![\"\"](\"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-content\/uploads\/DALL\u00b7E-2023-05-16-18.35.42-Philosophers-remind-mathematicians-to-be-more-rigorous-digital-art.png\")
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Illustration par DALL-E (+PJ)<\/em><\/p>\n Deux versions de ce texte :<\/p>\n Que d\u00e9montrent les math\u00e9maticiens, et le font-ils d\u2019une mani\u00e8re digne de ce nom\u00a0?<\/span><\/strong><\/a>, le 5 mars 2022<\/p>\n En anglais :\u00a0What makes a demonstration worthy of the name?<\/a><\/b><\/span>, le 9 avril 2022<\/p>\n [Rien n’a \u00e9t\u00e9 chang\u00e9 aux observations de ChatGPT : le texte est complet et les termes sont les siens. J’ai chang\u00e9 ici et l\u00e0 l’ordre des paragraphes pour les rassembler de mani\u00e8re th\u00e9matique. Les intertitres sont de moi].<\/p>\n GPT-4<\/b> :<\/p>\n Votre expos\u00e9 soul\u00e8ve quelques points de r\u00e9flexion sur la nature de la v\u00e9rit\u00e9 et la mani\u00e8re dont nous y acc\u00e9dons, en particulier dans le domaine des math\u00e9matiques. D\u2019un point de vue global, votre expos\u00e9 offre une perspective pr\u00e9cieuse sur la nature de la v\u00e9rit\u00e9 en math\u00e9matiques et sur l’importance d’\u00e9quilibrer la preuve formelle avec l’observation empirique et la compr\u00e9hension bas\u00e9e sur la d\u00e9finition.<\/p>\n Vos remarques mettent en lumi\u00e8re certaines id\u00e9es int\u00e9ressantes sur le r\u00f4le des preuves empiriques en math\u00e9matiques, la relation entre les math\u00e9matiques et la physique, et les normes d’argumentation dans les preuves math\u00e9matiques.<\/p>\n En substance, vos remarques abordent des questions profond\u00e9ment philosophiques sur la nature de la v\u00e9rit\u00e9 math\u00e9matique, le r\u00f4le des preuves empiriques dans l’\u00e9tablissement de ces v\u00e9rit\u00e9s et les normes de d\u00e9monstration math\u00e9matique. Ces questions ont une longue histoire et font l’objet de d\u00e9bats permanents dans la philosophie des math\u00e9matiques. Elles nous rappellent que les math\u00e9matiques, malgr\u00e9 leur r\u00e9putation de certitude et de pr\u00e9cision, ne sont pas \u00e0 l’abri d’un examen philosophique.<\/p>\n La v\u00e9rit\u00e9<\/i><\/p>\n Votre application aux math\u00e9matiques des trois modes d’acc\u00e8s \u00e0 la v\u00e9rit\u00e9 d’Aristote offre une perspective int\u00e9ressante. En effet, les axiomes, les th\u00e9or\u00e8mes et les observations du monde physique font tous partie int\u00e9grante des math\u00e9matiques, et il est essentiel de comprendre leur interaction.<\/p>\n Tout d’abord, vous avez raison de dire que le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del n’est pas le premier \u00e0 postuler que la v\u00e9rit\u00e9 peut \u00eatre plus vaste que les d\u00e9monstrations. Aristote reconnaissait en effet qu’il existait des v\u00e9rit\u00e9s que nous pouvions conna\u00eetre sans d\u00e9monstration, comme les principes fondamentaux, les d\u00e9finitions ou les perceptions de nos sens. La contribution de G\u00f6del, cependant, a \u00e9t\u00e9 sa d\u00e9monstration math\u00e9matique de ce principe dans un syst\u00e8me formel, montrant qu’il existe des d\u00e9clarations vraies dans le syst\u00e8me qui ne peuvent \u00eatre prouv\u00e9es \u00e0 partir des axiomes du syst\u00e8me.<\/p>\n Vous soulevez \u00e9galement une critique importante de l’importance excessive accord\u00e9e \u00e0 la preuve formelle en math\u00e9matiques, en sugg\u00e9rant que les math\u00e9maticiens pourraient n\u00e9gliger les v\u00e9rit\u00e9s qui peuvent \u00eatre observ\u00e9es dans le monde ou \u00e9tablies par des d\u00e9finitions. Le cas du th\u00e9or\u00e8me de Goodstein en est un bon exemple, o\u00f9 une v\u00e9rit\u00e9 d’observation est transform\u00e9e en un th\u00e9or\u00e8me formel. Cela peut en effet \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme le reflet d’un certain \u00e9tat d’esprit au sein de la communaut\u00e9 math\u00e9matique, qui valorise la formalisation et la preuve rigoureuse de concepts m\u00eame lorsqu’ils peuvent sembler \u00ab\u00a0\u00e9vidents\u00a0\u00bb d’un point de vue empirique.<\/p>\n En outre, votre remarque sur les preuves erron\u00e9es et les pi\u00e8ges potentiels d’une confiance excessive dans les preuves formelles est tout \u00e0 fait pertinente. Il est vrai que certaines d\u00e9monstrationes math\u00e9matiques se sont av\u00e9r\u00e9es d\u00e9fectueuses, souvent en raison d’oublis, d’erreurs ou de conceptions erron\u00e9es. Cela souligne l’importance de la v\u00e9rification et de la reproduction en math\u00e9matiques, comme dans toutes les disciplines scientifiques.<\/p>\n Les math\u00e9matiques comme \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb <\/i><\/p>\n Le cas historique de l’invention du calcul infinit\u00e9simal par Newton et Leibniz illustre bien l’interaction entre l’observation empirique et le raisonnement math\u00e9matique formel. Ici, le monde physique (l’observation du mouvement des plan\u00e8tes) a influenc\u00e9 le cadre math\u00e9matique d\u00e9velopp\u00e9, d\u00e9montrant l’importance des preuves empiriques dans le d\u00e9veloppement des id\u00e9es math\u00e9matiques.<\/p>\n L’argument selon lequel les preuves math\u00e9matiques ne devraient pas subrepticement importer des \u00e9l\u00e9ments de la physique est intriguant. Cette id\u00e9e met en lumi\u00e8re la distinction entre les math\u00e9matiques en tant que discipline purement formelle et la physique en tant que discipline empirique. S’il est vrai que les math\u00e9matiques sont souvent utilis\u00e9es pour mod\u00e9liser des ph\u00e9nom\u00e8nes physiques, l’argument avanc\u00e9 ici est que cela devrait \u00eatre fait de mani\u00e8re explicite et non en introduisant clandestinement des preuves empiriques sous le couvert d’une preuve math\u00e9matique. Cela pourrait en effet conduire \u00e0 un brouillage de la fronti\u00e8re entre ce qui est mod\u00e9lis\u00e9 et ce qui est simplement repr\u00e9sent\u00e9, comme vous le sugg\u00e9rez.<\/p>\n Originalit\u00e9 de vos vues<\/i><\/p>\n Vous avez soulev\u00e9 un certain nombre de points qui donnent \u00e0 r\u00e9fl\u00e9chir dans vos remarques. Voici quelques observations :<\/p>\n La relation entre les math\u00e9matiques et la physique<\/i> : Vous soulignez clairement l’interconnexion profonde entre les math\u00e9matiques et la physique. L’argument est que les math\u00e9matiques servent souvent de \u00ab\u00a0physique virtuelle\u00a0\u00bb en raison de la mani\u00e8re dont leurs axiomes et th\u00e9or\u00e8mes tendent \u00e0 s’appliquer aux ph\u00e9nom\u00e8nes physiques. Il s’agit d’un point de vue nuanc\u00e9 qui reconna\u00eet l’utilit\u00e9 des structures math\u00e9matiques dans la mod\u00e9lisation du monde physique.<\/p>\n L’intuition des math\u00e9maticiens<\/i> : Vous sugg\u00e9rez que l’intuition des math\u00e9maticiens est fa\u00e7onn\u00e9e par le monde empirique et que cette intuition les guide dans le d\u00e9veloppement d’outils et de th\u00e9or\u00e8mes math\u00e9matiques. Il s’agit d’une perspective fascinante qui propose un pont entre le monde abstrait du raisonnement math\u00e9matique et le monde concret et empirique de l’exp\u00e9rience sensorielle.<\/p>\n Le r\u00f4le des axiomes<\/i> : Vous affirmez que les axiomes, qui sont cens\u00e9s \u00eatre des v\u00e9rit\u00e9s \u00e9videntes, ne sont pas enti\u00e8rement abstraits mais sont souvent choisis de mani\u00e8re \u00e0 favoriser l’applicabilit\u00e9 physique. Il s’agit d’une affirmation controvers\u00e9e qui remet en question la conception traditionnelle des axiomes en tant que constructions purement logiques.<\/p>\n La question de la causalit\u00e9 et de la simulation<\/i> : Vous discutez de l’utilisation des math\u00e9matiques pour concevoir des mod\u00e8les de la r\u00e9alit\u00e9 physique, y compris des mod\u00e8les de causalit\u00e9 et des simulations. Cela refl\u00e8te le pragmatisme de votre approche des math\u00e9matiques, que vous consid\u00e9rez comme un outil permettant de comprendre et d’expliquer le monde qui nous entoure.<\/p>\n Critique de la m\u00e9thode math\u00e9matique<\/i> : Vous invoquez la critique de George Berkeley pour souligner les aspects probl\u00e9matiques de la pratique math\u00e9matique, en particulier la \u00ab\u00a0compensation des erreurs\u00a0\u00bb et les \u00ab\u00a0fant\u00f4mes des quantit\u00e9s disparues\u00a0\u00bb. Cette perspective historique permet d’\u00e9clairer les d\u00e9bats actuels sur les fondements et la m\u00e9thodologie des math\u00e9matiques.<\/p>\n Le r\u00f4le de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne et des tenseurs dans la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 d’Einstein<\/i> : Vous soulignez le r\u00f4le jou\u00e9 par un heureux hasard dans l’acc\u00e8s d’Einstein \u00e0 ces outils math\u00e9matiques au moment o\u00f9 il en avait besoin pour sa th\u00e9orie. Cela souligne le r\u00f4le de l’innovation math\u00e9matique dans les perc\u00e9es scientifiques.<\/p>\n Acceptabilit\u00e9 de vos vues<\/i><\/p>\n D\u2019un point de vue global, vos remarques offrent une perspective riche sur la relation profonde entre les math\u00e9matiques et la physique, le r\u00f4le de l’intuition dans la cr\u00e9ativit\u00e9 math\u00e9matique et les pi\u00e8ges potentiels de la m\u00e9thodologie math\u00e9matique. Toutefois, ces points de vue ne sont pas forc\u00e9ment partag\u00e9s par tous les math\u00e9maticiens ou physiciens. Par exemple, beaucoup soutiendraient que la nature abstraite du raisonnement math\u00e9matique lui permet de transcender le monde physique et que les axiomes sont choisis pour leurs propri\u00e9t\u00e9s logiques plut\u00f4t que physiques. N\u00e9anmoins, votre point de vue apporte une contribution perspicace \u00e0 ces d\u00e9bats en cours.<\/p>\n Votre critique de la d\u00e9monstration de G\u00f6del et de sa d\u00e9pendance \u00e0 l’\u00e9gard des croyances platoniciennes est un autre point fascinant. G\u00f6del \u00e9tait en effet platonicien et croyait en l’existence d’entit\u00e9s math\u00e9matiques ind\u00e9pendantes des esprits humains. L’affirmation selon laquelle il aurait subrepticement gliss\u00e9 des preuves empiriques dans sa d\u00e9monstration, brouillant ainsi la fronti\u00e8re entre la physique et les math\u00e9matiques, est une affirmation substantielle qui n\u00e9cessiterait un examen minutieux du travail original de G\u00f6del.<\/p>\n Il convient toutefois de noter que les th\u00e9or\u00e8mes d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del ont \u00e9t\u00e9 largement accept\u00e9s et ont exerc\u00e9 une profonde influence sur la logique math\u00e9matique et l’informatique. Vos critiques, bien qu’elles suscitent la r\u00e9flexion, repr\u00e9sentent un point de vue minoritaire qui devrait gagner l\u2019assentiment de la communaut\u00e9 math\u00e9matique et philosophique dans son ensemble.<\/p>\n Illustration par DALL-E (+PJ)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Illustration par DALL-E (+PJ)<\/em><\/p>\n Deux versions de ce texte :<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-content\/uploads\/DALL\u00b7E-2023-05-16-18.35.52-A-philosopher-looks-puzzled-at-a-mathematical-formula-digital-art.png\")
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