Unilog 2022 – What makes a demonstration worthy of the name? by Paul Jorion

Texte de l’article qui a été présenté aujourd’hui par ma collègue Yu Li de l’Université de Picardie, au congrès Unilog 2022 qui se tient à Chania en Crète. À terme, ce texte servira de préambule à l’exposé que je suis en train de bâtir sur la conjecture P vs NP. Une esquisse en français du texte ici a déjà été publiée sur le blog : Que démontrent les mathématiciens, et le font-ils d’une manière digne de ce nom ?, le 5 mars 2022.

What makes a demonstration worthy of the name?

Paul Jorion *
* ETHICS – EA 7446, Université catholique de Lille, 60 Bd Vauban, 59800 Lille, France

Subject: Foundations of mathematics
Cite as: https://www.pauljorion.com/blog_en/2022/04/09/unilog-2022-what-makes-a-demonstration-worthy-of-the-name-by-paul-jorion/

Three ways of ascertaining the truth

One reads in an introductory book to the work of Kurt Gödel:

« … Aristotelian logic rests on two pillars: a set of premises, or assumptions, which are taken to be true without proof, and a collection of rules of inference, by which we transform one true statement into another […] As long as we can convince ourselves that the premises are true, then the conclusions [are] as solid and inescapable a fact as there ever will be. It is a certainty that follows from the semantic content of the premises and from the process of deduction laid down in our minds and formalised by Aristotle. 

What Gödel discovered is that even if there exist true relations among pure numbers, the methods of deductive logic are just too weak for us to be able to prove all such facts. In other words, truth is simply bigger than proof » (Casti & DePauli 2000: 4-5).

Although widely accepted, what is asserted here in the second paragraph is based on a major misunderstanding as that truth is bigger than proof is no discovery of Gödel’s, as it was established by Aristotle twenty-five centuries ago and was the starting point of his groundbreaking reflection on truth and falsehood.

This fundamental misunderstanding, however, is far from trivial: it has undermined the pursuit of the mathematical venture in several ways. Indeed, mathematicians have attempted to prove statements which were in no need to be proved in the first place as their truth was established at little cost by other means, and in so doing they have at times introduced erroneous demonstrations aimed at proving… the undemonstrable, or hardly demonstrable (e.g. that there  exists in the Amazon a seven black-dotted yellow ladybird).

« Truth is simply bigger than proof », indeed, according to Aristotle, proof was but one of the three available sources of truth; since his days, none has been added to his brief list. Aristotle determined that there were three known ways for accessing the truth:

1° Truth known from perceptual evidence arising from our five senses, providing it can be corroborated so that facts are distinguished with certainty from illusions.

2° Truth derived from commonly accepted definitions, by which we assign to a single word or expression the meaning of a phrase: « the fawn is the young of the deer and the doe »; henceforth, whenever I am tempted to say « the young of the deer and the doe », I can say « fawn » instead. In mathematics, definitions are called « axioms ».

3° Truth reached as the conclusion of a well-formed syllogism, i.e. syntactically correct, by valid deductions from true premises. In mathematics, we call the equivalent of sequences of conclusions of valid syllogisms « theorems ».

Transposed into the language of mathematics, these three modes of accessing the truth become

1° Truth resulting from observations of the physical world expressed as models in mathematical language (mathematics as « virtual physics »)

2° Truth established by axioms, which are definitions expressed in mathematical language

3° Truth obtained by the demonstration of a theorem, which is the conclusion of the proof provided.

Because in recent centuries mathematicians have ignored corroborated sensory evidence as the main and primary source of truth, they have attempted to prove by means of axioms and theorems solely, a considerable number of things that appear to be true, neglecting the « obvious » truths that come to us as trusted perceptions by our senses, i.e. as data captured from the world surrounding us as it stands. E.g. Goodstein’s theorem which « proves » … an observation about natural numbers. Thus, instead of saying: « Here is a curiosity that arises when we define a sequence of natural numbers in a certain way », Goodstein thought it appropriate to demonstrate a theorem stating what we observe, taking axioms as the starting point for his demonstration. The fact that Goodstein’s theorem can be demonstrated within one mathematical framework (second-order arithmetic), but not in a closely related one (Peano’s arithmetic), betrays the contrived nature of trying to mathematically prove a fact of observation.

In their desire to prove everything, mathematicians have produced erroneous proofs: clumsy and error-ridden attempts to prove what was in no need to be demonstrated and was often essentially unprovable due to the complexity of a demonstration candidate. Indeed, most of our surrounding empirical world requires in order to be proven an overwhelming number of elements requiring to be proven upstream. The mere fact of an observation as such summons the existence of an observer who would need to be proven in the first place. 

Since sensory evidence has done the job satisfactorily in most instances, this wealth of unnecessary proofs were achieved through resorting to various tricks such as starting from false premises (paradoxes, conclusions of fallacious reasonings), or presenting as the conclusion of a demonstration worthy of the name some truth being in disguise either corroborated sensory evidence translated into mathematical language (virtual physics) or an axiom. Such a « theorem-in-no-need-to-be-demonstrated » happens then to be true

1° either because it is in fact an axiom in disguise (i.e. a definition) where the demonstration is a petitio principii: a circular reasoning, where what one claims to have discovered in fine was known from the start, the demonstration having been but an artful reformulation of the axiom

2° or because an observation derived from sensory evidence, an empirical fact, is hidden in one of the axioms; in such a case, mathematicians have used mathematics to build a « virtual physics » and it is their intuition of the world around us that has guided them unbeknownst. 

In one particular instance what is usually the « stowaway » presence of empirical facts within mathematical reasoning has been deliberate and proclaimed, I’m referring here to Hilbert’s 6th proposition:

« Mathematical Treatment of the Axioms of Physics. The investigations on the foundations of geometry suggest the problem: To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which already today mathematics plays an important part; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics. »

I reported in Comment la vérité et la réalité furent inventées (2009) that in the historical case of the invention of the infinitesimal calculus, the central issue was not of the protagonists at work, Newton’s and Leibniz’ intuition, whose workings would have remained opaque to their conscious self but of their quite explicit experimental validation all along of the mathematics whose methodology they were developing. Indeed, they defined the rules of this new method of calculation in such a way that their model of a planet’s orbit accurately reflected the observed motion, revealing the pre-eminence they implicitly gave to physics over mathematics in the development of their new tool (Jorion 2009: 332-346). The alternative approach would have been to demand mathematical rigour above all, which would have betrayed slight anomalies in the orbit of the planets, the pre-eminence being given in this case to mathematical precepts rather than to an accurate account of physical phenomena. 

What requirements for a demonstration to be « worthy of the name »

In my analysis of Gödel’s demonstration of his incompleteness theorem of arithmetic in Comment la vérité et la réalité furent inventées (2009: 285-326), I show in particular how at a critical juncture Gödel cheats by surreptitiously slipping into his demonstration that a proposition is true when its truth comes neither from being an axiom nor a demonstrated theorem, but from resulting from empirical evidence. In other words, at the moment when he finds himself mired in a paradox of his own construction, Gödel sneaks physics into mathematics in order to extricate himself from the pit he’s dug himself in.  

Gödel’s proof of his incompleteness theorem of arithmetic fails to be « worthy of the name » for two types of reasons: for using arguments (transformation rules) of too low a level of validity (demonstrability) at different stages of his proof and for relying on an intuitive notion of truth whose precise concept varies according to his whim in different contexts.

Instead of sticking to arguments deemed by Aristotle to be of an « analytical » standard of logic, i.e. worthy of being used in a true demonstration with « scientific » status, Gödel went astray by resorting to arguments deemed more modestly to be of a « dialectical » standard of logic, i.e. acceptable in the courts or within the political debate, such as the reductio ad absurdum, or even going so low as to use purely « rhetorical » arguments, i.e. acceptable only in everyday conversation. Of only a rhetorical standard in Gödel’s demonstration is the recourse to a proposition asserting about itself that it is unprovable, having no other evidence to support this assertion than « its own word », the near equivalent in everyday conversation of « It’s true because I’m telling you so ». Attention is often drawn to the fact that the weakness here in the demonstration is due to the assertion being self-referential, but the bottom line is that there is nothing to support this pseudo-affirmation of a proposition about itself: a proposition cannot be « taken at its word » because there is no way a metamathematical argument can be held accountable and shamed for having lied.

When Gödel says of that proposition, as we’ve seen, that it is true even though it is impossible to prove this means out of necessity that it can only be true for one of the other two possible reasons why a proposition may be true: either that it is an axiom (i.e. a definition) or that it derives from corroborated sensory evidence. Since the context of the demonstration excludes the proposition in question from being a vast tautology: a hidden or unrecognised axiom, the only remaining option is that its truth derives from sensory evidence. But this would imply that the proposition has as its reference the empirical world around us, offering of it a true account, which would mean that Gödel is unwittingly bringing physics to bear on what he claims is mathematics only.

How is it possible that Gödel did not notice such a confusion in his argument between mathematics and physics? Because it is common knowledge that for him the two are coalesced: Gödel was a Platonist by ideological creed, convinced that the world is made up of numbers in its intimate build-up and that, as one of the consequences of this belief, everything we know in the world by sense evidence can also be proved mathematically. Bertrand Russell said of him: « Gödel turned out to be an unadulterated Platonist, and apparently believed that an eternal ‘not’ was laid up in heaven, where virtuous logicians might hope to meet it hereafter » (in Russell’s Autobiography, quoted by Dawson 1988: 8).

I am arguing here, to the contrary, that to be « worthy of the name », a mathematical demonstration is not allowed to import surreptitiously elements of proof borrowed from physics: it is required to confine itself entirely to the formal domain of mathematics. It is easy to understand that were this distinction not upheld, the notion of an « adequate mathematical model of physical reality » would lose all meaning as stowaway empirical evidence might be lurking in the model at undisclosed locations, blurring the distinction between which elements of the physical world are properly modelled and which have straightforwardly been imported, i.e. simply depicted instead of accounted for.

In their book quoted earlier, Casti & DePauli, unintentionally betray their unease in this respect when they write: « What Gödel discovered is that even if there exist true relations among pure numbers, the methods of deductive logic are just too weak for us to be able to prove all such facts. In other words, truth is simply bigger than proof. This fact does not seem too astonishing when put into the context of everyday life. We are all aware of things that we ‘know’, but that we feel can never be logically deduced in a formal, Aristotelian fashion. In fact, the Oxford don and philosopher J. L. Austin, when first told of Gödel’s result, remarked: ‘Who would have ever thought otherwise?’ It seems likely that the average person on the street would say the same thing if someone announced that not everything that’s true can be known by following a process of logical deduction. But not so for mathematicians! » (2000 : 4-5). Casti & DePauli should have written more specifically: « But not so for mathematicians who are devotees of the Platonic creed » whose belief is that mathematics and physics are one and the same, or at least don’t care distinguishing one from the other. Hence their indifference to the quality of the proof mobilised at various steps in their demonstrations, and Gödel’s specific legerdemain in this respect with his « I can’t care less » attitude.

That the crux of the issue, the source of all his confusion, lies in Gödel’s Platonic ideological commitment, Casti and DePauli bring it out even more – albeit accidentally – in a passage where they attempt to clarify his approach with the help of an illustration featuring… chocolate cakes:

« Truths = all conceivable cakes satisfying the chocolate cake test.

Proof = all recipes for actually making chocolate cakes with the Chocolate Cake Machine.

Now comes the Big Question: Is there a recipe for every conceivable chocolate cake? Or, equivalently, is every true statement provable? What we’re asking here is whether there are ‘honest-to-god’ chocolate cakes in the Platonic universe of cakes for which no recipe can ever be given » (ibid. 19-20).

« In the Platonic universe… », one could not have stated it any better: Gödel’s demonstration only makes sense and represents a meaningful progress in understanding on the stage of a theatre where the Real would be entirely made out of numbers and where, as an entailment, two representations are fused: that of the empirical world surrounding us, which is accounted for by physics, and that of the world of mathematical entities, tools that we devised in order to offer a useful, if only stylised, vision of the world around us.

Mathematicians’ intuition and « virtual physics »

Mathematics allows us to design models of physical reality. Some of our models are causal: if one thing happens, another or others will follow. We can also do simulations: we know what elements of different types are involved in a phenomenon of a collective nature and how they interact: let’s act it out, let numerical instances of objects interact for a while and see what happens. 

It is often in no time that new mathematical objects and methods are mobilised for new advances in physics. This is no accident: they get immediately tested by various researchers for possible use. Einstein, for example, turned to tensors as soon as that mathematical tool became available. 

Barrow reports: « The development of non-Euclidean geometry as a branch of pure mathematics by Riemann in the nineteenth century, and the study of mathematical objects called tensors was a godsend to the development of twentieth-century physics. Tensors are defined by the fact that their constituant pieces change in a very particular fashion when their coordinate labels are altered in completely arbitrary ways. This esoteric mathematical machinery proved to be precisely what was required by Einstein in his formulation of the general theory of relativity. Non-Euclidean geometry described the distortion of space and time in the presence of mass-energy, while the behaviour of tensors ensured that any law of nature written in tensor language would automatically retain the same form no matter what the state of motion of the observer. Indeed, Einstein was rather fortunate in that his long-time friend, the pure mathematician Marcel Grossmann, was able to introduce him to these mathematical tools. Had they not already existed, Einstein could not have formulated the general theory of relativity » (Barrow [1990] 1992: 189)

Not all of mathematics lends itself however with equal ease to the construction of physical models. Is there something then about a new mathematical tool that predisposes it to be summoned for modelling physical phenomena? 

How are axioms defined? In Comment la vérité et la réalité furent inventées I argued that they are quite often not entirely abstract and seem to display an inclination towards the easy generation of physical models. I pointed out that this was then no deliberate strategy, the mathematician author remaining in all likelihood unaware of the fact. When Stephen Wolfram writes « Maybe there’s something special about the particular axioms used in mathematics. And certainly if one thinks they’re the ones that uniquely describe science and the world, there might be a reason for that » (Wolfram 2020: 559), this is precisely what I’m having in mind when I talk of mathematics as « virtual physics ». By taking as a starting point axioms that are already de facto « virtual physics », theorems are generated that remain all along « virtual physics » so to say by construction.

When I mentioned the attempts of mathematicians to demonstrate what is in no need to be demonstrated because it is in truth a straightforward fact of observation, something that our senses have allowed to establish, I already pointed out that in certain cases, the axiom makes it possible to surreptitiously import into the theorem an element of physics: « because hidden in one of the axioms is an observation derived from sensory evidence, an empirical fact, is hidden in one of the axioms; in such a case, mathematicians have used mathematics to build a « virtual physics » and it is their intuition of the world around us that has guided them unbeknownst ».

Curiously, if one thinks of the fact that they are working on formal objects whose syntax and semantics alone should be relevant, mathematicians readily admit that they rely on their intuition, which they suggest is a very abstract thing that is very difficult to pin down more precisely. For example, Alan Turing, in his 1938 thesis, Systems of Logic Based on Ordinals, remarked: ‘The activity of intuition consists in the production of spontaneous judgments which do not result from conscious trains of reasoning […] I shall not attempt to explain this idea of intuition more explicitly » (in Copeland 2004: 192). In fact, the intuition of mathematicians owes its very shape to the world as it stands around us. And what mathematicians produce, therefore, since the origins of their discipline, and especially when they refer to their intuition as the source of their inspiration, is mathematics that constitutes, until better informed, a « virtual physics ». 

This I set out systematically in Comment la vérité et la réalité furent inventées, taking as an example the birth of the infinitesimal calculus mentioned above, when it could be observed that the mathematics newly conceived by Newton and Leibniz were abused (the rigour asserted being sacrificed in the process) until they « stuck » to the celestial mechanics for which they were developed. The famous bishop cum philosopher George Berkeley (1685-1753) denounced then the deception: a « compensation of errors » involving « Ghosts of Departed quantities » (Berkeley [1734] 1992: 199). He pointed out that « in every other Science, Men prove their Conclusions [the ‘theorems’] by their Principles [the ‘axioms’], and not their Principles by their Conclusions. But if in yours you should allow your selves this unusual way of proceeding, the Consequence would be that you must take up with Induction and bid adieu to Demonstration. And if you submit to this, your Authority will no longer lead the way in Points of Reason and Science. I have no controversy about your Conclusions but only about your Logic and Method » (ibid. 180). And Berkeley cruelly wondered « whether such Mathematicians as cry out against [divine] Mysteries, have ever examined their own Principles? » (ibid. 220). 

You mathematicians, Berkeley argued, should take your starting point in mathematically meaningful axioms (« Principles ») and see what theorem (« Conclusions ») you can derive from them. But what you do instead is that you predefine the theorem (« Conclusions »), and then you make up the axioms (« Principles ») that will allow you to prove it. In so doing, you do not proceed as scholars do, according to Aristotle, by deduction, within the framework of the « analytical » standard of logic, but by induction, which Aristotle has shown to be a mode of proof proper to the « dialectictical » standard of logic which is of choice for lawyers and politicians, who care only to not contradict themselves, but have no regard for the truth, unlike genuine scholars.

References:

Barrow, John D., Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation, London: Vintage 1990 

Berkeley, George, [1734] 1992 De Motu and The Analyst. A Modern Edition, with Introductions and Commentary, ed. and transl. from latin by Douglas M. Jesseph, Dordrecht (Holland): Kluwer Academic Publishers 

Casti, John L. & Werner DePauli, Gödel. A Life of Logic, Cambridge (Mass.) Perseus: 2000

Copeland, B. Jack, The Essential Turing, Oxford: Oxford University Press 2004

Dawson, John W., « Kurt Gödel in Sharper Focus », in S. G. Shanker, Gödel’s Theorem in Focus, London: Croom Helm 1988

Jorion, Paul, Comment la vérité et la réalité furent inventées, Bibliothèque des sciences humaines, Paris: Gallimard 2009

Wolfram, Stephen, A Project to Find the Fundamental Theory of Physics, Wolfram Media 2020

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32 réflexions sur « Unilog 2022 – What makes a demonstration worthy of the name? by Paul Jorion »

  1. « When Gödel says of that proposition, as we’ve seen, that it is true even though it is impossible to prove this means out of necessity that it can only be true for one of the other two possible reasons why a proposition may be true: either that it is an axiom (i.e. a definition) or that it derives from corroborated sensory evidence. »

    Non, et c’est la le coeur de votre méprise : cette fameuse formule Coh(T) est vraie signifie qu’elle est vraie dans UN des modèles de T. En l’occurence, on démontre facilement que que si Coh(T) n’est pas vraie dans le modèle standard N (les entiers naturels) de T, alors T n’est pas cohérente. Comme on sait que T est cohérente (car elle a pour modèle au moins N, parmi d’autres), alors on déduit que Coh(T) est vraie dans N. Elle peut etre cependant fausse dans un AUTRE modèle (et en fait le theoreme de Godel le montre, c’est tout son objet !).

    Et tout ceci ne ressort pas d’un tour de passe passe, les détails de ce que je viens de dire sont prouvés pas a pas les uns aprés les autres.

    En résumé : Coh(T) est VRAIE car elle est vraie dans un de des modèles de T, en l’occurence le modèle standard N.
    Ni parcequ’elle est un axiome, ni parcequ’elle est « évidente pour les sens ».

    Vous faites cette confusion car vous n’avez pas pris la peine de rentrer dans les fondements de la logique mathématique (la logique Aristotelicienne n’est PAS de la logique mathématique). En particulier, vous ne semblez pas etre conscient que « vrai » signifie « vrai dans AU MOINS un modèle de T » et que « démontrable » signifie « vrai dans TOUS les modèles de T ». Et qu’il existe de nombreux (une infinité meme) modèles de T (la téeorie de l’arithmetique de Peano) en dehors des entiers naturels, ce qui est absolument fondamental a comprendre dans ce contexte.

    Je suis docteur en mathematiques justement en logique mathematique, je sais absolument de quoi je parle.

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      1. Ce n’est pas la réponse circonstanciée que je vous promets, mais voici en attendant, une remarque « à la Wittgenstein » dans mes notes :

        Au centre de la réflexion de Turing, Church, Kleene se trouvent les questions si une proposition est vraie ou fausse et celle de savoir si un certain type de problèmes a une solution. On a le sentiment que ces deux types de questions sont souvent confondus par les mathématiciens sous la forme que « avoir une solution », c’est « être vrai » et donc que dire : « Ce type de problème a une solution » et dire « Ce type de problème est vrai », est équivalent.

    1. « vrai » signifie « vrai dans AU MOINS un modèle de T » et « démontrable » signifie « vrai dans TOUS les modèles de T ».

      C’est effectivement très différent d’Aristote pour qui le a) « démontrable » est l’une des trois variétés du « vrai » (les deux autres étant b) l’évidence des sens ; c) les axiomes).

      Il faut que je comprenne le passage du vrai d’Aristote (qui est toujours celui de M. et Mme Tout-le-monde) à celui que vous dites : « vrai » signifie « vrai dans AU MOINS un cas » et « démontrable » signifie « vrai dans TOUS les cas ».

      Mais une première recherche ne donne rien : je ne trouve pas ce que vous dites. Dans Wikipedia en anglais, je ne trouve que des confirmations de ce que j’avance :

      les énoncés vrais en mathématiques sont généralement considérés comme des énoncés prouvables dans un système axiomatique formel

      Ce qui est conforme à la définition du vrai a) « démontrable » chez Aristote.

      Gödel pensait que la capacité de percevoir la vérité d’une proposition mathématique ou logique est une question d’intuition, une capacité qu’il admettait comme pouvant être en définitive au-delà de la portée d’une théorie formelle de la logique ou des mathématiques.

      C’est ce que je dis aussi de lui. Mais j’ajoute que « l’intuition » de Gödel qui lui permet de « percevoir la vérité d’une proposition mathématique ou logique », c’est en réalité son intuition de notre monde à quatre dimensions, et donc quand il invoque son intuition comme critère du vrai, c’est le monde physique qu’il importe comme passager clandestin, autrement dit, son autre « vrai » que les axiomes et le démontrable, c’est – à son insu, je suis d’accord – le 2e critère du vrai d’Aristote : b) l’évidence des sens.

      [Cela dit, si vous pouvez me communiquer la référence dans un texte à « « vrai » signifie « vrai dans AU MOINS un modèle de T » et « démontrable » signifie « vrai dans TOUS les modèles de T » », je suis bien entendu preneur !]

  2. Au tournant du 20ème siècle tout ceci n’était pas encore toujours très clair chez les mathématiciens. Un exemple spectaculaire fût celui de Cantor, qui devint fou à essayer de prouver si sa fameuse « hypothèse du continu » était vrai ou fausse. Un jour il pensait avoir prouvé qu’elle était vraie, un autre qu’elle ne l’était pas… ça a duré des années et a fini par affecter sa santé mentale. A cette époque il ne savait pas que la théorie axiomatique des ensembles n’a pas qu’un seul modèle, il pensait donc que l’hypothèse du continu était soit « vraie » soit « fausse ». Cette notion de « vérité » se décanta au cours des années 20 et 30, et déjà Gödel dans les années 30 construisit un modèle de la théorie ZFC dans lequel l’hypothèse du continu est vraie. Puis Cohen, trente ans plus tard, construisit par une autre méthode un autre modèle de la même théorie ZFC, dans laquelle l’hypothèse du continu est fausse. Cantor ne pouvait donc ni pouver ni réfuter son hypotèse, mais il ne le savait pas. Car prouver son hypotèse (ou la réfuter) eu signifié qu’elle fût vraie (ou fausse) dans TOUS les modèles de ZFC, or Gödel et Cohen ont prouvé par leurs constructions que c’était impossible. Ces choses sont absolument essentielles à la compréhension de la preuve du théoreme d’incomplétude.

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  3. Encore une fois, la logique d’Aristote n’est pas de la logique mathématique. Aristote pensait en termes du langage humain : comment les phrases parlées doivent s’articuler entre elles pour produire un discours pertinent et valide. La logique mathématique s’empare de ces considérations générales, mais sous l’angle d’un langage mathématique (un ensemble de symboles, par exemple un symbole pour l’addition, un autre pour la multiplication, un autre pour l’ordre, etc…) et (c’est essentiel et ce qui différencie d’Aristote) en relation intime avec des STRUCTURES mathématique (groupes, espaces vectoriels, ensembles ordonnés, etc..). Par exemple, quand on parle de groupes, on prend un symbole + pour l’addition, et un symbole pour l’élément neutre 0. Le langage ici c’est le langage à deux éléments {+,0}.

    A partir d’un langage donné L, on définit et prouve alors rigoureusement les notions et résultats suivants lors d’un cours de base de logique mathématique :

    * les règles de formation des formules dans L, qui sont celles qui aboutissent aux formules syntaxiquement correctes en utilisant les symboles de L.

    * la notion de « formule satisfaite (ou VRAIE) dans une structure ». Par exemple, la formule dans le langage des groupes « pour tout x, il existe y tel que x+y=0 » n’est PAS VRAIE dans la structure N des entiers naturels. Par contre, elle l’est dans la structure Z des entiers relatifs.

    * La notion de théorie de L (qui correspond aux axiomes dans votre terminologie), qui est simplement un ensemble de formules du langage L. Par exemple, la théorie des groupes commutatifs est constitué des 4 formules (axiomes) suivantes :
    « pour tout x, pour tout y, pour tout z, (x+y)+z=x+(y+z) » –distributivité
    « pour tout x, x+0=x » –élément neutre
    « pour tout x, il existe y tel que x+y=0 » — existence d’un inverse
    « pour tout x, pour tout y, x+y=y+x » — commutativité

    * La notion de modèle d’une théorie T dans L, qui est une structure dans laquelle touts les axiomes de T sont vrais. Par exemple, la structure des entiers naturels N n’est pas un modèle de la théorie des groupes ci dessus, mais la structure des entiers relatifs Z en est un modèle.

    * La théorie de la démonstration est alors développée en oubliant provisoirement les structures et les modèles. On y définit des « règles syntaxiques d’inférence à partir d’une théorie (axiomes) ». On dit alors qu’une formule F est démontrable dans la théorie T, ou que T démontre F (on note T |- F, comme dans le document que je donnerai en lien plus bas) si on peut passer des axiomes de T à F en un nombre fini d’étapes en utilisant les règles d’inférence.

    * Puis finalement, on fait le lien avec les structures en prouvant le théorème suivant : T |- F si et seulement si F est vraie dans TOUS les modèles de T.
    Voici un lien vers ce résultat tiré d’un livre d’introduction à la logique mathématique (mais tous les livres de base en logique mathématique présentent aussi ce résultat !) qui énonce ce résultat (« théorème de complétude »). Si vous le souhaitez je vous enverrai par email les références de ce livre.

    https://zupimages.net/up/22/15/atfh.png

    Ce que j’ai dit de la logique mathématique plus haut correspond à ce qu’on apprend dans un cours d’introduction à cette discipline (accessible disons à un étudiant en maths de 2ème ou 3ème année de fac). J’ai cru comprendre que vous avez une culture de base en maths qui vous permettrait de lire ce genre de choses plus ou moins élémentaires à quiconque est familier avec les maths.

    Pour en revenir au théorème de Gödel : la fameuse formule Coh(T) qui « exprime dans le langage de Peano que Peano est une théorie cohérente » est tout à fait bien définie d’une part. Et d’autre part, ce que le théorème de Gödel en dit, c’est qu’elle est vraie dans le modèle N de Peano, mais pas dans TOUS les modèles, donc (comme on l’a vu plus haut), qu’elle n’est pas démontrable dans Peano. Ce que l’on pourrait résumer en disant qu’elle est « vraie bien que non démontrable », mais je n’aime pas cette formulation car c’est un abus de langage. Il faudrait plutot dire « vraie dans un modèle de Peano mais non démontrable dans Peano ».

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    1. Ce que l’on pourrait résumer en disant qu’elle est « vraie bien que non démontrable », mais je n’aime pas cette formulation car c’est un abus de langage. Il faudrait plutot dire « vraie dans un modèle de Peano mais non démontrable dans Peano ».

      Ok, on retombe toujours sur la même chose : un mathématicien / logicien me dit « Vous vous trompez [parce que vos connaissances sont élémentaires, etc.] », et je réponds : « Je ne me trompe pas : je dénonce une naïveté chez les mathématiciens / logiciens qui invalide leur raisonnement » (cf. la cinquantaine de pages que j’ai consacrées à cela dans Comment la vérité et la réalité furent inventées – 2009).

      Illustration pour les non-spécialistes :

      Nous jouons aux échecs. Vous me prenez des pièces en jouant à saute-mouton avec l’une des vôtres. Je dis « Vous n’avez pas le droit de faire, ça ! » Vous me répondez « Si, il y a une règle qui m’autorise à le faire ! ». Je dis « Mais ça c’est une règle du jeu de dames, pas des échecs ! ». Et vous « Bof, c’est juste un autre modèle de T ! »

      Application au théorème de Gödel : Gödel dit « Cette proposition peut être dite vraie « par ailleurs [comme le confirme mon intuition – sic] ». Moi : vous ne pouvez pas dire « cette règle est vraie parce qu’elle est vraie aux dames » si nous jouons aux échecs, sauf à dire que vous invoquez une vérité empirique, d’application générale dans le monde autour de nous. Ce qui est exactement ce que je dis à Gödel : « La vérité de cette proposition que vous affirmez vraie ne lui vient ni des axiomes, ni de la démonstration, vous l’importez comme passager clandestin du monde extérieur ».

      1. Je ne vous comprends pas. Reprenons depuis le début, et soyons très concrets : dans les huit points que j’ai mentionné précédemment sur ce qui est enseigné aux étudiants en logique mathématique dans un cours de base, y en a t il à propos desquels vous auriez une critique à formuler ? si oui, lesquels, et quelle critique ?

        1. Vous avez bien situé le problème vous-même :

          « vraie bien que non démontrable », mais je n’aime pas cette formulation car c’est un abus de langage

          Vous avez mis le doigt sur ce qui cloche, et vous révélez que vous en êtes conscient.

          (À défaut, lisez dans Commment la vérité et la vérité furent inventées, la cinquante de pages que je consacre à la démonstration mathématique, à celle de Gödel en particulier et au passager clandestin de la physique dans les mathématiques, ce que j’appelle la « physique virtuelle.)

  4. Comme Druuh, je suis docteur en logique mathématique. Je n’irai pas jusqu’à dire comme Druuh que je sais encore de quoi je parle parce que c’était il y a un demi-siècle et qu’il y a bien longtemps que je ne m’intéresse plus à la théorie des modèles formels (je m’intéresse maintenant à la théorie des modèles continus proposée par René Thom).

    Quand je lis ce qu’écrit PJ (10 avril 2022 à 22 h 39 min), je ne peux m’empêcher de penser qu’il n’a pas travaillé la démonstration du théorème de complétude (de Gödel) et donc qu’il n’a pas travaillé non plus celle de son premier théorème d’incomplétude -pour moi incompréhensible sans le théorème de complétude-.

    Plutôt que de m’engager dans des discussions techniques (je laisse éventuellement ça à Druuh) je rappelle l’argument d’autorité suivant: le premier théorème d’incomplétude de Gödel a été aussitôt validé par Von Neumann, qui a énoncé le deuxième comme conséquence quasi-immédiate (sans le démontrer). Dans un article cosigné par Hilbert, Bernays a donné une preuve de ce deuxième théorème, évidemment validée par Hilbert -évidemment ainsi que le premier. C’est là qu’intervient l’argument d’autorité suivant (puissant selon moi) : Hilbert a ainsi reconnu la faillite de son programme (dont le but était d’assurer les fondements des mathématiques).

    1. Mais à la différence de Druuh, vous êtes très familier de mes contributions au débat sur le fondement des mathématiques.

      À l’intention de ceux que cela intéresse, ces débats (où l’argument d’autorité volait bas et dans toutes les directions) ont été entièrement décortiqués par Jean Ladrière dans Les limitations internes des formalismes. Étude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques, Paris : Jacques Gabay (1992 [1957]), un ouvrage sur lequel je continue de m’appuyer.

      N.B. Dans la section de ce livre consacrée aux Paradoxes, Ladrière, en laissant entendre que Gödel a confondu paradoxe et contradiction dans sa démonstration, invalide celle-ci sans rien dire, en catimini.

      1. @PJ. Je vois que l’argument d’autorité continue de voler (bas ou haut, c’est à votre choix): Ladrière, Wittgenstein (deuxième mouture!) et Thom (lire ce qui suit) contre Von Neumann, Hilbert. Je n’ai pas lu le bouquin de Ladrière mais je ne serais pas étonné d’y apprendre que Thom est en accord avec lui en ce qui concerne la limitation des formalismes (cf. ce qu’il dit des modèles formels au tout début de Stabilité structurelle et morphogenèse).

        En ce qui concerne les théorèmes d’incomplétude de Gödel ,Thom se contente d’écrire ceci (SSM, 2ème ed., p.320): « Les axiomes de l’arithmétique forment, c’est bien connu, un système incomplet. C’est là un fait heureux, car il permet d’espérer qu’un grand nombre de phénomènes structurellement indéterminés et informalisables pourront néanmoins admettre un modèle mathématique. ». (Pour Thom ce qui fonde les mathématiques c’est l’opposition aporétique discret/continu -qui se décline en arithmétique-algèbre/géométrie-topologie-.)

        En ce qui concerne les paradoxes, je pense qu’on ferait bien de revenir à ceux de Zénon pour réaliser qu’on ne peut les résoudre sans être un penseur du continu (un bon argument, selon moi, pour abandonner les théories des modèles formels et se tourner vers celles des modèles continus). On ferait également bien de s’intéresser au paradoxe de Hempel (et au théorème de Cox-Jaimes, qu’affectionnent tant les chercheurs en IA tels que S. Dehaene, conseiller pédagogique de Blanquer) c’est-à-dire à l’emploi de la négation dans les systèmes formels (tiens, tiens…).

        Il n’est pas question pour moi de mettre en doute les résultats de Gödel, mais seulement d’en limiter plus sévèrement la portée que ce qu’on a coutume de faire. Ainsi je suis maintenant, je crois, plus près de votre position que de celle des formalistes. Je regrette seulement que vous n’ayez pas prolongé dans le sens de Thom, comme PSI et « Comment la vérité… » le laissaient entrevoir; mais c’est parce que c’est là, je crois, que nos positions idéologiques se séparent: nominaliste (ou conceptualiste tendance nominaliste) pour vous, réaliste (ou conceptualiste tendance réaliste) pour moi.

      2. En ce qui concerne les fondements des mathématiques l’époque « logique formelle » est -de mon point de vue- en train de se refermer, et l’ère qui s’ouvre est topologique (toposique pour les grothendieckiens). Là encore s’affrontent les penseurs du discret (pour moi Grothendieck) qui tiennent à sauver le vénérable principe de non-contradiction et les penseurs du continu (Thom) qui n’hésitent pas à y renoncer.

        Les philosophes belges D. Lambert et B. Hespel ont écrit un article intitulé « De la topologie de la conciliation à la logique de la contradiction » ( https://www.jstor.org/stable/44085191 ) où ils écrivent dès l’introduction que Jean Ladrière se serait sans doute amusé à constater que leur papier n’est pas dénué d’intérêt (je suis tout-à-fait d’accord avec eux sur ce point).

  5. Je crains que les arguments d’autorités ne convainquent pas Mr Jorion. Je vous redit ce que je vous ai dit de nombreuses fois (j’ai commencé à vous interpeller sur votre méprise en 2015 par mail, puis de nombreuses autres fois sur ce blog) : le théorème d’incomplétude de Gödel est un théorème dont l’énoncé ainsi que la démonstration de A à Z est purement de nature mathématique. Vous ne pouvez donc le critiquer éventuellement qu’en utilisant les règles qui ont conduites à son élaboration, qui son mathématiques à 100%. Invoquer Aristote dans ce contexte est totalement hors de propos.

    J’ai expliqué succintement les règles de base de la logique mathématique ci dessus, vous n’avez fait aucun commentaire à ce propos (cela signifie t il que vous etes d’accord avec ? ou que vous ne les comprenez pas car vous n’avez pas pris la peine de prendre du temps à lire un livre de logique mathématique ? On ne saura pas apparemment…) .

    Vous me demandiez de vous fournir une référence où il est dit que « démontrable équivaut à vrai dans tous les modèles ». Je l’ai fait et toujours pas de commentaire là dessus de votre part… que faites vous de ce résultat essentiel ?

    Vous êtes en train de vous ridiculiser devant des spécialistes de ce domaine en refusant d’admettre que vous avez mal compris tout un tas de choses necessaires à la compréhension du theoreme.

    Je vous ai fourni dans le passé des exemples triviaux et facilement compréhensibles par un non spécialiste d’énoncés vrais dans UN modèle d’une théorie, mais pas dans TOUTES. Et aussi d’exemples triviaux d’énoncés vrais dans TOUS les modèles (i.e. démontrables dans la théorie).
    Mais malgré cela, vous persistez à prétendre que « vrai » signifie ou axiome, ou déduit des axiomes, ou évident selon les sens. Car vous vous référez sans cesse à Aristote, qui ne considérait que des énoncés formé de phrases du langage courant, ce qui n’a rien à voir avec le contexte du théorème de Gödel.

    Si ce qui vous gène, c’est employer le qualificatif « vrai » pour désigner un énoncé satisfait dans une structure, alors utilisez un autre mot que « vrai » pour le qualifier.
    Mais vous n’échaperez pas au fait que le théorème de Gödel dit que l’énoncé Coh(Peano) est SATISFAIT dans N, mais PAS dans TOUS les modèles de Peano. C’est inéluctable. Et c’est exactement ce qu’il signifie, ni plus, ni moins.

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  6. PS : je veux pour preuve que vous ridiculisez aux yeux des spécialistes de ce domaine : essayez de faire publier votre article avec Liu (qui n’est au passage pas mathématicienne mais informaticienne) dans une revue mathématique sérieuse. Vous n’y parviendrez pas, car les referees se rieront de vous.

    1. J’ai dit que je prendrais votre objection au sérieux.

      Ce que j’ai fait.

      Vous êtes revenu avec des considérations élémentaires sur les mathématiques (beaucoup moins sophistiquées que mon exposé sur le même sujet dans Comment la vérité et la réalité furent inventées). Et là, vous avez commencé à perdre votre sang froid : « J’ai cru comprendre que vous avez une culture de base en maths ».

      Je vous ai quand même répondu de manière circonstanciée, en vous proposant une illustration à partir des échecs et du jeu de dames. Mais au lieu de dire : « Vous avez peut-être raison », cette fois-ci vous perdez complètement votre sang froid et basculez dans des menaces de niveau cour de récré : « Tu m’as ratatiné, mais j’ai des copains très grands et très costauds, tu vas voir ta gueule ». Je cite votre perle pour être sûr que tout le monde ait pu la voir :

      PS : je veux pour preuve que vous ridiculisez aux yeux des spécialistes de ce domaine : essayez de faire publier votre article avec Liu (qui n’est au passage pas mathématicienne mais informaticienne) dans une revue mathématique sérieuse. Vous n’y parviendrez pas, car les referees se rieront de vous.

      Vous avez initié une discussion intéressante, mais quand vous vous êtes retrouvé à court d’arguments, le bec dans l’eau, au lieu de continuer à réfléchir, vous avez complètement régressé en n’avez rien trouvé de mieux à m’opposer que des puérilités de ce genre. Quel gâchis !

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  7. Ok je veux bien admettre que j’ai perdu mon sang froid, mais pas pour les raisons que vous evoquez cependant. Je vais reprendre mon sang froid donc, et je m’efforcerai de repondre a vos precedents propos, y compris la metaphore des echecs. Je dois partir en voyage pour une semaine, je reprendrai lundi prochain.

    1. Comme ce sera le lundi de Pâques , on souhaite que la résurrection du Christ et la cérémonie du passage fasse la lumière sur la nature de la  » Démonstration » digne du verbe et de l’immanence ( à moins que ça ne soit de la transcendance ? ) . .

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  8. 1. En relisant le titre de « Comment la vérité… », je me demande pourquoi vous vous êtes attaqué aux théorèmes d’incomplétude de Gödel et pas au théorème d’indéfinissabilité (de la vérité) de Tarski ( https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_undefinability_theorem ). (Il est en effet plus facile de repérer une erreur dans le théorème de Tarski que dans celui de Gödel, alors que les ingrédients principaux sont le mêmes: paradoxe du menteur et argument diagonal de Cantor).

    2. Au début du chapitre III (« L’émergence de l’universel: l’invention de la Réalité-objective dans la physique ») vous ciblez « une assimilation du réel à la loi des nombres » et la logique mathématisée qui va avec, visant ainsi -à mon avis- beaucoup plus l’école pythagoricienne (« Tout est nombre ») que l’école platonicienne (« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre »), et c’est donc tout-à-fait logiquement, selon moi, que vous réservez vos flèches pour le chapitre IV intitulé « La revanche de Pythagore: les mathématiques contemporaines »), flèches où, toujours selon moi, Platon se trouve épargné puisqu’il n’y est pas question de géométrie.

    3. Ce que j’aurais aimé c’est un chapitre IV bis intitulé « La revanche de Platon », où vous vous seriez opposé non plus à Gödel, mais à Thom, platonicien déclaré dans son article -paraît-il le plus lu- « Les mathématiques modernes: une erreur pédagogique et philosophique? » (article du début des années 1970 qui figure dans Apologie du logos, Hachette, 1990), Thom (dont les préférences pour le qualitatif sont bien connues) qui écrit ailleurs que l’option pythagoricienne choisie par la physique moderne n’est peut-être pas la bonne: « La physique actuelle a sacrifié la stabilité structurelle à la calculabilité; je veux croire qu’elle n’aura pas à se repentir de ce choix ».

    4. La géométrie n’apparaît que dans les dernières pages (357 et suivantes) avec la mention de d’Arcy Thompson qui a inspiré Turing dans ses travaux sur la morphogenèse (équations de réaction-diffusion) -ce qui est généralement noté-, mais également Thom -ce qui généralement omis-, et ce dès ses premières publications sur le sujet (« Une théorie dynamique de la morphogenèse » (1968) (que l’on trouve dans « Modèles mathématiques de la morphogenèse », 10/18, 1974). J’ai d’ailleurs été choqué qu’il ne soit pas fait mention de Turing dans cet article; j’ai compris pourquoi beaucoup plus tard (cf. Apologie du logos p.188): Turing s’intéresse à la calculabilité, Thom à la stabilité structurelle…

  9. I. J’ai trouvé étonnant qu’après avoir daubé sur Gödel, PJ termine le chapitre « La revanche de Pythagore » sur l’illuminisme (de Turing, de Newton), considéré plutôt avec sympathie (c’est ça que j’ai trouvé étonnant). Il me semble qu’il y avait mieux à faire que de s’attarder sur les suites de Fibonacci (1) -même si Turing en est la raison- compte tenu du niveau nettement plus ambitieux de ce qui précède dans ce chapitre. Ainsi PJ évoque p.360 le lien à faire entre les constantes universelles des physiciens (vitesse de la lumière, gravité universelle, nombre d’Avogadro) et les constantes des matheux (e, π, φ). Je lui signale le groupe cosmique de Pierre Cartier (https://preprints.ihes.fr/2008/M/M-08-62.pdf à la fin de p.30 et p;31, dont voici un extrait :

    « Du point de vue physique, le “modèle standard” des particules élémentaires laisse inexpliquées les masses des quarks par exemple, et les constantes de couplage. Il y a là 20 à 30 constantes, que l’on
    mesure expérimentalement, mais dont on n’a aucune explication. Sur le modèle du groupe de Galois motivique, j’ai donc imaginé un groupe de Galois cosmique,qui agirait sur les constantes fondamentales. »).

    II. La citation de Lassègue du bas de la page 363 (« Selon Turing, le système d’encodage grâce auquel les messages sont cryptés peut être comparé aux lois de l’Univers et les clés d’encodage à ses constantes »), citation en rapport avec l’encodage par « gödelisation », fait aussitôt penser au code génétique. Je resignale ici à PJ (je l’ai fait plusieurs fois quand je commentais sur ce blog) l’existence d’une correspondance preuve-programme, connue sous le nom de correspondance de Curry-Howard (https://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_de_Curry-Howard):

    « Le logicien français Jean-Louis Krivine [mon prof de thèse…] a fait le rapport entre différents théorèmes mathématiques et les programmes informatiques qu’ils représentent :
    le théorème d’incomplétude de Gödel qui dit qu’il y a des propositions qui sont indécidables correspond à un programme de réparation de fichiers;
    le théorème de complétude de Gödel correspond lui à un désassembleur interactif de programmes. »;

    Un lien avec le problème P/NP?

    III. Le chapitre -et le bouquin- se termine par :

    « Si la voie illuministe possède un quelconque mérite, il existe un codeur, et l’intelligence artificielle existe depuis plusieurs dizaines de milliers d’années, car c’est la nôtre. ».

    Intéressante question à ne surtout pas laisser dans les seules mains des mathématiciens.

    1: J’ai lu des explications que j’ai trouvées tout-à-fait acceptables de la présence des premiers termes de la suite de Fibonacci en botanique. Le point intéressant, selon moi, est de comprendre pourquoi ce processus s’arrête au bout d’un nombre fini (et petit) d’étapes. Thom parle de ça dans Esquisse d’une sémiophysique (p.77).

  10. PJ parle de la preuve (par Aristote?) de l’irrationalité de racine carré de 2 comme une cinglante défaite des mathématiques. C’est peut-être le cas des pythagoriciens (pour qui « Tout est nombre ») et j’ai lu que le monde de certains d’entre eux s’est écroulé lorsque la démonstration leur est parvenue -et même conduisant certains au suicide?-, mais ce n’est pas, à mon avis, le cas des platoniciens (pour qui « Tout est géométrie »). Ce qui suit est en rapport avec la question (essentielle!) que pose PJ: « Que démontrent les mathématiciens, et le font-ils d’une manière digne de ce nom ? ».

    Pour moi un géomètre qui découpe (par la pensée ou dans une feuille de papier) les quatre coins d’un carré pour laisser un « losange carré » d’aire moitié du carré initial (puisque les quatre coins coupés reconstituent -par puzzle- un carré identique à ce « losange carré »), a démontré que, pour lui géomètre, racine carré de deux était un nombre parfaitement rationnel.

    Cela pose donc la question de savoir ce qu’on entend par rationalité. Pour Thom ce n’est guère qu’une déontologie dans l’usage de l’imaginaire. Autrement dit celle imposée par Aristote et Eudoxe, qui repose sur leur théorie de l’analogie, n’est pas nécessairement immuable: Thom en propose une autre…

    Je poste ce commentaire:

    – parce que de voir l’irrationalité de racine carré de 2 comme une défaite cinglante des mathématiques m’a toujours irrité, car je ne vois sincèrement pas en quoi !

    – parce que où va-t-on « si Meyerson lui-même ne dit rien de la logique, qu’il considère comme connue de manière intuitive par son lecteur » (p. 284)?

    Remarque finale (en rapport avec ce qui suit à la p.284): « Ainsi, dans la démonstration classique du théorème de Pythagore, le « forçage » auquel pense Meyerson s’observe dans le caractère absolument arbitraire des constructions qu’exige la démonstration ». Je considère que ce que j’ai écrit ci-dessus constitue une démonstration géométrique tout-à-fait acceptable et sans « forçage » du théorème de Pythagore dans le cas particulier d’un triangle rectangle isocèle (ça marche aussi dans le cas général avec un découpage un peu plus subtil -mais du même type-).

  11. Après avoir relu les dix premières pages du chapitre IV de « Comment la vérité… », je suis tout-à-fait d’accord avec vous que le fondement des mathématiques est dans la déixis, à ceci près (?) que pour moi le monde sensible doit inclure le rêve, et je redis ici que c’est la position de Thom pour qui le fondement aporétique des mathématiques est dans l’opposition discret/continu (qui se décline en opposition arithmétique-algèbre (éventuellement infinitésimale)/géométrie-topologie). Pour Thom la mathématique est typiquement la science de l’imaginaire, et, plus précisément de son point de vue, la conquête du continu par le discret -je pense que pour Grothendieck c’est l’inverse-.

    À côté de ça les fondements logiques dans lesquels les logiciens formalistes (Boole, Frege, Russell, Gödel, etc.) veulent enfermer les mathématiques semblent bien étriqués et il est grand temps de réaliser que « The laws of thought » ne le sont que dans la tête des gens précités et de leurs nombreux affidés, surtout depuis que l’IA est devenu un enjeu politique. Pour moi la logique mathématique n’est qu’une toute petite partie des mathématiques et ne la fonde en aucun cas.

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  12. Je continue ma lecture critique de « Comment la vérité… ».

    Je trouve tout-à-fait bien vue la façon qu’a la physique moderne de progresser par « fissures » et « rustines » (citation de G. Lochak p.252, annotée par PJ). Thom dit à mon avis en substance la même chose dans son entretien avec Émile Noël intitulé « La théorie des catastrophes » dans une vidéo réalisée à la fin de sa vie -sa vidéo-testament en quelque sorte- (1). L’avantage que je vois à la version thomienne est qu’il oppose Galilée à Aristote, le premier mettant une rustine quantitative sur la fissure qualitative du second (Aristote) qui, lui, oppose le mouvement forcé au mouvement naturel. C’est au début de la partie « A propos de la science » 37’50 (2) où Thom rejoint Lochak (« je doute qu’on puisse indéfiniment continuer de la sorte en fermant les yeux sur cette difficulté ») à 40’30 : « La science moderne s’est à mon avis lancée dans l’entreprise désespérée de récupération de l’accident [alias de rustination des fissures…] ».

    C’est à 46’20 que la position de Thom (et -donc…- la mienne) diffère fondamentalement de celle de PJ : « Je m’oppose à l’argument qui consiste à dire qu’une interprétation des phénomènes naturels qui n’incite pas à une expérimentation explicite est dépourvue d’intérêt. Voilà, c’est ce que j’appelle le préalable expérimental. Les gens vous jettent à la face le préalable expérimental. Moi je prétends qu’on n’a pas le droit de jeter en face d’une considération quelconque en science le préalable expérimental. C’est tout. ».

    1: https://www.youtube.com/watch?v=fUpT1nal744

    2: Thom oublie v0.t dans son équation du mouvement vertical !

  13. PJ et les maths.

    L’avant-propos de « Comment la vérité… » se termine par un rappel à l’ordre des matheux : « Cet ouvrage prône un retour à la rigueur dans le raisonnement (…) impliquant à son tour une réhabilitation de la démonstration mathématique, qui devra se plier aux principes généraux présidant au raisonnement convaincant. » (p.11).

    Fort bien. Mais, dans ces conditions, la moindre des choses est de savoir ce que les matheux font. Or, hormis les nombreuses pages consacrées à la logique mathématique formelle (pp.259 à 262 pour la logique quantique, pp.285 à 326), je n’ai repéré que trois endroits où il est « techniquement » question de mathématiques: pp.358 et 359 où il est question des suites de Fibonacci; pp. 255 à 259 à propos de la physique quantique; pp.342 à 346 qui concernent le calcul infinitésimal. Et ce que j’y ai lu ne m’a pas enthousiasmé.

    Je commence par les banalités qui concernent les suites de Fibonacci, banalités, qui, selon moi, n’ont rien à faire dans un livre autrement ambitieux « Cet essai ambitieux se veut une contribution à l’anthropologie des savoirs », ainsi débute la quatrième de couverture). Le paragraphe concernant la « suite dorée » vient comme les cheveux sur la soupe et la trivialité que « les nombres de la série convergent rapidement vers… des nombres entiers » (1) laisse penser au mathématicien un peu averti que le niveau mathématique de l’auteur n’est peut-être pas très élevé.

    Je continue par ce qui concerne la physique quantique. Je ne suis pas physicien (et n’ai jamais eu aucune envie d’en être) mais j’ai l’impression que mes maigres connaissances en physique quantique dépassent quand même assez largement ce que je lis dans les pages 343 et 344, pages qui ont sans doute fait sursauter les spécialistes de la chose qui les ont lues : je me demande si PJ n’a pas bu autre chose que du café avant de les écrire.

    Je vais dans ce qui suit me concentrer sur ce qui est dit du hamiltonien classique (p.255). Après avoir parcouru la fiche Wikipédia de Penrose, il m’apparaît évident que celui-ci n’aurait jamais écrit « ce qui n’est pas le cas » dans « que le modèle de l’hamiltonien suppose que le moment et la position de la particule sont des variables indépendantes, ce qui n’est pas le cas. ». car les équations de Hamilton, comme celles de Lagrange, résultent d’une application à la mécanique analytique de théorèmes mathématiques concernant le calcul des variations, ce qu’ignore sans doute PJ (: « ce qui n’est pas le cas »). Et le cœur de cette théorie consiste à plonger le mouvement réel dans un ensemble de mouvements virtuels où les variables conjuguées p et q sont considérées comme indépendantes, puis à retrouver ce mouvement réel comme résultat d’un problème d’optimisation de « l’action ». Dans le cas le plus simple -correspondant au cas physique de l’oscillateur harmonique- le lagrangien est p²/2-q²/2 et l’hamiltonien est p²/2+q²/2 -correspondant au cas physique de la différence ou de la somme d’une énergie cinétique et d’une énergie potentielle-, et les équations de Lagrange ou de Hamilton fournissent des équations différentielles qui régissent le mouvement. On voit donc que le calcul des variations a un rapport -peut-être étroit- avec l’antique opposition puissance/acte qui avait cours à l’époque d’Aristote et de Platon (2) (3), et pose d’intéressants problèmes philosophiques tels que la finalité (la nature agissant pour extrémaliser son action?) qui ont très certainement été débattus par les philosophes depuis l’époque d’Euler et de Lagrange. Thom : « La Physique (au sens d’Aristote comme au sens moderne) a précisément pour but d’énoncer des règles qui, au mieux, déterminent univoquement le réel au sein du possible — ou, plus faiblement, énoncent des contraintes que doit satisfaire le réel au sein du possible »; « (…) qu’une science soit plus qu’une description naïve, tient au fait qu’elle a construit un ensemble de processus “virtuels” (c.-à-d. imaginaires) parmi lesquels elle est capable de sélectionner ceux qui sont réels, observables. Ainsi, le critère de la vraie scientificité ne se trouve pas dans la véracité de l’observation, ni dans sa précision, ni dans l’usage d’instruments aidant à l’accroissement de l’ensemble des faits observables, mais dans la construction d’une virtualité de phénomènes à partir de laquelle les phénomènes réels peuvent être sélectionnés par une procédure logique ou mathématique bien définie ».

    En ce qui concerne la physique quantique (pp. 258 et 259) Thom reprend le problème du plongement du réel dans le possible dans sa conférence « Hasard et déterminisme » (4) où il consacre de longues minutes à l’objection quantique au déterminisme (25’20 à 37′), sa position étant celle d’un déterministe « qui n’a actuellement que peu de chances d’être entendu ».

    En ce qui concerne la logique quantique, je ne peux m’empêcher de rapprocher le chat de Schrödinger, en même temps vivant et mort, du chat affamé de Thom, en même temps prédateur et proie et, par suite, de penser que, si logique quantique il y a, celle-ci est nécessairement paracohérente. Pour Thom la véritable logique, la logique naturelle, est bien différente de celle des rationalistes modernes -classiques ou quantiques- qui postulent implicitement -ou explicitement- l’imbécillité d’une nature dont l’homme est maître et possesseur (Descartes): « La classe engendre ses prédicats comme le germe engendre les organes de l’animal. Il ne fait guère de doute (à mes yeux) que c’est là l’unique manière de théoriser ce qu’est la logique naturelle »; « (…) la science veut construire la vie à partir de la mécanique, et non la mécanique à partir de la vie »; « L’hypothèse réductionniste devra peut-être un jour être retournée : ce sont les phénomènes vitaux qui pourront nous expliquer certaines énigmes de la structure de la matière ou de l’énergie. Après tout, n’oublions pas que le principe de la conservation de l’énergie a été exprimé pour la première fois par von Mayer, un médecin… »; « (…) on pourrait bien un jour s’apercevoir que ce ne sont pas les molécules qui font la vie, mais au contraire la vie qui façonne les molécules ».

    1: Soit S la suite dorée 1, φ, φ², φ³, φ⁴, φ⁵, …, et T l’autre suite dorée 1, ψ, ψ², ψ³, ψ⁴, ψ⁵, …, où φ (= 1,6…) et ψ (= – 0,6…) sont les deux solutions de l’équation x²=x+1caractéristique des suites de Fibonacci, solutions qui vérifient φ+ψ=1. La suite S+T est encore une suite de Fibonacci qui est la suite -notée U- dont les deux premiers termes sont 2 (1+1) et 1 (φ+ψ), donc la suite d’entiers : 2, 1, 3, 4, 7, 11, … On a donc S=U-T, et le résultat suit puisque la suite T tend vers 0 (le 11,09 de la note de bas de page s’en trouve immédiatement justifié en calculant une valeur approchée (-0,09) de ψ⁵).

    2: À ce propos, le chapitre III commence par rappeler que « Aristote avait opposé le monde en puissance, celui de l’ensemble de tous les mondes possibles, au monde en acte, le seul monde effectivement réalisé, où se déroule effectivement notre vie quotidienne ». Dans l’article « Philosophie de la singularité », qui figure dans Apologie du logos, Thom remarque qu’il n’y a pas toujours unicité de la solution extrémale. Et Aristote lui-même donne l’exemple d’un théorème conjecturé comme « en puissance », et un théorème démontré comme « en acte » (et on sait bien qu’il peut y avoir plusieurs preuves d’un même théorème -j’ai lu qu’il y en avait plusieurs dizaines pour le théorème de Pythagore).

    3: Aristote oppose l’énergie potentielle (δύναμις) à l’énergie agissante (ἐνέργεια). Il me semble qu’il y a là un rapport (étroit?) avec la mécanique analytique : opposition de l’énergie potentielle (ici q²/2) à l’énergie cinétique (ici p²/2).

    4: https://www.youtube.com/watch?v=BXxKQVQFnRo (conférence donnée en 1985)

    1
    1. Merci pour cette lecture circonstanciée. « Comment la vérité et la réalité furent inventées » (2009) a été traduit en allemand en 2020 (Tur + Kant à Vienne). Une discussion a lieu depuis quelques semaines à propos d’une traduction en anglais.

  14. En attendant que PJ et Druuh (et d’autres) donnent leur avis sur les questions posées ailleurs (1) par Yu Li, je continue de commenter « Comment le vérité… ». Je m’intéresse maintenant aux pages 332 à 346 consacrées au calcul différentiel. Je commence par ce que je considère être le plus élémentaire, à savoir ce que PJ écrit pp.338 à 341.

    Si j’avais à réécrire le contenu de ces pages je partirais du concept de vitesse moyenne -connu de tous- qui est le rapport de la distance parcourue par le temps mis pour la parcourir. Il est naturel de tenter de définir le concept d’accélération moyenne de la même façon que celui de vitesse moyenne : différence entre vitesse finale et vitesse initiale divisée par temps de parcours ( (vb-va)/(b-a) lorsque le mouvement a lieu sur une droite -pour fixer les idées-). Le problème qui se pose saute aux yeux : pour pouvoir procéder de cette même façon il faut disposer du concept de vitesse instantanée. Pour contourner la difficulté il est alors tout naturel de faire apparaître les positions aux instants a+ε et b-ε, ε>0 arbitrairement petit et donc d’assimiler les vitesses instantanées initiale et finale à des vitesses moyennes sur des temps de parcours arbitrairement petits (de « longueur » ε).

    En tant que mathématicien Newton a initié la théorie de l’interpolation par différences divisées (ici les pôles sont a, a+ε, b-ε et b alignés sur une droite). Le rapport entre formule de Taylor (contemporain de Newton) en un point a et formule d’interpolation de Newton en a et en un halo d’une infinité de points distincts tous infiniment proches de a pose des problèmes actuellement encore non résolus (2). Newton, en même temps mathématicien et physicien, a vraisemblablement -je n’y connais rien en histoire des sciences- joué simultanément sur les deux tableaux pour formuler son principe fondamental de la dynamique.

    Philosophiquement/métaphysiquement le problème est clairement pour moi celui de l’opposition nombre arbitrairement petit « en puissance »/nombre infiniment petit « en acte ». Je n’ai pas vu PJ faire cette remarque à partir de laquelle il me semble pourtant naturel, pour un épistémologue aristotélicien, de hausser le propos.

    1: https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/12/unilog-2022-godels-incompleteness-theorem-revisited-par-yu-li/

    2 : Conjecture de Hassler Whitney

    1. Commentaires élémentaires à propos des calculs « bricolés » sur les infinitésimaux.

      1. Compensation des erreurs (haut de p.335).

      Dans ce cas fréquent, que l’on ait a – a (a fini) ou ε – ε (ε arbitrairement petit ou infinitésimal) ne change rien à l’affaire (le lecteur ne peut, selon moi, en imaginer plus sans que soit précisé le contexte de la citation de Berkeley).

      2. Le cas des développements en série est plus intéressant. Il est abordé p.337 où Einstein remarque (comme Newton auparavant dans un contexte différent) que seules les dérivées premières (les vitesses) et les dérivées secondes (les accélérations) -dérivées éventuellement partielles- apparaissent dans les équations, sans autre justification -à ma maigre connaissance- que la justification expérimentale (« Hypotheses non fingo » lançait Newton dans ses Principia mathematica). On retrouve ce problème p.341, toujours trop vaguement formulé à mon goût. Je pense que le problème de fond est tout bêtement celui de savoir si une somme infinie de quantités infiniment petites est ou non elle-même infiniment petite (donc négligeable); on est donc là face à l’indétermination 0 x ∞, bien connue depuis le lycée. Un cas particulier important car fréquent est de savoir si on peut négliger la somme d’une série entière (2) en ε (et il est connu que la réponse peut être négative : il existe en effet des séries à coefficients non tous nuls de rayon de convergence nul).

      3. Je pense qu’il aurait été judicieux de citer ici Kuhn (ce que PJ fait dans le premier chapitre) et la mécanique quantique (ce que fait PJ au chapitre III): en cas de changement de paradigme comme il y en a eu avec l’apparition du calcul différentiel et, plus tard avec l’apparition de la mécanique quantique (changements de paradigmes impulsés par les physiciens) il est pour moi normal qu’il y ait une période de flottement avant que les matheux ne trouvent un cadre qui donne une cohérence à des bricolages inexpliqués mais « qui marchent » (voir (1) pour des exemples d’application du principe de Valhinger) : cas du calcul symbolique de Heaviside, de la « fonction  » δ de Dirac, renormalisation, etc.).

      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_divergente

      2: https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re

    2. Commentaire sur la section « Kline » (pp.344 et 345)

      Dans ce que j’appelle sa vidéo-testament (1) Thom se place en épistémologue et en philosophe des sciences dans la partie « À propos de la science » (à partir de 37’50). Et il prend le problème exactement comme PJ le fait prendre à Kline, à savoir en commençant par l’étude du projectile lancé vers le haut et qui retombe. Pour Thom la façon de considérer ce problème symbolise exactement le point où la physique moderne mathématisée se sépare de la physique aristotélicienne (2).

      PJ insiste pour ne voir dans les mathématiques qu’une physique virtuelle (c’est, je crois, la thèse qu’il défend ici). Je vois au contraire l’évolution (la progression?) du couple mathématique/physique moderne comme l’escalade d’une cheminée en montagne: progression en alternance où l’impulsion vient tantôt de la physique tantôt des mathématiques (Riemann-Ricci/Einstein et nouvelles idées d’expériences, expérience des fentes d’Young, postulats de la mécanique quantique -Heisenger, Born, Schrödinger, Dirac, von Neumann, etc.-) donnant l’idée de nouvelles expériences (Aspect…). Pour moi l’ascension se fait par alternance de périodes inductives/analogiques et de périodes déductives/catalogiques.

      Thom :

      – « J’appelle « progrès essentiel » en Science toute modification de la nomologie qui permet une résorption considérable de l’accident qui lui est expérimentalement attaché. » (1990);

      – « Ainsi la fonction originelle d’une philosophie de la nature sera-t-elle de rappeler constamment le caractère éphémère de tout progrès scientifique qui n’affecte pas de manière essentielle la théorie de l’analogie. » (1988)

      J’aime le PJ éclectique, idéologue au sens étymologique de celui qui étudie les idées (des autres comme des siennes propres), je n’aime pas le PJ idéologue au sens contemporain qui s’impose -et tente d’imposer à ses lecteurs- une vision étriquée des choses, refusant que certains -ici des matheux- aillent puiser leur intuition à d’autres puits que ceux assignés par lui (à la suite d’Aristote?).

      Thom : « Le « philosophe de la nature » que j’envisage aura un point de vue résolument anti-démarcationniste. On peut imaginer un spectre quasi-continu joignant les assertions les plus solidement établies (par exemple un théorème de mathématique) aux affirmations les plus délirantes. La pratique de notre épistémologue peut être ainsi décrite. Partant des points de contact obligés entre science et philosophie, il s’efforcera d’épaissir l’interface entre science et philosophie ; il sera donc philosophe en sciences, et scientifique en philosophie. « (1988)

      1: https://www.youtube.com/watch?v=fUpT1nal744 (on remarquera à 38’50 l’erreur d’inattention faite par Thom dans la forme de la fonction analytique (polynôme du second degré en t) -enseignée au lycée- qui régit le modèle mathématique galiléen du mouvement…).

      2: « Esquisse d’une sémiophysique », p.221.

    3. Je développe un peu ici mon « Philosophiquement/métaphysiquement le problème est clairement pour moi celui de l’opposition nombre arbitrairement petit « en puissance »/nombre infiniment petit « en acte ».  » de mon commentaire du 26/05 10h10. En fait ce développement est contenu dans « Esquisse d’une sémoiphysique » cité deux ou trois fois par PJ dans « Comment la vérité… », dont une partie -en particulier le chapitre 5- est une tentative de relier mathématique et philosophie.Thom y formule et discute les axiomes ABP (l’Acte est le Bord de la Puissance) et FBM (la Forme est le Bord de la Matière). Thom y discute le problème de la définition de la tangente à une courbe plane en un point comme le bord des sécantes au voisinage immédiat de ce point. C’est donc la version géométrique du problème algébrique de la définition de la vitesse instantanée. Ce qui apparaît immédiatement géométriquement est que le point de contact est un point double, car limite de points doubles (les extrémités des segments sécants. Et, pour Thom, c’est exactement comme ça qu’Aristote voyait le problème:

      « Le point seul, isolé (disons O sur l’axe x’Ox), n’existe qu’ « en puissance »; il aspire à l’acte en se dédoublant en deux points O1, O2, O1 adhérent à gauche, O2 adhérent à droite; ces deux points étant alors distincts bien qu’ensemble.(αμα), les deux demi-segments ainsi limités accèdent alors à l’existence pleine, l’être en acte. » (ES p.13).

      J’avoue ne pas comprendre pourquoi PJ, aristotélicien convaincu et connaisseur de l’œuvre de Thom, ne fait pas cette remarque philosophique (alors que pour moi le « fond de commerce » de « Comment la vérité… » l’est évidemment.

      PJ conclut cette section concernant le calcul différentiel par: « … on considère aujourd’hui que ce sont précisément les travaux de Robinson en analyse non standard, dans les années 1960, qui établirent -enfin- le recours à la limite sur une base solide. ». Dans les modèles non standard de la droite réelle « à la Robinson » on a effectivement des infiniment petits « en acte » et non pas seulement « en puissance », fantômes de quantités disparues (pour reprendre l’expression de Berkeley).

      Ce n’est pas ici la place de discuter de l’analyse non standard « à la Robinson », que ce soit techniquement ou philosophiquement. Mais il me semble intéressant de parler d’une autre méthode, conceptuellement plus accessible, qui produit des modèles comportant des infiniment petits « en acte ». Et comme cette même méthode fournit des modèles non-standard de l’arithmétique (disons de PA1 pour fixer les idées) comportant des infiniment grands « en acte », cela permet de faire une liaison avec le théorème de complétude de Gödel et aussi de mettre en lumière une difficulté conceptuelle dans la preuve de son théorème d’incomplétude.

      Je parlerai de ça en commentaire de l’article de Yu Li.

    4. Pour clore mes commentaires sur « Comment la vérité… ».

      Je pars de mon commentaire du 12/04 12h05 (« On ferait également bien de s’intéresser au paradoxe de Hempel (…) c’est-à-dire à l’emploi de la négation dans les systèmes formels. ». L’emploi de la négation est précisé en (1): considérer comme licite le raisonnement par contraposition permet de faire de l’ornithologie en chambre.

      D’une façon plus générale une xlogie (néologisme maison pour « étude d’un sujet quelconque », par exemple ici x=ornitho) doit, à mon avis se faire positivement -de l’intérieur- et négativement -de l’extérieur: thèse et antithèse.

      Thom : « Il existe au départ un obstacle à l’existence d’une philosophie de la nature : c’est celui que pose le problème de la « démarcation », à savoir l’établissement de critères permettant de distinguer la connaissance scientifique de celle qui ne l’est pas : un « Naturphilosoph » ne saurait être « démarcationniste ». Ce problème qui a eu pour l’épistémologie positive et néopositive une importance cruciale a aujourd’hui perdu beaucoup de son acuité. » (1988).

      Thom encore: « Le « philosophe de la nature » (2) que j’envisage aura un point de vue résolument anti-démarcationniste. […] La pratique de notre épistémologue peut être ainsi décrite. Partant des points de contact obligés entre science et philosophie, il s’efforcera d’épaissir l’interface entre science et philosophie ; il sera donc philosophe en sciences, et scientifique en philosophie. ». (1988)

      À la fin de l’avant-propos de « Comment la vérité… » PJ indique qu’il se situe résolument dans une perspective épistémologique de « philosophie de la nature » (celle de Hegel).

      La critique est aisée mais l’art est difficile. L’anthropologue PJ: naturphilosoph ou seulement épistémologue (x=épistémo) en chambre à ses heures?

      N’est-ce pas au fond le problème posé par le théorème d’incomplétude de Gödel : relier le dedans et le dehors?

      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Hempel

      2: Cf. l’article de Thom « La philosophie naturelle : une quête de l’intelligible », Apologie du logos (Hachette, 1990)

  15. Toujours dans l’attente de voir s’instaurer un débat annoncé par les deux parties entre PJ et Druuh sur cet article -comme s’est instauré le débat entre Yu Li et moi sur l’article de celle-ci-. Je continue donc ma critique du chapitre IV de « Comment la vérité… » avec les pages consacrées au théorème d’incomplétude de Gödel.

    Je commence par une remarque concernant l’arithmétique (bas de p.272 et haut de p.273), juste avant ce qui est dit à propos de la colonisation par la science moderne des catégories aristotéliciennes -en particulier celle de la qualité- par celle de la quantité discrète (1). En mathématiques il me semble que c’est Descartes qui a permis cette colonisation, colonisation que les pythagoriciens « canal historique » se refusaient de faire. Cette remarque concerne ce qu’écrit Hegel (qui avait une admiration certaine pour Pythagore, car considéré par lui comme le premier maître de l’universel).

    Pour moi 25=5² est typiquement ce que les pythagoriciens authentiques refusaient de faire, eux qui cherchaient à donner aux nombres entiers une signification géométrique (et symbolique) en distinguant soigneusement les nombres carrés (ici 5²), cubiques, triangulaires (le tetraktys) des nombres « linéaires » (ici 25). En refusant cette identification ils refusaient d’assimiler une surface 2D à une ligne 1D, surfaces et lignes ayant pour eux des qualités différentes. Pour moi un exemple typique de la colonisation moderne de la qualité par la quantité est la courbe de Peano (2) qui remplit le carré de côté 5, courbe que l’on peut -et doit à mon avis- voir comme une extension au continu de la « surface » 5² remplie par 5 « lignes » (ou « colonnes ») de longueur 5. On a là un exemple -certainement traité par les épistémologues- des problèmes du rapport entre le discret et le continu (et le bon sens comme critère de véracité!). Le théorème « paradoxal » (contre-intuitif) de Banach-Tarski (3) en est un autre, qui montre la difficulté qu’il y a à prendre la théorie des ensembles ZFC (C pour axiome du Choix) pour fonder les mathématiques (en particulier la géométrie!). En théorie des modèles formels, il faut, à mon vis, faire attention à l’utilisation de l’axiome du choix, et à ses rapports avec la compacité (4, 5) en logique formelle, compacité sans laquelle -à mon avis…- on ne peut pas parler de modèles non standards, de nombres entiers infiniment grands et de nombres réels infiniment petits.

    Pour moi les premiers pythagoriciens étaient les premiers géomètres-arithméticiens et le fameux « Tout est nombre » ne signifie pas autre chose que, dans leur vision du monde (ils avaient leurs propres catégories, différentes de celles d’Aristote), la géométrie pouvait idéalement se réduire à l’arithmétique (la vision de Grothendieck?). J’ai lu je ne sais plus où que, pour les pythagoriciens, les seuls véritables nombres étaient exclusivement les nombres entiers et que ceux auxquels ils s’intéressaient avaient un caractère sacré (la tetraktys en particulier (6)) : pour eux 5²=25 était peut-être un sacrilège!

    Remarque finale. La démonstration de l’égalité 4=2+2 (ou d’une égalité de ce type) dans l’arithmétique de Peano (7) remplit une page dans les Principia Mathematica de Russel et Whitehead. Le faire remarquer aux lecteurs aurait été, selon moi, une bonne mise en jambes pour la lecture de la suite (le théorème d’incomplétude de Gödel).

    1: Aristote distingue-t-il deux sortes de quantités : la quantité discrète et la quantité continue? C’est ce que semble dire René Guénon dans le « Le règne de la quantité… ».

    2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Peano ; https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Hilbert?tableofcontents=0 ;

    3: https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

    4: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compacit%C3%A9

    5: https://askfrance.me/q/le-theoreme-de-compacite-de-la-logique-mathematique-est-il-equivalent-a-l-a-144024736116

    6: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetractys

    7: Égalité écrite sous la forme ssss0=ss0+ss0, s symbole « successeur de ».

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