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PAUL JORION

Fondateur « Du Sujet :Théorie et Praxis »
 
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Paul Jorion

 

 

 

Le mathématicien et sa magie : théorème de Gödel et anthropologie des savoirs

 

 

 


Actes STP. 2000

 

 

 

Jacques Bouveresse a publié en 1999 un petit livre intitulé Prodiges et vertiges de l'analogie où il revient sur l'affaire Sokal et Bricmont. Rappelons, à l'intention de ceux qui nous lisent alors que les cendres de cet incident sont depuis longtemps refroidies, qu'à la fin du XXè siècle le physicien Alan Sokal de l'Université de New York parvint à faire publier dans Social Text, une revue ayant pignon sur rue

dans le domaine de ce que les Anglo-Saxons appellent " humanities " et qui correspond en France à un mixte de critique littéraire, de sciences humaines, de psychanalyse et de philosophie, un article, " Transgressing the Boundaries : Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity " (1996 reproduit dans Sokal & Bricmont 1999 [1997] : 305-367), qu'il considérait comme une " parodie ", du fait qu'il contenait selon lui une série de demi-vérités scientifiques, de théories non-avérées, d'affirmations relativistes extravagantes (qu’à la lumière de développements récents, la valeur de Pi ne peut plus être considérée comme stable, ni celle de g, la constante représentant la gravité universelle), ainsi qu'un certain nombre de phrases intentionnellement dépourvues de sens. Quelques temps plus tard, en collaboration avec un collègue physicien de l'Université de Louvain, Jean Bricmont, Sokal publiait un ouvrage intitulé Impostures intellectuelles (ibid.) où les co-auteurs ridiculisaient un ensemble de penseurs qui à leur sens commettent, lorsqu'ils parlent de science, des bévues comparables à celles dont Sokal s'était intentionnellement rendu coupable dans son " Transgressing the Boundaries ".

 

 

 

À la suite de quoi un grand nombre d'intellectuels s'empoignèrent, prenant parti qui pour les savants rieurs, qui pour les " humanistes " ridiculisés (j'utiliserai par la suite ce terme pour couvrir le mixte décrit ci-dessus). Dans son ouvrage, Bouveresse se range résolument du côté des rieurs et souligne la promptitude avec laquelle les dupes, s'identifiant aussitôt à Galilée victime de l'Inquisition, crièrent à la persécution. Il relève aussi que peu nombreux furent les offensés qui tentèrent de justifier ce que Sokal et Bricmont avaient qualifié d'" impostures ".

 

 

 

La justification du titre " Prodiges et vertiges de l'analogie ", se trouve à la page 34 de l'ouvrage, où le Professeur au Collège de France écrit : " Nous ne disposons toujours pas, sinon d'une véritable théorie de l'analogie (ce qui est sans doute trop demander), du moins d'une conception approximative de ce qui pourrait constituer un usage philosophiquement réglé et relativement discipliné de l'analogie, susceptible de conduire à des résultats à la fois acceptables et intéressants " (1999 : 34). Ce qui l'a conduit à cette remarque c'est l'intérêt spécifique qu'il porte à l'une des infamies dénoncées par Sokal et Bricmont, une analogie énoncée par Régis Debray entre le second théorème de Gödel relatif à l'incomplétude de l'arithmétique et la nécessité pour les systèmes politiques de trouver en-dehors de leur espace propre, dans le domaine du religieux par exemple, leur fondement.

 

 

 

On pourrait bien sûr être tenté de lire un aveu dans le fait que peu nombreuses furent les victimes de Sokal et Bricmont qui s'aventurèrent à justifier ou défendre ce que nos croisés des temps modernes dénoncèrent comme bévues, trahissant peut-être ainsi la difficulté qui existe pour un humaniste à croiser le fer avec les scientifiques sur des questions aussi complexes que les arcanes du second théorème de Gödel. Plus simplement, on pourrait arguer que le recours à l'analogie n'a que faire d'une justification : Aristote après tout n'y voyait qu'un procédé rhétorique étranger au mode de la preuve et tout juste utile à l'exploration heuristique (cf. Lloyd 1966 : 403-405). Si Debray considère que le théorème de Gödel a constitué pour lui la " source d'inspiration " qui lui a permis sa découverte, qui suis-je pour dire qu'il n'en a pas été ainsi, ou pour m'offenser que l'analogie qui lui est venue à l'esprit soit qu'il existe un fondement religieux au politique ? Faut-il supposer que ceux qui s'indignent tiennent que l'analogie que le second théorème de Gödel aurait dû souffler à Debray aurait dû être toute différente et qu'ils n'auraient aucun mal à formuler précisément ce qu'elle aurait dû plutôt être ? Il me semble que leur position est en réalité dogmatique et doit s'entendre ainsi : le second théorème de Gödel est une chose trop précieuse pour qu'on laisse les humanistes lui trouver des analogies. Mon maître Edmund Leach me dit un jour à peu près ceci : " Le petit livre rouge des pensées de Mao-Tsé-Toung constitue pour moi une source d'inspiration. Je l'ouvre ici ou là, je lis quelques passages et il me vient une idée qui m'apparaît — du moins à première vue — originale. Il se pourrait que Needham parvienne au même effet en feuilletant l'annuaire téléphonique, cela ne me surprendrait pas outre mesure, à chacun sa méthode ".

 

 

 

Si le débat suscité par Sokal et Bricmont apparaît aujourd'hui avoir été peu fécond, il est peut-être possible, en s'éloignant des simples effets de surface, d'en tirer quelques enseignements qui dépassent la banalité du fait que les représentants des sciences exactes, d'un côté, les philosophes, représentants des sciences humaines, etc., de l'autre, sont en réalité experts dans des domaines très différents. La première chose qui me frappe, c'est qu'au cours des soixante-quinze dernières années, les " humanistes " n'ont pas, comme on pourrait l'imaginer, emprunté leurs analogies à l'entièreté du champ scientifique et mathématique mais tout particulièrement à deux domaines très précis de ceux-ci : le théorème d'incomplétude de l'arithmétique publié en 1931 par Kurt Gödel, dit " second théorème de Gödel " et la relation d'incertitude (ou d'indétermination) introduite en mécanique quantique par Niels Bohr et Werner Heisenberg à la fin des années 1920.

 

 

 

" Incomplétude " et " incertitude ", voilà en effet deux termes susceptibles de mettre la puce à l'oreille des humanistes car bien à même de caractériser les conclusions auxquelles ils aboutissent le plus souvent. La science leur semblera donc tout particulièrement digne d'intérêt là où elle se reconnaît " incomplète " (théorème de Gödel) ou " incertaine " (mécanique quantique). Voir apparaître ces termes dans le champ des sciences dites dures a pu à la fois rassurer l'humaniste quant à la validité de ses propres travaux et suggérer l'existence d'un continuum entre sciences dures et sciences molles. Il est possible du coup, si l'on entretient des doutes sur le projet même d'une " science de l'homme " d'imaginer qu'un même scepticisme peut être étendu aux sciences exactes et déboucher sur un relativisme où tous les chats sont gris et tous les savoirs se valent, le raisonnement sous-jacent étant du type : " Si l'arithmétique est incomplète, alors qui s'étonnera que la sociologie le soit ! ", ou bien " Si la position d'une particule élémentaire est incertaine, l'interprétation d'un texte doit l'être a fortiori ! ". À moins bien sûr que, mus par l'envie et le ressentiment, ils aiment surtout le second théorème de Gödel parce qu'ils croient y lire une défaite des mathématiques — et la mécanique quantique parce qu'ils imaginent y observer un échec de l'approche " physicaliste " du monde.

 

 

 

Ce sont précisément les représentants de l'humanisme sceptique, déconstructivistes et autres penseurs du post-modernisme, que Sokal attendait au tournant quand il glissa dans son texte que les constantes Pi et g, la gravité universelle, ont désormais une signification " relative ". Il n'en est rien bien sûr : aucun développement contemporain de la science ou des mathématiques ne suggère rien de tel. Trop empressés de conquérir de nouveaux territoires au scepticisme du tous les chats sont gris, ils s'engouffrèrent dans le défilé où Sokal les attendait en embuscade.

 

 

 

* * *

 

 

 

L'une des avancées de l'anthropologie structurale que fonda Claude Lévi-Strauss, c'est qu'il devint possible d'appliquer à tout fait de culture des méthodes d'analyse jusque-là réservées à l'anthropologie. Le second théorème de Gödel fait partie des faits de culture, la relation d'incertitude en mécanique quantique également. Une anthropologie des savoirs doit pouvoir prendre ceux-ci comme objet d'étude et les situer dans l'espace de modélisation où se constitue tout savoir, déterminer leurs particularités et mettre en évidence le système de croyance auquel souscrit nécessairement celui qui les formule. On pourrait appliquer la démarche à l'un aussi bien qu'à l'autre. Je ne parlerai ici que du premier : le théorème d'incomplétude de l'arithmétique de Gödel. Si j'ai écarté la discussion de la relation d'incertitude en mécanique quantique c'est pour plusieurs raisons : la première est suffisante en soi, c'est que l'exposé aurait été beaucoup plus long que ne l'autorise le format autorisé pour un article. La seconde apparaîtra dans ma conclusion : le débat possible sur la mécanique quantique ne ferait que répéter celui qui est possible ici sous une forme plus économique. Et ceci, on le verra, Sokal et Bricmont le savent d'ores et déjà.

 

 

 

Mon propos n'étant pas de prouver que le théorème de Gödel est vrai ou est faux (pour autant que je puisse en juger je ne pense pas qu'il se soit trompé sur un plan technique dans sa démonstration, ni lui, ni non plus tous ceux qui démontrèrent par la suite des formes plus générales du même argument), il n'est pas indispensable que la démonstration soit paraphrasée dans son détail. D'une certaine manière, la complication-même de celle-ci apparaîtra significative dans mon exposé, cet aspect expliquant sans doute pourquoi une incongruité centrale à l'argumentation de Gödel est resté inaperçue des humanistes qui ont fondé sur lui certaines de leurs analogies au cours des dernières soixante-quinze années. Je procéderai donc de manière impressionniste, introduisant d'abord " naïvement " la question que pose Gödel, puis les principaux concepts et techniques qu'il fait intervenir dans son exposé. Arrivé là il me sera possible de concentrer mon attention sur le coeur de la démonstration, le lecteur ayant acquis en cours de route une compréhension adéquate des enjeux. Qu'est-il alors permis d'arguer dans une perspective d'anthropologie des savoirs, sachant les reproches auxquels s'expose nécessairement une analyse critique qui, d'intention délibérée, n'expose pas son objet de manière complète ?

 

 

 

* * *

 

 

 

En 1930, Kurt Gödel démontra un premier théorème mettant en évidence que " la logique des prédicats de premier ordre est complète " ; je n'en dirai pas plus. Le second théorème de Gödel, publié une année plus tard, prouve lui que " l'arithmétique est incomplète ". Ce dont il est question, c'est de l'arithmétique " intuitive ", en gros celle que l'on apprend à l'école, où l'on manipule des nombres à l'aide des opérations élémentaires de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division. Le titre officiel du second théorème est " À propos de propositions formellement indécidables de Principia Mathematica et de systèmes apparentés ". Au début du XXè siècle, Alfred North Withehead et Bertrand Russell avaient, dans leur Principia Mathematica exposé l'arithmétique de manière formelle (je dirai plus loin ce que cela veut dire), à partir de la prémisse " logiciste " selon laquelle les mathématiques peuvent être exprimées entièrement dans les termes de la logique.

 

 

 

La démonstration de Gödel est extrêmement complexe, si bien que de nombreux mathématiciens s'y sont perdus. Dans un article consacré à la réception du théorème, John W. Dawson rapporte que, non seulement les mathématiciens et logiciens qui soulevèrent des objections peu de temps après sa publication n'avaient pas parfaitement compris sa démonstration, mais qu'il en allait de même de certains qui vinrent au renfort de Gödel. Si bien que toute tentative de la présenter sous une forme simplifiée dénature les questions épistémologiques importantes qu'elle soulève. Il existe une introduction fort populaire au théorème due à E. Nagel et J. R. Newman qui n'a pas su éviter cet écueil : dans leur souci de rendre la question " abordable " par les profanes, les auteurs de ce texte de vulgarisation ont " simplifié " leur exposé de la démonstration d'une manière qui rend méconnaissable ses enjeux épistémologiques réels (Nagel & Newman 1959).

 

 

 

Cela dit il existe sur la question une littérature plus intéressante à laquelle je me suis référé. Je pense en particulier à l'Introduction par R. B. Braithwaite à la première publication du théorème en anglais en 1962. Je pense aussi à l'ouvrage magistral de Jean Ladrière, Les limitations internes des formalismes. Étude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques, publié en 1957.

 

 

 

Dans la perspective critique que j'adopte ici, deux auteurs surtout ont ouvert la voie. Le premier est sans conteste un géant : le philosophe Ludwig Wittgenstein. Le théorème de Gödel fut l'un de ses objets de réflexion favoris : on le retrouve comme un thème récurrent de ses réflexions sur les fondements des mathématiques et il est évoqué dans plusieurs des ouvrages que ses élèves publièrent après sa mort à partir de ses notes. Bouveresse a lui-même commenté les travaux de Wittgenstein consacrés aux fondements des mathématiques, en particulier dans son Le pays des possibles. Wittgenstein, les mathématiques et le monde réel (1988). Dans le monde anglo-saxon, Stephen Shanker a lui aussi consacré un certain nombre d'articles à une analyse d'inspiration wittgensteinienne du théorème de Gödel, en particulier " Wittgenstein's Remarks on the Significance of Gödel's Theorem " (1988). Il a également publié un livre complet sur la philosophie des mathématiques de Wittgenstein (1987).

 

 

 

* * *

 

 

 

Ce qui frappe d'abord à la lecture du théorème de Gödel c'est à quel point le profane se retrouve sur des terres éloignées de ce que l'énoncé du théorème semblait annoncer initialement, à savoir apporter la preuve que l'arithmétique est incomplète. Aucun des mots " preuve ", " arithmétique ", " incomplet " n'est pris dans son sens usuel. Dans les premiers paragraphes de sa démonstration, Gödel écrit : " … il existe en fait des problèmes relativement simples de la théorie des nombres entiers ordinaires qui sont indécidables à partir des axiomes " (Gödel 1992 [1931] : 38). Une proposition est dite " indécidable " au sein d'un système formel où existe un opérateur de négation, si elle est vraie mais que l'on ne peut ni la prouver ni l'infirmer, ce qui veut dire que l'on ne peut ni la prouver elle, ni sa négation. Le second théorème de Gödel démontre qu'il existe en arithmétique des propositions indécidables. Cela établit que l'arithmétique est " incomplète ". " Incomplet ", ne doit donc pas s'entendre au sens où un puzzle peut être incomplet parce qu'on a égaré certaines de ses pièces. Il n'y a pas là de quoi s'étonner : chaque domaine un tant soit peu technique se constitue ses propres outils et son propre vocabulaire. Tout lecteur étranger au sous-domaine des mathématiques spécifique au théorème de Gödel qu'est la théorie de la démonstration (un hybride entre mathématiques et logique) et le climat intellectuel au sein duquel il est apparu (le Programme de Hilbert) aurait du mal à imaginer à la lecture du théorème et de sa démonstration que Gödel a " prouvé que l'arithmétique est incomplète ".

 

 

 

Autre chose qui frappe : le non-dit à propos des règles du jeu. Voici plusieurs années que j'essaie de comprendre la manière dont se déroule une partie de base-ball. Chaque fois qu'un nouvel aspect du jeu me devient compréhensible, il s'avère qu'il ne s'agissait pas d'une règle qui m'était jusque-là inconnue mais plutôt d'un principe implicite non-formulé, dont on m'affirme alors qu'il ne s'agit pas d'une règle à proprement parler mais de " quelque chose que tout le monde sait ". Bien entendu il s'agit alors de " tout le monde " sauf moi. Par exemple que le pitcher ne doit pas (je ne dis pas n' " a pas le droit ") recourir au moyen simpliste de gagner qui consisterait à systématiquement viser le batter entre les deux yeux. Un peu comme aux échecs, où l'on ne peut pas placer une pièce dans une case où une autre se trouve déjà, sans que ceci fasse partie des règles explicites du jeu. Dans ce postulat que l'on ne vise pas le batter à la tête, il s'agit de ce qu'on appelle le " fair-play ". Mais le fair-play n'est rien d'autre qu'un principe implicite à tout jeu ou tout sport, qui exige qu'en dépit du fait que chaque joueur doit à son équipe de s'efforcer de gagner, il lui faut aussi consacrer une partie non-négligeable de son effort et de son talent à assurer simplement la bonne suite de la partie, par-delà ce qu'énoncent les règles explicites. C'est-à-dire en réalité qu'il lui faut dans une certaine mesure collaborer avec son adversaire pour la cause supérieure de la bonne santé du sport (ce qu'Aristote appelait la " philia "). Ce " tout le monde le sait " est bien sûr lié au fait que mes interlocuteurs se sont familiarisés avec ce sport durant leur enfance, et l'ont appris dans leur corps, de la même manière que l'on apprend sa langue maternelle, avant même d'avoir conscience que l'on peut effectuer une tâche particulière en suivant plutôt un ensemble de règles. Il en va de même pour les mathématiciens : ils tiennent compte de règles implicites qu'ils n'ont jamais apprises en tant que telles mais qui font partie de ce savoir intériorisé qui se bâtit parce que l'on fait simplement " comme tout le monde ", à savoir comme ses maîtres, puis comme ses collègues.

 

 

 

À l'inverse des règles implicites qui correspondent en gros au " fair-play ", il y a la réalité du fait que les mathématiciens apparaissent quelquefois tricher délibérément par rapport aux principes qu'ils se sont imposés. Il s'agit alors toujours du même procédé à l'oeuvre, celui qu'Émile Meyerson a appelé (dans une transposition audacieuse de Hegel), la rationalité ou ignorance de l'irrationnel : le fait de repérer un obstacle, de tenter de le vaincre, d'y échouer et — au lieu alors de s'y arrêter — de simplement nier au bout d'un moment qu'il ait jamais existé. Cantor, à la fin du XIXè siècle se révéla le champion d'une telle démarche : il nia l'irrationnel à de nombreuses reprises à propos des transfinis, et eut recours en particulier à la méthode dite de diagonalisation qui propose un moyen astucieux de le dépasser. L'indécidabilité de Gödel dans laquelle certains de ses collègues ne virent rien de plus qu'une simple contradiction constitue un tel exemple d'obstacle redéfini de manière optimiste en ouverture vers de nouveaux horizons.

 

 

 

* * *

 

 

 

Comment prouve-t-on, ou démontre-t-on une proposition en mathématiques ? On dispose d'un certain nombre de propositions valides susceptibles de servir de point de départ, généralement appelées " axiomes ". On a également à sa disposition des " règles d'inférence " qui spécifient comment construire d'autres propositions valides à partir des axiomes, lesquelles peuvent servir à leur tour de point d'application des règles d'inférence. Wittgenstein dit " une proposition mathématique (…) est le chaînon final d'un enchaînement visant à la preuve " (§ 122 : 1975). Une fois une proposition prouvée, on peut l'appeler " théorème " lorsqu'elle est particulièrement significative. Ladrière écrit : " Les énoncés vrais sont les axiomes et les théorèmes. Un théorème est un énoncé que l'on peut déduire des axiomes ou de théorèmes déjà démontrés au moyen d'un enchaînement d'énoncés intermédiaires qui constitue une démonstration " (Ladrière 1992 [1957] : 41).

 

 

 

On savait certainement démontrer un théorème avant qu'Euclide ne rédige ses Éléments, mais pour ce qui touche aux textes en notre possession, c'est bien lui qui introduisit en mathématiques le style " axiomatique " où de nouvelles propositions, les théorèmes, sont engendrées de manière systématique à partir d'un corpus d'" axiomes ", c'est-à-dire à partir de " thèses " non-contradictoires (celles-ci étant soit des hypothèses, soit de simples définitions). L'ensemble de ces termes fonctionnent encore aujourd'hui dans les acceptions qu'en proposa Aristote, " J'utilise le terme thèse pour le premier principe immédiat et indémontrable d'un syllogisme, dont la compréhension n'est pas nécessaire dans l'acquisition de certains types de savoir. Mais celui qui doit être clairement conçu lorsqu'un certain autre type de savoir doit être acquis, celui-là, je l'appelle un axiome ; car il existe certains domaines de ce genre et nous avons coutume alors d'utiliser plus spécialement ce terme. Une thèse où une partie de la proposition est une supposition, c'est-à-dire ou l'on infère que quelque chose existe ou n'existe pas, est une hypothèse ; une thèse où aucune partie n'est supposée est une définition " (Aristote, Analytiques Seconds : 72a 19-25).

 

 

 

Il y a dans la République de Platon un passage qui révèle la manière dont était conçu le rôle des axiomes à l'époque où l'on " axiomatisa " les mathématiques pour la première fois : " Supposons ex hypothesi que ce principe est vrai et procédons. Mettons-nous simplement d'accord qu'au cas où — ultérieurement — nous changerions d'avis quant à ce principe, toutes les conclusions auxquelles nous avions abouti grâce à lui seraient invalidées " (Platon 1966, iv 437a) .

 

 

 

Au début du XXè siècle, certains mathématiciens, au premier rang desquels David Hilbert, voulurent dépasser l'axiomatisation en s'assurant que les mathématiques soient complètement formalisées, c'est-à-dire fonctionnent entièrement sur la base de symboles non-intuitifs, qui pourraient alors, dans un deuxième temps et séparément, être " interprétés " en termes de réalités empiriques intuitives telles que le temps, les distances, la vitesse, l'accélération, etc. L'une des motivations essentielles d'un tel projet était de libérer les mathématiques de certains paradoxes contrariants tels qu'ils florissaient alors dans la théorie des ensembles due à Cantor. Hilbert écrivait : " ... je voudrais rendre aux mathématiques leur ancienne prétention à une vérité inattaquable, que les paradoxes de la théorie des ensembles ont paru leur enlever... " (in Ladrière [1957] 1992 : 5). Hilbert lui-même proposa une formalisation de la géométrie euclidienne. En principe, les bases étaient ainsi assurées qui permettraient d'établir une séparation nette entre la syntaxe des mathématiques — les opérations dénuées de signification portant uniquement sur des symboles —, et leur sémantique — l'utilisation d'objets mathématiques en tant que modèles permettant de représenter des phénomènes ou des mécanismes empiriques. En promouvant la " formalisation ", Hilbert ouvrait la voie à l'utilisation algorithmique " automatique " des mathématiques qui serait au coeur du calcul opéré par des machines, autrement dit, au centre de l'informatique naissante. Alan Turing, Alonzo Church et Stephen Kleene seraient les pionniers de la mise au point de la théorie de la " calculabilité ", car tel serait le nom de cette nouvelle spécialité.

 

 

 

Gottlob Frege le premier, à la fin du XIXè siècle, ensuite Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ensemble, au début du XXè, entreprirent de manière ambitieuse de procurer aux mathématiques un fondement purement logique. Si leur tentative ne fut pas entièrement couronnée de succès, elle joua cependant un rôle important dans la tâche de clarification qu'Hilbert avait inaugurée de son côté, bien qu'avec une intention différente. Qu'est-ce qui aurait pu fournir en effet à une théorie de la démonstration sa cohérence sinon les principes généraux de la logique ?

 

 

 

* * *

 

 

 

Au sein d'un objet mathématique, les différents symboles qui le constituent se définissent les uns par rapport aux autres, chacun imposant certaines contraintes sur la manière dont les autres, présents au sein de même contexte, vont pouvoir opérer, jouant vis-à-vis d'eux un rôle de renforcement, d'inhibition, de catalyse, de délimitation de leur territoire, etc. Certains sont purement passifs, n'ayant pas d'autre pouvoir que de refléter les contraintes que les autres leur imposent. Un objet mathématique d'une certaine ampleur articule les éléments " atomiques " que sont des propositions mathématiques liées entre elles de manière cohérente (non-contradictoire).

 

 

 

Une proposition mathématique est bien formée ou non. C'est-à-dire que les symboles qui la composent sont utilisés à bon escient ou non, respectant les règles de position et de contexte qui président à l'expression de formules valides, lesquelles peuvent alors en contexte être distinguées en vraies ou fausses. Ainsi 23 + 13 = x est une formule valide, sa vérité dépend de la valeur de x : si x est égal à 36, en plus d'être valide, la formule est aussi vraie. Par contre, 23 + x — =, n'est pas une formule valide : les signes composent une suite " non-grammaticale ".

 

 

 

La manière de prouver qu'une formule est vraie consiste à la démontrer. Le fait qu'elle soit vraie dépend donc du fait qu'elle soit démontrable. Il existe cependant une différence évidente entre

 

 

 

4 + 5 = 9 (a)

 

 

 

et

 

 

 

" la proposition (a) est démontrable " (b)

 

 

 

La proposition (a) est vraie, la proposition qui lui liée et qui serait fausse est 4 + 5 ≠ 9.

 

 

 

La proposition (b) est vraie, la proposition qui lui est liée qui serait fausse serait celle-ci : "la proposition (a) n'est pas démontrable".

 

 

 

C'est donc une chose d'engendrer des propositions mathématiques vraies, c'en est une autre d'énoncer des propositions vraies relatives à la démontrabilité de propositions mathématiques (vraies). On prit l'habitude au début du XXè siècle, d'appeler de telles considérations relatives à des propriétés d'objets mathématiques, "  métamathématiques ". Les mathématiciens considérèrent donc à partir de cette époque que l'on a affaire à deux domaines distincts de l'activité mathématique : celui des propositions mathématiques et celui des propositions métamathématiques. En réalité le simple fait d'appeler " 4 + 5 = 9 ", " proposition (a) " est déjà en soi une démarche métamathématique, mais les mathématiciens établirent la démarcation au-delà. Il y a là comme on le verra, un danger.

 

 

 

Pour ce qui touche à leur vérité et leur fausseté, les mathématiques et les métamathématiques relèvent de principes différents : les premières disposent de leur propre système de validation, le système de validation des secondes est la logique commune.

 

 

 

En mathématiques, je peux faire la chose suivante, je peux dire (a - b) * (a + b) = a2 - b2. Où a et b tiennent lieu de nombres réels quelconques. Pourquoi ? Parce que la multiplication des expressions entre parenthèses va produire, en sus des a et b qui vont se retrouver au carré (l'un, a, en tant que nombre positif, l'autre, b, en tant que nombre négatif), deux expressions supplémentaires a*b affectée du signe + et b*a affectée du signe - . Or celles-ci vont s'annuler parce que la loi de multiplication des nombres réels est commutative : l'ordre dans lequel on multiplie les termes est indifférent : a*b = b*a. Du coup a*b - b*a = a*b - a*b et a*b - a*b = 0. Et l’on se retrouve avec les seuls carrés, a2 - b2.

 

 

 

Le principe, facile à comprendre, de la formule (a - b) * (a + b) = a2 - b2 est que a et b représentent, tiennent lieu, de nombres réels quelconques. Mais Gödel quand il parle d'arithmétique ne parle plus nécessairement seulement d'opérations sur des nombres : il aborde l'arithmétique par le biais " logiciste " que lui ont imprimé Russell et Whitehead. Or la logique traite la représentation symbolique de manière très différente. En logique on a ceci : " (si) Certains a sont b " et " (si) Tous les b sont c ", alors " (à coup sûr) Certains a sont c ". Par exemple, " (si) Certains Parisiens sont sans emploi " et " (si) Tous ceux qui sont sans emploi ont des soucis d'argent ", alors " (à coup sûr) Certains Parisiens ont des soucis d'argent ".

 

 

 

J'ai pris la précaution de faire précéder les prémisses d'un " si " et la conclusion d'un " à coup sûr ". Ceux-ci sont toujours sous-entendus, " on sait " que la vérité de la conclusion dépend de celle des prémisses. Avec ma formule mathématique rien de semblable n'est supposé : je ne dois pas écrire « si " (a - b) " » et « si " (a + b) " » alors « à coup sûr " a2 - b2 " », non : aucune condition particulière ne doit être remplie, ni par le " a - b ", ni par le " a + b " pour que le " a2 - b2 " se réalise.

 

 

 

Autrement dit, il est impossible de traiter de la vérité de propositions du type (a - b) * (a + b) = a2 - b2 de la même manière que l'on parle de propositions du type " si certains a sont b " et " si tous les b sont c ", alors " Certains a sont c ". Et cela parce que les premières sont vraies du moment que a et b sont des nombres et qu'aucune relation particulière n'est exigée a priori entre les valeurs choisies pour a et b, c'est-à-dire que la proposition (a - b) * (a + b) = a2 - b2 est vraie sous cette forme, alors que des propositions du type " si certains a sont b " et " si tous les b sont c ", alors " Certains a sont c ", ne sont vraies que s'il existe un certain type de rapport préalable entre a et b d'une part, et b et c, d'autre part. À savoir, il faut pour que " Certains a soient c ", que les états-de-choses " Certains a sont b " et " Tous les b sont c " soient vrais l'un et l'autre. Ce qui signifie que les propositions logiques du type " Certains a sont b " ne sont vraies qu'une fois interprétées, c'est-à-dire qu'une fois que les a et b ont été remplacés par des données intuitives, des catégorèmes, des mots " à contenu " de la langue, dénotant des significats, leur référence.

 

 

 

Cela dit, la logique a aujourd'hui des ambitions plus vastes : elle ne se contente plus comme au temps d'Aristote de définir les conditions à réunir pour produire des conclusions vraies à partir d'affirmations ou de négations contenant des quantificateurs comme " Tous les…" ou " Certains… ", elle autorise aussi à prévoir le caractère vrai ou faux des conclusions à partir de la figure composée et de la simple connaissance du fait si les propositions intervenantes expriment un état-de-choses vrai ou faux. À ce point de vue la logique vise à un statut de " métaconnaissance ", affirmant ce qui est vrai et faux par rapport à des ensembles de propositions dont la vérité individuelle a été établie préalablement et par ailleurs. La distinction entre des propositions arithmétiques qui n'avancent que des choses vraies dès qu'elles sont " bien formées " et démontrées et des propositions de logique qui énoncent des choses vraies sur des inférences valides à partir d'ensembles de propositions dont on sait seulement si elles sont vraies ou fausses — et que cette véracité a été établie par ailleurs, ces distinctions cessent d'être évidentes lorsqu'on se met à parler concurremment — comme c'est le cas, on le verra, dans la démonstration du second théorème de Gödel — d'arithmétique et de théorie de la démonstration, laquelle, dans l'approche de Russell et Whitehead n'est qu'une variété de la logique.

 

 

 

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On admet donc qu'une proposition mathématique est vraie si elle est démontrable. Or le théorème de Gödel avance qu'il existe des propositions arithmétiques vraies qui ne peuvent être démontrées. Il y a donc là au moins un paradoxe. Celui-ci se dissipera par la suite. Comme une préparation à la disparition du mystère je vais cependant examiner de manière générale l'origine possible des propositions vraies.

 

 

 

J'ai cité plus haut Ladrière quand il écrit " Les énoncés vrais sont les axiomes et les théorèmes ". Or le second théorème de Gödel établit qu'" Il existe en arithmétique des propositions vraies que l'on ne peut ni prouver ni infirmer (prouver leur négation) ". D'où viennent alors ces propositions vraies ? Il ne peut s'agir des axiomes, puisqu'ils sont vrais sans devoir être prouvés, faisant partie du cadre de base de la théorie, il ne s'agit pas non plus des théorèmes, puisqu'un théorème est par définition une proposition qui a été démontrée.

 

 

 

Il y a là une difficulté d'emblée, difficulté dont Gödel était conscient. Dans l'article de John W. Dawson déjà cité, celui-ci note que « Dans le brouillon d'une réponse à une question posée par un étudiant thésard, Gödel indiquait que c'était précisément sa reconnaissance de la différence des situations (circumstances) entre la possibilité de définir formellement la démontrabilité et l'impossibilité de définir formellement la vérité qui le conduisit à la découverte de l'incomplétude. Le fait qu'il ne signala pas ceci [en 1931] s'explique peut-être par son observation (dans un passage raturé du même brouillon) que "en raison des préjugés philosophiques de l'époque... le concept d'une vérité mathématique ... était reçu avec la plus grande suspicion et le plus souvent rejeté comme sans signification" » (Dawson 1988b : 92).

 

 

 

Cela est très étrange. Il y a là un flou qui — si l'on comprend bien Gödel dans ce brouillon de lettre — résulte de choses que l'on ne pouvait pas dire en 1931, en raison des « préjugés de l'époque ». Peut-être la question des propositions mathématiques vraies qui n'appartiennent cependant pas aux deux variétés de propositions reconnues comme vraies en mathématiques, les axiomes, et les théorèmes, pourra-t-elle s'éclairer en répondant de manière plus générale à une question à la consonance très maoïste : " D'où viennent les propositions vraies ? ".

 

 

 

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La perspective contemporaine est celle où toute proposition (et idéalement toute phrase) est soit vraie soit fausse, au sens de l'" adaequatio rei et intellectus " telle qu'on la trouve déjà exprimée chez Platon, de la correspondance adéquate de la chose dite à la chose dont il est dit (voir Jorion 1990, chapitre 19). Dans cette optique, la négation est perçue comme l'envers authentique de l'affirmation. La finalité de tout discours n'étant plus aujourd'hui d'éviter de se contredire mais de dire le vrai, deux moyens sont disponibles pour atteindre cet objectif: soit affirmer le vrai, soit nier le faux. Autrement dit, dire du vrai qu'il est ou dire du faux qu'il n'est pas.

 

 

 

La proposition " Cette pomme est rouge " est vraie si la pomme que je vous montre est effectivement rouge. Elle est fausse si cette pomme est de toute autre couleur. Un moyen donc d'établir la vérité d'une proposition est l'évidence des sens : la proposition doit décrire un état-de-choses que l'évidence des sens confirme.

 

 

 

Il y a d'autres vérités qui sont de convention parce qu'elles sont des définitions, c'est-à-dire des raccourcis que se donne la langue en remplaçant plusieurs termes par un seul, ce qu'Ernest Mach appelait à la fin du XIXè siècle, une " économie mentale ". Ainsi, " le faon est le petit du cerf ". On pourrait continuer de dire " le petit du cerf ", mais on aura la liberté désormais de dire à la place " le faon ". Ou bien " On appelle anticonstitutionnel, un texte législatif dont le contenu est en contradiction avec l'esprit de la constitution ". À partir de là, la proposition " un texte législatif dont le contenu est en contradiction avec l'esprit de la constitution est anticonstitutionnel " est une tautologie, c'est-à-dire dans ce cas-ci, est vraie par définition.

 

 

 

On peut aussi parvenir à des propositions vraies de manière déductive. Soit, par exemple, une proposition dont on peut établir la vérité immédiatement par l'évidence des sens, " La pluie mouille ", on peut également en établir la vérité de manière déductive, à l'aide d'un syllogisme : " La pluie est faite d'eau ", " l'eau mouille " donc " la pluie mouille ". Ou faisant appel à une définition, " la proposition 22 contredit l'esprit de la constitution, donc la proposition 22 est anticonstitutionnelle ".

 

 

 

On me demande s'il existe des chameaux blancs. Si j'ignore la réponse, je peux éventuellement procéder de manière déductive : " Toutes les espèces de mammifères ont une variété à pelage blanc ", " le chameau est un mammifère ", donc " il existe des chameaux blancs ". On ne parvient cependant pas à établir la vérité de toute proposition de cette manière : si l'on me demande cette fois s'il existe " en Amazonie une coccinelle ayant dix-sept points noirs sur fond jaune ", je devrai soit découvrir la réponse dans un livre, soit entreprendre en Amazonie l'expédition qui apportera éventuellement la confirmation empirique irréfutable de la proposition.

 

 

 

A partir de là, il est permis de faire le catalogue des types de propositions vraies : il y a celles qui sont vraies parce que leur contenu tombe sous le sens, et que chacun les tenant pour vraies il est légitime de les faire intervenir comme prémisses dans des raisonnements et il y a celles qui sont vraies pour avoir été prouvées vraies en tant que conclusions de démonstrations syllogistiques — dont les démonstrations mathématiques ordinaires sont des exemples. Il y a aussi celles qui sont vraies par convention, parce qu'elles sont des définitions.

 

 

 

Comme de deux prémisses vraies on ne peut tirer qu'une seule conclusion vraie, on sera obligé pour poursuivre ses raisonnements, soit d'introduire de nouvelles définitions — et les nouvelles vérités que l'on générera ainsi seront de simples conséquences de ces définitions, soit d'aller chercher dans le monde de nouveaux faits qui " tombent sous le sens ", des observations venant corroborer soit des hypothèses, soit encore des faits d'induction du genre, " Être sans fiel caractérise l'homme, le cheval et le mulet ", " Le fait de vivre longtemps caractérise l'homme, le cheval et le mulet ", il est donc probable (bien que non démontré) que " Le fait de vivre longtemps caractérise les animaux sans fiel " (Aristote : Analytiques Premiers : II xxiii, 68b 15-19).

 

 

 

On l'a vu, le second théorème de Gödel affirme qu' il existe en arithmétique des propositions " indécidables ", autrement dit, des proposition vraies que l'on ne peut pas démontrer, c'est-à-dire, des propositions vraies que l'on ne peut pas prouver de manière déductive à l'intérieur de l'arithmétique. À la lumière de ce que je viens de dire ceci ne peut signifier qu'une seule chose : comme la vérité de ces propositions n'a pas été établie déductivement, elle doit résulter de l'une des deux autres sources des propositions vraies : soit, il s'agit de propositions qui sont vraies par définition, soit il s'agit de propositions qui sont vraies parce que leur vérité tombe sous le sens. Or il ne peut s'agir ici de propositions qui sont vraies par définition : une proposition qui ne serait pas déductible parce qu'elle est vraie par définition devrait faire partie des axiomes de la théorie, c'est-à-dire faire partie des propositions de base par rapport auxquelles d'autres propositions vraies [théorèmes] peuvent être déduites. Il ne reste donc qu’une seule possibilité : les propositions vraies non-déductibles qu'évoque Gödel doivent être vraies parce que leur vérité tombe sous le sens. La question qu'un " humaniste " se doit alors de poser à Gödel et à ceux qui soutiennent sa position est celle-ci : " Peut-on établir la vérité d'une proposition en arithmétique — indépendamment de sa démonstration — de la même manière que l'on fait la preuve qu'il existe en Amazonie une coccinelle à dix-sept points noirs sur fond jaune ? Autrement dit, quel est le type d'expédition à entreprendre qui permettra de confirmer la vérité de propositions qui ne sont pas des définitions et dont la vérité ne peut être établie par déduction ? "

 

 

 

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Rien n'interdit de représenter des propositions métamathématiques à l'aide d'un système de symboles. C'est ce que fit Gödel qui utilisa le système de représentation mis au point en 1928 par Hilbert et Ackermann (Braithwaite 1992 [1962] : 10). Je peux écrire par exemple " (a) n'est pas démontrable " sous la forme " N(D a) ". Une fois les propositions métamathématiques traduites sous forme de formules, rien n'interdit non plus cette fois de coder ces dernières de manière à leur faire correspondre des nombres. Par exemple, pour " N(D a) ", " N "  2, " ( "  3, " D "  5, " a "  7, " ) "  11. En additionnant ces nombres j'obtiens 28, et je peux désormais évoquer la formule " N(D a) " en disant " 28 ". C'est ce que fit Gödel. La manière dont il définit son codage est beaucoup plus subtile que celle que je viens d'utiliser, mais le principe en est le même, il prit simplement soin de définir les règles du codage de telle manière qu'à un nombre " encodeur " ne puisse correspondre qu'une seule formule " encodée ". Ceci s'obtient aisément en faisant appel aux nombres premiers (supérieurs à 1) et en tirant parti du fait que tout nombre naturel (1, 2, 3, …) constitue une combinaison unique de nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique, ibid. : 9). Dans l'exemple présenté plus haut, on peut assigner à chacun des chiffres un exposant reflétant son rang dans la formule, puis multiplier la suite des nombres trouvés : on obtient ainsi un nombre, qui peut être décodé ensuite en la formule unique qui lui correspond. Ainsi, on aurait pour la formule mentionnée plus haut : 21 * 32 * 53 * 74 * 115 = 163.588. Inversement (à condition de maintenir constant le système de correspondance entre nombres premiers et signes), il n'existe qu'une seule manière de décoder le nombre 163.588 et l'on retrouve nécessairement la formule " N(D a) ".

 

 

 

On appelle " gödelisation " d'une formule l'opération qui consiste à lui attribuer un " nombre de Gödel ". Il devient possible alors d'effectuer des opérations arithmétiques à partir de ces nombres et de déchiffrer ensuite le résultat (arithmétique) en la formule (métamathématique) qui lui correspond. Si je m'y suis pris habilement dans mon codage, des résultats intéressants pourront résulter de ma technique. Par exemple, et pour prendre un cas qui apparaît dans la démonstration du second théorème de Gödel : " … sa définition 8 définit l'opération arithmétique * sur deux nombres x et y de telle sorte que le nombre x * y qui résulte de cette opération est le nombre gödelien de la formule métamathématique que l'on obtient en prenant la formule métamathématique dont le nombre gödelien est x et en mettant immédiatement à sa suite la formule métamathématique dont le nombre gödelien est y " (ibid. 10). Lassègue résume bien l'ambition de Gödel : « ... une fois constituée l'axiomatique formelle, celle-ci peut, précisément parce qu'elle n'a plus de signification, être recodée de façon rigoureuse sous forme de nombres. L'arithmétique des entiers subit donc une double transformation : on en abstrait tout d'abord l'aspect formel au moyen d'une axiomatique sans contenu et on recode ces signes interprétés, simples signes sur le papier, sous forme de nombres » (Lassègue 1998 : 57). Cette volonté d' " éliminer la signification " est centrale au Programme de Hilbert.

 

 

 

Grâce à un codage de ce type on parvient donc à engendrer non seulement des propositions arithmétiques vraies, mais simultanément des propositions métamathématiques vraies. On a réussi, au sein d'un discours unique, à énoncer d'une part des propositions relatives aux nombres et d'autre part des propositions relatives au fait que l'on puisse ou non démontrer ces propositions relatives aux nombres.

 

 

 

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L'exercice auquel Gödel va se livrer va consister en ceci : construire un système unique se composant à la fois de l'arithmétique et du discours métamathématique relatif à l'arithmétique. Le moyen de le faire consiste à coder les propositions métamathématiques sous forme de propositions mathématiques et à effectuer ensuite sur celles-ci des opérations arithmétiques.

 

 

 

On conçoit qu'à partir de là il devienne possible de produire en particulier une formule arithmétique telle qu'elle est à la fois, d'un côté, en tant que message codé dans une expression arithmétique, un énoncé métamathématique posant un jugement sur la démontrabilité d'une proposition, et d'un autre côté, cette proposition elle-même en qui le commentaire métamathématique a été codé. On aura obtenu ainsi, selon les termes qu'utilisera Gödel, une formule qui « dit quelque chose d'elle-même ». L'objectif est de lier indissolublement à l'intérieur d'une formule unique, une proposition arithmétique et un commentaire métamathématique qui s'applique à elle. Opérer un tel codage est bien entendu extrêmement difficile et la plus grande partie de la " démonstration " du théorème consistera pour son auteur à mettre en place les conditions qui autoriseront un encryptage aussi spécial.

 

 

 

Gödel sera obligé en particulier de faire intervenir la notion de " classe récursive " qu'il traitera comme une composante légitime de l'arithmétique. Ce faisant il opère un saut que tous les mathématiciens ne sont pas prêts à faire. Daval et Guilbaud en particulier considèrent au contraire que la récurrence est elle-même une notion métamathématique et non arithmétique : " S'il y a une métamathématique, elle est constamment menacée d'expropriation par la mathématique. L'induction (récurrence) est-elle autre chose qu'un constat métamathématique ? " (Daval & Guilbaud 1945 : 144).

 

 

 

Sans entrer dans les détails trop techniques, la nécessité pour Gödel de manipuler des classes récursives est due au fait que ceci lui permet de lier encore davantage les notions de démontrabilité et de vérité. On a vu qu'une proposition mathématique démontrable est vraie. La définition d'une " classe récursive " à partir d'une fonction récursive lui permet de faire un pas supplémentaire : lorsqu'une instance d'une telle classe n'est pas démontrable — lorsqu'on ne peut pas la prouver vraie — alors sa négation l'est automatiquement.

 

 

 

Une fonction récursive permet d'engendrer des nombres en les envisageant au sein de séries. De manière banale, les nombres naturels peuvent être générés à partir du principe de consécution suivant : " un nombre est égal au nombre précédent plus un ". On produit ainsi la suite 1, 2, 3, … Deux formules seulement suffisent pour engendrer la totalité des nombres naturels : celle que je viens de dire, que j'écrirai sous forme symbolique comme an = an-1 + 1, et une forme initiale qui vaut pour le premier terme, celui qui n'a pas de " précédent " : a0 = 0. Voici un ensemble de deux formules du même type qui permettent d'engendrer la suite des carrés : an = an-1 + n + (n - 1) ; a0 = 0. On peut vérifier pour an le carré de 1 : le carré du nombre précédent est 0, auquel on ajoute n qui est ici 1 et (n - 1) qui est zéro. On a " carré de 1 " égale 0 + 1 + 0. De même, par exemple, pour le carré de 4 : le carré du nombre précédent 3 est 9, auquel on ajoute 4 lui-même et (4 - 1) égale 3. Le résultat est 9 + 4 + 3 = 16.

 

 

 

Pourquoi certains, dont Daval et Guilbaud, considèrent-ils qu'une définition récursive (également appelée « par  induction complète ») est d'ordre métamathématique, autrement dit qu'il s'agit d'un commentaire, plutôt que d'une propriété d'ordre mathématique, et qu'elle ne peut en conséquence être considérée comme un moyen de démonstration ? La réponse fut apportée au début du XXè siècle par Henri Poincaré qui n'était pas seulement un grand mathématicien et un grand logicien, mais aussi un philosophe des sciences de premier rang. Il écrivait dans La Science et l'Hypothèse : " Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d'autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres. On pourra passer facilement d'un énoncé à l'autre et se donner ainsi l'illusion qu'on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence. Mais on sera toujours arrêté, on arrivera toujours à un axiome indémontrable qui ne sera au fond que la proposition à démontrer traduite dans un autre langage. On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que le raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction. Cette règle ne peut non plus nous venir de l'expérience ; ce que l'expérience pourrait nous apprendre, c'est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite " (Poincaré 1925 [1906] : 22-23).

 

 

 

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Une fois mis au point le procédé effectuant le codage qui permet d'inscrire une commentaire métamathématique dans une formule arithmétique, rien n'interdit que celui-ci soit : " la proposition (a) est indémontrable ". Il ne reste plus alors qu'à encrypter ce message dans la proposition arithmétique (a) elle-même. Si l'on parvient dans un deuxième temps à démontrer (a), on aura démontré une proposition (a) qui contient le message " la proposition (a) est indémontrable ".

 

 

 

Gödel propose une telle formule dont il déclare qu'elle " dit d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable " (Gödel 1992 [1962] : 41). Et il ajoute, " En dépit des apparences, il n'y a rien de circulaire dans une telle proposition, parce qu'on commence par affirmer l'impossibilité de prouver une formule parfaitement déterminée […], et c'est seulement ensuite (et en quelque sorte par hasard) qu'il s'avère que cette formule est précisément celle par laquelle la proposition était elle-même exprimée " (ibid.).

 

 

 

En fait, Gödel ne démontre pas (a). Il effectue une " expérience mentale " : il recourt à une preuve par l'absurde. Celle qu'on appelle aujourd'hui, " preuve par l'absurde ", les anciens l'appelaient, eux, preuve " per impossibile " (a dunaton). La dénomination originelle s'explique par le fait que, conséquence de l'une des deux prémisses, la conclusion énonce une impossibilité : qu'un état-de-choses et son contradictoire sont tous deux simultanément vrais. Afin d'éliminer l'impossibilité, la prémisse qui contrevient doit être inversée en sa contradictoire .

 

 

 

Ici, il convient de faire une brève parenthèse : Aristote a été le premier à établir le catalogue complet des moyens de preuve que l'on peut utiliser dans une démonstration, y compris mathématique. De plus, il évalua chacune de ces méthodes en fonction de son caractère probant, la classant comme forte ou faible et expliquant de manière précise le pourquoi de cette force ou de cette faiblesse. Il devrait en découler, selon un principe général, qu'une démonstration qui ferait intervenir plusieurs modes de preuve aurait automatiquement la valeur probante du plus faible de ses chaînons démonstratifs. Aristote observe par exemple qu'une forme dégénérée de l'induction — dont Peirce observe qu'elle " substitu[e] à une série comprenant un certain nombre de sujets, un sujet unique qui les embrasse tous, eux et un nombre indéfini d'autres " (Peirce 1984 : 202) — est le recours à un exemple isolé. Un grand nombre de théorèmes des Éléments d'Euclide utilisent ce procédé dans leur démonstration. Or les mathématiciens n'évaluent pas les démonstrations de théorèmes en fonction de leur valeur probante.

 

 

 

Le second théorème de Gödel recourt à certains modes de preuve parmi les plus faibles : comme ici, la preuve " par l'absurde " et comme on l'a vu plus haut, la récurrence ou " induction complète ", sans que Gödel ni ses commentateurs ultérieurs ne s’en inquiètent. Le théorème fait également intervenir de manière très cavalière la notion de " contraire " ou plutôt de " contradictoire " d'une proposition. Je peux dire, " Le chat est un mammifère " et le contraire, " Le chat n'est pas un mammifère " (le contradictoire serait : " Certains chats ne sont pas des mammifères "). D'une chose et son contraire, l'une des deux, seule, est vraie. Je peux dire aussi " Tous les chats sont des fromages " et " Aucun chat n'est un fromage ", ici aussi, une seule des deux propositions est vraie. Dans mes exemples, les deux propositions vraies sont, " Le chat est un mammifère " et " Aucun chat n'est un fromage ". Maintenant imaginons qu'il existe deux livres sur les chats, le premier néglige de mentionner que " le chat est un mammifère ", le second oublie de dire qu'" aucun chat n'est un fromage ". Lequel achetez-vous ? La bonne réponse est, le second. Pourquoi ? Parce que la première proposition signale une propriété essentielle du chat, la seconde, une propriété qui, si elle est vraie est néanmoins sans portée, du fait que la liste est quasi infinie des choses que les chats ne sont pas. Hegel écrit à ce propos, " L'op-posé signifie ici simplement le manque, ou plutôt, l'indéterminité ; et la proposition est si insignifiante que ce n'est pas la peine de la dire. Si l'on prend les déterminations doux, vert, carré — et l'on doit prendre tous les prédicats —, et si l'on dit maintenant de l'esprit qu'il est ou bien doux ou bien non doux, vert ou non vert, etc., c'est la une trivialité qui ne conduit à rien " (Hegel 1981 [1816] : 80). Guillaume d'Occam s'était déjà intéressé à ces questions. Broadie écrit : " ... Occam nie qu' "Une chimère est un non-homme" soit équivalant à "Une chimère n'est pas un homme". À ses yeux, la première proposition est fausse alors que la seconde est vraie. En effet, comme Occam le note, il faut conclure qu'une chimère n'est pas davantage un non-homme qu'un homme " (Broadie 1987 : 30). Or certaines des « trivialités » de Hegel, qui « ne conduisent à rien », sont essentielles à la démonstration de Gödel. Au début de la Proposition VI du second théorème on définit la proposition Q'(x, y(u)) comme étant Non [x B y (Gy)]…, " c'est-à-dire que x n'est pas une "preuve" de la formule obtenue en substituant pour la variable dans la classe-signe y(u) le nombre gödelien Gy pour la classe-signe elle-même " (Braithwaite 1992 [1962] : 18). Et un peu plus loin, il est montré que la formule v Gen r(v), n'ayant pas de variable libre, " on peut considérer qu'elle exprime la proposition que tout n'est pas une "preuve" de p(G)p, autrement dit que p(G)p est "improuvable" " (ibid. 19).

 

 

 

La raison pour laquelle Aristote considérait la preuve " per impossibile " comme le plus faible des modes d'inculcation de la preuve auquel on puisse recourir dans la démonstration scientifique (épistémè) est son caractère doublement indirect : elle implique tout d'abord de tester l’une des prémisses ex hypothesi, à titre hypothétique, puis d'examiner ses conséquences quand elle est combinée à une seconde ; si celles-ci débouchent alors sur une conclusion " impossible ", d'adopter la contradictoire de la prémisse initialement envisagée. Ce qui affaiblit encore davantage ce mode de preuve, c'est que le syllogisme sous-jacent ne s'obtient pas sous sa forme finale pour des raisons positives mais uniquement négatives. La pauvreté du lien résulte bien sûr de la prémisse " inversée ", où le contraire est aisément produit en lieu et place du contradictoire, voire pire encore lorsque la prémisse en question n'exprime pas une condition binaire de type " oui ou non " et qu'il existera plusieurs alternatives lorsqu'il s'agira d'en " inverser " le contenu.

 

 

 

Gödel envisage ex hypothesi deux possibilités. Imaginons que je parvienne à prouver la proposition qui contient, inscrite en elle-même de manière codée, le message " je ne suis pas démontrable ", alors, par la démonstration, le contenu se révèle, et il existe une contradiction. Imaginons à l'inverse que cette proposition soit réfutable, autrement dit que je puisse démontrer sa négation, alors il devient possible de déchiffrer le message inscrit en elle sous sa forme négative, " Il est faux que "je ne suis pas démontrable" ", autrement dit " je suis démontrable ", or ce n'est pas la négation de la proposition originale qui affirme ceci mais la proposition originale sous sa forme positive, ce qui veut dire que sa négation — que l'on vient de démontrer — n'est elle pas démontrable, et l'on obtient également une contradiction. Donc on a bien affaire à une proposition vraie dont on ne peut ni la prouver ni la réfuter, à savoir, prouver sa contradictoire, c'est-à-dire précisément ce qu'on est convenu d'appeler une proposition indécidable (Ladrière 1992 [1957] : 104).

 

 

 

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Ce à quoi on assiste, c'est donc ceci : je démontre une proposition et je découvre que — message codé à l'intérieur de cette formule — cette proposition dit d'elle-même " je ne suis pas démontrable ". Soit, à l'inverse, je démontre la négation d'une proposition et je découvre que cette proposition dit d'elle-même " en réalité, je suis démontrable mais uniquement sous mon expression positive ". Qu'est-ce que cela signifie ?

 

 

 

L'humaniste moyen notera d'abord qu'une formule arithmétique n'ayant pas de langue, elle ne peut rien dire à propos de quoi que ce soit, et en particulier rien à son propre sujet. Or il n'y a pas que des anthropologues et autres philosophes pour faire cette remarque de bon sens, des mathématiciens les ont précédés et précisément à propos du second théorème de Gödel, qui ne fait donc pas nécessairement l'unanimité dans la profession à ce sujet. En effet, en 1945, R. Daval et G.-Th. Guilbaud que j'ai cités plus haut à propos de la récurrence, dans leur remarquable ouvrage, Le raisonnement mathématique, font observer que : " Seul le mathématicien peut dire qu'une proposition est démontrable, une proposition ne peut pas dire cela d'elle-même " (Daval & Guilbaud 1945 : 45).

 

 

 

Quand je démontre une proposition mathématique, disons un théorème, et qu'à l'intérieur de ce théorème se trouve caché l'énoncé " Je ne suis pas démontrable ", il s'agit en fin de compte de ma parole à moi, mathématicien, contre celle de cette proposition. En ce qui me concerne, je suis un sujet humain et j'ai la capacité d'expliquer par le raisonnement pourquoi j'affirme que cette proposition est démontrable : c'est parce que je disposais au départ d'un ensemble d'axiomes et de règles d'inférence qui m'ont permis, une fois tracé le chemin qui mène des axiomes au théorème, de dire que le balisage du parcours équivaut à affirmer que cette proposition a été démontrée. Au contraire, cette proposition quant à elle ne peut rien produire à l'appui de sa déclaration qu'elle est indémontrable : tout énoncé suppose un sujet qui s'engage — par l'expression d'un degré d'adhésion — vis-à-vis de la vérité de ce qu'il énonce (Jorion 1990, chapitre 20). Une formule est à ce point de vue impuissante : n'étant pas un sujet humain, elle ne dispose d'aucun des outils de la panoplie discursive qui lui permettrait de prouver sa démontrabilité ou sa non-démontrabilité par les moyens habituels d'inculcation de la preuve. De plus, il m'est impossible de lui assigner aucune des motivations qui pourraient jouer un rôle positif ou négatif vis-à-vis de son engagement, je ne peux pas supposer sans doute qu'elle mente sciemment sur la question, mais à l'inverse je ne suis pas à même de lui assigner une expertise particulière quant à la possibilité ou non de sa démonstration : elle ne dispose ni de la capacité d'être bien ou mal informée sur ses propres caractéristiques, ni de celle de s'exprimer à ce sujet. Ce n'est donc pas parce qu'une formule dit au niveau métamathématique qu'elle est démontrable au niveau mathématique, qu'il y a là la moindre garantie de véracité.

 

 

 

L'origine du fait que cette proposition affirme sa non-démontrabilité nous la connaissons en fait parfaitement : c'est une conséquence, recherchée par son auteur mathématicien, du système de codage mis en place. Je peux très bien imaginer — puisque cela dépend uniquement de la subtilité du système d'encryptage utilisé — qu'une proposition puisse " se tromper " quant à la démontrabilité de la proposition arithmétique qu'elle est à un autre titre. Je vais présenter plusieurs paradoxes, de complexité croissante qui permettront de cerner la démarche de Gödel.

 

 

 

Premier paradoxe. Arthur ouvre une boîte. Dans celle-ci il y a un billet sur lequel il est écrit " Il n'y a pas de billet dans la boîte ". Arthur se dit, " Tiens, c'est curieux, j'aurais juré qu'il y avait un billet ". Arthur est un niais. Pourquoi ? Parce qu'il a constaté de la seule manière dont on puisse le faire valablement qu'il y avait un message dans la boîte. Le fait qu'il soit écrit sur celui-ci " Il n'y a pas de billet dans la boîte " ne devrait pas influencer Arthur dont la conviction devrait rester inentamée. Le contenu du message inscrit sur le billet nie les faits, il est erroné et devrait être ignoré par Arthur.

 

 

 

Deuxième paradoxe. À force d'astuce, Isidore arrive à décoder un message. Sa déception est grande cependant quand il constate que le message décrypté dit : " Coucou ! tu n'es pas arrivé à me déchiffrer ". On pourrait imaginer bien sûr qu'il existe plusieurs niveaux possibles d'encryptage et que celui qu'Isidore vient de découvrir n'est que le plus simple. S'il n'existe qu'un seul niveau, Isidore a cependant tort d'être déçu. Pourquoi ? Parce qu'en réalité il est parvenu à décoder le message. Ce que celui-ci exprime n'est qu'une tentative dérisoire de la part du codeur de convaincre le déchiffreur qu'il a échoué dans sa tâche. Le message ne dispose d'aucune autorité pour nier l'évidence : qu'Isidore a réussi dans sa tâche.

 

 

 

Troisième paradoxe. Eusèbe a inventé un chiffre ingénieux. Á partir d'un texte chinois, le code génère des phrases en français qui disent soit " Ce que dit cette phrase est vrai ", soit " Ce que dit cette phrase est faux ". Eusèbe a pu constater que son système fait une analyse irréprochable de l'ensemble des textes chinois qu'il a pu lui soumettre. Un riche éditeur lui fait la proposition suivante : " À chaque phrase commentée avec exactitude je te donne mille euros, mais si ton système se trompe tu auras la tête tranchée ". Eusèbe doit-il accepter l'offre ? Il y a un rapport entre cette illustration et la question de la récurrence dont on a vu qu'il ne s'agit pas à proprement parler d'un mode de preuve mais d'un procédé qui confirme à chaque coup sa réussite, mais sans apporter aucune garantie " quant au fond " qu'il en sera toujours ainsi. À moins qu'Eusèbe ne soit convaincu que son système dépasse par ses capacités celles d'un simple système de codage, autrement dit, à moins qu'Eusèbe ne soit certain que son système " comprend " en réalité le chinois, et pose ses jugements à partir de cette compréhension, nous lui conseillerions de ne pas accepter l'offre du millionnaire.

 

 

 

Quatrième paradoxe. Imaginons que Casimir, cryptographe extrêmement habile, ait mis au point le code qui permet de faire la chose suivante, partant du texte de l'Évangile selon Saint Mathieu, le système engendre, phrase après phrase, une version parfaitement correcte des « Trois mousquetaires ». Casimir découvre à sa grande stupéfaction, que - détonnant avec le reste du texte - la phrase qui dit « Je serai assis à la droite de mon Père » est automatiquement traduite par le système d’encryptage en « En réalité, c'est à la droite de son Oncle ». Que faut-il penser de la consternation de Casimir ? Si elle est due au fait qu’il constate ainsi les limites du chiffre qu’il a mis au point, il doit se rassurer : un effort supplémentaire lui permettrait peut-être d’améliorer son système. Si sa stupeur est due au contraire au fait qu’il suppose avoir mis à jour un secret déroutant relatif au christianisme, il est bête : son système fonctionnait jusqu`à la phrase incriminée du texte, et se remet à fonctionner ensuite, mais il fait la preuve de son incapacité à traduire un évangile en un roman d'Alexandre Dumas à cet endroit précis. À voir la perfection avec laquelle l’encodage permet d’établir un lien entre les deux textes, Casimir s’est convaincu que la garantie divine qu’il associe à l’un des deux au moins s’attache aussi au code qu’il a mis au point. C’est lui qui l’a inventé sans doute mais la surréalité qui s’attache à la possibilité même de cette traduction l’a convaincu que seule une inspiration divine expliquait sa genèse. Du coup, la phrase qui seule détonne ne peut manquer d’être significative à ses yeux.

 

 

Qu'ont donc en commun Arthur, Isidore, Eusèbe et Casimir ? Ce qu'ils perdent de vue, c'est que dans chacun des cas, le contenu du message reste en extériorité par rapport à la situation qu'il commente ou exprime. Leur coïncidence apparente n'est pas la conséquence de leur consubstantialité : elle est le résultat d'un artifice qui révèle en arrière-plan un acteur humain à même d'évaluer la situation en toute connaissance de cause, et qui est alors l'auteur authentique du commentaire. Lorsqu'il s'agit d'un code, comme avec Isidore, Eusèbe et Casimir, quel que soit le talent déployé dans sa mise au point, le message qui résulte du codage et le message codé demeurent étrangers l'un par rapport à l'autre, quel que soit l'effort qui a été consenti pour les lier de manière inextricable. Ils sont bien traduisibles l'un dans l'autre, mais ils n'ont pas acquis pour autant une identité unique qui permettrait d'interroger l'un et d'obtenir de lui une réponse justifiée portant sur l'autre.

 

 

 

Il est possible que la confusion qu'on constate ici ait été encouragée par l'interchangeabilité dans l'usage courant des mots codage et traduction. Alors qu'une phrase traduite d'une langue renvoie en principe à la même exacte réalité que la phrase originale, une phrase codée ne le fait pas en général : mieux, c'est la finalité même du codage qu'il n'en soit pas ainsi. Si je dis " je coupe cette pomme " et " I'm cutting this apple ", c'est la même pomme qui se trouve séparée en deux à la fin du processus. Mais si je dis " Les sanglots longs des violons ", ceci veut dire pour ceux qui savent entendre que " le débarquement en Normandie débutera demain ". La consubstantialité des états-de-choses connotés dans la traduction n'est pas due à une capacité dont disposeraient certaines phrases à " parler de la même chose " dans des langues différentes, elle résulte de l'activité délibérée du traducteur visant ce résultat — celui-ci pouvant être plus ou moins talentueux — exactement de la même manière que l'aspect cryptique du message encodé résulte de l'intention du codeur d'en cacher la signification initiale.

 

 

 

Quand Gödel écrit à propos de sa proposition démontrable qui dit d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable que " … c'est seulement ensuite (et en quelque sorte par hasard) qu'il s'avère que cette formule est précisément celle par laquelle la proposition était elle-même exprimée " (Gödel 1992 [1962] : 41), on est alors en droit de lui demander quelle est la nature exacte de ce " hasard " qui fait qu'un commentaire métamathématique sur la démontrabilité d'une proposition se retrouve codé dans son énoncé. Suggère-t-il sérieusement que cet encodage ne résulte pas de l'effort considérable qu'il a lui, mathématicien, consenti pour l'obtenir ? Suggère-t-il, s'il n'y a pas eu effort, qu'il y a eu simple révélation ? À cette question — comme nous pouvions déjà nous en douter quand nous avions posé plus haut la question " D'où viennent les propositions vraies ? " — la réponse est en réalité, " Oui, c’est bien ce que Gödel suppose : qu’il y a eu révélation ".

 

 

 

* * *

 

 

 

Il convient maintenant d'en dire davantage sur le contexte dans lequel Gödel démontra son théorème, et comment il se situait lui-même au sein du développement contemporain des mathématiques. Pour présenter les choses de manière un peu manichéiste, mais sans toutefois simplifier de façon excessive, on trouve parmi les mathématiciens contemporains des " réalistes " (ou " platoniciens ") et des " anti-réalistes " (ou " constructivistes "). En général, à titre individuel, ils n'éprouvent pas le besoin de se situer à l'un de ces pôles, la raison en est toutefois que, dans leur grande majorité, ils se révèlent être spontanément des réalistes. Certains cependant, comme ce fut le cas pour Kurt Gödel, se font un point d'honneur de s'affirmer tels.

 

 

 

On appelle les réalistes de cette manière parce qu'ils estiment que les mathématiques rendent compte de quelque chose de réel. À leurs yeux, celles-ci sont une " science " : celle qui décrit le monde particulier où vivent les entités mathématiques. Pour eux donc, les mathématiciens ne sont pas des inventeurs mais des découvreurs : ils mettent à jour les objets cachés de ce monde qui aux yeux du commun des mortels demeure invisible. La raison pour laquelle on appelle également les réalistes, platoniciens, est que les disciples de Platon supposaient que la réalité ultime est faite de nombres. Cet univers caché où vivent les entités mathématiques se confond alors avec la réalité ultime. Dans cette optique, le monde sensible est la matérialisation de la réalité ultime de nature mathématique. Alors que pour certains les mathématiques sont une méthode d'abstraction de propriétés simplifiées du monde empirique ayant son origine dans les problèmes pratiques de mesure, pour les platoniciens, c'est au contraire le monde sensible qui n'est qu'une vaste application des mathématiques. C'est à raison alors, dans leur perspective, qu'ils s'interrogent pourquoi il n'existe pas de Prix Nobel de mathématiques : loin d'être la " servante des sciences ", les mathématiques seraient la " mère de toutes les sciences ".

 

 

 

Aux yeux de ses contemporains, il ne faisait aucun doute que Platon était un disciple du philosophe-mathématicien Pythagore. Dans sa Métaphysique, Aristote dit des pythagoriciens qu'ils considèrent que " les nombres sont les choses ultimes de l'univers physique tout entier, ils pensent que les éléments constitutifs des nombres sont les composants de toutes choses et que l'univers tout entier est une proportion ou un nombre " (Aristote, Métaphysique, 986a, 4-7). Le Stagyrite était conscient du fait qu'il existait une légère différence entre les vues de Platon et celles de Pythagore, mais rien de plus sans doute qu’une nuance : " … car alors que les pythagoriciens disent que les choses existent par imitation des nombres, Platon affirme qu'elles existent par participation — un simple changement de terminologie " (ibid. 987b, 11-15).

 

 

 

Pour les anti-réalistes les nombres sont des fabrications de l'intellect humain : ils ne sont pas découverts mais inventés, et il en va ainsi de l'ensemble des mathématiques. Les nombres furent abstraits de la réalité empirique, et de la même manière, les règles pour générer à partir de ces nombres d'autres abstractions. En conséquence, les anti-réalistes font partie des mathématiciens qui comprennent fort bien pourquoi il n'existe pas de Prix Nobel de mathématiques, souscrivant à l'opinion de Nobel lui-même pour qui celles-ci sont la servante des sciences : une méthodologie pour les réaliser, et non l'une de leurs parties intégrantes.

 

 

 

Pour Platon le monde sensible concrétise de manière imparfaite les Nombres (aussi appelés " Idées ") qui en tant que configurations sont aussi les Formes parfaites. Cette représentation suppose nécessairement qu'une compréhension de la manière dont ces nombres se comportent, nous met en possession du plan général ou plutôt de l'ensemble des patrons des entités physiques, et qu'il ne reste plus — en vue de constituer une Physique proprement dite — qu'à montrer pour chaque chose quelle est la Forme idéale à laquelle elle participe, de manière statique et dynamique.

 

 

 

Pour l'anti-réaliste ou constructiviste, il n'existe pas de récompense de cet ordre à la pratique mathématique, à savoir qu'une fois le modèle mathématique d'une partie phénoménale du monde empirique construit, on aurait atteint une certitude quant à l'ordre des choses. Ce qu'un modèle offre, selon eux, c'est une représentation stylisée de ce qui fut l'objet de la recherche : une autre illustration possible du " principe d'économie mentale " de Mach que j'évoquais plus haut à propos de la définition. À ce point de vue, comme sur beaucoup d'autres, Aristote prenait le contre-pied de Platon. On ne pourrait en effet être plus anti-réaliste que ne le fut le Stagyrite : pour lui, rien dans l'activité du mathématicien ne présente une dimension de révélation d'une réalité cachée, il ne s'agit jamais que de stylisation d'un réel complexe. Ou dans ses propres termes : " … le mathématicien étudie les abstractions (car dans ses recherches il commence par abstraire tout ce qui est sensible, comme la pesanteur et la légèreté, la dureté et son contraire, et aussi la chaleur et la froideur, et toute autre paire de contraires dans le monde sensible, pour ne laisser que la quantité et la continuité — parfois dans deux et parfois dans trois dimensions — et leurs propriétés en tant que quantitatives et continues, et ne les étudie sous aucun autre aspect, et dans certains cas envisage les positions relatives des choses et les propriétés de ces configurations, et dans certaines autres, leur commensurabilité ou leur incommensurabilité, et en d'autres encore leurs proportions. Quoi qu'il en soit, on considère qu'il n'existe ici qu'une seule et même science, à savoir la Géométrie)… " (ibid. 1061a, 28 - 1061b, 4).

 

 

 

Les travaux de Gödel se situent dans ce contexte. La simple supposition qu'il existe en arithmétique des propositions qui sont vraies, alors qu'elles ne sont ni des définitions, ni des propositions démontrables — déductibles — suppose, comme on l'a vu plus haut, que les propositions vraies non-déductibles qu'évoque Gödel doivent être vraies pour la seule autre raison possible pour qu'une proposition quelconque soit vraie : parce que leur vérité tombe sous le sens. C'est très exactement la position platonicienne : les entités mathématiques sont susceptibles de tomber sous le sens du mathématicien parce qu'elles existent effectivement, sinon dans le monde sensible du moins dans un autre monde " réel ", à savoir la Réalité-Objective platonicienne faite des nombres et de leurs configurations, vérité ultime des choses et des états-de-choses. Or, cet engagement platonicien de Gödel était bien connu, et Bertrand Russell écrivit dans le second volume de son Autobiography que " Gödel s'avéra être un platonicien pur porc, et croyait apparemment qu'il existait au firmament un "non" éternel, où les logiciens les plus vertueux, ayant quitté ce bas-monde peuvent espérer le rencontrer " (cité par Dawson 1988a : 8). C'est à cette croyance en la réalité du monde des entités mathématiques que Gödel fait allusion dans le brouillon de lettre cité plus haut quand il parle de " préjugés philosophiques de l'époque ", suggérant par-là que les temps plus récents se sont montrés plus favorables à la métaphysique à laquelle il souscrit.

 

 

 

Si les mathématiques décrivent un monde caché mais réel, on peut imaginer — avec Gödel — qu'il existe, pareils à des îles inconnues, des théorèmes qui restent non pas à construire mais à découvrir. Sinon, si l'on adopte une position non-platonicienne, c'est-à-dire si l'on ne croit pas à l'existence séparée d'un univers mathématique, le concept-même d'une proposition mathématique vraie qui ne soit ni démontrée ni une définition, est vide de sens.

 

 

 

* * *

 

 

 

C'est dans la croyance en une possible consubstantialité réelle entre la formule codeuse et le message métamathématique codé que Gödel trahit sa conviction platonicienne. Niant qu'il n'a opéré qu'un simple codage de phrases relatives à la démontrabilité — quelle que soit la virtuosité avec laquelle il y parvient — il exclut qu'une proposition puisse " se tromper " métamathématiquement quant à sa vérité en tant qu'entité mathématique. Autrement dit, semblable à Casimir, il a le sentiment d'avoir créé davantage qu'un simple code, il est persuadé que la démonstration de son théorème résulte d'une révélation, qu'elle porte le sceau d'une garantie surnaturelle, qu'elle lui a permis de voir, comme le disait sarcastiquement Russell à son sujet, les Idées platoniciennes en face. Gödel considère qu'il a bien constitué une unité où le côté pile est une proposition, le côté face un commentaire métamathématique pertinent à propos du côté pile ; il s'est convaincu que d'une certaine manière, il a effectivement trouvé avec la " gödelisation ", le moyen d'autoriser les formules mathématiques à s'exprimer à leur propre sujet, qu'il n'a fait que leur procurer une voix. Il ignore qu'une proposition qui parle d'elle-même ne dispose pas de l'autorité pour le faire — parce qu'elle n'est rien de plus qu'une phrase : seul le mathématicien qui la manipule est à même de faire quoi que ce soit de semblable.

 

 

 

Au chapitre 9 de son Anthropologie structurale, " Le sorcier et sa magie ", Claude Lévi-Strauss analysait le mode de raisonnement du chaman Kwakiutl Quesalid dont l'histoire avait été initialement rapportée par Franz Boas. Lorsqu'il pratiquait ses cures, Quesalid recrachait comme substrat supposé de la maladie qu'il avait extraite de son patient, un duvet imprégné de sang qu'il avait en réalité exprimé de la paroi intérieure de ses joues (Lévi-Strauss 1958 : 193). Bien que parfaitement conscient de l'artifice auquel il avait recours pour convaincre son auditoire de l'efficacité de sa pratique, le sorcier s'était néanmoins persuadé lui-même de l'authenticité de ce pouvoir. De manière similaire, dans " Je sais bien, mais quand même... ", Octave Mannoni évoquait le cas de Casanova qui, auteur d'une machination destinée à tromper le père d'une belle, se retrouvait impressionné par sa propre mise en scène et craignait bientôt que ses tours de passe-passe ne puissent se révéler malgré tout efficaces (Mannoni 1969).

 

 

 

Ce que supposent l'attitude de Quesalid comme celle de Casanova, c'est l'existence à leurs yeux de deux manières possibles de souscrire à un même système de croyance : d'un côté par une adhésion intellectuelle de type intuitif, que l'on peut appeler selon l'usage, la foi, et d'un autre côté, grâce à la persuasion que procure un système de preuves ; tous les philosophes chrétiens qui proposèrent des preuves rationnelles de l'existence de Dieu, s'efforcèrent de compléter la première par la seconde. Quesalid sait que son pouvoir est réel. Il concède cependant que la masse à laquelle appartiennent ses patients ne peut se convaincre de ce pouvoir pourtant effectif que si des preuves plus tangibles de ce pouvoir lui sont offertes. Il pourrait paraître paradoxal que la foi qui se passe de démonstration soit conçue par celui qui la possède comme plus haute, plus savante, que la croyance populaire qui exige de manière rationnelle — sinon rationaliste — que l'hypothèse soit soutenue par des faits : c'est que ceux-ci doivent alors être des miracles, c'est-à-dire des suspensions de la causalité ordinaire propre à l'ordre naturel.

 

 

 

Aux yeux du croyant savant dont Quesalid est le prototype, le fait que d'autres aient besoin de preuves matérielles pour se convaincre de choses spirituelles révèle tout simplement leur manque de sophistication. Dans le même ordre d'idées, dans La positivité de la foi chrétienne, Hegel, défenseur de la foi contre la croyance populaire, reproche au Christ de s'être abaissé au niveau de cette dernière quand il soutient son message par la réalisation de miracles. Hegel s'interroge : pourquoi le Christ ressuscite-t-il les morts, pourquoi éprouve-t-il le besoin de marcher sur l'eau à l'instar d'un quelconque amuseur de foire ? Autrement dit, pourquoi n'est-il pas conscient lui-même de la puissance inouïe de son propre message, suffisant à générer la foi chez celui qui l'entend (Hegel [1796] 1983) ?

 

 

 

Selon moi, c'est la même dichotomie que l'on retrouve à l'oeuvre chez Gödel. Pour lui aussi, il existe — en mathématiques — d'une part la foi du savant, d'autre part la croyance populaire qui exige des preuves. Shanker note très justement à propos des mathématiciens : " Pour [les platoniciens] la preuve se réduit [...] à un appendice trivial qui fut introduit pour le bénéfice des incrédules ou des moins doués ; alors que pour les [constructivistes] la preuve constitue l'essence-même des mathématiques ". (Shanker 1988 : 185). Il existe aux yeux de Gödel deux modes d'accès aux entités mathématiques vraies : le mode de la perception directe et celui la démonstration. Le croyant — ou, faudrait-il plutôt dire le " voyant " — dispose de la capacité à reconnaître les propositions mathématiques vraies, alors que le vulgaire ne peut se passer de la preuve qu'apporte la démonstration. C'est ainsi que doit se comprendre ce qui sinon ne serait qu'une simple contradiction dans l'énoncé du théorème de Gödel : qu'il existe des propositions mathématiques arithmétiques vraies qu'on ne peut démontrer. L'accès privilégié dont dispose le croyant authentique au monde des Nombres l'autorise à distinguer les propositions mathématiques vraies, quelle que soit la possibilité empirique d'en apporter la preuve parce que sa foi n'a pas à être soutenue par le miracle de la démonstration.

 

 

 

Pour nous qui posons un regard anthropologique sur les mathématiques, il ne peut exister de manière vulgaire et de manière savante de les faire : il n'y a que des pratiques qui se révèlent conformes ou non aux systèmes de représentation définissant la validité des pratiques. Soutenant l'activité des mathématiciens, on peut découvrir à l'occasion, comme c'est le cas pour le théorème de Gödel et de sa démonstration, une théologie très particulière, celle d'une religion pythagoricienne professée par certains mathématiciens et pour qui la réalité ultime est constituée de nombres dont il est permis aux initiés d'obtenir une intuition immédiate. Gödel fait partie de ces derniers, mais il cache son jeu : semblable aux grands initiés il justifie de manière sibylline la nécessité du secret par " les préjugés philosophiques de l'époque ". Il nous met cependant la puce à l'oreille quand il affirme qu'il n'est pour rien dans l'encryptage du commentaire au sein de la proposition commentée (qu'il s'agit en fait d'un " simple hasard ") : s'il n'en est lui l'auteur, c'est que, prophète des temps modernes, une vérité transcendante a trouvé par son truchement le moyen de se révéler. Quant à ses collègues qui autorisèrent son tour de passe-passe sans piper, furent-ils subjugués par la complexité de sa démonstration ou bien, croyants de la même religion, souscrivaient-ils à la même théologie ?

 

 

 

* * *

 

 

 

J'ai évoqué brièvement au départ la possibilité de juger l'entreprise de Sokal et Bricmont dans leur Impostures intellectuelles à l'aulne d'un autre exemple que l'incomplétude de l'arithmétique envisagée par Gödel : par rapport à la relation d'incertitude mise en évidence par les pionniers de la mécanique quantique. De manière significative, Sokal & Bricmont réclament pour celle-ci une extra-territorialité dans le concours du " qui est le plus bête des deux " entre scientifiques et humanistes : " Observons également que les excès les plus graves attribués aux scientifiques par nos adversaires (parfois avec raison) portent sur la mécanique quantique. Mais, contrairement à ce que pensent beaucoup des commentateurs, nous avons exclu du livre les abus de concepts reliés à la mécanique quantique (sinon cet ouvrage aurait été considérablement plus long), précisément parce que les discours des physiciens eux-mêmes sur ce sujet ne sont pas particulièrement clairs " (Sokal & Bricmont 1999 [1997] : 27).

 

 

 

Du fait de la nature de la controverse et grâce à leur formation intellectuelle personnelle, trois des acteurs du débat autour de la relation d'incertitude, Niels Bohr, Werner Heisenberg et Albert Einstein en vinrent à exposer leurs positions épistémologiques, voire leur système personnel de croyance, de manière parfois très détaillée. D'une certaine façon, ils initièrent ainsi de leur propre initiative sinon une anthropologie des savoirs sur la question, du moins une réflexion épistémologique critique (cf. MacKinnon 1982 qui a fait une analyse excellente des credos de ces trois savants parmi les plus grands). Il faudra sans doute analyser un jour ce que furent les " excès les plus graves " des scientifiques, ou les " abus de concepts " qu'évoquent les auteurs d'Impostures intellectuelles, le soupçon que l'on peut d'ores et déjà entretenir à ce sujet est qu'il s'agira comme on l'a montré ici à propos du second théorème de Gödel, de l'irruption de divers discours théologiques au sein de l'entreprise scientifique.

 

 

 

Quant à Bouveresse, qui soutient en général la position de Wittgenstein et devrait donc en principe approuver la thèse très proche de celle de son maître que j'ai défendue ici, il se range cependant dans Prodiges et vertiges de l'analogie. De l'abus des belles-lettres dans la pensée du côté des Sokal et Bricmont. Peut-être faudrait-il cependant réapprendre la prudence : est-il si certain que l'on n'écrira pas un jour, " le second théorème de Gödel qu'on ne considère plus aujourd'hui que comme une curiosité dans l'histoire des mathématiques eut cependant le mérite d'inspirer à Régis Debray une importante découverte sur le politique " ?

 

 

 

 

 

 

Références:

 

 

 

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Aristote, Topiques, in Aristotle II, trad. H. Tredennick & E.S. Forster, Loeb Classic Library, London : Heinemann, Cambridge (Mass.); HarvardUniversity Press, 1960

 

 

 

Aristote, Métaphysique, Livres I-IX, in Aristotle XVII, trad. Hugh Tredennick, Loeb Classical Library, London: Heinemann, Cambridge (Mass.): Harvard University Press, 1933,

 

 

 

Aristote, Métaphysique, Livres X-XIV, in Aristotle XVIII, trad. Hugh Tredennick, Loeb Classical Library, London: Heinemann, Cambridge (Mass.): Harvard University Press, 1935

 

 

 

Bouveresse, Jacques, Le pays des possibles. Wittgenstein, les mathématiques et le monde réel, Paris : Minuit, 1988

 

 

 

Bouveresse, Jacques, Prodiges et vertiges de l'analogie. De l'abus des belles-lettres dans la pensée, Paris : Raisons d'Agir, 1999

 

 

 

Braithwaite, R. B., Introduction à Kurt Gödel, On Formally Undecidaeble Propositions of Principia Mathematica And Related Systems, trad. par B. Meltzer, [1962], New York : Dover Publications, 1992

 

 

 

Broadie, Alexander Introduction to Medieval Logic, Oxford : Clarendon Press, 1987

 

 

 

Daval, R. et Guilbaud, G. T., Le raisonnement mathématique, Paris : PUF, 1945

 

 

 

Dawson, John W. Jr., " Kurt Gödel in Sharper Focus ", in S.G. Shanker (ed.), Gödel's Theorem in Focus, London: Croom Helm, 1988a (1-16)

 

 

 

Dawson, John W. Jr., " The reception of Gödel's Incompleteness Theorems ", in S.G. Shanker (ed.), Gödel's Theorem in Focus, London: Croom Helm, 1988b (74-95)

 

 

 

Gödel, Kurt, [1931] On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica And Related Systems, Introduction R. B. Braithwaite, trad. Par B. Meltzer, [1962], New York : Dover Publications, 1992

 

 

 

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