Un \u00e9v\u00e9nement que l\u2019on imagine est soit impossible, soit possible. S\u2019il est impossible, sa probabilit\u00e9 de se produire, dans la perspective \u00ab\u00a0math\u00e9matis\u00e9e\u00a0\u00bb de la probabilit\u00e9 qui est la n\u00f4tre aujourd\u2019hui, est de 0. Un \u00e9v\u00e9nement qui n\u2019est pas impossible est possible, et dans ce cas, il peut \u00eatre de deux types\u00a0: soit il se produira n\u00e9cessairement, soit il se produira oui ou non\u00a0; on dit dans ce dernier cas qu\u2019il est \u00ab\u00a0contingent\u00a0\u00bb. S\u2019il est n\u00e9cessaire, sa probabilit\u00e9 de se produire se voit attribuer la valeur 1.\u00a0La probabilit\u00e9 qu\u2019un \u00e9v\u00e9nement contingent se produise est plus grande que 0, sans quoi il ne serait pas contingent mais impossible, mais elle est inf\u00e9rieure \u00e0 1, sans quoi il ne serait pas contingent mais n\u00e9cessaire.<\/p>\n
Donc, dans la perspective d\u2019une math\u00e9matisation de la probabilit\u00e9 d\u2019un \u00e9v\u00e9nement, un \u00e9v\u00e9nement impossible a une probabilit\u00e9 de 0, un \u00e9v\u00e9nement (possible mais aussi) n\u00e9cessaire a une probabilit\u00e9 de 1, et un \u00e9v\u00e9nement (possible mais) contingent, une probabilit\u00e9 sup\u00e9rieure \u00e0 0 mais inf\u00e9rieure \u00e0 1.<\/p>\n
Pour qu\u2019un nombre puisse \u00eatre sup\u00e9rieur \u00e0 0 et inf\u00e9rieur \u00e0 1, il faut qu\u2019il ne soit pas entier\u00a0: qu\u2019il compte des d\u00e9cimales. L\u2019option existant de mettre autant de d\u00e9cimales qu\u2019on le juge utile, le nombre de nombres susceptibles de mesurer une probabilit\u00e9 est infini.<\/p>\n
J\u2019ai d\u00e9j\u00e0 fait allusion \u00e0 la mani\u00e8re dont a eu lieu cette math\u00e9matisation : J\u00e9r\u00f4me Cardan (1501-1576), inventeur entre autres d\u2019un m\u00e9canisme auquel il a laiss\u00e9 son nom, permettant de transformer un mouvement en un autre mouvement orthogonal au premier (perpendiculaire), \u00e9tait par ailleurs un joueur inv\u00e9t\u00e9r\u00e9, qui a r\u00e9fl\u00e9chi \u00e0 d\u2019\u00e9ventuelles mani\u00e8res d\u2019augmenter ses chances, d\u2019o\u00f9 a r\u00e9sult\u00e9 un livre intitul\u00e9 Liber de ludo aleae<\/i>, le livre des chances au jeu, o\u00f9 il introduit la notion d\u2019\u00e9v\u00e9nements que nous appelons aujourd\u2019hui \u00ab\u00a0\u00e9quiprobables\u00a0\u00bb\u00a0: qui ont la m\u00eame chance de se produire sur le long terme, comme les nombres de 1 \u00e0 6 dans le jet d\u2019un d\u00e9 non pip\u00e9.<\/p>\n
C\u2019est gr\u00e2ce \u00e0 cette notion d\u2019\u00e9v\u00e9nement \u00e9quiprobable<\/i> qu\u2019au si\u00e8cle suivant, quand Antoine Gombaud, chevalier de M\u00e9r\u00e9 (1607-1684) pose \u00e0 Blaise Pascal (1623-1662), Christian Huygens (1629-1695), Pierre de Fermat (1607-1665) et les autres membres du \u00ab\u00a0groupe [du duc] de Roannez\u00a0\u00bb (Hacking 1975\u00a0: 57-62), un certain nombre de colles du genre\u00a0: \u00ab\u00a0Combien de fois faut-il jeter deux d\u00e9s pour avoir au moins une chance sur deux d\u2019avoir tir\u00e9 un double-six\u00a0?\u00a0\u00bb, ces messieurs constituent le cerveau collectif qui d\u00e9couvre la solution.<\/p>\n
Pour trouver la r\u00e9ponse, il faut savoir que les chiffres de 1 \u00e0 6 sont \u00e9qui-possibles<\/i> dans un jet de d\u00e9, il faut penser aussi au nombre de combinaisons possibles en fonction du nombre de d\u00e9s, il faut penser \u00e9galement que si on dit \u00ab\u00a0double-six\u00a0\u00bb, il n\u2019y a qu\u2019une possibilit\u00e9 sur 36 (6×6), que si on dit \u00ab\u00a0un 4 et un 5\u00a0\u00bb, il y a deux possibilit\u00e9s sur 36, soit une sur 18\u00a0: 4 sur le premier d\u00e9 et 5 sur l\u2019autre ET 5 sur le premier d\u00e9 et 4 sur l\u2019autre, que si on dit\u00a0: \u00ab\u00a05 en tout\u00a0\u00bb, il y a quatre possibilit\u00e9s sur 36, soit une sur 9\u00a0: 1 et 4, 2 et 3, 3 et 2 et 4 et 1, etc., et il faut aussi avoir observ\u00e9 que les 6 cas \u00e9qui-possibles<\/i> sont, sur le long terme, \u00e9galement \u00a0\u00e9quiprobables<\/i>. <\/i><\/p>\n
\u00c0 l\u2019\u00e9poque o\u00f9 Keynes d\u00e9couvre la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s, on s\u2019est convaincu qu\u2019\u00e0 tout \u00e9v\u00e9nement (possible et) contingent correspond une probabilit\u00e9 que l\u2019on peut l\u00e9gitimement mesurer par un nombre entre 0 et 1.<\/p>\n
Quelle est la probabilit\u00e9 de faire appara\u00eetre un 3 d\u2019un jet de d\u00e9 non pip\u00e9\u00a0? Une chance sur six\u00a0: un sixi\u00e8me, soit 0,1666\u2026 ou 16,66\u2026%.<\/p>\n
Le nombre associ\u00e9 \u00e0 la probabilit\u00e9 d\u2019un \u00e9v\u00e9nement comme \u00e9tant sa mesure peut \u00eatre utilis\u00e9 dans les calculs relatifs \u00e0 des paris.<\/p>\n
\u00ab\u00a0Je vous donne 100 \u20ac si c\u2019est un 7 qui appara\u00eet lors du jet d\u2019un d\u00e9, combien \u00eates-vous pr\u00eat \u00e0 miser\u00a0?\u00a0\u00bb L\u2019\u00e9v\u00e9nement est impossible, sa probabilit\u00e9 est de 0, donc la mise maximale de celui qui accepte un tel pari doit \u00eatre de 100 \u20ac x 0 =\u00a0 0 \u20ac.<\/p>\n
\u00ab\u00a0Je vous donne 100 \u20ac si c\u2019est un chiffre de 1 \u00e0 6 qui appara\u00eet lors du jet d\u2019un d\u00e9, combien \u00eates-vous pr\u00eat \u00e0 miser\u00a0?\u00a0\u00bb Comme vous gagnez dans tous les cas, l\u2019\u00e9v\u00e9nement est n\u00e9cessaire et sa probabilit\u00e9 vaut 1. La mise maximale est donc de 100 \u20ac x 1 = \u00a0100 \u20ac. Je recevrai 100 \u20ac de toute mani\u00e8re, donc si je mise 100 \u20ac, je ne gagnerai rien, mais je ne serai pas pour autant de ma poche\u00a0; toute mise de n<\/i> \u20ac produira un gain de 100 \u20ac – n<\/i> \u20ac.<\/p>\n
Et de m\u00eame\u00a0: \u00ab\u00a0Vous gagnez si un 2 ou un 4 appara\u00eet\u2026\u00a0\u00bb, soit dans 2 cas sur 6, soit dans un tiers des cas. La mise maximale doit donc \u00eatre de 100 \u20ac x 0,1666\u2026 x 2 = 33,33\u2026 \u20ac<\/p>\n
Pour la fr\u00e9quence d\u2019\u00e9v\u00e9nements de ce type, la probabilit\u00e9 des diverses occurrences correspond aux coefficients des puissances du bin\u00f4me (1 + X)n\u00a0<\/sup>. Les valeurs des coefficients des facteurs r\u00e9sultant du d\u00e9veloppement de cette expression dessinent la fameuse courbe en cloche d\u00e9notant la distribution statistique appel\u00e9e \u00ab\u00a0gaussienne\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0normale\u00a0\u00bb. Ainsi, pour (1 + x)5<\/sup>, les coefficients sont 1, 5, 10, 10, 5, 1\u00a0; pour (1 + x)6\u00a0<\/sup>: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, etc. Plus la puissance de n<\/i> est \u00e9lev\u00e9e, plus la courbe en cloche constitu\u00e9e par les valeurs des coefficients est lisse. C\u2019est l\u00e0 l\u2019origine du mythe qui veut que des \u00e9v\u00e9nements \u00ab\u00a0au hasard\u00a0\u00bb ont une distribution \u00ab\u00a0normale\u00a0\u00bb.<\/p>\n La croyance \u00e0 ce mythe simplifie consid\u00e9rablement toutes les questions d\u2019ordre statistique puisqu\u2019elle implique que la \u00ab\u00a0moyenne arithm\u00e9tique\u00a0\u00bb (la somme des valeurs attach\u00e9es \u00e0 chacun des cas, divis\u00e9e par le nombre de cas) sera automatiquement aussi le \u00ab\u00a0mode\u00a0\u00bb (le cas le plus repr\u00e9sent\u00e9) et la \u00ab\u00a0m\u00e9diane\u00a0\u00bb (le cas central \u00e0 la s\u00e9quence de tous les cas rang\u00e9s par valeur croissante ou d\u00e9croissante)\u00a0; elle suppose aussi que l\u2019\u00e9cart-type\u00a0: l\u2019\u00e9cart moyen de l\u2019ensemble des cas\u00a0par rapport au cas moyen, est un nombre fini calculable.<\/p>\n Malheureusement dans toute r\u00e9alit\u00e9 r\u00e9sultant de l\u2019interaction d\u2019\u00eatres humains, dont l\u2019\u00e9conomie et la finance font partie de plein droit, la distribution statistique d\u2019un type d\u2019\u00e9v\u00e9nements n\u2019est pas \u00ab\u00a0gaussienne\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0normale\u00a0\u00bb\u00a0: une repr\u00e9sentation graphique de la distribution produit une cloche plus pointue et dont les \u00ab\u00a0queues\u00a0\u00bb sont plus \u00e9paisses que dans le cas normal<\/i>, ou bien encore la courbe n\u2019est pas sym\u00e9trique\u00a0: la surface de sa partie \u00e0 la droite du sommet est plus importante que celle de la partie \u00e0 gauche, ou bien l\u2019inverse. Tout cela ne serait qu\u2019un moindre mal si l\u2019on pouvait \u00e9tablir une fois pour toutes, pour un certain type d\u2019\u00e9v\u00e9nements, une distribution pr\u00e9cise, or de mani\u00e8re caract\u00e9ristique, en \u00e9conomie et en finance, les distributions ne sont pas stables\u00a0: ainsi, les variations de prix \u00e0 la Bourse de Paris avaient une certaine distribution de 1819 \u00e0 1859, mais en avaient une autre de 1860 \u00e0 1914, les variations de l\u2019indice boursier am\u00e9ricain Dow Jones avaient une certaine distribution de 1930 \u00e0 1960, une autre de 1961 \u00e0 1972, une troisi\u00e8me de 1973 \u00e0 2003 et une quatri\u00e8me de 2004 \u00e0 2009 (Brian 2010\u00a0: 203-205), etc. La capacit\u00e9 des hommes \u00e0 apprendre, \u00e0 adapter leur comportement aux effets qu\u2019ils observent, joue bien entendu un r\u00f4le important dans l\u2019\u00e9volution de ces distributions, le progr\u00e8s technologique des march\u00e9s \u00e9galement, et tout particuli\u00e8rement quand ce sont d\u00e9sormais des robots, les \u00ab\u00a0algos\u00a0\u00bb, qui jouent en Bourse.<\/p>\n Ceci rejoint bien entendu la th\u00e8se d\u00e9fendue par Keynes dans son Treatise on Probability<\/i> (1921)\u00a0: pour la quasi-totalit\u00e9 des \u00e9v\u00e9nements contingents, il n\u2019existe pas de fr\u00e9quence observ\u00e9e stable de leur occurrence qui permettrait par g\u00e9n\u00e9ralisation de mesurer leur probabilit\u00e9. Et il ajoutait que m\u00eame s\u2019il existait une fr\u00e9quence mesurable stable, celle-ci ne pourrait encore repr\u00e9senter que l\u2019un des \u00e9l\u00e9ments nous permettant d\u2019\u00e9valuer la probabilit\u00e9 de son occurrence, les \u00ab\u00a0esprits animaux\u00a0\u00bb qu\u2019il invoque lorsqu\u2019il s\u2019agit de nos prises de d\u00e9cision, en \u00e9tant un autre.<\/p>\n On appelle \u00ab\u00a0risque\u00a0\u00bb une chance de perte. Si la perte est n\u00e9cessaire lorsque le risque est couru, il ne doit pas \u00eatre pris. Si la perte est seulement contingente, le nombre repr\u00e9sentant sa probabilit\u00e9 constitue le degr\u00e9 du risque couru qui, combin\u00e9 au montant moyen de la perte possible, permet de calculer le niveau des r\u00e9serves qui doivent \u00eatre constitu\u00e9es.<\/p>\n La r\u00e9glementation de B\u00e2le III, propos\u00e9e aujourd\u2019hui par la Banque des R\u00e8glements Internationaux, relative au risque financier des banques se fonde sur ce raisonnement, la r\u00e9glementation de Solvabilit\u00e9 II relative au risque des compagnies d\u2019assurance \u00e9galement.<\/p>\n Piernay note pour ce qui touche au calcul du Capital requis de solvabilit\u00e9<\/i> d\u2019une compagnie d\u2019assurance\u00a0dans Solvabilit\u00e9 II,<\/p>\n \u00ab\u00a0\u2026 chaque facteur de risque est repr\u00e9sent\u00e9 par une loi normale, ces facteurs de risque sont soit ind\u00e9pendants (action\/taux), soit d\u00e9pendants lin\u00e9airement (matrice de corr\u00e9lation fixe). Le risque total se distribue alors suivant une loi normale et peut \u00eatre enti\u00e8rement mesur\u00e9 par un \u00e9cart-type\u00a0\u00bb (Piernay 2010\u00a0: 85).<\/p><\/blockquote>\n Nous savons pourtant, par simple analyse des donn\u00e9es, que la distribution des \u00e9v\u00e9nements qui sont ainsi repr\u00e9sent\u00e9s ne rel\u00e8ve en r\u00e9alit\u00e9 pas d\u2019une loi normale<\/em>.\u00a0Pourquoi Solvabilit\u00e9 II consid\u00e8re-t-il quand m\u00eame que ce soit le cas\u00a0? Les auteurs de ces textes l\u2019ignorent-ils\u00a0? On aime penser que non, leur justification est sans doute la justification classique en th\u00e9orie \u00e9conomique et financi\u00e8re depuis le tournant marginaliste des ann\u00e9es 1870, que le probl\u00e8me qu\u2019il s\u2019agissait de r\u00e9soudre a \u00e9t\u00e9 simplifi\u00e9 par \u00e9tapes successives jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019il devienne soluble. La question qui n\u2019est jamais abord\u00e9e dans ce cas-l\u00e0 est celle de savoir si la simplification n\u2019a pas \u00e9t\u00e9 excessive, au point que le probl\u00e8me en ait \u00e9t\u00e9 en r\u00e9alit\u00e9 d\u00e9natur\u00e9. Si c\u2019est le cas, l\u2019approche choisie est inad\u00e9quate et, en l\u2019occurrence, le risque n\u2019est pas ma\u00eetris\u00e9.<\/p>\n Qu\u2019aurait dit Keynes \u00e0 propos de Solvabilit\u00e9 II, et de mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale de l\u2019usage fait aujourd\u2019hui du calcul des probabilit\u00e9s en finance\u00a0? Que rien n\u2019a chang\u00e9 depuis 1921 et que son Treatise on Probability<\/em> n’a manifestement\u00a0fait aucune diff\u00e9rence puisqu\u2019on n\u2019y a toujours rien compris.<\/p>\n ========================================<\/p>\n Brian, \u00c9ric, \u00ab\u00a0Al\u00e9as, normes sociales et limites de la performativit\u00e9\u00a0\u00bb, in Christian Walter (ed.), Nouvelles normes financi\u00e8res<\/i>, Paris\u00a0: Springer-Verlag, 2010, pp. 191-219<\/p>\n Hacking, Ian, The Emergence of Probability<\/i>, Cambridge\u00a0: Cambridge University Press, 1975<\/p>\n Keynes, John Maynard,\u00a0A\u00a0<\/i>Treatise on Probability<\/i>, London\u00a0: MacMillan 1921<\/p>\n Piernay, Michel, \u00ab\u00a0Les limites de la conception du risque selon Solvabilit\u00e9 II\u00a0\u00bb, in Christian Walter (ed.), Nouvelles normes financi\u00e8res<\/i>, Paris\u00a0: Springer-Verlag, 2010, pp. 79-94<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Un \u00e9v\u00e9nement que l\u2019on imagine est soit impossible, soit possible. 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