Retranscription de Qu’est-ce qu’une démonstration digne de ce nom ?, le 25 août 202.
Bonjour, nous sommes le mercredi 25 août 2021 et, aujourd’hui, mon exposé s’intitulera : « Qu’est-ce qu’une démonstration digne de ce nom ? ».
Si vous suivez un peu l’actualité de mon blog, vous savez que j’ai créé une « Veille effondrement ». Je crois qu’on est déjà au 50e épisode. Pourquoi est-ce que j’ai créé cette « Veille effondrement » ? Parce que j’ai vu les constatations du rapport du GIEC sur le réchauffement climatique et j’ai vu aussitôt, dans les jours qui ont suivi, l’absence de réponse des gouvernements ou alors de manière tellement molle et inefficace que ça ne sert à rien. Vous vous souvenez, le gros titre sur le GIEC a été tout de suite remplacé en France par le transfert de Messi, c’est-à-dire que, bon, on passait… On connaît l’expression : « du pain et des jeux ». « Que veut le peuple ? du pain et des jeux » et il ne veut surtout pas qu’on lui dise que le monde humain est en train de s’écrouler.
Mais ça ne m’empêche pas, vous connaissez l’adage américain : « The show must go on ! » : le spectacle doit continuer. Et j’ai continué à travailler sur ce que je fais en ce moment, comme recherches en intelligence artificielle, en particulier à travailler sur la notion d’une intelligence générale artificielle, c’est-à-dire une machine qui pourrait répondre à des problèmes de tous les ordres, de manière « universelle » comme on dit, et pas simplement de manière spécialisée – en raison des problèmes d’apprentissage que sont les intelligences artificielles maintenant.
Et par ailleurs, je continue à travailler avec Yu Li, qui est donc professeur d’informatique à l’Université de Picardie, sur les fondements des mathématiques et là, hier, on a eu une grande réunion de rentrée. Ça a été notre « université d’été » et nous avons véritablement le programme des deux articles que nous allons écrire dans l’immédiat, enfin ils sont déjà bien avancés, et le premier s’appelle justement : « Qu’est-ce qu’une démonstration digne de ce nom ? » et le second sera d’entrer dans le détail de deux démonstrations, celle par Gödel de son second théorème d’incomplétude, celui qui porte sur l’arithmétique, et ce qu’on appelle dans la problématique P vs NP, le « théorème de Cook ». Et dans un deuxième article dont Yu sera le principal auteur, nous allons entrer véritablement dans la démonstration par Gödel et Cook de leurs théorèmes pour montrer que, dans les deux cas – je vais dire cela rapidement pour commencer – dans les deux cas, ce que ces deux mathématiciens essayent de faire, en fait, c’est de la pseudo-physique et ils n’y arrivent pas pour des raisons que je vais préciser. Parce que, dans le premier article [dont je serai le principal auteur], nous allons montrer, après avoir défini ce que c’est qu’une démonstration « digne de ce nom », en fonction des critères qui ont été mis en place au fil des générations mais dont les grands principes avaient déjà été mis en place par Aristote, qu’est-ce que c’est qu’une démonstration digne de ce nom pour un théorème ?
Et nous montrerons, comme je viens de le dire, dans les deux cas, de Gödel et de Cook, que nous n’avons pas véritablement affaire à des mathématiques mais à de la pseudo-physique. Et dans le premier cas, dans le cas de Gödel, il y a pour commencer, une ignorance totale de ce que ça veut dire « être vrai » ou « être faux » et du coup intervient une catégorie du vrai qui sort de ce qui peut être balisé comme étant du vrai et, en cours de démonstration – je l’ai dit à plusieurs reprises déjà dans des vidéos – en fait, il y a simplement de la part de Gödel une sortie de route. Il se retrouve dans un paradoxe et il tire simplement la conclusion au passage que son paradoxe prouve quelque chose. Ça prouve simplement qu’il ne sait pas conduire et qu’il a quitté la route et qu’il devrait revenir sur la route. Il ne l’a pas fait. Pourquoi ça n’a pas été vu ? Essentiellement en raison de la complication – je ne dis pas « la complexité » mais je dis la complication – de son théorème.
J’étais en train de lire un livre de vulgarisation sur le théorème de Gödel [John L. Casti & Werner DePauli, Gödel. A life of Logic, Cambridge (Mass.) Perseus: 2000] et on nous dit là ce qu’on dit toujours d’habitude : « Nous n’allons pas entrer dans les détails de la démonstration parce qu’elle est un peu trop complexe pour le lecteur ». Elle est surtout trop complexe pour l’auteur du livre ou l’auteur de l’article, qui s’est perdu en route : il y a un très beau livre de Ladrière [Jean Ladrière, Les limitations internes des formalismes. Étude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques, Louvain : 1957] qui nous montre que quand le théorème de Gödel est sorti dans les années 30 [en 1930], des mathématiciens l’ont applaudi et d’autres mathématiciens ont dit que, justement, ça ne tenait pas la route et dans les deux cas, a montré Ladrière, ceux qui ont applaudi et ceux qui ont mis le pouce vers le bas, dans les deux cas, il y a un grand nombre de gens qui n’ont pas même compris de quoi il s’agissait, et Ladrière le met en évidence.
Dans le cas du théorème de Cook, il invoque aussitôt, dès le début [de la démonstration] de son théorème, il évoque aussitôt un objet qui n’existe pas comme étant un élément de preuve : une « machine de Turing ‘à oracle’ ». Une machine de Turing à oracle a été définie par Turing comme étant une machine qui ne peut pas exister et cette machine qui ne peut pas exister est utilisée par Cook comme un argument dans la démonstration. Et de toute façon, ce à quoi arrive le théorème de Cook est quelque chose qui, en réalité, ne demande pas une démonstration : c’est une observation pragmatique, c’est une observation de fait sur le fonctionnement du monde et donc on est dans la physique, or ce n’est pas dit.
Chez Gödel, on est dans la physique pour une raison différente : c’est qu’en fait, quand il évoque une vérité qui ne serait pas capturée ni par des axiomes, ni par des démonstrations de théorème, qui sont donc des conclusions de syllogisme bien conçu, valide, en fait, il évoque un troisième type de vérité qui est en réalité quelque chose qui serait « dans le monde » et qui serait de la vérité quand même mais pas d’ordre mathématique : simplement là aussi une observation du monde tel qu’il est. Et Gödel invoque ça dans sa démonstration qui, par ailleurs, est fausse, pour invoquer comme mode de preuve quelque chose qui n’est pas véritablement une preuve, c’est simplement qu’il s’est retrouvé dans une voie de garage : l’apparition d’un paradoxe.
Donc nous avons bien avancé. Maintenant, nous avons le squelette de ces deux papiers et nous sommes en train de les étoffer pour en faire de véritables papiers. On va faire ça en anglais et en français, parce qu’il le faut, vous le savez, de nos jours. Quelque chose qui ne passe qu’en français est devenu invisible aux yeux du monde et donc, il faut faire les deux. On s’arrangera pour faire une bonne traduction.
Voilà un petit peu sur le thème « The show must go on », sur le fait que l’effondrement ne va pas nous empêcher de continuer à travailler sur des choses sérieuses. Je vous reviens bientôt sans doute avec de l’actualité parce que, voilà, là aussi, ce sont des choses dont je parle.
Passez une bonne journée !
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