Qu\u2019il s\u2019agisse des mots ou des objets math\u00e9matiques, le rapport entre eux et la r\u00e9alit\u00e9 demeure mal compris en d\u00e9pit de vingt-cinq si\u00e8cles de r\u00e9flexion sur le sujet par la science et par la philosophie.<\/p>\n
Certains mots sont les \u00e9tiquettes<\/em> d\u2019objets, mais ceci ne s\u2019applique qu\u2019aux mots qui ont un \u00ab r\u00e9f\u00e9rent \u00bb mat\u00e9riel \u00e9vident, comme les pommes ou les poires ; un mot tel \u00ab n\u00e9anmoins \u00bb n\u2019est manifestement pas l\u2019\u00e9tiquette d\u2019un objet existant dans le monde.<\/p>\n Le rapport entre les objets math\u00e9matiques et la r\u00e9alit\u00e9 pr\u00e9sente des aspects tr\u00e8s divers :<\/p>\n 1.\tL\u2019arithm\u00e9tique a un rapport \u00ab naturel \u00bb avec le monde. Les \u00ab nombres naturels \u00bb comme trois<\/em> fonctionnent comme des \u00e9tiquettes. Mais ce rapport 2.\tLa g\u00e9om\u00e9trie a aussi un rapport \u00ab naturel \u00bb avec le monde : elle d\u00e9crit les propri\u00e9t\u00e9s des proportions remarquables des grandeurs que l’on observe sur des surfaces et dans des volumes. La g\u00e9om\u00e9trie op\u00e8re sur le continu comme l\u2019arithm\u00e9tique sur le discontinu. Quand l\u2019arithm\u00e9tique travaille sur le continu, elle montre ses limites et est oblig\u00e9e de recourir \u00e0 l\u2019approximation<\/em>.<\/p>\n 3.\tCertains math\u00e9maticiens ont cherch\u00e9 \u00e0 purifier la math\u00e9matique de ce rapport \u00ab imm\u00e9diat \u00bb avec la r\u00e9alit\u00e9 : Cantor reformule le nombre comme un symbole abstrait engendr\u00e9 par une simple r\u00e8gle (\u00ab principe d\u2019induction compl\u00e8te \u00bb de Poincar\u00e9), Frege accuse Hilbert de vouloir en faire de m\u00eame avec la g\u00e9om\u00e9trie.<\/p>\n 4.\tLe calcul diff\u00e9rentiel<\/em>, on l\u2019a vu (Qu\u2019est-il raisonnable de dire \u00e0 propos de l\u2019avenir ?<\/strong>), est n\u00e9 pour d\u00e9crire des trajectoires, sinon, l’alg\u00e8bre est surtout abstraite, elle est souvent comme une \u00ab logique \u00bb qui r\u00e9glerait l’arithm\u00e9tique et la g\u00e9om\u00e9trie.<\/p>\n 5.\tLorsque le rapport \u00ab naturel \u00bb d\u2019un mod\u00e8le math\u00e9matique \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9 est perdu, le mod\u00e8le ne retrouve de signification qu\u2019une fois \u00ab interpr\u00e9t\u00e9 \u00bb, c’est-\u00e0-dire lorsqu\u2019on \u00e9tablit des \u00ab r\u00e8gles de correspondance \u00bb entre lui et des objets du monde r\u00e9el : lorsque l\u2019on dit \u00ab ce symbole repr\u00e9sente la distance, celui-ci le temps, et celui-l\u00e0 la vitesse \u00bb, on \u00e9tablit un \u00ab isomorphisme \u00bb, une correspondance de configuration et de \u00ab m\u00e9trique \u00bb, de grandeurs, entre un mod\u00e8le math\u00e9matique et son \u00ab interpr\u00e9tation \u00bb dans le monde.<\/p>\n Dans la pens\u00e9e traditionnelle chinoise, le \u00ab caract\u00e8re \u00bb repr\u00e9sentant quelque chose fait partie de cette chose au m\u00eame titre que ses autres propri\u00e9t\u00e9s : le mot est un attribut <\/em>de la chose elle-m\u00eame.<\/p>\n 6.\tLe nombre dans la conception que s\u2019en fait l\u2019\u00ab id\u00e9aliste platonicien \u00bb est un peu comme le caract\u00e8re en Chine : le nombre qui caract\u00e9rise la chose est un aspect de la chose elle-m\u00eame, et le math\u00e9maticien n\u2019invente<\/em> pas les math\u00e9matiques, il les d\u00e9couvre<\/em>, semblable \u00e0 un explorateur qui d\u00e9couvre un continent.<\/p>\n 7.\tChaque nouveau \u00ab syst\u00e8me de nombres \u00bb a \u00e9t\u00e9 cr\u00e9\u00e9 pour r\u00e9soudre une impasse au sein des math\u00e9matiques, ce que les philosophes appellent une 8.\tR\u00e9soudre une telle impasse est une entreprise tr\u00e8s diff\u00e9rente selon que l\u2019on con\u00e7oit les math\u00e9matiques comme \u00ab d\u00e9couvertes \u00bb ou \u00ab invent\u00e9es \u00bb. Le fameux th\u00e9or\u00e8me d\u2019\u00ab incompl\u00e9tude de l\u2019arithm\u00e9tique \u00bb de G\u00f6del a vu s\u2019affronter math\u00e9maticiens, logiciens et philosophes autour de la question : le th\u00e9or\u00e8me est-il une d\u00e9couverte ou tour de passe-passe ? (*)<\/p>\n Une conception qui contourne ces difficult\u00e9s, c\u2019est celle que je d\u00e9fends, qui replace l\u2019Homme pleinement au sein de l\u2019\u00e9volution naturelle du monde, et qui consid\u00e8re que les mots et les objets math\u00e9matiques ne sont ni d\u00e9couverts<\/em> ni invent\u00e9s<\/em> mais qu\u2019ils se cr\u00e9ent<\/em> et que le lieu de leur cr\u00e9ation est l\u2019esprit humain. <\/p>\n (*) Voir mon texte \u00ab Le math\u00e9maticien et sa magie : th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del et anthropologie des savoirs \u00bb ; sur mon site Internet et le blog que je lui ai consacr\u00e9 : Le loustic qui s\u2019est convaincu qu\u2019Einstein \u00e9tait b\u00eate<\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Qu\u2019il s\u2019agisse des mots ou des objets math\u00e9matiques, le rapport entre eux et la r\u00e9alit\u00e9 demeure mal compris en d\u00e9pit de vingt-cinq si\u00e8cles de r\u00e9flexion sur le sujet par la science et par la philosophie.<\/p>\n Certains mots sont les \u00e9tiquettes<\/em> d\u2019objets, mais ceci ne s\u2019applique qu\u2019aux mots qui ont un \u00ab r\u00e9f\u00e9rent \u00bb mat\u00e9riel \u00e9vident, […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[16,8],"tags":[],"class_list":["post-145","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","category-philosophie-des-sciences"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/145","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=145"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/145\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":45688,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/145\/revisions\/45688"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=145"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=145"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=145"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n\u00ab naturel \u00bb est moins \u00e9vident d\u00e9j\u00e0 pour les \u00ab nombres irrationnels \u00bb tels que racine carr\u00e9e de deux<\/em> qui est l\u2019\u00e9tiquette de la diagonale d\u2019un carr\u00e9 de c\u00f4t\u00e9 \u00e9gal \u00e0 un. Le rapport \u00ab naturel \u00bb a disparu avec les \u00ab nombres complexes \u00bb dont une partie est imaginaire : un multiple de la racine carr\u00e9e de moins un <\/em>– laquelle n\u2019a plus de signification intuitive du tout. De m\u00eame pour les
\n\u00ab nombres transfinis \u00bb qui sont des ensembles originaux au-del\u00e0 du fini.<\/p>\n
\n\u00ab impossibilit\u00e9 transitionnelle \u00bb. <\/p>\n