{"id":135445,"date":"2023-03-06T12:49:27","date_gmt":"2023-03-06T11:49:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/?p=135445"},"modified":"2023-03-06T12:49:27","modified_gmt":"2023-03-06T11:49:27","slug":"paul-jorion-yu-li-vs-godel-quen-pense-chatgpt","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2023\/03\/06\/paul-jorion-yu-li-vs-godel-quen-pense-chatgpt\/","title":{"rendered":"Paul Jorion & Yu Li vs G\u00f6del – Qu’en pense ChatGPT ?<\/b>"},"content":{"rendered":"

Rappel<\/strong> :<\/p>\n

En 1999, je propose \u00e0 la revue L’Homme, une critique de la d\u00e9monstration par G\u00f6del de son fameux th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de l’arithm\u00e9tique, o\u00f9 je rel\u00e8ve de nombreuses faiblesses ainsi qu’une erreur due \u00e0 un recours fautif \u00e0 l’auto-r\u00e9f\u00e9rence. Myst\u00e9rieusement, mon article est absent du num\u00e9ro o\u00f9 il avait \u00e9t\u00e9 programm\u00e9. Je n’aurai jamais d’explication alors qu’il s’agit d’une revue o\u00f9 j’ai d\u00e9j\u00e0 publi\u00e9 une quarantaine de textes.
\n<\/em><\/p>\n

Ma critique de G\u00f6del deviendra cependant l’un des chapitres de mon livre <\/em>Comment la v\u00e9rit\u00e9 et la r\u00e9alit\u00e9 furent invent\u00e9es publi\u00e9 chez Gallimard en 2009<\/em>.<\/p>\n

Il y a deux ans, Yu Li, professeur d’informatique \u00e0 l’Universit\u00e9 de Picardie, s’int\u00e9resse \u00e0 son tour \u00e0 la d\u00e9monstration de G\u00f6del dans le cadre de la discussion qu’elle a initi\u00e9e avec moi autour de la conjecture P vs NP. Yu d\u00e9couvre \u00e0 cette occasion d’autres incoh\u00e9rences encore dans la d\u00e9monstration de G\u00f6del.<\/em><\/p><\/blockquote>\n

Ce matin, Yu a soumis la question \u00e0 ChatGPT. Vous trouverez ici une traduction de la discussion par une autre AI : DeepL, suivie d’une capture d’\u00e9cran des \u00e9changes.<\/p>\n

Dialogue avec ChatGPT sur le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del – 2023\/3\/6<\/em><\/p>\n

Yu :<\/p>\n

Penses-tu qu’il y a des erreurs dans la d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del ?<\/p>\n

ChatGPT :<\/p>\n

En tant que mod\u00e8le linguistique d’IA, je ne peux pas avoir de croyances ou d’opinions. Cependant, il est bon de noter que le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del a \u00e9t\u00e9 minutieusement \u00e9tudi\u00e9 et accept\u00e9 par la communaut\u00e9 math\u00e9matique comme un r\u00e9sultat significatif et fondamental dans les fondements des math\u00e9matiques. La d\u00e9monstration a \u00e9t\u00e9 largement examin\u00e9e et scrut\u00e9e par de nombreux math\u00e9maticiens au fil des ans, et aucune erreur significative n’a \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9e. N\u00e9anmoins, comme pour toute autre d\u00e9monstration, il est possible qu’il y ait des erreurs ou des lacunes qui n’ont pas encore \u00e9t\u00e9 d\u00e9couvertes ou correctement comprises. Cependant, \u00e0 l’heure actuelle, le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del est consid\u00e9r\u00e9 comme un r\u00e9sultat math\u00e9matiquement \u00e9tabli et solide.<\/p>\n

Yu :<\/p>\n

Par exemple, dans la d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del, les fonctions r\u00e9cursives primitives sont consid\u00e9r\u00e9es comme des fonctions r\u00e9cursives, cela invalide-t-il la preuve de G\u00f6del ?<\/p>\n

ChatGPT :<\/p>\n

Non, l’utilisation de fonctions r\u00e9cursives primitives dans la preuve de G\u00f6del n’invalide pas le th\u00e9or\u00e8me. En effet, les fonctions r\u00e9cursives primitives sont un sous-ensemble des fonctions r\u00e9cursives, et elles sont consid\u00e9r\u00e9es comme des fonctions calculables. La preuve du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del repose sur la notion de fonction calculable, qui inclut les fonctions r\u00e9cursives primitives ainsi que d’autres classes de fonctions.<\/p>\n

Il convient de noter que la d\u00e9monstration de G\u00f6del est un argument tr\u00e8s technique et complexe qui n\u00e9cessite une compr\u00e9hension approfondie de la logique math\u00e9matique et de la th\u00e9orie de la r\u00e9cursion. L’utilisation de fonctions r\u00e9cursives primitives n’est qu’un aspect de la d\u00e9monstration, et elle a \u00e9t\u00e9 soigneusement examin\u00e9e par de nombreux math\u00e9maticiens au fil des ans. Bien qu’il soit possible qu’il y ait des erreurs ou des lacunes dans la d\u00e9monstration qui n’ont pas encore \u00e9t\u00e9 d\u00e9couvertes, le consensus parmi les math\u00e9maticiens est que la d\u00e9monstration est solide et \u00e9tablie comme un r\u00e9sultat fondamental dans les fondements des math\u00e9matiques.<\/p>\n

Yu :<\/p>\n

Dans la d\u00e9monstration de G\u00f6del, seules les fonctions r\u00e9cursives primitives sont consid\u00e9r\u00e9es, et les propositions d\u00e9finies par les fonctions r\u00e9cursives primitives sont d\u00e9cidables. Cependant, le but de la d\u00e9monstration de G\u00f6del est de trouver des propositions ind\u00e9cidables, alors comment G\u00f6del peut-il trouver des propositions ind\u00e9cidables ?<\/p>\n

ChatGPT :<\/p>\n

Dans la d\u00e9monstration de G\u00f6del, les fonctions r\u00e9cursives primitives sont utilis\u00e9es pour construire un syst\u00e8me formel sp\u00e9cifique qui est capable d’exprimer des \u00e9nonc\u00e9s arithm\u00e9tiques de base. G\u00f6del a ensuite montr\u00e9 comment, dans ce syst\u00e8me formel, il est possible de construire des \u00e9nonc\u00e9s qui sont vrais mais qui ne peuvent pas \u00eatre prouv\u00e9s dans le syst\u00e8me lui-m\u00eame. Ces \u00e9nonc\u00e9s sont connus sous le nom de \u00ab\u00a0propositions ind\u00e9cidables\u00a0\u00bb.<\/p>\n

L’id\u00e9e ma\u00eetresse de la preuve de G\u00f6del est que le syst\u00e8me formel qu’il a construit est suffisamment puissant pour repr\u00e9senter l’arithm\u00e9tique, mais qu’il n’est pas assez puissant pour prouver tous les \u00e9nonc\u00e9s vrais au sein de l’arithm\u00e9tique. Cela signifie qu’il existe des \u00e9nonc\u00e9s vrais qui peuvent \u00eatre exprim\u00e9s dans le syst\u00e8me, mais qui ne peuvent pas \u00eatre prouv\u00e9s dans le syst\u00e8me.<\/p>\n

Pour construire des propositions ind\u00e9cidables, G\u00f6del a utilis\u00e9 une technique connue sous le nom d’auto-r\u00e9f\u00e9rence. Il a construit des \u00e9nonc\u00e9s qui font r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 eux-m\u00eames, d’une mani\u00e8re qui conduit \u00e0 une contradiction si l’\u00e9nonc\u00e9 est suppos\u00e9 \u00eatre d\u00e9montrable dans le syst\u00e8me formel. En montrant que de tels \u00e9nonc\u00e9s existent, G\u00f6del a d\u00e9montr\u00e9 que le syst\u00e8me formel est incomplet, ce qui signifie qu’il existe des \u00e9nonc\u00e9s vrais qui ne peuvent \u00eatre d\u00e9montr\u00e9s dans le syst\u00e8me.<\/p>\n

Ainsi, alors que les propositions d\u00e9finies par les fonctions r\u00e9cursives primitives peuvent \u00eatre d\u00e9cidables dans le syst\u00e8me, G\u00f6del a pu construire des propositions ind\u00e9cidables en utilisant l’auto-r\u00e9f\u00e9rence et d’autres techniques dans le syst\u00e8me formel lui-m\u00eame.<\/p>\n

Yu :<\/p>\n

Pour construire des propositions ind\u00e9cidables, G\u00f6del a utilis\u00e9 une technique connue sous le nom d’auto-r\u00e9f\u00e9rence, de sorte que la proposition construite par G\u00f6del est essentiellement le \u00ab\u00a0paradoxe du menteur\u00a0\u00bb. Une telle proposition paradoxale peut-elle \u00eatre un \u00e9nonc\u00e9 arithm\u00e9tique vrai ?<\/p>\n

ChatGPT :<\/p>\n

Oui, les propositions ind\u00e9cidables construites par G\u00f6del en utilisant l’auto-r\u00e9f\u00e9rence sont des \u00e9nonc\u00e9s arithm\u00e9tiques vrais. La nature paradoxale de la proposition provient du fait que si la proposition \u00e9tait d\u00e9montrable dans le syst\u00e8me formel, elle conduirait \u00e0 une contradiction, ce qui est l’essence du paradoxe du menteur. Cependant, cela ne signifie pas que la proposition elle-m\u00eame est fausse.<\/p>\n

En fait, les propositions ind\u00e9cidables construites par G\u00f6del sont soigneusement con\u00e7ues pour \u00eatre des \u00e9nonc\u00e9s arithm\u00e9tiques vrais qui peuvent \u00eatre exprim\u00e9s dans le syst\u00e8me formel qu’il a construit. La v\u00e9rit\u00e9 de ces \u00e9nonc\u00e9s n’est pas en question, mais plut\u00f4t leur d\u00e9montrabilit\u00e9 dans le syst\u00e8me. La d\u00e9monstration de G\u00f6del montre qu’il existe des \u00e9nonc\u00e9s vrais qui ne peuvent \u00eatre d\u00e9montr\u00e9s dans le syst\u00e8me, ce qui signifie que le syst\u00e8me formel est incomplet.<\/p>\n

Ainsi, alors que l’auto-r\u00e9f\u00e9rence utilis\u00e9e par G\u00f6del conduit \u00e0 une situation paradoxale si l’\u00e9nonc\u00e9 est suppos\u00e9 \u00eatre d\u00e9montrable dans le syst\u00e8me formel, l’\u00e9nonc\u00e9 lui-m\u00eame est un \u00e9nonc\u00e9 arithm\u00e9tique vrai qui peut \u00eatre exprim\u00e9 dans le syst\u00e8me. C’est un point crucial qui sous-tend la signification du th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del.<\/p>\n

Yu\uff1a<\/p>\n

Lorsque le paradoxe de Russell est apparu dans la th\u00e9orie des ensembles, il a \u00e9t\u00e9 consid\u00e9r\u00e9 comme une crise, et les gens ont travaill\u00e9 dur pour l’\u00e9liminer. Alors, quand le paradoxe du menteur est apparu dans la preuve de G\u00f6del, pourquoi les gens n’ont-ils pas eu la m\u00eame vigilance et ont plut\u00f4t pris la proposition du paradoxe comme un \u00e9nonc\u00e9 arithm\u00e9tique vrai ?<\/p>\n

ChatGPT :<\/p>\n

Une erreur s’est produite. Si ce probl\u00e8me persiste, veuillez nous contacter via notre centre d’aide \u00e0 help.openai.com.<\/p>\n

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Rappel<\/strong> :<\/p>\n

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En 1999, je propose \u00e0 la revue L’Homme, une critique de la d\u00e9monstration par G\u00f6del de son fameux th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de l’arithm\u00e9tique, o\u00f9 je rel\u00e8ve de nombreuses faiblesses ainsi qu’une erreur due \u00e0 un recours fautif \u00e0 l’auto-r\u00e9f\u00e9rence. Myst\u00e9rieusement, mon article est absent du num\u00e9ro o\u00f9 il avait \u00e9t\u00e9 programm\u00e9. Je n’aurai jamais […]<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[7313,8601,13,4965,16],"tags":[1342,9084,8004,940,5335,3525,693],"class_list":["post-135445","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-comment-la-verite-et-la-realite-furent-inventees","category-fondement-des-mathematiques","category-intelligence-artificielle","category-logique","category-mathematiques","tag--comment-la-verite-et-la-realite-furent-inventees-","tag-chatgpt","tag-fondements-des-mathematiques","tag-intelligence-artificielle-2","tag-kurt-godel","tag-logique","tag-second-theoreme-de-godel"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/135445","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=135445"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/135445\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":135451,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/135445\/revisions\/135451"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=135445"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=135445"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=135445"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}