{"id":3642,"date":"2009-07-06T16:20:29","date_gmt":"2009-07-06T14:20:29","guid":{"rendered":"http:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/?p=3642"},"modified":"2009-07-06T16:20:29","modified_gmt":"2009-07-06T14:20:29","slug":"la-dimensionnalite-de-la-monnaie-la-dimension-creanciere","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pauljorion.com\/blog\/2009\/07\/06\/la-dimensionnalite-de-la-monnaie-la-dimension-creanciere\/","title":{"rendered":"La dimensionnalit\u00e9<\/i> de la monnaie (La dimension cr\u00e9anci\u00e8re)"},"content":{"rendered":"

Ce texte est un \u00ab article presslib\u2019 \u00bb (*) <\/strong><\/p><\/blockquote>\n

J\u2019ai pr\u00e9sent\u00e9 en mai deux billets, qui s\u2019appelaient respectivement La dimensionnalit\u00e9<\/i> de la monnaie (Introduction)<\/a> et La dimensionnalit\u00e9<\/i> de la monnaie (Reconnaissance de dette et monnaie)<\/a>. Quand l\u2019un d\u2019entre vous m\u2019a demand\u00e9 r\u00e9cemment o\u00f9 \u00e9tait la conclusion, j\u2019ai r\u00e9pondu qu\u2019elle \u00e9tait malheureusement trop longue pour \u00eatre pr\u00e9sent\u00e9e ici. Ceci dit, j\u2019aimerais bien conna\u00eetre vos r\u00e9actions \u00e0 mes tentatives exploratoires et c\u2019est pourquoi je reviens sur ma d\u00e9cision et je vous en pr\u00e9sente ici, un sommaire.<\/p><\/blockquote>\n

Il existe en math\u00e9matiques, une mesure que l\u2019on appelle la \u00ab dimension de Hausdorff \u00bb. Sa d\u00e9finition formelle est celle-ci : \u00ab La dimension de Hausdorff<\/i> est un nombre r\u00e9el positif, \u00e9ventuellement l’infini, associ\u00e9 \u00e0 tout espace m\u00e9trique, c\u2019est-\u00e0-dire un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les \u00e9l\u00e9ments de l’ensemble est d\u00e9finie \u00bb. <\/p>\n

Ignorons cette d\u00e9finition formelle pour retenir qu\u2019au c\u0153ur de la conception qui sous-tend cette mesure, se trouve la notion de distance<\/i>. Je me contenterai de pr\u00e9senter cette notion de mani\u00e8re tr\u00e8s intuitive, sans me pr\u00e9occuper de rigueur math\u00e9matique. <\/p>\n

Disons que je d\u00e9termine sur une feuille de papier, deux points A et B. La distance la plus courte entre ces deux points est, la chose est bien connue, la droite (Figure 1). <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Quelle serait la distance la plus longue que l\u2019on puisse imaginer entre ces deux points A et B ? La r\u00e9ponse l\u00e0 aussi est simple : il me suffit de les joindre en faisant un d\u00e9tour par l\u2019infini. Disons que, partant de A je parte vers l\u2019infini vers le haut de la feuille et qu\u2019une fois parvenu l\u00e0 (!), je revienne en direction de B. La distance entre A et B est alors de deux fois l\u2019infini (Figure 2).<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Bien entendu, deux fois l\u2019infini, c\u2019est toujours l\u2019infini, mais Georg Cantor en introduisant les nombres \u00ab transfinis \u00bb \u00e0 la fin du XIXe si\u00e8cle, nous a familiaris\u00e9s avec l\u2019id\u00e9e d\u2019additionner, voire de multiplier, des infinis. <\/p>\n

J\u2019ai donc d\u00e9termin\u00e9 d\u2019abord la distance la plus courte entre A et B : la droite, et ensuite la distance la plus longue possible entre ces deux points : deux infinis, l\u2019un \u00e0 l\u2019aller et l\u2019autre au retour (ou un grand !). <\/p>\n

Essayons d\u2019imaginer maintenant un proc\u00e9d\u00e9 qui nous permettra, partant de la distance la plus courte possible entre A et B \u2013 la droite qui les joint \u2013 de l\u2019augmenter progressivement. <\/p>\n

Voici un moyen possible : je divise la droite entre A et B en trois segments et je construis sur la base du tiers central, un triangle \u00e9quilat\u00e9ral. Je d\u00e9signe par C, D, E, les trois nouveaux points d\u2019inflexion sur la ligne bris\u00e9e qui joint d\u00e9sormais A \u00e0 B, et je remplace la droite entre C et E par la droite bris\u00e9e CDE (Figure 3). <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Quelle est maintenant la distance entre A et B ? D\u00e9finissons la distance la plus courte entre eux comme repr\u00e9sentant l\u2019unit\u00e9. La droite bris\u00e9e CDE, construite comme une \u00ab excroissance \u00bb sur la droite originale AB est constitu\u00e9e de deux c\u00f4t\u00e9s d\u2019un triangle \u00e9quilat\u00e9ral. Ceci implique que CD et DE sont tous deux \u00e9gaux \u00e0 CE. Or CE est par construction \u00e9gal \u00e0 un tiers de la distance AB \u2013 c\u2019est le principe qui l\u2019a guid\u00e9e. La distance parcourue sur la ligne bris\u00e9e repr\u00e9sente donc maintenant quatre tiers de la droite qui joignait originellement A et B. Or nous avions d\u00e9fini celle-ci comme repr\u00e9sentant l\u2019unit\u00e9. Le nouvel AB a donc pour mesure 4\/3, soit 1,3333\u2026 fois l\u2019unit\u00e9. La distance entre A et B est donc maintenant de 1,3333\u2026<\/p>\n

R\u00e9p\u00e9tons maintenant l\u2019op\u00e9ration : construisons un triangle \u00e9quilat\u00e9ral sur chacun des nouveaux segments AC, CD, DE et EB (Figure 4). <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Qu\u2019est devenue la distance entre A et B ? AC repr\u00e9sente maintenant quatre tiers de l\u2019ancien AC qui \u00e9tait lui-m\u00eame un tiers de 1, de m\u00eame pour le nouveau CE, le nouveau DE et le nouveau EB. On a donc maintenant entre A et B, quatre fois 1,3333\u2026 fois un tiers de 1, autrement dit : 4 x (1,3333\u2026 x 0.3333), c\u2019est-\u00e0-dire : 1,7777\u2026 (ou 16 \/ 9).<\/p>\n

Nous avons donc, \u00e0 l\u2019aide de nos constructions successives, augment\u00e9 la distance entre A et B. En r\u00e9p\u00e9tant la m\u00eame op\u00e9ration, nous multiplierons \u00e0 chaque fois la distance d\u00e9j\u00e0 obtenue par 1,3333\u2026 La distance entre A et B \u00e0 partir d\u2019une ligne bris\u00e9e construite de cette mani\u00e8re continuera donc d\u2019augmenter inexorablement (par un facteur de 4 en num\u00e9rateur et par un facteur de 3 en d\u00e9nominateur) si l\u2019unit\u00e9 reste d\u00e9finie comme la distance que repr\u00e9sente la droite que l\u2019on peut tracer entre A et B.<\/p>\n

Le concept de \u00ab dimension de Hausdorff \u00bb est apparent\u00e9 \u00e0 la mesure que je viens de d\u00e9finir. Diff\u00e9rence essentielle, la dimension de Hausdorff d\u2019une ligne, aussi compliqu\u00e9e soit-elle, ne d\u00e9passera jamais 2 qui est la mesure correspondant au \u00ab remplissage \u00bb total d\u2019une surface, alors que le concept de distance que je viens d\u2019introduire permettrait lui d\u2019atteindre une dimension infinie puisque chaque nouvelle \u00ab complexification \u00bb conduit \u00e0 une multiplication par un facteur de 1,3333\u2026 La raison exacte pour laquelle ces deux dimensions diff\u00e8rent n\u2019a pas d\u2019importance, ce que j\u2019entendais faire, c\u2019\u00e9tait offrir une compr\u00e9hension intuitive de la notion de \u00ab dimensionnalit\u00e9 \u00bb.<\/p>\n

Dans le cas de l\u2019apologue de la Dame de Cond\u00e9, nous comprenons intuitivement qu\u2019il existe une diff\u00e9rence significative entre une situation o\u00f9 aucun des habitants du village n\u2019a contract\u00e9 de dette envers aucun autre, et une autre o\u00f9 un r\u00e9seau complexe de reconnaissances de dette les relie entre eux. La \u00ab complexit\u00e9 \u00bb de la structure de cr\u00e9dit entre les habitants du village exprime aussi la fragilit\u00e9 de la communaut\u00e9 sur le plan financier car le d\u00e9faut de l\u2019un dans le remboursement de sa dette risque de pr\u00e9cipiter le d\u00e9faut d\u2019un autre, d\u00e9clenchant ainsi une r\u00e9action en cha\u00eene. <\/p>\n

D\u00e9finissons maintenant les \u00e9l\u00e9ments dont nous aurons besoin pour mesurer la \u00ab dimensionnalit\u00e9 \u00bb du cr\u00e9dit au sein d\u2019une communaut\u00e9. La somme de monnaie fiduciaire – l\u2019argent disponible – sera l\u2019\u00e9talon, la valeur dont on part : l\u2019\u00e9quivalent sur le plan mon\u00e9taire de la \u00ab distance la plus courte \u00bb dans l\u2019illustration que j\u2019avais propos\u00e9e. La somme des reconnaissances de dettes au sein de la communaut\u00e9 mesurera elle la \u00ab distance de la dette \u00bb.<\/p>\n

La complexit\u00e9 minimale sera celle d\u2019une situation o\u00f9 nul ne doit d\u2019argent \u00e0 quiconque, et la complexit\u00e9 maximale correspondra \u00e0 celle o\u00f9 chacun doit tout l\u2019argent qu\u2019il a \u00e0 d\u2019autres villageois.<\/p>\n

Nous allons additionner la monnaie fiduciaire disponible aux reconnaissances de dette mais pas dans une optique o\u00f9 il s\u2019agirait de deux manifestations de la m\u00eame chose, autrement dit que les deux constitueraient \u00ab de la monnaie \u00bb sous une forme ou une autre, non : nous les additionnons dans une perspective o\u00f9 il s\u2019agit de choses bien diff\u00e9rentes et o\u00f9 l\u2019une, l\u2019argent, la monnaie fiduciaire, est un moyen neutre de faciliter les \u00e9changes (dans ce contexte en tout cas !), alors que la dette, constituant elle un facteur de risque, est essentiellement dangereuse. Pour obtenir une jauge du degr\u00e9 de p\u00e9ril et donc de la fragilit\u00e9 d\u2019un environnement financier, nous allons donc cr\u00e9er un indice sur le m\u00eame principe que la dimension de Hausdorff : nous allons comparer la valeur de la dette \u00e0 celle de l\u2019argent disponible. Pour obtenir une mesure qui, comme dans le cas de la dimension de Hausdorff, peut prendre des valeurs qui varient entre 1 et 2, il nous suffit de diviser la somme de la dette d<\/i> et de l\u2019argent disponible a<\/i> par l\u2019argent disponible. Dimension cr\u00e9anci\u00e8re : (d + a) \/ a<\/i>.<\/p>\n

Soit x la somme de l\u2019argent disponible. Si personne n\u2019a de dette envers personne, la dimension cr\u00e9anci\u00e8re est de <\/p>\n

(0 + x) \/ x = x \/ x = 1<\/p>\n

Si au contraire tout le monde doit tout l\u2019argent qu\u2019il a (\u00e0 une ou \u00e0 plusieurs personnes), la dette vaudra x, tout comme l\u2019argent disponible, et la dimension cr\u00e9anci\u00e8re sera de <\/p>\n

(x + x) \/ x = 2x \/ x = 2 <\/p>\n

Dans le cas de l\u2019apologue de la Dame de Cond\u00e9 qui nous a servi de point de d\u00e9part, la somme des dettes dues par l\u2019ensemble des commer\u00e7ants connect\u00e9s entre eux par un r\u00e9seau de reconnaissances de dette, pr\u00e9alablement \u00e0 la visite de la Dame, est de 600 \u20ac. La dette sera tomb\u00e9e \u00e0 z\u00e9ro apr\u00e8s son d\u00e9part. La valeur de la dimension cr\u00e9anci\u00e8re<\/i> \u00e0 Cond\u00e9 apr\u00e8s le d\u00e9part de la Dame est de 1 puisqu\u2019on a : <\/p>\n

(0 + x) \/ x = x \/ x = 1 <\/p>\n

et ceci quelle que soit la valeur de x, l\u2019argent disponible dans le village. Mais la valeur de la dimension cr\u00e9anci\u00e8re<\/i> \u00e0 Cond\u00e9 avant la venue de la Dame ne peut pas elle \u00eatre d\u00e9termin\u00e9e a priori puisqu\u2019elle d\u00e9pend aussi de la valeur de x : elle d\u00e9pend de ce que ces 600 \u20ac repr\u00e9sentent par rapport \u00e0 l\u2019argent disponible \u00e0 Cond\u00e9. Il pourra s\u2019agir en effet, selon les cas, d\u2019une somme consid\u00e9rable par rapport \u00e0 l\u2019argent d\u00e9tenu par les habitants du village ou ne repr\u00e9sentera au contraire qu\u2019une somme minime pour eux. Prenons deux exemples : dans le premier, la fortune totale de la communaut\u00e9 est de 1.200 \u20ac. Dans ce cas, la dimension cr\u00e9anci\u00e8re<\/i> est de <\/p>\n

(600 \u20ac + 1.200 \u20ac) \/ 1.200 \u20ac = 1.800 \u20ac \/ 1.200 \u20ac = 1.5<\/p>\n

Dans le second exemple, la fortune totale est de 5.400 \u20ac. Dans ce cas, la dimension cr\u00e9anci\u00e8re est de <\/p>\n

(600 \u20ac + 5.400 \u20ac) \/ 5.400 \u20ac = 6.000 \u20ac \/ 5.400 \u20ac = 1.111\u2026 <\/p>\n

Quel est la port\u00e9e de la mesure qu\u2019introduit une dimension cr\u00e9anci\u00e8re<\/i>, comparable \u00e0 la dimension de Hausdorff<\/i> ? Raffin\u00e9e, elle offrirait un outil de rechange \u00e0 ce que tentent maladroitement de mesurer les diff\u00e9rentes d\u00e9finitions de la masse mon\u00e9taire M1, M2, M3 qui refl\u00e8tent de mani\u00e8re tr\u00e8s indirecte le double emploi, le triple emploi, etc. qu\u2019op\u00e8rent les reconnaissances de dette par rapport \u00e0 l\u2019argent. <\/p>\n

On l\u2019a vu, il y a, implicite aux d\u00e9finitions de ces masses mon\u00e9taires M1, M2, M3, une repr\u00e9sentation supposant que les reconnaissances de dette constituent \u00ab de la monnaie \u00bb, et ceci du fait qu\u2019une fois endoss\u00e9es<\/i>, elles sont effectivement des marchandises et ont une valeur \u00e0 ce titre, ce qui les rend partiellement substituables \u00e0 de l\u2019argent. Cette assimilation des reconnaissances de dette \u00e0 de l\u2019argent, je l\u2019ai, comme on l\u2019a vu, rejet\u00e9e, parce qu\u2019elle suppose pour \u00eatre valide, un contexte \u00e9conomique id\u00e9al. Dans un cas de crise du syst\u00e8me \u00e9conomique, comme celle que nous traversons en ce moment, la valeur de ces reconnaissances de dette s\u2019\u00e9carte de mani\u00e8re dramatique de leur valeur nominale, pouvant m\u00eame tomber \u00e0 z\u00e9ro. <\/p>\n

Il serait faux cependant d\u2019ignorer les reconnaissances de dette dans une \u00e9valuation globale de la situation financi\u00e8re : il faut les \u00e9valuer, comme je l\u2019ai montr\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, de mani\u00e8re conditionnelle : en les affectant d\u2019un coefficient mesurant la disposition effective de ces sommes \u00e0 \u00eatre recouvr\u00e9es. Mais il faut aussi, et en r\u00e9alit\u00e9 surtout, mesurer leur impact du fait de leur capacit\u00e9 \u2013 au contraire de l\u2019argent, c\u2019est-\u00e0-dire des pi\u00e8ces au fond de nos poches et des billets dans nos portefeuilles \u2013 d\u2019engendrer de l\u2019int\u00e9r\u00eat, c\u2019est-\u00e0-dire d\u2019exiger en paiement des sommes qui devront \u00eatre trouv\u00e9es ailleurs. Et c\u2019est ici qu\u2019intervient, de mani\u00e8re cruciale, la distinction sur laquelle je me suis appesanti entre pr\u00eats \u00e0 la production<\/i> qui, servant d\u2019avances et g\u00e9n\u00e9rant de nouvelles richesses, prennent soin des int\u00e9r\u00eats qui devront \u00eatre vers\u00e9s \u00e0 celui qui a avanc\u00e9 le capital, et pr\u00eats \u00e0 la consommation<\/i>, qui doivent eux puiser les sommes n\u00e9cessaires au versement des int\u00e9r\u00eats dans une richesse cr\u00e9\u00e9e dans un contexte tout diff\u00e9rent : comme salaires essentiellement. <\/p>\n

(*) Un \u00ab article presslib\u2019 \u00bb est libre de reproduction en tout ou en partie \u00e0 condition que le pr\u00e9sent alin\u00e9a soit reproduit \u00e0 sa suite. Paul Jorion est un \u00ab journaliste presslib\u2019 \u00bb qui vit exclusivement de ses droits d\u2019auteurs et de vos contributions. Il pourra continuer d\u2019\u00e9crire comme il le fait aujourd\u2019hui tant que vous l\u2019y aiderez. Votre soutien peut s\u2019exprimer ici<\/em><\/a>.<\/strong><\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Ce texte est un \u00ab article presslib\u2019 \u00bb (*) <\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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