bien entendu, c\u2019est qu\u2019il dit\u00a0: \u00ab\u00a0On va quand m\u00eame garder l\u2019intuition. On ne peut pas s\u2019en passer dans les m\u00e9tamath\u00e9matiques\u00a0\u00bb mais je crois qu\u2019il y a moyen de restreindre, m\u00eame dans les m\u00e9tamath\u00e9matiques, m\u00eame dans la description de ce qui est fait, il y a moyen de restreindre le recours \u00e0 des proc\u00e9d\u00e9s dont on ne peut pas d\u00e9terminer v\u00e9ritablement la nature. Quelle est la plus grande faiblesse\u00a0? Bon, il y en a plusieurs et l\u00e0, dans mon d\u00e9montage de la d\u00e9monstration de G\u00f6del, je mets en \u00e9vidence tous les proc\u00e9d\u00e9s. Une des faiblesses, je viens de la mentionner, c\u2019est qu\u2019en fait, <em>on parle d\u2019ensembles dont les termes ne sont pas d\u00e9finis de mani\u00e8re sans ambig\u00fcit\u00e9. On d\u00e9finit par exemple des suites qui sont en train encore de se constituer quand on en parle, dont on n\u2019a pas encore trouv\u00e9 tous les \u00e9l\u00e9ments et dont parfois on ne sait pas exactement comment on va encore trouver les \u00e9l\u00e9ments suppl\u00e9mentaires et alors, on a la grande surprise dans la diagonalisation qu\u2019on trouve des nombres auxquels on n\u2019avait pas pens\u00e9 mais qui auraient d\u00fb \u00eatre dans la liste du d\u00e9part. Il y a confusion.<\/em> L\u2019autre grande difficult\u00e9, c\u2019est qu\u2019il y a confusion entre plusieurs niveaux et \u00e7a, on le savait d\u00e9j\u00e0, on l\u2019avait d\u00e9j\u00e0 dit quand on s\u2019\u00e9tait int\u00e9ress\u00e9 au paradoxe de Russell sur l\u2019ensemble qui contient tous les ensembles qui parlent d\u2019eux-m\u00eames, etc., quand on fait de l\u2019autor\u00e9f\u00e9rence, quand on parle de soi-m\u00eame comme dans le paradoxe du cr\u00e9tois. Epim\u00e9nide dit que les Cr\u00e9tois sont des menteurs. Or, Epim\u00e9nide est un Cr\u00e9tois, donc il est un menteur lui-m\u00eame, donc quel statut attribuer \u00e0 ce qu\u2019il dit sur les Cr\u00e9tois et \u00e0 ce qu\u2019il dit en g\u00e9n\u00e9ral\u00a0?<\/p>\n<p class=\"p2\">Dans ma critique de G\u00f6del, je mets en \u00e9vidence l\u2019autre grande difficult\u00e9. C\u2019est une confusion entre syntaxe et s\u00e9mantique. L\u2019exemple le plus simple que je donne c\u2019est un enfant \u00e0 qui on dit\u00a0: \u00ab\u00a0Il faut trouver une petite pi\u00e8ce\u00a0\u00bb et il trouve la petite pi\u00e8ce mais dans la m\u00eame bo\u00eete o\u00f9 il y a la petite pi\u00e8ce, il y a un petit billet qui dit\u00a0: \u00ab\u00a0Tu n\u2019as pas trouv\u00e9 la pi\u00e8ce\u00a0\u00bb et l\u2019enfant montre \u00e7a \u00e0 ses parents et, selon Church, Kleene, Turing, il y aurait une contradiction puisqu\u2019il aurait trouv\u00e9 la pi\u00e8ce et il n\u2019aurait pas trouv\u00e9 la pi\u00e8ce mais il y a un statut tout \u00e0 fait diff\u00e9rent dans les deux \u00e9l\u00e9ments qu\u2019on a. Il y a, d\u2019une part, le fait que l\u2019enfant a vraiment trouv\u00e9 la pi\u00e8ce. Il a la pi\u00e8ce en main. Et d\u2019autre part, il a simplement un bout de papier o\u00f9 il est \u00e9crit qu\u2019il n\u2019a pas trouv\u00e9 la pi\u00e8ce. C\u2019est pas la m\u00eame chose et dans le monde dans lequel nous sommes, l\u2019\u00e9l\u00e9ment qui doit primer, c\u2019est le fait qu\u2019il a trouv\u00e9 la pi\u00e8ce. Le commentaire qui est fait sur le bout de papier est un commentaire faux. Ce n\u2019est pas une vraie description de la situation.<\/p>\n<p class=\"p2\">Alors que fait par exemple G\u00f6del\u00a0? Il fait un ensemble d\u2019op\u00e9rations sur des formules qu\u2019on peut produire, qui sont des formules valides, et il produit une formule valide et il va l\u2019interpr\u00e9ter, c\u2019est-\u00e0-dire lui donner un sens. Il ne va pas l\u2019interpr\u00e9ter de la mani\u00e8re qui est consid\u00e9r\u00e9e comme l\u2019interpr\u00e9tation de type classique en math\u00e9matiques, c\u2019est-\u00e0-dire d\u2019attribuer \u00e0 X ou Y des nombres, des valeurs. Quand je dis A + B = C, je peux interpr\u00e9ter ma formule en disant A, c\u2019est 3, B, c\u2019est 2 et C, c\u2019est 5 parce que ma formule qui \u00e9tait A + B = C, je l\u2019interpr\u00e8te comme 2 + 3 = 5. \u00c7a, c\u2019est une interpr\u00e9tation mais il y a un autre type d\u2019interpr\u00e9tation et l\u00e0, il y a v\u00e9ritablement une escroquerie de G\u00f6del, c\u2019est qu\u2019il va faire un codage. Il va prendre sa formule qui est une formule non-interpr\u00e9t\u00e9e. C\u2019est X + Y machin, etc. Il ne va pas l\u2019interpr\u00e9ter en attribuant des valeurs aux variables, A, C, X, Y, il va op\u00e9rer un codage. Il va prendre sa formule et il va inventer un code qui va transformer sa formule en une affirmation \u00ab\u00a0je suis vraie\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0je suis fausse\u00a0\u00bb. C\u2019est pas une interpr\u00e9tation au sens classique, c\u2019est un codage, c\u2019est un encodage. Il va s\u2019amuser \u00e0 trouver un langage qui va lui permettre de dire\u00a0: \u00ab\u00a0Si j\u2019\u00e9cris X, Y, Z, etc., je le code en ce que je dis-l\u00e0 est vrai ou c\u2019est faux\u00a0\u00bb. C\u2019est une astuce, c\u2019est une astuce parce que la capacit\u00e9 \u00e0 dire qu\u2019une formule est vraie ou elle est fausse, elle est donn\u00e9e par un certain nombre de proc\u00e9dures et c\u2019est un \u00eatre humain jusqu\u2019ici &#8211; \u00e7a peut \u00eatre une machine aussi maintenant, une machine intelligente &#8211; qui va v\u00e9rifier si la proc\u00e9dure a bien \u00e9t\u00e9 appliqu\u00e9e, c\u2019est-\u00e0-dire que la personne \u00e0 qui on demandera de justifier que ce soit vrai ou faux pourra donner sa d\u00e9monstration comment elle est arriv\u00e9e l\u00e0, tandis que la petite languette de papier o\u00f9 il est dit\u00a0: \u00ab\u00a0Tu ne m\u2019as pas trouv\u00e9e\u00a0\u00bb ou l\u2019encodage qui dit\u00a0: \u00ab\u00a0Cette proposition est fausse\u00a0\u00bb, elle n\u2019a pas la capacit\u00e9 de dire comme elle est arriv\u00e9e \u00e0 cette conclusion. \u00c7a, je crois l\u2019avoir bien mis en \u00e9vidence dans <i>Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es<\/i>. Ce n\u2019est pas la m\u00eame chose, ce n\u2019est pas la m\u00eame chose.<\/p>\n<p class=\"p2\">Dans l\u2019article de 1936 de Turing sur les nombres \u00e9num\u00e9rables, qu\u2019est-ce qu\u2019il utilisait comme proc\u00e9d\u00e9\u00a0? Il utilise la diagonalisation. Bon, dans le papier de 1954 qui s\u2019adresse \u00e0 un plus grand public, qu\u2019est-ce qu\u2019il utilise\u00a0? Il utilise la confusion entre syntaxe et s\u00e9mantique. Qu\u2019est-ce qu\u2019il fait\u00a0? Il donne deux d\u00e9finitions. Le cas 1, c\u2019est le cas o\u00f9 \u00e0 la fin de la formule, on va trouver B. Et le cas 2, c\u2019est le type de probl\u00e8me dans lequel on va trouver comme solution \u00e0 la fin W. Il fait une d\u00e9monstration \u00e0 partir de \u00e7a. Il a d\u00e9fini \u00e7a comme axiome. Il va faire une d\u00e9monstration et dans sa d\u00e9monstration, il va montrer qu\u2019en fait non, dans le cas 1, c\u2019est W qu\u2019on trouve et dans le cas 2, c\u2019est B et il va dire\u00a0: \u00ab\u00a0Il y a une contradiction\u00a0\u00bb. Voil\u00e0, du coup, \u00e7a ne marche pas, du coup, on ne peut pas d\u00e9finir une proc\u00e9dure qui va pouvoir dire si un probl\u00e8me est soluble ou s\u2019il ne l\u2019est pas.<\/p>\n<p class=\"p2\">Qu\u2019est-ce qui s\u2019est pass\u00e9-l\u00e0\u00a0? S\u00e9mantique et syntaxe. Quand il arrive \u00e0 dire que le cas 1 d\u00e9bouche sur W, qui est le contraire de ce qu\u2019il affirmait dans sa d\u00e9finition, c\u2019est \u00e0 la suite d\u2019une d\u00e9monstration qu\u2019il vient de faire. D\u2019accord, c\u2019est dans un th\u00e9or\u00e8me : un th\u00e9or\u00e8me a prouv\u00e9 que le r\u00e9sultat pour 1, c\u2019est W et pour 2, c\u2019est B. Il d\u00e9montre qu\u2019au cas 1 correspond W et qu\u2019au cas 2 correspond B, ce qui est le contraire de ce qu\u2019il avait mis \u00e0 son point de d\u00e9part. Mais son point de d\u00e9part, ce n\u2019\u00e9tait pas un th\u00e9or\u00e8me : c\u2019\u00e9tait une d\u00e9finition qu\u2019on appelle en math\u00e9matiques un \u00ab\u00a0axiome\u00a0\u00bb. Ce qui veut dire que c\u2019\u00e9tait une affirmation gratuite. Elle n\u2019est pas gratuite dans la mesure o\u00f9 on pourrait dire qu\u2019il y a des cons\u00e9quences qui en d\u00e9coulent. Mais dans sa d\u00e9monstration, il n\u2019utilise pas du tout le fait qu\u2019il a dit que c\u2019\u00e9tait B pour le cas 1 et W pour l\u2019autre, il ne l\u2019utilise pas : c\u2019est un truc qui est \u00e9crit l\u00e0, c\u2019est du m\u00eame niveau que la petite languette de papier dans la bo\u00eete qu\u2019ouvre l\u2019enfant qui dit\u00a0: \u00ab\u00a0En fait, tu n\u2019as pas trouv\u00e9 la pi\u00e8ce\u00a0\u00bb. C\u2019est du m\u00eame niveau que \u00e7a. Il n\u2019y a pas moyen de le justifier : c\u2019est introduit dans une d\u00e9finition et ce n\u2019est pas utilis\u00e9.<\/p>\n<p class=\"p2\">Bon, il faudrait que j\u2019en sois enti\u00e8rement s\u00fbr. Il faut que je refasse enti\u00e8rement la d\u00e9monstration mais je mettrai ma t\u00eate (avec ma main) \u00e0 couper, ma t\u00eate \u00e0 couper \u00e0 ce stade-ci de ma r\u00e9flexion qu\u2019il ne l\u2019utilise pas dans sa d\u00e9monstration et, par cons\u00e9quent, c\u2019est absolument indiff\u00e9rent qu\u2019il ait mis le bon r\u00e9sultat au d\u00e9part. Pourquoi est-ce qu\u2019il fait \u00e7a\u00a0? Pourquoi est-ce qu\u2019il croit qu\u2019il peut le faire\u00a0? Parce qu\u2019il est platonicien, parce qu\u2019il croit qu\u2019il d\u00e9couvre un monde comme un monde o\u00f9 on d\u00e9couvre de nouvelles coccinelles. Et voil\u00e0 : il ne prend pas au s\u00e9rieux le programme d\u2019Hilbert. Il ne prend pas au s\u00e9rieux le fait qu\u2019il est enti\u00e8rement li\u00e9 aux d\u00e9finitions qu\u2019il donne et de savoir s\u2019il est au niveau qu\u2019Hilbert appellerait math\u00e9matique ou s\u2019il est au niveau qu\u2019Hilbert appellerait m\u00e9tamath\u00e9matique. Bon, \u00e7a fait partie des choses que ces Kleene, Church, G\u00f6del et Turing font. Ils n\u2019utilisent plus du tout la distinction entre math\u00e9matiques et m\u00e9tamath\u00e9matiques donc, de fait, ils ne peuvent pas r\u00e9futer le programme d\u2019Hilbert.<\/p>\n<p class=\"p2\">Alors, quand on s\u2019int\u00e9resse maintenant au probl\u00e8me P et NP, on est dans un univers o\u00f9 les platoniciens ont gagn\u00e9 pour toute la d\u00e9finition de d\u00e9part. Donc, quand Cook commence son th\u00e9or\u00e8me et qu\u2019il dit\u00a0: \u00ab\u00a0Je peux utiliser la notion d\u2019oracle de Turing, etc.\u00a0\u00bb, les d\u00e9s sont pip\u00e9s. Les d\u00e9s sont pip\u00e9s : on est dans un monde math\u00e9matique incontr\u00f4lable, on ne sait plus si on est au niveau s\u00e9mantique ou au niveau syntaxique. On utilise des proc\u00e9d\u00e9s qui devraient simplement montrer que la d\u00e9finition de d\u00e9part n\u2019\u00e9tait pas la bonne. Si on parle de toute la suite des nombres et qu\u2019on en trouve encore d\u2019autres, c\u2019est parce qu\u2019en r\u00e9alit\u00e9 la d\u00e9finition n\u2019\u00e9tait pas bonne. C\u2019est pour \u00e7a qu\u2019on d\u00e9couvre des nombres qu\u2019on avait oubli\u00e9s. On les avait oubli\u00e9s, il faut les remettre dans la liste, il faut refaire la liste, il faut refaire la d\u00e9finition pour en tenir compte, pas consid\u00e9rer qu\u2019on a d\u00e9couvert des nouveaux continents inconnus ou des plan\u00e8tes inconnues ou des \u00e9toiles inconnues comme l\u2019a fait Cantor.<\/p>\n<p class=\"p2\">Alors, qu\u2019est-ce que \u00e7a dit de la solution au point o\u00f9 j\u2019en suis\u00a0? Qu\u2019est-ce que \u00e7a dit de la solution de P et NP\u00a0? Eh bien, \u00e7a ne dit rien du tout. \u00c7a dit que les r\u00e8gles du jeu sont inutilisables. Alors je r\u00e9pare avec <span class=\"s1\">Yu Li<\/span> avec qui je travaille l\u00e0-dessus. On n\u2019aura pas un million de dollars puisque le probl\u00e8me de r\u00e9soudre P et NP, c\u2019est selon la mani\u00e8re dont il a \u00e9t\u00e9 d\u00e9fini jusqu\u2019ici, c\u2019est-\u00e0-dire apr\u00e8s la contre-r\u00e9volution. Ce n\u2019est pas une r\u00e9volution, c\u2019est une contre-r\u00e9volution. <em>Apr\u00e8s la contre-r\u00e9volution des 4 jeunes turcs contre le programme de Hilbert, qu\u2019est-ce qu\u2019il faudrait faire ? Il faudrait revenir au programme de Hilbert : poser le probl\u00e8me, voil\u00e0 : des solutions de type polynomial, poser la question de la recherche exhaustive sur un \u00e9chantillon qui ne peut pas \u00eatre infini parce qu\u2019on ne peut pas faire de recherche exhaustive sur un \u00e9chantillon qui est d\u00e9fini comme infini, etc., c\u2019est-\u00e0-dire avoir un probl\u00e8me d\u00e9fini de mani\u00e8re claire sans recours \u00e0 l\u2019intuition<\/em>, sans dire comme Turing : \u00ab Ah oui, eh bien, finalement, on voit bien qu\u2019il faudra faire appel au sens commun parce que la raison ne suffit pas pour expliquer ce que je viens de dire \u00bb. <i>T\u2019es plus dans le programme de Hilbert mon gars si tu dis que tu sais pas exactement ce que tu es en train de faire ! <\/i>et c\u2019est ce qu\u2019on peut voir, c\u2019est que, et dans le texte de 1936, et dans le texte de 1954, les r\u00e8gles ne sont pas pr\u00e9cises, et c\u2019est pour \u00e7a qu\u2019\u00e0 tout moment, on peut, voil\u00e0, botter en touche, on peut envoyer le ballon en dehors du terrain et dire\u00a0: \u00ab\u00a0\u00c7a prouve que le terrain \u00e9tait mal d\u00e9fini !\u00a0\u00bb. Non, non, c\u2019est parce que toi, tu n\u2019as pas bien shoot\u00e9, c\u2019est pour \u00e7a que tu te retrouves en-dehors. Il faut revenir \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur.<\/p>\n<p class=\"p2\">Voil\u00e0, ce n\u2019est pas une conclusion d\u00e9finitive, c\u2019est un point d\u2019\u00e9tape sur ce travail que nous avons fait ensemble <span class=\"s1\">Yu Li<\/span> et moi, au point o\u00f9 nous en sommes arriv\u00e9s apr\u00e8s les efforts qui repr\u00e9sentent 8, 9 ou 10 semaines d\u2019effort. Ce n\u2019est pas termin\u00e9 mais je crois que j\u2019ai balis\u00e9 la mani\u00e8re dont il faudra dire ce que nous pourrons dire par la suite.<\/p>\n<p class=\"p3\">Voil\u00e0, allez\u2026 Je ne sais pas si je dis \u00ab\u00a0\u00c0 bient\u00f4t\u00a0\u00bb comme quand c\u2019est des vid\u00e9os que je montre \u00e0 tout le monde. L\u00e0, je ne sais pas o\u00f9 on en est. Allez\u2026<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<blockquote>\n<p><em>Pour une raison X ou Y j&rsquo;ai oubli\u00e9 \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque de mettre en ligne la retranscription de <a href=\"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2021\/03\/14\/video-p-vs-np-deuxieme-episode\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">cette vid\u00e9o<\/a>. Je la retrouve \u00e0 l&rsquo;occasion de la r\u00e9daction en ce moment de mes conclusions sur la conjecture P vs NP. 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