UNILOG 2022 – Gödel’s Incompleteness Theorem revisited, par Yu Li

Texte de l’article qu’a présenté samedi ma collègue Yu Li de l’Université de Picardie, au congrès Unilog 2022 qui se tenait à Chania en Crète.

Gödel’s Incompleteness Theorem revisited

– What is the undecidable problem?

 I would rather have questions that can’t be answered than answers that can’t be questioned. – Richard P. Feynman

Yu Li * * Laboratoire MIS, Université de Picardie Jules Verne, 33 rue Saint-Leu, 80090 Amiens, France 

  1. Introduction

In a famous article written in 1931 : «  On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I »  [1], Kurt Gödel claimed to have proved the incompleteness of the system reported in Principia Mathematica (i.e. Peano arithmetic), and by that answered negatively the Entscheidungsproblem (the « decision problem »), a challenge put forward by David Hilbert and Wilhelm Ackermann in 1928. 

The Entscheidungsproblem was originally expressed as « Determination of the solvability of a diophantine equation », i.e., the 10th of the 23 problems proposed by Hilbert in his lecture at the International Congress of Mathematicians in Paris in 1900 [2].  Church formulated the Entscheidungsproblem as : « By the Entscheidungsproblem of a system of symbolic logic is here understood the problem to find an effective method by which, given any expression Q in the notation of the system, it can be determined whether or not Q is provable in the system » [3] (Copeland 2004: 45).  If it is not possible to find such a method, some propositions would be regarded as « undecidable ». Such a realisation would then establish the incompleteness of Principia Mathematica (PM).

Gödel claimed that the PM system is incomplete, as it is possible to show at least one such undecidable proposition. As a proof, Gödel gave a paradox similar in nature to the Liars paradox: a proposition Q asserting about itself that it is unprovable.It is nowadays a commonly accepted view that Gödel proved the incompleteness of the PA system, thus revealing that truth is simply bigger than proof [4].

However, Gödel’s proof of the incompleteness theorem has been continuously challenged since its publication. Let us note that as early as 1936 the logician Chaïm Perelman had drawn the attention to the fact that there wasn’t anything more to Gödel’s demonstration than the generation of a paradox [5]; and the logician Wittgenstein held a similar view [6]. Paul Jorion, a former pupil of Perelman, has claimed in a different context [7] that Gödel’s proof is marred by several other errors, due to his disdain towards the tight or lax persuasive quality of the various steps in his demonstration. Ernst Zermelo stated in a letter to Gödel in 1931 that Gödel’s proof of the existence of undecidable propositions exhibits an « essential gap » [8]. Alan Turing alluded to the errors made by Gödel without mentioning his name and ventured to fix them in his article in 1936, entitled « On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem » [9].

Gödel’s thesis consists of three chapters: Chapter 1 outlines the main idea of the proof; Chapters 2 and 3 formalise the idea of Chapter 1. In this paper, I focus on Chapter 1, where I examine Gödel’s proof from the perspective of a dynamic process by considering the generation of hypotheses and the reasoning from hypotheses to conclusion as an organic whole, and analyze how Gödel constructed the paradoxical proposition Q. 

I try to point out that by confusing the proof of formula with the formula, Gödel’s proof becomes an infinite regress that would have made it impossible to construct any meaningful proposition. Unfortunately, Gödel did not realize this, but introduced improper presuppositions which allow to construct the paradoxical proposition Q. Moreover, he considered Q as an undecidable proposition that exists in PM.

II. The crux of Gödel’s proof

Gödel’s proof is framed by a proof by contradiction [1] (p. 17-19), which assumes that PM is complete, according to him it means that all formulas in PM or their negations are provable; in addition, all formulas in PM can be divided into classes offormulas (class sign) and be enumerated. Gödel then resorts to Cantor’s diagonal argument to construct a paradox similar in nature to the Liar’s paradox: a proposition Q asserting about itself that it is unprovable.

Gödel enumerates accordingly all classes of formulas in PM :

R(1) : [R(1), 1] [R(1), 2] [R(1), 3]… [R(1), n] …

R(2) : [R(2), 1] [R(2), 2] [R(2), 3]… [R(2), n] …

R(3) : [R(3), 1] [R(3), 2] [R(3), 3]… [R(3), n] …

R(4) : [R(4), 1] [R(4), 2] [R(4), 3]… [R(4), n] …

R(q) : [R(q), 1] [R(q), 2] [R(q), 3]… [R(q), q] … [R(q), n] …

R(n) denotes a class of formulas and [R(n), j] denotes the jth formula of R(n). Gödel takes the formulas on the diagonal: [R(1), 1] [R(2), 2] [R(3), 3] [R(4), 4]… [R(n), n], … derives the negations of them, and defines the formula class K, K = {n|Bew¬[R(n); n]}, while Bew x means that the formula x is provable. K is actually the set of the negations of [R(n), n], K = {¬[R(1), 1],¬[R(2), 2],¬[R(3), 3],¬[R(4), 4]… ¬[R(q), q],… }.

Gödel considers that the formula class K falls within the sequence of enumerated formula classes, say corresponding to R(q). Thus, on the one hand, [R(q); q] is the formula A on the diagonal, and on the other hand, it is the formula ¬Q in K. There is a paradox: Q = ¬Q, that is, the proposition Q says about itself that it is unprovable!

The gist of our argument below, is that there exist improper presuppositions inGödel’s proof.

III. An analysis of the proof of Gödel’s Incompleteness Theorem

At the beginning of the proof, Gödel unconsciously took proof of formula as formula, which led to an infinite regress; unfortunately, Gödel was not aware of this and introduced an improper presupposition, provable formulas, which led to the paradoxial proposition Q.

  1. Proof of a formula and formula: confusion of meta-language with object language

We consider a familiar instance :

Illustration 1. Proposition P: √2 is a rational number; its negation ¬P: √2 is not a rational number.

«  √2 is not a rational number »  (¬P) cannot be proved directly, but there exists the familiar proof by contradiction to prove that «  √2 is a rational number »  (P), thus ¬P is proved to be true indirectly.

Proof :

Assume that «  √2 is a rational number » , then √2 = p/q, where p and q are both positive integers and mutually prime;

p = √2 × q, 

p^2 = 2 × q^2,

p^2 is thus even and so is p, since only the even square of an even number is even.

Since p is even, we can regard p as being the double of s : p = 2 x s

Let’s substitute 2s to p in p^2 = 2 × q^2,

(2 x s)^2 =  2 × q^2

4 x s^2 = 2 × q^2

2 x s^2 = q^2

q^2 is thus even and so is q

p and q are even numbers, thus not mutually prime, contradicting the assumption that p and q are mutually prime;

Therefore, the assumption «  √2 is a rational number » is invalid, and «  √2 is not a rational number » has been proven.

P and ¬P are the formulas about the numbers themselves; while the proof by contradiction is about the provability of P and ¬P.

The relation between the formula  and the proof of formula is generally expressed as the relation between the object language and the meta-language. What is about mathematical objects and what is about the provability of formulas are two concepts completely different in nature but intrinsically related.

However, Gödel made such a claim with surprising imprudence: « Similarly, proofs, from a formal point of view, are nothing but finite sequences of formulae (with certain specifiable properties)». In this way, the formula and the proof of formula are confused.

2. A provable formula : infinite regress and improper presumption

As Gödel shows in the end of chapter 1, the provable formula is the key concept in his proof :

« The method of proof just explained can clearly be applied to any formal system that, first, when interpreted as representing a system of notions and propositions, has at its disposal sufficient means of expression to define the notions occurring in the argument above (in particular, the notion ‘provable formula’) and in which, second, every demonstrable formula is true in the interpretation considered. » [1] (p. 19).

What is the meaning of a « provable formula » in PM? 

From common sense, a provable formula means that there exists a valid proof of this formula, that is, the provable formula concerns the existence of the proof.

In illustration 1, the proposition « √2 is not a rational number » is a provable formula since there is a valid proof by contradiction for proving that √2 is not a rational number.

Since Gödel treats the proof of formula as the formula, the provable formula in PM means that the proof is provable in PM, that is, the validity of proof can be verified in PM, which leads to an infinite regress. Lewis Carroll’s fable « What the Tortoise Said to Achilles » provides an illustration of infinite regress [10].

Suppose that « P0 is provable », that implies that there exists  P1, the proof of P0, and since P1 is treated as a formula, « P1 is provable ». Similarly, « P1 is provable »  implies that there exists P2, the proof of formula P1, and «  P2 is provable », … and so on, resulting in an infinite regress (Figure 1). 

A proof of infinite regress cannot establish any conclusion, so the verification of the validity of proof in PM becomes problematic, then the existence of proof in PM becomes problematic, and the existence of provable formulas in PM becomes also problematic.

Consequently, Gödel cannot talk about the enumeration of classes of formulas, nor about the use of diagonal method to construct the paradoxical proposition Q in PM. In other words, the paradoxical proposition Q cannot be constructed in Gödel’s proof.

But Gödel constructed the paradoxical proposition Q after all, because he presupposed the verification of the validity of proof in PM, which made the provable formula an improper presupposition.

Russell gave a simple example of an improper presupposition in « On Denoting » : « the present king of France is bald. » [11] Whether this proposition is judged to be true or false, it presupposes the existence of the present King of France, who, however, does not exist.

IV. Conclusion

The brief analysis in this paper shows that there are improper presuppositions in Gödel’s proof that enable Gödel to construct the paradoxical proposition Q as evidence for the existence of undecidability problems of PM, and thus to conclude that PM is incomplete.

Therefore, taken as a whole, the actual formulation of Gödel’s incompleteness theorem is :

PM is incomplete, because there are undecidable problems similar to the liar’s paradox in PM.

Let’s remember what Bertrand Russell once wrote in a letter to Leon Henkin: « I realised, of course, that Gödel’s work is of fundamental importance, but I was puzzled by it. […] If a given set of axioms leads to a contradiction, it is clear that at least one of the axioms must be false » [1] (p. 90)

I hope to initiate a debate :

  1. Is the paradoxical proposition Q similar to the liar’s paradox an undecidable proposition in PM? 
  2. Is Gödel’s proof valid? If not, what is a valid proof for the incompleteness of PM?
  3. By revisiting Gödel’s incompleteness theorem today, what would be the insights for us from the perspective of epistemology? What would be the insights for solving the « P vs NP » problem, as well as some underlying theoretical problems of artificial intelligence, from the perspective of algorithm theory?

Reference :

[1] S.G. Shanker (ed.), Gödel’s Theorem in Focus, Croom Helm 1988, https://pdfslide.net/documents/godels-theorem-in-focus-philosophers-in-focus.html

[2] David Hilbert, Mathematical Problems, http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html

[3] Brian Jack Copeland, The EssentialTuring, http://www.cse.chalmers.se/~aikmitr/papers/Turing.pdf

[4] Casti, John L. & Werner DePauli, Gödel. A Life of Logic, Cambridge (Mass.) Perseus: 2000

[5] Jean Ladrière, Les limitations internes des formalismes. Etude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques, ed. Nauwelaerts-Gauthier-Villars, Leuven-Paris, 1957, pages 140 à 142

 [6] Kreisel, G. (1958). « Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics ». The British Journal for the Philosophy of Science. IX (34): 135–58. doi:10.1093/bjps/IX.34.135

[7] Paul Jorion, Comment la vérité et la réalité furent inventées (Gallimard 2009)

[8] NOTE Completing the Godel-Zermelo Correspondence, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086085900709

[9] Turing, A.M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society, 2 (published 1937), 42

[10] https://en.wikisource.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles

[11] https://en.wikipedia.org/wiki/On_Denoting

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348 réponses à “UNILOG 2022 – Gödel’s Incompleteness Theorem revisited, par Yu Li”

  1. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Non, cela a surtout commencé à la fin du XIXe siècle, lorsque la Chine était en conflit violent avec l’Occident et mettait son échec sur le compte de la culture traditionnelle chinoise, dont les caractères chinois étaient un bouc émissaire, accusés d’obstacle à la modernisation du pays, au développement de la littérature et à l’alphabétisation de la population.

    A l’époque de Mao Zedong, les caractères chinois, considérés comme sacrés par les dynasties successives et qu’elles n’osaient pas bouger, ont été simplifiés, donnant naissance aux actuels « caractères simplifiés » (https://fr.wikipedia.org/wiki/Sinogramme_simplifi%C3%A9).

    Par exemple, 機 (opportunité) a été simplifié 机 (3 JUIN 2022 À 12 H 46 MIN).

    J’ai été grandi dans un tel environnement, et je ne connaissais donc pas l’étymologie des caractères chinois.

    1. Avatar de CloClo

      Salut Yu li

      Petit cadeau si jamais tu ne l’avais pas (mais ça m’étonnerait) au sujet de « Poisson » :


      En fait à un autre degré c’est un peu pareil avec l’écriture latine de mon point de vue. Beaucoup de mot sont vus comme étant simplement des successions de signes alors que l’étymologie donne le sens de la construction.

      Par exemple, le mot « pyromancie », c’est pyro = le feu, et mancie = la divination (en Grec) ====> lire le futur dans les flammes. Ce qui plus compréhensible en mots courants et simples.

      Comme Télévision, en fait vision « voir » et télé « loin, à distance », comme télékinésie « loin, à distance » et « mouvement ». Si je dis « voir à distance » ou « déplacer à distance » c’est assez immédiatement compréhensible car les mots sont courants, mais si je dis « télévision » ou « télékinésie » si tu ne connais pas le mot c’est incompréhensible. Ce sont des mots construit avec d’autres mots qui ont été arrangé et modifié avec de l’ancien pour faire du nouveau. Bref je ne sais pas si je suis bien clair.

      Mais plus loin, chaque caractère latin, lettre latine est en fait un ancien symbole antique dérivé ou modifié. Le A par exemple était la représentation du Taureau/boeuf (on le devine même à l’envers encore en Majuscule) :


      La linguistique est tout bonnement une plongée dans l’Histoire mentale et mythologique des Hommes. Je trouve que les mathématiques ont inventé aussi pas mal de signes pour exprimer leur langage, et parfois il est dommage que les mots/signes utilisés ne soient pas plus « simple », disons courant et identifiable par le commun des mortels, dans les langues de tout un chacun ça rendrait leur compréhension et lecture plus claire et évidente. Mais ce n’est que mon point de vue. On peut me dire aussi que chacun peut faire un effort pour apprendre une langue complémentaire. Oui c’est vrai. Mais de la même manière qu’on peut faire de la musique sans lire et comprendre le solfège, je voudrais bien aussi faire des mathématiques sans lire et comprendre leur langage… Je sais que c’est possible.

      1. Avatar de BasicRabbit

        1. « Le A par exemple était la représentation du Taureau/boeuf ». Thom plussoie/like :

        « On observera que le pseudo-groupe d’équivalence de la forme d’un animal a des propriétés formelles très semblables au pseudo-groupe d’équivalence associé à la forme d’une lettre, en écriture manuscrite par exemple. La coïncidence n’est sans doute pas fortuite. » ;

        2: « on le devine même à l’envers encore en Majuscule » : « Je trouve que les mathématiques ont inventé aussi pas mal de signes pour exprimer leur langage, et parfois il est dommage que les mots/signes utilisés ne soient pas plus « simple », disons courant et identifiable par le commun des mortels, dans les langues de tout un chacun ça rendrait leur compréhension et lecture plus claire et évidente. « . Illustration.

        Le A à l’envers et le E à l’envers sont utilisés par les logiciens formels pour les quantifications existentielle et universelle (for All, there Exist »), notation ambiguë pour le « for All » car, quand on lui retire ses cornes, le A inversé devient le V majuscule qui indique la disjonction, alors que « for All » doit s’interpréter comme une conjonction (c’est évidemment le cas lorsqu’il le tout est fini).

        Le choix des mots en maths est également important. Exemples:

        a. Le remplacement de l’analysis situs par topologie est, selon moi, particulièrement heureux (et a conduit le philosophe/mathématicien René Guittart à forger et étudier le néologisme de logotopie (2);

        b. Le mot ensemble est plus parlant que le mot set car la théorie des ensembles est pour moi ce qu’elle doit être, à savoir une théorie d’êtres ensemble (1) ;

        c. En théorie des catégories « being » est beaucoup plus évocateur, selon moi, que « objet », et Grothendieck ne s’est pas privé de sexuer ces êtres -pardon, de les genrer…- avec le succès que l’on sait (ou devine…).

        1: Le philosophe (paléo-marxiste?) )Alain Badiou en a tiré quelques réflexions politiques…

        2: « Je dirai la chose ainsi encore : la portée de ce que Lacan peut être amené à nous proposer avec ses élaborations autour des objets mathématiques, tels que la bande de Moebius et l’entrelacs borroméen, est moins de l’ordre de la topologie (élaboration d’un discours sur la question des lieux) que de ce que j’appellerai la logotopie (élaboration de lieux sur la question des discours). » (René Guittart, Évidence et Étrangeté).

      2. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Merci pour le partage !

        Ton commentaire sur la lettre A me fait penser au célèbre mantra Om̐ (https://fr.wikipedia.org/wiki/Om%CC%90).

        Om̐ provient de la fusion des phonèmes sanskrit A, U et M :
        – A représente le commencement, la naissance, et le dieu créateur Brahmā ;
        – U représente la continuation, la vie, et le dieu Vishnu ;
        – M représente la fin, la mort, et le dieu destructeur du mal Shiva.

      3. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Je suis d’accord !

        J’utilise l’analogie d’un spectacle de danse contemporaine : en tant que spectateur, on peut apprécier un spectacle de danse contemporaine sans connaître la chorégraphie et être capable de formuler une critique intéressante à partir de ses propres ressentis ; en tant que danseur, d’une part, il (elle) doit comprendre l’intention de la chorégraphie, y participer et la réaliser ; d’autre part, il doit également interagir avec le public pendant le spectacle, où le danseur et le public s’inspirent l’un de l’autre et atteignent une dimension où le public et le danseur ne font qu’un.

        J’enseigne l’informatique et j’étudie la théorie des algorithmes, et l’un des sujets principaux est le « problème indécidable », qui implique les fondements de la logique mathématique, etc.. J’ai ressenti la nécessité d’entrer dans le théorème d’incomplétude de Gödel pour atteindre la dimension que je souhaitais : le public et les chercheurs ne font qu’un.

        J’utilise la danse contemporaine comme analogie, car j’ai participé à la danse contemporaine, « Merci, l’hommage itinérant adressé au corps soignant ! », qui sera présentée ce mois-ci :

        1. Avatar de BasicRabbit

          Yu Li : « en tant que spectateur, on peut apprécier un spectacle de danse contemporaine sans connaître la chorégraphie et être capable de formuler une critique intéressante à partir de ses propres ressentis ; en tant que danseur, d’une part, il (elle) doit comprendre l’intention de la chorégraphie, y participer et la réaliser ; d’autre part, il doit également interagir avec le public pendant le spectacle, où le danseur et le public s’inspirent l’un de l’autre et atteignent une dimension où le public et le danseur ne font qu’un. ».

          Les grands esprits de rencontrent! Thom:

          « Imaginons, selon le mode de la semi-fiction, qu’un extraterrestre observe notre humanité comme un entomologue observe fourmis et termites. Il ne manquera pas de d’être surpris d’apercevoir, parfois, de larges agrégations d’individus qui, au son d’une source sonore, se mettent à osciller rythmiquement. Plus énigmatiquement encore, il pourra observer d’autres réunions où, cette fois, la foule est immobile, mais comme fascinée par les évolutions rythmiques d’un groupes restreint et mobile. ».

          C’est le début de l’article « La danse comme sémiurgie », que l’on trouve dans 3Apologie du logos » (Hachette, 1990).

        2. Avatar de juannessy

          Sujet à proposer au prochain séminaire de l’association  » Nicolas Bourbaki » !

  2. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Je cite la première paragraphe du livre de René Thom « Stabilité Structurelle et Morphogenèse » :
    – Un des problèmes centraux posés à l’esprit humain est le problème de la succession des formes. Quelle que soit la nature ultime de la réalité (A supposer que cette expression ait un sens), il est indéniable que notre univers n’est pas un chaos; nous y discernons des êtres, des objets, des choses que nous désignons par des mots. Ces êtres ou choses sont des formes, des structures douées d’une certaine stabilité; elles occupent une certaine portion de l’espace et durent un certain laps de temps; de plus, bien qu’un objet donné puisse être perçu sous des aspects très différents, nous n’hésitons pas à le reconnaitre comme tel; la reconnaissance d’un même être sous l’infinie multiplicité de ses aspects pose à elle seule un problème (le classique problème philosophique du concept) que seuls, me semble-t-il, les psychologues de l’école de la Gestalttheorie ont posé dans une perspective géométrique accessible à l’interprétation scientifique. Supposons ce problème résolu conformément A l’intuition naive qui accorde aux choses extérieures une existence indépendante de notre perception. Il n’en faut pas moins admettre que le spectacle de l’univers est un mouvement incessant de naissance, de développement, de destruction de formes. L’objet de toute science est de prévoir cette évolution des formes, et si possible de l’expliquer.

    Pour en revenir au théorème d’incomplétude de Gödel, j’aimerais poser les questions suivantes:
    – La preuve de Gödel a-t-elle aidé les gens à comprendre ce qu’est un « problème indécidable » ?
    – La preuve de Gödel a-t-elle fournit une explication raisonnable de ce qui rend un problème « indécidable » ?

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu Li. Je suis en train de parcourir le blog « Cœur et esprit »(ton blog?), pour moi à l’intitulé plus pascalien (« Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point », opposition esprit de finesse/esprit de géométrie) que cartésien (qui renvoie, selon moi, plutôt au mind-body problem). Ce que ce blog propose (« Réflexions sur le cœur et l’esprit, et plus généralement sur la vie, en ouvrant un espace entre la pensée chinoise et la pensée occidentale. ») m’intéresse beaucoup plus que des discussions techniques sur les deux théorèmes d’incomplétude de Gödel (les proposition VI et XI de son article publié en 1931).

      Je voudrais cependant tenter de réconcilier les deux en échangeant avec toi à propos de l’article « Pensée chinoise et philosophie platonicienne : la complémentarité de la culture chinoise et de la culture occidentale » de JianMing Zhou (1) (et la première phrase de SSM que tu cites (« Un des problèmes centraux posés à l’esprit humain est le problème de la succession des formes » est au cœur de l’article de son article -grosso modo Idées platoniciennes statiques, idées du Yi jing dynamiques-)

      Pour cela je pars d’un article « fondateur » de PJ intitulé « Le mathématicien et sa magie: théorème de Gödel et anthropologie des savoirs », dont PJ a tiré l’essentiel de la partie consacrée à Gödel dans le chapitre IV de « Comment la vérité… ».

      Comme fil conducteur de cet échange je propose de tenter de relier le deuxième théorème d’incomplétude et la notion philosophique de transcendance, mot-clé de l’article de JianMing Zhou (qui apparaît une dizaine de fois, dont sept dans la partie 4), ce qui va, il me semble, dans le sens de tes questions :

      « – La preuve de Gödel a-t-elle aidé les gens à comprendre ce qu’est un « problème indécidable » ?
      – La preuve de Gödel a-t-elle fournit une explication raisonnable de ce qui rend un problème « indécidable » ? ».

      Dans ce but e reproduis ici le début et la fin de l’article « fondateur », de PJ qui ne figurent pas dans « Comment la vérité… », en souhaitant que tu fasses le rapprochement entre la position de Régis Debray et celle de JianMing Zhou :


      Jacques Bouveresse a publié en 1999 un petit livre intitulé Prodiges et vertiges de l’analogie où il revient sur l’affaire Sokal et Bricmont. Rappelons, à l’intention de ceux qui nous lisent alors que les cendres de cet incident sont depuis longtemps refroidies, qu’à la fin du XXè siècle le physicien Alan Sokal de l’Université de New York parvint à faire publier dans Social Text, une revue ayant pignon sur rue dans le domaine de ce que les Anglo-Saxons appellent  » humanities  » et qui correspond en France à un mixte de critique littéraire, de sciences humaines, de psychanalyse et de philosophie, un article,  » Transgressing the Boundaries : Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity  » (1996 reproduit dans Sokal & Bricmont 1999 [1997] : 305-367), qu’il considérait comme une  » parodie « , du fait qu’il contenait selon lui une série de demi-vérités scientifiques, de théories non-avérées, d’affirmations relativistes extravagantes (qu’à la lumière de développements récents, la valeur de Pi ne peut plus être considérée comme stable, ni celle de g, la constante représentant la gravité universelle), ainsi qu’un certain nombre de phrases intentionnellement dépourvues de sens. Quelques temps plus tard, en collaboration avec un collègue physicien de l’Université de Louvain, Jean Bricmont, Sokal publiait un ouvrage intitulé Impostures intellectuelles (ibid.) où les co-auteurs ridiculisaient un ensemble de penseurs qui à leur sens commettent, lorsqu’ils parlent de science, des bévues comparables à celles dont Sokal s’était intentionnellement rendu coupable dans son  » Transgressing the Boundaries « .

      À la suite de quoi un grand nombre d’intellectuels s’empoignèrent, prenant parti qui pour les savants rieurs, qui pour les  » humanistes  » ridiculisés (j’utiliserai par la suite ce terme pour couvrir le mixte décrit ci-dessus). Dans son ouvrage, Bouveresse se range résolument du côté des rieurs et souligne la promptitude avec laquelle les dupes, s’identifiant aussitôt à Galilée victime de l’Inquisition, crièrent à la persécution. Il relève aussi que peu nombreux furent les offensés qui tentèrent de justifier ce que Sokal et Bricmont avaient qualifié d’ » impostures « .

      La justification du titre  » Prodiges et vertiges de l’analogie « , se trouve à la page 34 de l’ouvrage, où le Professeur au Collège de France écrit :  » Nous ne disposons toujours pas, sinon d’une véritable théorie de l’analogie (ce qui est sans doute trop demander), du moins d’une conception approximative de ce qui pourrait constituer un usage philosophiquement réglé et relativement discipliné de l’analogie, susceptible de conduire à des résultats à la fois acceptables et intéressants  » (1999 : 34). Ce qui l’a conduit à cette remarque c’est l’intérêt spécifique qu’il porte à l’une des infamies dénoncées par Sokal et Bricmont, une analogie énoncée par Régis Debray entre le second théorème de Gödel relatif à l’incomplétude de l’arithmétique et la nécessité pour les systèmes politiques de trouver en-dehors de leur espace propre, dans le domaine du religieux par exemple, leur fondement.

      On pourrait bien sûr être tenté de lire un aveu dans le fait que peu nombreuses furent les victimes de Sokal et Bricmont qui s’aventurèrent à justifier ou défendre ce que nos croisés des temps modernes dénoncèrent comme bévues, trahissant peut-être ainsi la difficulté qui existe pour un humaniste à croiser le fer avec les scientifiques sur des questions aussi complexes que les arcanes du second théorème de Gödel. Plus simplement, on pourrait arguer que le recours à l’analogie n’a que faire d’une justification : Aristote après tout n’y voyait qu’un procédé rhétorique étranger au mode de la preuve et tout juste utile à l’exploration heuristique (cf. Lloyd 1966 : 403-405). Si Debray considère que le théorème de Gödel a constitué pour lui la  » source d’inspiration  » qui lui a permis sa découverte, qui suis-je pour dire qu’il n’en a pas été ainsi, ou pour m’offenser que l’analogie qui lui est venue à l’esprit soit qu’il existe un fondement religieux au politique ? Faut-il supposer que ceux qui s’indignent tiennent que l’analogie que le second théorème de Gödel aurait dû souffler à Debray aurait dû être toute différente et qu’ils n’auraient aucun mal à formuler précisément ce qu’elle aurait dû plutôt être ? Il me semble que leur position est en réalité dogmatique et doit s’entendre ainsi : le second théorème de Gödel est une chose trop précieuse pour qu’on laisse les humanistes lui trouver des analogies. Mon maître Edmund Leach me dit un jour à peu près ceci :  » Le petit livre rouge des pensées de Mao-Tsé-Toung constitue pour moi une source d’inspiration. Je l’ouvre ici ou là, je lis quelques passages et il me vient une idée qui m’apparaît — du moins à première vue — originale. Il se pourrait que Needham parvienne au même effet en feuilletant l’annuaire téléphonique, cela ne me surprendrait pas outre mesure, à chacun sa méthode « .

      Si le débat suscité par Sokal et Bricmont apparaît aujourd’hui avoir été peu fécond, il est peut-être possible, en s’éloignant des simples effets de surface, d’en tirer quelques enseignements qui dépassent la banalité du fait que les représentants des sciences exactes, d’un côté, les philosophes, représentants des sciences humaines, etc., de l’autre, sont en réalité experts dans des domaines très différents. La première chose qui me frappe, c’est qu’au cours des soixante-quinze dernières années, les  » humanistes  » n’ont pas, comme on pourrait l’imaginer, emprunté leurs analogies à l’entièreté du champ scientifique et mathématique mais tout particulièrement à deux domaines très précis de ceux-ci : le théorème d’incomplétude de l’arithmétique publié en 1931 par Kurt Gödel, dit  » second théorème de Gödel  » et la relation d’incertitude (ou d’indétermination) introduite en mécanique quantique par Niels Bohr et Werner Heisenberg à la fin des années 1920.

       » Incomplétude  » et  » incertitude « , voilà en effet deux termes susceptibles de mettre la puce à l’oreille des humanistes car bien à même de caractériser les conclusions auxquelles ils aboutissent le plus souvent. La science leur semblera donc tout particulièrement digne d’intérêt là où elle se reconnaît  » incomplète  » (théorème de Gödel) ou  » incertaine  » (mécanique quantique). Voir apparaître ces termes dans le champ des sciences dites dures a pu à la fois rassurer l’humaniste quant à la validité de ses propres travaux et suggérer l’existence d’un continuum entre sciences dures et sciences molles. Il est possible du coup, si l’on entretient des doutes sur le projet même d’une  » science de l’homme  » d’imaginer qu’un même scepticisme peut être étendu aux sciences exactes et déboucher sur un relativisme où tous les chats sont gris et tous les savoirs se valent, le raisonnement sous-jacent étant du type :  » Si l’arithmétique est incomplète, alors qui s’étonnera que la sociologie le soit ! « , ou bien  » Si la position d’une particule élémentaire est incertaine, l’interprétation d’un texte doit l’être a fortiori ! « . À moins bien sûr que, mus par l’envie et le ressentiment, ils aiment surtout le second théorème de Gödel parce qu’ils croient y lire une défaite des mathématiques — et la mécanique quantique parce qu’ils imaginent y observer un échec de l’approche  » physicaliste  » du monde.

      Ce sont précisément les représentants de l’humanisme sceptique, déconstructivistes et autres penseurs du post-modernisme, que Sokal attendait au tournant quand il glissa dans son texte que les constantes Pi et g, la gravité universelle, ont désormais une signification  » relative « . Il n’en est rien bien sûr : aucun développement contemporain de la science ou des mathématiques ne suggère rien de tel. Trop empressés de conquérir de nouveaux territoires au scepticisme du tous les chats sont gris, ils s’engouffrèrent dans le défilé où Sokal les attendait en embuscade.

      L’une des avancées de l’anthropologie structurale que fonda Claude Lévi-Strauss, c’est qu’il devint possible d’appliquer à tout fait de culture des méthodes d’analyse jusque-là réservées à l’anthropologie. Le second théorème de Gödel fait partie des faits de culture, la relation d’incertitude en mécanique quantique également. Une anthropologie des savoirs doit pouvoir prendre ceux-ci comme objet d’étude et les situer dans l’espace de modélisation où se constitue tout savoir, déterminer leurs particularités et mettre en évidence le système de croyance auquel souscrit nécessairement celui qui les formule. On pourrait appliquer la démarche à l’un aussi bien qu’à l’autre. Je ne parlerai ici que du premier : le théorème d’incomplétude de l’arithmétique de Gödel. Si j’ai écarté la discussion de la relation d’incertitude en mécanique quantique c’est pour plusieurs raisons : la première est suffisante en soi, c’est que l’exposé aurait été beaucoup plus long que ne l’autorise le format autorisé pour un article. La seconde apparaîtra dans ma conclusion : le débat possible sur la mécanique quantique ne ferait que répéter celui qui est possible ici sous une forme plus économique. Et ceci, on le verra, Sokal et Bricmont le savent d’ores et déjà.



      J’ai évoqué brièvement au départ la possibilité de juger l’entreprise de Sokal et Bricmont dans leur Impostures intellectuelles à l’aulne d’un autre exemple que l’incomplétude de l’arithmétique envisagée par Gödel : par rapport à la relation d’incertitude mise en évidence par les pionniers de la mécanique quantique. De manière significative, Sokal & Bricmont réclament pour celle-ci une extra-territorialité dans le concours du  » qui est le plus bête des deux  » entre scientifiques et humanistes :  » Observons également que les excès les plus graves attribués aux scientifiques par nos adversaires (parfois avec raison) portent sur la mécanique quantique. Mais, contrairement à ce que pensent beaucoup des commentateurs, nous avons exclu du livre les abus de concepts reliés à la mécanique quantique (sinon cet ouvrage aurait été considérablement plus long), précisément parce que les discours des physiciens eux-mêmes sur ce sujet ne sont pas particulièrement clairs  » (Sokal & Bricmont 1999 [1997] : 27).

      Du fait de la nature de la controverse et grâce à leur formation intellectuelle personnelle, trois des acteurs du débat autour de la relation d’incertitude, Niels Bohr, Werner Heisenberg et Albert Einstein en vinrent à exposer leurs positions épistémologiques, voire leur système personnel de croyance, de manière parfois très détaillée. D’une certaine façon, ils initièrent ainsi de leur propre initiative sinon une anthropologie des savoirs sur la question, du moins une réflexion épistémologique critique (cf. MacKinnon 1982 qui a fait une analyse excellente des credos de ces trois savants parmi les plus grands). Il faudra sans doute analyser un jour ce que furent les  » excès les plus graves  » des scientifiques, ou les  » abus de concepts  » qu’évoquent les auteurs d’Impostures intellectuelles, le soupçon que l’on peut d’ores et déjà entretenir à ce sujet est qu’il s’agira comme on l’a montré ici à propos du second théorème de Gödel, de l’irruption de divers discours théologiques au sein de l’entreprise scientifique.

      Quant à Bouveresse, qui soutient en général la position de Wittgenstein et devrait donc en principe approuver la thèse très proche de celle de son maître que j’ai défendue ici, il se range cependant dans Prodiges et vertiges de l’analogie. De l’abus des belles-lettres dans la pensée du côté des Sokal et Bricmont. Peut-être faudrait-il cependant réapprendre la prudence : est-il si certain que l’on n’écrira pas un jour,  » le second théorème de Gödel qu’on ne considère plus aujourd’hui que comme une curiosité dans l’histoire des mathématiques eut cependant le mérite d’inspirer à Régis Debray une importante découverte sur le politique  » ?

      Bonne éventuelle lecture! Dis-moi si ça te va d’échanger à ce sujet dans le cadre esquissé plus haut (si ça te convient, l’idée est de prolonger en commentant le reste de l’article (1)).

      1: coeur-et-esprit.blogspot.com/2022/

      1. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Ce blog a été créé par mon collègue Didier Ferment et moi il y a plusieurs années dans le but d’avoir des « Réflexions sur le cœur et l’esprit, et plus généralement sur la vie, en ouvrant un espace entre la pensée chinoise et la pensée occidentale. »

        Comme j’étais occupée par diverses choses dans ma vie et mon travail, et je ne m’en occupais pas particulièrement. Maintenant, grâce à nos échanges, je l’anime à nouveau. Merci beaucoup !

        Ce que tu as parlé est très riche et j’espère que nous pourrons les approfondir progressivement, mais j’ai besoin de temps pour les digérer avant de pouvoir te répondre.

        Concernant l’événement de Sokal, je me souviens que Paul a dit que cet événement était la genèse qui l’a fait commencer à travailler sur le théorème d’incomplétude de Gödel.

        @Paul, pourrais-tu nous parler brièvement comment cet événement t’a amené à l’étude de Godel quand tu es disponible?

      2. Avatar de BasicRabbit

        Ton allusion à l’auto-cohérence m’incite à prolonger sur la transcendance, l’immanence et Régis Debray, à la suite de mon commentaire du 7 juin 2022 à 10 h 56 où j’écrivais : « Comme fil conducteur de cet échange je propose de tenter de relier le deuxième théorème d’incomplétude et la notion philosophique de transcendance, mot-clé de l’article de JianMing Zhou (qui apparaît une dizaine de fois, dont sept dans la partie 4), ».

        « L’immanence désigne, en philosophie et en parlant d’une chose ou d’un être, le caractère de ce qui a son principe en soi-même, par opposition à la transcendance qui indique une cause extérieure et supérieure. » (1), à mon avis en total contresens avec ce qui est écrit dans les lignes suivantes: « La pensée de l’immanence ou de la transcendance de Dieu a divisé les philosophes médiévaux, néo-platoniciens d’après saint Augustin, ou aristotéliciens d’après Albert le Grand et Thomas d’Aquin. ».

        Pour moi seuls le Tout, le rien et Dieu sont immanents, car ces êtres (ou non-êtres) contiennent en eux-mêmes leur propre principe (et je n’en vois pas d’autres…). À mes yeux seule l’immanence a un caractère absolu, la transcendance ayant un caractère relatif. Dans ces conditions ce qui est écrit dans les lignes suivantes de (1), à savoir « La pensée de l’immanence ou de la transcendance de Dieu a divisé les philosophes médiévaux, néo-platoniciens d’après saint Augustin, ou aristotéliciens d’après Albert le Grand et Thomas d’Aquin.  » doit être précisé en indiquant que Dieu transcende l’Homme (Dieu extérieur et supérieur à l’Homme) ou non (Dieu intérieur à l’Homme).(j’aurais aimé que JianMing Zhou précise ce point lorsqu’il parle de transcendance).

        Pour moi le préfixe « auto » renvoie automatiquement (sic!) à l’immanence: c’est donc un préfixe qu’il ne faut pas utiliser à la légère, comme c’est souvent le cas actuellement, en particulier avec l’usage souvent inconsidéré de l’auto-organisation.

        Ceci dit la question philosophique se pose alors est de savoir si la formule de Gödel est ou non auto-référente (immanente ou non) sachant que le deuxième théorème d’incomplétude dit en substance que PA1 ainsi qu’aucune théorie raisonnable « contenant » PA1) n’est auto-cohérente (non immanence de ces théories).

        Je ne vois aucune raison de se moquer du philosophe Régis Debray à ce sujet, même lorsqu’il applique ce résultat dans le champ politique, car pour moi ce résultat de Gödel renvoie quasi-directement à l’origine du pouvoir dans les société humaines. Le lacanien Charles Melman écrit dans « L’homme sans gravité » que « la barbarie consiste en une relation sociale organisée par un pouvoir non plus symbolique mais réel »: raison selon moi largement suffisante pour regarder ces choses de près, ce que, j’imagine, Debray a tenté de faire.

        1; https://fr.wikipedia.org/wiki/Immanence

        1. Avatar de BasicRabbit

          @ Yu Li. PJ termine son papier sur Gödel par :

          « Peut-être faudrait-il cependant réapprendre la prudence : est-il si certain que l’on n’écrira pas un jour, » le second théorème de Gödel qu’on ne considère plus aujourd’hui que comme une curiosité dans l’histoire des mathématiques eut cependant le mérite d’inspirer à Régis Debray une importante découverte sur le politique » ? ».

          Je me demande si PJ ne reproche pas à Debray son audace de faire une analogie entre logique formelle et politique car, pour PJ à la suite d’Aristote, l’utilisation de l’analogie est une méthode rhétorique, donc de très faible valeur probante. Ce n’est pas du tout le cas de Thom, pour qui sa théorie des catastrophes est une théorie de l’analogie qui lui permet d’écrire en conclusion de SSM la phrase qui est devenue ma citation thomienne favorite :

          « Les situations dynamiques régissant l’évolution des phénomènes naturels sont fondamentalement les mêmes que celles qui régissent l’évolution de l’homme et des sociétés » (et aussi, il va pour moi sans dire, l’évolution des espèces).

          En me présentant le dernier article de ton blog sur la danse tu as spontanément utilisé le mot d’analogie, et JianMing Zhou a fait de même dans son article sur les rapports des pensées chinoise et occidentale (tu noteras à ce propos que la citation thomienne est dynamique, évitant l’écueil d’une pensée statique occidentale reprochée par JianMing Zhou).

          Suivant l’idée pêchée par moi dans « Comment la vérité… » selon laquelle la pensée chinoise est une pensée symétrique, il me semble naturel que les chinois sont enclins à utiliser beaucoup plus spontanément l’analogie que les occidentaux dont la pensée est, toujours selon PJ, antisymétrique.

          En attendant d’avoir ta position sur la question, voici quelques citations thomiennes concernant l’analogie :

          – « (…) la théorie des catastrophes élémentaires est, très vraisemblablement, le premier essai cohérent (depuis la logique d’Aristote) d’une théorie de l’analogie. Lorsque des scientifiques d’esprit étroit objectent à la théorie des catastrophes de ne pas donner plus que des analogies ou des métaphores, ils ne se doutent pas qu’ils énoncent le dessein véritable de la théorie des catastrophes, lequel est de classer tous les types possibles de situations analogues. »;

          – « (…) une vision plus claire du programme métaphysique de la théorie des catastrophes : fonder une théorie mathématique de l’analogie, qui vise à compléter la lacune ouverte par Galilée entre quantitatif et qualitatif. »;

          – « Je crois (…) que l’acceptabilité sémantique (en dépit de son caractère apparemment relatif à la langue considérée) a en général une portée ontologique. « Toute analogie, dans la mesure où elle est sémantiquement acceptable, est vraie. » C’est là, je crois, le principe de toute investigation métaphysique. »;

          – « (…) ce que propose la théorie des catastrophes – en ses modèles – c’est un nouveau type d’intelligibilité. »;

          – « Il est certain que le succès pragmatique est une source de sens ; mais c’est un mode inférieur d’intelligibilité, à peine supérieur à l’assentiment provoqué par la prégnance du conditionnement pavlovien dans le monde animal ; l’intelligibilité humaine requiert une comparaison plus globale des différents modes d’intelligibilité, ceux en vigueur dans le langage et dans les autres disciplines de la science : elle requiert de sortir de la situation locale considérée pour prendre en compte les modes les plus généraux de
          compréhension. On aborde donc là le domaine de l’analogie ; ce faisant, on touche à l’autre côté, le versant philosophique de l’interface science-philosophie. »;

          – « La physique (avec ses grandes lois classiques) nous a donné l’exemple d’une théorisation « dure », fondée sur le prolongement analytique et permettant
          le calcul numérique explicite, donc la prédiction. Tout récemment, l’introduction de la théorie dite des catastrophes suggère un autre usage des mathématiques en science : une théorisation « molle », à caractère uniquement local. Une telle modélisation se réduit pratiquement à une théorie des analogies. »;

          – « Le monde de l’analogie est un monde qui porte son ontologie en quelque sorte avec soi. » (autrement dit, selon moi, l’analogie contient en quelque sorte en elle son propre principe: elle est en quelque sorte immanente »;

          – « Ainsi la fonction originelle d’une philosophie de la nature sera-t-elle de rappeler constamment le caractère éphémère de tout progrès scientifique qui n’affecte pas de manière essentielle la théorie de l’analogie. ». (Ce ne semble pas être le point de vue que PJ développe dans « Comment la vérité… »!).

  3. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit Nous avons déjà évoqué deux sujets clés de la preuve de Gödel : la ω-cohérence, les fonctions récursives/les relations récursives. Un autre sujet clé est la « fonction autoréférentielle ».

    La fonction autoréférentielle est, pour ainsi dire, la « graine » de la preuve de Gödel, et Gödel transforme cette « graine » en une « proposition Q qui dit qu’elle est indémontrable » par la technique de substitution en utilisant son codage, les fonctions récursives/les relations récursives, et la ω-cohérence.

    Regardons comment cette fonction autoréférentielle apparaît :

    Gödel a défini une énoncé mathématique dans le début de la preuve de la proposition VI (Théorème VI dans la traduction en français, p. 127) :
    Q(x, y) ≡ ¬{x Dx[Sb(y  19⁄Z(y) )] 
    Q(x, y) signifie qu’il n’y a pas de preuve x pour prouver y(y), et y(y) est la fonction autoréférentielle dans le système PA ou le système PM (Principia Mathematica).

    Dans ton commentaire du 9 mai, tu dis :
    – En philosophie occidentale, il y a la célèbre injonction de Socrate: « Connais-toi toi-même ». Dans ZFC cette introspection est impossible: il n’y a pas d’injection élémentaire stricte d’un modèle de ZFC dans lui-même. Mais en rajoutant l’hypothèse de cardinaux de plus en plus grands (les cardinaux de Laver sont actuellement les plus grands(?)), c’est-à-dire en complétant ZFC de plus en plus, on approche de plus en plus cette introspection.

    Es-tu en train de dire que la fonction d’autoréférence n’existe pas dans ZFC, mais Godel a dit qu’elle existe dans PA ou PM ?

    Je comprends ta réticence à discuter des aspects techniques de la preuve de Gödel, tu ne te force pas de me répondre, car j’ai rédigé mon questionnement, c’est pour clarifier ma pensée et être ouverte à toute critique éventuelle.

    1. Avatar de BasicRabbit

      1. « Es-tu en train de dire que la fonction d’autoréférence n’existe pas dans ZFC, mais Godel a dit qu’elle existe dans PA ou PM ?J »; Oui.

      En ce qui concerne Gödel, c’est ce que je crois : il s’agit bien d’une croyance car je t’ai dit et je te redis que je n’ai jamais « travaillé » les théorèmes d’incomplétude et que ce n’est pas à 76 ans que je vais commencer.

      L’impossibilité d’autoréférence à laquelle je fais allusion dans ZFC est liée au fait qu’il n’y existe pas d’ensemble de tous les ensembles (et qu’il n’existe pas de plus grand ordinal -et donc pas de plus grand cardinal-).

      Je ne me réfère pas à l’article de Gödel (traduit en anglais) mais au chapitre VIII d’un bouquin de Dehornoy (1), chapitre qui traite des deux théorèmes d’incomplétude avec des hypothèses plus faibles (arithmétique de Robinson) que celles Gödel. Partant de la preuve du premier théorème (4.4.4), on remonte à la fameuse formule de Gödel qui parle d’elle-même (4.4.2), puis au lemme diagonal (4.1.3) qui renvoie à (3.3.2) et (2.1.5) qui concernent la représentation et la substitution. C’est pour moi la voie à suivre : si on a compris et accepté ça alors on a compris et accepté les énoncés et les preuves des deux théorèmes d’incomplétude de Gödel. C’est en tout cas ce qu’écrit Dehornoy à la page 279 :

      « Le résultat de représentabilité que l’on va établir ici montre que ces fonctions sont également simples du point de vue de la prouvabilité. Ce résultat est essentiel pour l’obtention des résultats d’impossibilité de la section 4, et, en un sens, il constitue le noyau dur de leur démonstration. ».

      2. En ce qui concerne la ω-cohérence, je crois qu’on peut laisser ça de côté si on se concentre sur l’incomplétude de l’arithmétique de Peano du premier ordre (PA1) ou l’arithmétique de Robinson; car je fais confiance à Dehornoy quand il écrit (haut de page 301):

      « Par ailleurs, lorsque (i) s’applique, il est clair que T ne prouve pas ¬∆ T , puisque ∆ T est satisfaite dans (N, 0, S, +, ·, #). Mais cela ne vaut que si (N, 0, S, +, ·, #) est modèle de T, autrement dit si T a un modèle standard, ce que ne réclame pas la démonstration de (iii). ».

      Remarque. En refeuilletant ce chapitre VIII je retiens l’énoncé de la proposition (1.3.8) :

      « Une fonction de N p dans N est récursive si, et seulement si, elle est calculable par machine de Turing ; une relation sur Np est récursive si, et seulement si, elle est décidable par machine de Turing. »

      Pour moi la notion de fonction récursive était la traduction mathématique de la notion méta-mathématique de fonction effectivement calculable. C’est maintenant plus précis et moins « méta » dans ma tête (ce qui ne m’avance pas à grand chose parce que je ne sais pas ce qu’est une machine de Turing!).

      1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

  4. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Thom a dit:
    – L’ambition ultime de la théorie des catastrophes, en fait, est d’abolir la distinction langage mathématique-langage naturel qui sévit en science ».

    Chloé Lejeune, la Directrice Artistique, danseuse et chorégraphe de la compagnie la Cie LES ECHEVELEES où je danse, a dit :
    – Danser dans le monde d’aujourd’hui équivaut pour moi à redonner sa place à une sensorialité perdue. La façon dont nos maisons, nos meubles et nos outils modernes sont conçus limite la diversité de nos mouvements et par là l’expression même de notre âme. Mais, si on les laisse libres de danser, nos pieds savent scruter, notre peau respirer et nos yeux toucher.

    Pour en revenir à Gödel, je souhaite que la sensorialité, l’intuition et le bon sens nous aident à construire un pont entre le langage mathématique et le langage naturel, …

    1. Avatar de BasicRabbit

      « Pour en revenir à Gödel, je souhaite que la sensorialité, l’intuition et le bon sens nous aident à construire un pont entre le langage mathématique et le langage naturel, … ».

      Thom: « La pensée axiomatique moderne, qui réduit la signification à une propriété formelle de l’expression, partage avec sa sœur aînée, la pensée primitive ou magique, le douteux privilège d’être totalement dépourvue d’humour. ».

      Plus sérieusement pour Thom la géométrie est indispensable pour établir ce pont:

      « … le passage de la pensée usuelle à la pensée formalisée se fait naturellement par la pensée géométrique. Il en a été ainsi pour l’histoire de la pensée humaine, et, pour peu que l’on croie à la loi de récapitulation de Haeckel, selon laquelle l’individu passe dans son développement par toutes les étapes de l’espèce, il devrait en être ainsi du développement normal de la pensée rationnelle. » (Apologie du logos, Hachette, p.565).

      Pour Thom pas de bon sens sans la géométrie qui est pour lui le garde-fou de l’algèbre :

      « C’est parce que la mathématique débouche sur l’espace qu’elle échappe au décollage sémantique créé par l’automatisme des opérations algébriques. ».

      La géométrie est totalement absente des théorèmes d’incomplétude et Gödel est devenu fou… : quelle est la part de la géométrie/topologie dans l’intelligence artificielle telle qu’elle se développe actuellement?

      Tu as accès à SSM puisque tu as cité le 7 juin 2022 à 10 h 27 les premières phrases de l’introduction de SSM. Je te suggère de tourner la page et de lire ce que Thom écrit des modèles formels et des modèles continus (je te rappelle que SSM est sous-titré « Essai d’une théorie générale des modèles »), ainsi que la citation de Kreisel et Krivine (mon directeur de thèse) à la page 22 (2ème ed.).

  5. Avatar de Yu Li
    Yu Li

    J’ai lu un article sur Le raisonnement mathématique (R. Daval et G. T. Guilbaud) et ce passage au début de l’article a attiré mon attention sur Rougier [1]:
    – le recours à l’expérience est toujours nécessaire pour prouver la noncontradiction d’une théorie abstraite. Cette systématisation conventionnelle de l’expérience n’a pas la prétention de nous faire connaître l’essence des choses, mais seulement leur structure, « l’harmonie du monde ». Prolongeant les considérations de Poincaré sur la valeur de la science, Rougier s’oppose à la théorie marxiste, étatiste, de la science professée par les communistes et les autres totalitaires. F. Renoirte.

    J’ai ensuite appris « la logique à la croisée des chemins : la controverse Goblot- Rougier sur la nature de la démonstration et du raisonnement déductif (1907-1921) » [2].

    Pour prendre connaissance du débat qui oppose les deux hommes, ouvrons le Traité de logique de Goblot, et toute la suite de l’avertissement n’a d’autre but que de répondre aux objections adressées au professeur Goblot par son ancien élève Rougier. A peine sorti de l’université, Rougier faisait ainsi des débuts remarqués sur la scène philosophique.

    Voici la description que donne Goblot de leur désaccord et qui nous servira d’explicandum.

    – Au sujet de l’opposition, signalée par moi en 1898, entre le raisonnement, qui introduit une vérité nouvelle ou qui généralise, et le syllogisme, qui ne comporte ni généralisation ni nouveauté, M. Rougier s’exprime ainsi: « Mais, en réalité, cette opposition cesse des que l’on remarque que seuls interviennent dans la démonstration géométrique des syllogismes hypothétiques dont la majeure énonce l’implication formelle de deux faits hétérogènes, la mineure la possibilité logique du premier de ces faits. […] la démonstration ne se réduit jamais à un seul syllogisme, et, dans le choix des majeures et des mineures, dans leur rapprochement mutuel, dans la combinaison logique des propositions particulières qui constituent les mineures, intervient un acte synthétique de l’esprit qui exclut toute immobilité».

    – C’est une des thèses principales de ce livre que le syllogisme hypothétique est seul fécond, le syllogisme catégorique étant nécessairement tautologique. Le choix, le rapprochement, la combinaison logique, l’acte synthétique de l’esprit, voilà bien les opérations constructives dont j’ai signalé l’importance. Je devrais donc, semble-t-il, me déclarer satisfait! Je ne le suis pas du tout. Car, d’après M. Rougier, ces opérations constructives reviennent à combiner des syllogismes. La démonstration, dit-il, ne se réduit jamais à un seul syllogisme. Mais un polysyllogisme est aussi incapable de nouveauté et de généralisation qu’un syllogisme unique. Ce que l’on construit, c’est la conséquence même que l’on veut démontrer. […] En arithmétique et en algèbre, ce que l’on combine ne sont pas des syllogismes, mais des nombres, ou des symboles qui les représentent, et des relations entre ces nombres et ces symboles. Autrement dit, le raisonnement n’est jamais indépendant des objets sur lesquels on raisonne ; la logique formelle est absolument stérile.

    L’article se termine par la conclusion :
    – Si le logicien n’y apprendra pas la logique, le débat qui vient d’être présenté n’en possède pas moins un intérêt historique non négligeable. Certes, à la différence de Poincaré ou de Couturat, ni Goblot ni Rougier n’ont joué un rôle majeur dans l’histoire de la logique et cet épisode mal connu ne fait que confirmer ce que nous savions déjà des difficultés auxquelles se sont heurtées les tentatives faites pour introduire la logique moderne en France. Mais il nous permet de nous faire une idée plus précises des résistances qu’il a fallu vaincre, des confusions qu’il a fallu dissiper, tout comme il vient nous rappeler opportunément que le progrès scientifique est pour une bonne part fait de tâtonnements. Les travaux de Rougier n’ont, semble-t-il, exercé à peu près aucune influence sur le cours ultérieur de la logique et de la philosophie des sciences, et la communauté philosophique française a massivement suivi Goblot. On ne peut que le regretter, et admirer la qualité assez exceptionnelle de l’information de quelqu’un qui n’était après tout, en logique, qu’un autodidacte.

    Référence :
    [1] R. Daval et G. T. Guilbaud, Le raisonnement mathématique [compte-rendu], Vintens P. (https://www.persee.fr/doc/phlou_0035-3841_1948_num_46_10_4143_t1_0218_0000_2)
    [2] Michel Bourdeau, La logique à la croisée des chemins : la controverse Goblot- Rougier sur la nature de la démonstration et du raisonnement déductif (1907-1921).
    [3] https://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_Rougier
    [4] https://fr.wikipedia.org/wiki/Edmond_Goblot

    1. Avatar de BasicRabbit

      Yu Li : « C’est une des thèses principales de ce livre que le syllogisme hypothétique est seul fécond, le syllogisme catégorique étant nécessairement tautologique. ».

      Thom est d’accord avec ça en ce qui concerne le syllogisme catégorique: pour lui « Socrate est mortel » renseigne moins bien que « Socrate est un homme » (1). Lacan: « Tous les hommes sont mortels », 2) Socrate est un homme » 3) « Socrate est mortel », syllogisme dont j’espère qu’il y a ici un certain nombre d’oreilles, si elles veulent bien admettre au débat, autre chose que la signification, ce que j’ai appelé l’autre jour le sens, que ce syllogisme a quelque chose qui nous retient et qu’aussi bien, la philosophie ne l’a point sortie d’emblée ni dans un contexte pur, qui n’est nulle part dans les Analytiques d’Aristote qui je suppose, s’en serait bien gardé. ».

      1: « Pourquoi, au début de la pensée philosophique, les Présocratiques, d’Héraclite à Platon, nous ont-ils laissé tant de vues d’une si grandiose profondeur? Il est tentant de penser qu’à cette époque l’esprit était encore en contact quasi-direct avec la réalité, les structures verbales et grammaticales ne s’étaient pas interposées comme un écran déformant entre la pensée et le monde. Avec l’arrivée des Sophistes, de la Géométrie euclidienne, de la Logique aristotélicienne, la pensée intuitive a fait place à la pensée instrumentale, la vision directe à la technique de la preuve. » (Modèles mathématiques de la morphogenèse, Topologie et signification, note finale)

      1. Avatar de BasicRabbit

        Oups! La citation n’est pas de Yu Li mais d’un certain Goblot.

  6. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit L’analogie est sans aucun doute un mode important de la pensée humaine. Un caractère chinois exprime une image mentale, et en ce sens, nous pouvons dire que les caractères chinois sont le reflet de cette mode de penser.

    Un rôle important de l’analogie est d’ouvrir de nouvelles dimensions de la pensée et de rechercher les relations de cause à effet cachées derrière les phénomènes. Nous pouvons adopter l’explication de Thom sur la théorie des catastrophes :

    « […] l’essence de la théorie des catastrophes c’est de ramener les discontinuités apparentes à la manifestation d’une évolution lente sous-jacente. Le problème est alors de déterminer cette évolution lente qui, elle, exige en général l’introduction de nouvelles dimensions, de nouveaux paramètres. » — René Thom (1991)

    À mon avis, un point important à garder à l’esprit lors de l’utilisation d’analogies est que les analogies ne sont pas des équivalents (analogie/=équivalence). En terme de image mentale du caractère chinois « danger (危)» ou la théorie de catastrophes de Thom, cela signifie qu’il ne faut pas sauter directement d’une falaise, sinon c’est une véritable «  catastrophe » .

    Cependant, un biais cognitif caché dans l’utilisation des analogies est justement de considérer une analogie comme une équivalence.. Par exemple, dans le cas de la preuve du théorème d’incomplétude de Gödel, on peut dire que le « paradoxe de menteur » est un analogue du «  problème indécidable », ce qui permet d’éclairer la compréhension du «  problème indécidable », mais « le paradoxe de menteur n’est pas le problème indécidable dans les systèmes PA ou ZF ».

    Gödel a justement dessiné une équivalence entre les deux, et toute sa preuve est une torsion complexe du « paradoxe de menteur » en une « preuve » !

    C’est essentiellement la critique de Paul et moi, …

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu Li. Pour la continuité (avec espoir de continuation) je « redescends » ici mes commentaires faits ailleurs sur l’analogie.

      Les commentaires sur les articles de Yu Li et de PJ à propos du théorème d’incomplétude de Gödel ayant été fermés (reportant ainsi la disputatio Druuh/PJ aux calendes grecques?) je prolonge ici la discussion à propos de l’analogie engagée avec Yu Li dont j’extrais la citation suivante de son dernier commentaire:

      « À mon avis, un point important à garder à l’esprit lors de l’utilisation d’analogies est que les analogies ne sont pas des équivalents (analogie/=équivalence). En terme de image mentale du caractère chinois « danger (危)» ou la théorie de catastrophes de Thom, cela signifie qu’il ne faut pas sauter directement d’une falaise, sinon c’est une véritable « catastrophe » . ».

      Qu’est-ce qui distingue une analogie d’une équivalence, quel est le « plus » d’une analogie par rapport à une simple équivalence?

      L’équivalence c’est l’égalité sous un certain rapport et, en mathématiques, les trois critères caractérisant une relation d’équivalence (réflexivité, transitivité, symétrie) se retrouvent en logique formelle en tant qu’axiomes de l’égalité. L’image qui vient spontanément à l’esprit pour se représenter une classe d’équivalence est « horizontale », sous forme d’un graphe, chaque élément de la classe étant relié à chacun des autres par un trait illustrant la transitivité et la symétrie de la relation. Le graphe de cette relation ne se représente correctement géométriquement -à mon avis- que par un simplexe (triangle 2D, tétraèdre 3D, etc.) dans un espace dont la dimension est égale au nombre d’éléments de la classe, ce nombre pouvant être infini (dénombrable ou non).

      Les anciens grecs considéraient que seuls les nombres entiers étaient réels. Ce que nous appelons maintenant les nombres rationnels n’étaient pour eux que des nombres de raison (et ils appelaient αλογα les nombres irrationnels tels √2, nombres que nous considérons maintenant comme parfaitement raisonnables -car raisonnés-, ainsi que les nombres réels, complexes, etc.). Pour définir ce qu’est un nombre rationnel on utilise toujours actuellement la théorie des proportions d’Eudoxe. En termes modernes (qu’il est aisé de traduire en les termes anciens utilisés par PJ dans (1) ), on considère la relation suivante entre couples d’entiers: (a,b) ~ (c,d) si et seulement a.d=b.c (le produit des extrêmes est égal au produit des moyens), dont on montre que c’est une relation d’équivalence qui partage l’ensemble NxN des couples d’entiers en classes d’équivalences, chaque classe d’équivalence étant formée de couples d’entiers équivalents en ce sens qu’ils représentent le même nombre rationnel (par exemple (6,8) et (9,12)). La question naturelle qui se pose alors est: ces nombres sont-ils tous vraiment équivalents, indiscernables les uns des autres, ou y a-t-il parmi eux certains qui sont plus discernables que les autres, qui sortent du lot? La réponse est ici quasiment immédiate: le couple (p,q) où p et q sont premiers entre eux est de ceux-là (et c’est ici le seul), si bien que la classe d’équivalence, qui se représentait géométriquement a priori comme un simplexe dans un espace de dimension infinie (ici dénombrable), se représente a posteriori dans l’espace 1D puisque les éléments de la classe sont tous de la forme (n.p, n.q), n entier, donc tous alignés « en rang d’oignon » derrière leur « chef » (p,q). Le progrès en compréhension de la relation d’équivalence est donc ici considérable, et c’est ici que je vois la différence entre équivalence et analogie, justifiant ainsi l’étymologie du ἀνὰ grec : en haut, vers le haut, justification dont PJ dit en (1) :

      « Szabo s’interroge sur la présence de la préposition ana dans l’expression analogia. Il fait remarquer à juste titre que l’on attendrait plutôt kata s’il s’agissait d’exprimer une conformité, une correspondance entre les deux rapports. Ana, dit-il, est un distributif, comme dans « deux par deux » ou « quatre à quatre ». Soit très exactement l’expression du simple rapprochement, de la simple mise en présence que j’exprime par l’expression de connexion simple : « rapport à rapport ». Il n’est donc nullement nécessaire de suivre Szabo lorsqu’il se sent obligé de supposer que l’expression est elliptique : abréviation d’un ana logon isoi : rapport à rapport égal. ».

      On voit en effet que l’analyse de chaque classe d’équivalence (laissée ici de côté car « quasiment immédiate ») permet la synthèse 1D avec émergence de son « chef », analyse qui permet alors de faire simplement le catalogue (κατά, en bas, vers le bas) de ces classes d’équivalence. On voit aussi sur cet exemple que chaque classe d’équivalence contient en elle-même son propre principe (qui est le « chef » (p,q) ): il y a immanence de cette relation d’équivalence.

      PJ conclut (1) en écrivant :

      « J’ai pu, au passage, éclairer la relation qui existe à l’heure actuelle entre ce que nous distinguons comme proportion et comme analogie, soit respectivement la variété quantitative et la variété discursive de rapprochements de nature similaire. ».

      Il soulève là l’immense problème de transposer l’approche quantitative précédente à l’approche qualitative, discursive. Il me semble à peu près clair que, dans ce cas, l’analogie soupçonnée, lors de « rapprochements » entre entités qualifiées d’équivalentes sous un certain rapport, fera appel à un « chef » transcendant et donc qu’il est préférable d’aborder la question avec des lunettes platoniciennes, ce qu’Aristote a obstinément refusé de faire. Thom a proposé une théorie de l’analogie et des anthropologues et mathématiciens s’intéressant à l’anthropologie (je pense à Lucien Scubla et à Jean Petitot) ont tenté d’utiliser la théorie des catastrophes (dont Thom lui-même dit que c’est une théorie de l’analogie) pour résoudre l’énigmatique formule canonique du mythe de Claude Lévi-Strauss : Fx (a) : Fy (b) ≈ Fx (b) : Fa-1 (y) (2).

      Pour « ouvrir » (encore?) ce sujet, Thom toujours (on notera ci-après le double mouvement ἀνὰ et κατά):

      « L’image de l’arbre de Porphyre me suggère une échappée en « Métaphysique extrême » que le lecteur me pardonnera peut-être. Il ressort de tous les exemples considérés dans ce livre qu’aux étages inférieurs, proches des individus, le graphe de Porphyre est susceptible -au moins partiellement- d’être déterminé par l’expérience. En revanche, lorsqu’on veut atteindre les étages supérieurs, on est conduit à la notion d’ « hypergenre », dont on a vu qu’elle n’était guère susceptible d’une définition opératoire (hormis les considérations tirées de la régulation biologique). Plus haut on aboutit, au voisinage du sommet, à l’Être en soi (απλως). Le métaphysicien est précisément l’esprit capable de remonter cet arbre de Porphyre jusqu’au contact avec l’Être. De même que les cellules sexuées peuvent reconstituer le centre organisateur de l’espèce, le point germinal α (pour en redescendre ensuite les bifurcations somatiques au cours de l’ontogénèse), de même le métaphysicien doit en principe parvenir à ce point originel de l’ontologie, d’où il pourra redescendre par paliers jusqu’à nous, individus d’en bas. Son programme, fort immodeste, est de réitérer le geste du Créateur). Mais très fréquemment, épuisé par l’effort de son ascension dans ces régions arides de l’Être, le métaphysicien s’arrête à mi-hauteur à un centre organisateur partiel, à vocation fonctionnelle. Il produira alors une « idéologie », prégnance efficace, laquelle, en déployant cette fonction, va se multiplier dans les esprits. Dans notre métaphore biologique ce sera précisément cette prolifération incontrôlée qu’est le cancer.

      Aristote a dit du germe, à la naissance, qu’il est inachevé. On peut dès lors se demander si tout en haut du graphe on n’a pas quelque chose comme un fluide homogène indistinct, ce premier mouvant indifférencié décrit dans sa Métaphysique; que serait la rencontre de l’esprit avec ce matériau informe dont sortira le monde? Une nuit mystique, une parfaite plénitude, le pur néant? Mais la formule d’Aristote suggère une autre réponse, théologiquement étrange: peut-être Dieu n’existera-t-il pleinement qu’une fois sa création achevée: « Premier selon l’être, dernier selon la génération ». « .

      1: https://leuven.pagesperso-orange.fr/jorion_prix.htm

      2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_canonique_du_mythe


      – Il y a peut-être un paramètre avec une valeur par défaut qui ferme la discussion au bout d’un certain temps. Je vais aller voir.
      – Effectivement : les discussions étaient arrêtées au bout de 60 jours. C’est réglé. Vous pouvez aller remettre votre commentaire au bon endroit.
      – Quand votre commentaire sera au bon endroit je le commenterai en recopiant les pages de Comment la vérité et la réalité furent inventées qui relatent l’explication de l’analogie par Aristote : une double proportion.
      – Bon, puisque le commentaire restera là apparemment, Qu’est-ce que l’analogie ? Voici les pages consacrées à cette question dans mon Comment la vérité et la réalité furent inventées (2009) :

      [Qu’est-ce que le logos ?] En arithmétique, il s’agit des opérations simples qui sont antisymétriques, non-commutatives, comme la division ou la soustraction : « pour Euclide un logos de deux nombres ou grandeurs a et b est ce que nous désignons ordinairement par a : b [a est à b] » (Szabo 1977 [1969] : 163). Dans le discours, le rapport, c’est ce que les philosophes appelèrent le jugement (Urteil en allemand). L’invention grecque, c’est précisément cela : le logos, la raison que nous identifions à l’enchaînement associatif antisymétrique.

      La mise en présence de deux logon à des fins d’évocation, est une analogia, c’est-à-dire la proportion sous la forme qu’elle prend dans la pratique discursive. La proportion est dite analogia et les quatre termes (oros = extrémité) sont dits « proportionnels » : analogon. Ainsi, chez Euclide (VII, déf. 21) : « Des nombres sont analogon lorsque le premier est le même multiple du second que le troisième l’est du quatrième, ou lorsque le premier est la même ou les mêmes parties du second que le troisième l’est du quatrième » (in Szabo 1977 [1969] : 164). Au sein du monde mathématique proprement dit, où ce sont des nombres ou ce que nous appellerions aujourd’hui des symboles algébriques qui constituent l’analogia, l’équivalent de l’enchaînement associatif discursif est un rapport, un taux, ou encore, dans la langue technique des mathématiciens, une raison. Voilà pourquoi logos se traduit raison en mathématiques comme en philosophie. Une analogia mathématique est ce à quoi nous renvoyons encore aujourd’hui comme à une proportion.

      Dans le mode discursif, il existe quatre modes à l’analogia, selon que les jugements mis en présence sont tous deux antisymétriques, tous deux symétriques, le premier antisymétrique et le second symétrique, ou l’inverse. Si l’analogia est discrète, si les quatre termes sont distincts, elle correspond très exactement à ce que nous appelons aujourd’hui une analogie et que les Grecs eux appelaient eux un paradigme. Par exemple : « Un repas sans fromage est une belle à qui il manque un œil » (Brillat-Savarin).

      Comme telle, l’analogie possède certaines potentialités pour le raisonnement qui furent relevées par Aristote. Elle autorise, par exemple, des rapprochements entre différentes « choses » (appartenant au même genre ou à des genres distincts) en mettant en évidence des rapports semblables (« homomorphismes ») et de ce point de vue elle dispose d’un pouvoir heuristique : elle peut favoriser la découverte. Ainsi, il peut être éclairant de considérer que « la vue est à l’œil ce que la raison est à l’esprit ». Aristote note cependant que l’analogie est un outil démonstratif faible (Lloyd 1966 : 408-409).

      Par ailleurs, les termes parallèles (majeure et seconde moyenne, première moyenne et mineure) peuvent se représenter l’un l’autre pour un usage d’évocation figuratif, sous le nom de métaphore. Dans La Métaphysique, Aristote affirme que « la description par Empédocle de la mer comme sueur de la terre est « peut-être adéquate à des fins poétiques » mais « inadéquate pour la compréhension de la nature de la chose » (ibid. : 403). Aristote condamne l’usage de la métaphore en raison de son obscurité dans le raisonnement et plus particulièrement dans la définition. Il justifie la métaphore lorsqu’elle exprime une authentique proportion, mais il la considère avant tout comme un ornement de style (ibid. : 404-405).

      Si l’analogia est continue, s’il n’existe que trois termes, elle permet, par l’intermédiaire du terme commun ou moyen terme, qu’une relation directe s’établisse entre la majeure et la mineure sous la forme d’une « conclusion » porteuse d’information neuve. Nous avons alors affaire au syllogisme (ou à l’enthymème si le contexte est dialectique et l’usage par conséquent, rhétorique).

      Ce que le moyen terme unique autorise ici, c’est la mise en rapport des extrêmes, au même titre exactement que les moyennes arithmétique et géométrique dans la proportion. Diverses figures sont alors possibles, selon la nature symétrique ou antisymétrique des relations rapprochées.

      Commençons par un exemple où les relations rapprochées sont symétriques et ne sont donc pas à proprement parler des rapports : « La politesse est à l’esprit ce que la grâce est au visage »,

      politesse (1) / esprit (2) = grâce (3) / visage (4)

      que l’on peut représenter sous la forme canonique a : b = c : d, et dont Perelman soutint (… contre Lacan ; cf. Perelman & Olbrechts-Tyteca 1958 : 535-536, Lacan 1966 : 889) qu’elle est le soubassement de la métaphore. En l’occurrence : la grâce (3) comme « politesse (1) du visage » (4), et la politesse (1) comme « grâce (3) de l’esprit » (2). Les termes sont ici au nombre de quatre : la politesse et le visage comme extrêmes et l’esprit et la grâce comme termes moyens. Pour reprendre le vocabulaire qui s’appliquait à la proportion mathématique, l’analogie est ici discrète.

      L’analogie continue exige elle un moyen terme commun, « L’esprit est à l’homme, ce que l’homme est à la nature »,

      soit l’homme comme d’une part « esprit de la nature » et d’autre part comme « nature de l’esprit ».

      Ce que le moyen terme unique autorise ici, c’est la mise en rapport des extrêmes, tout comme les moyennes arithmétique et géométrique dans la proportion. L’homme comme « esprit de la nature », c’est une métaphore semblable à celles qu’autorisait l’analogie discrète mais cette mise en rapport par le truchement d’un moyen terme se révèle aussi comme conclusion : « l’homme est l’esprit de la nature ».

      Ce qui apparaît ainsi avec l’analogie continue, c’est la mise en rapport des extrêmes, débouchant sur l’expression d’une relation directe entre eux, soit très précisément, ce qu’opère le syllogisme. Celui-ci permet alors, comme l’on sait, diverses figures, selon la nature symétrique ou antisymétrique des relations rapprochées :

      Par exemple, deux relations antisymétriques :

      « La baleine est un animal, l’animal est une créature du Bon Dieu »,

      par conséquent, « la baleine est une créature du Bon Dieu » ; soit l’illustration de ce que l’on convient d’appeler la transitivité de l’inclusion (si A est B et que B est C, alors A est C) ,

      Ou bien, une relation antisymétrique et une symétrique (ou l’inverse) :

      « La baleine est un mammifère, les mammifères ont le sang chaud »,

      donc « la baleine a le sang chaud » ; soit l’héritage des propriétés.

      Ce que nous appelons de manière contemporaine analogie, c’est donc l’une des trois figures qu’autorise l’analogia grecque continue, la proportion continue quand elle porte sur les enchaînements associatifs propres au discours : celle qui établit une relation symétrique entre deux couples de relations, elles aussi symétriques, et dont la conclusion est nécessairement de l’ordre de la métaphore. Les deux autres figures possibles de l’analogia continue, constituent le syllogisme proprement dit : celles qui établissent une relation symétrique entre deux couples de relations dont l’une au moins est antisymétrique, et dont la conclusion apparaît du coup littérale.

      Et de même qu’afin que la proportion continue soit valide il convient que le moyen terme, la moyenne soit juste, de même, pour que l’analogie continue – ou syllogisme -, soit valide, il convient que le moyen terme soit juste.

      Le terme moyen est dans ce cas, et à proprement parler, la raison qui autorise le syllogisme, et celui-ci, en tant que tel, est raisonnement. Dans les termes de Hamelin, que je peux me contenter ici de citer : « Le savoir se formule dans des propositions qui sont des conclusions de syllogismes : telle, par exemple, cette proposition que l’angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Cette proposition consiste à attribuer le majeur du syllogisme au mineur. Or, en tant que cette proposition est la conclusion d’un syllogisme, elle possède un caractère qui lui fait défaut quand on la considère comme un simple jugement : c’est que l’attribut y a été rattaché au sujet par une raison. Et cette raison, c’est précisément le moyen terme qui la représente […] … la grande idée qui fait tout l’essentiel du syllogisme, c’est précisément celle qui fait défaut chez Platon, c’est l’idée que raisonner consiste à donner une raison, à fonder sur une raison l’union des deux termes du jugement ; c’est l’idée de la preuve et de l’explication, l’idée de l’affirmation ou de la négation médiatisée » (Hamelin 1985 [1905] : 173 & 175).

      BR: @ PJ. Je découvre ce commentaire… Merci d’avoir rouvert ceux des deux récents articles sur Gödel, fermés automatiquement (1). Prévenir Yu Li?

      J’avais parcouru rapidement cette partie, car elle commence comme celle de « Le prix comme proportion chez Aristote ». C’est effectivement plus fouillé (et la référence à la défaite cinglante des mathématiques à propos de l’existence d’irrationnels a disparu). Quelques remarques:

      – « Dans le mode discursif, il existe quatre modes à l’analogia ». En maths il y en a plus que ça: rapports simples, rapports de rapports (birapport -ou rapport anharmonique-, central en géométrie projective (2)), etc. En mode discursif la formule canonique du mythe Fx (a) : Fy (b) ≈ Fx (b) : Fa-1 (y),est un rapport de rapports de rapports (en considérant que F met deux termes en rapport).

      – « Aristote note cependant que l’analogie est un outil démonstratif faible. ». Ce n’est pas ce que pense Thom dont il dit lui même que sa théorie des catastrophes est une théorie de l’analogie : « Ainsi la fonction originelle d’une philosophie de la nature sera-t-elle de rappeler constamment le caractère éphémère de tout progrès scientifique qui n’affecte pas de manière essentielle la théorie de l’analogie. ».

      – « Il [Aristote] justifie la métaphore lorsqu’elle exprime une authentique proportion. ». Thom aussi : « Konrad Lorenz, dans son discours au Nobel, a fait une observation qui m’a beaucoup frappé quand je l’ai lue, quelques années plus tard. Il a dit : « Toute analogie est vraie. » C’est certainement une formulation un peu excessive, mais si l’on ajoute : « Toute analogie, pourvu qu’elle soit acceptable sémantiquement, est vraie », je crois qu’elle devient une formulation parfaitement rigoureuse. ». Tout est donc, pour Thom, dans ce qu’il faut entendre par acceptabilité sémantique…

      – Hamelin: « La grande idée qui fait tout l’essentiel du syllogisme, c’est précisément celle qui fait défaut chez Platon, c’est l’idée que raisonner consiste à donner une raison, à fonder sur une raison l’union des deux termes du jugement; « . Il n’y a pour moi aucune raison (!) de se limiter à des jugements à deux termes. Thom en considère jusqu’à quatre (car il se limite à l’espace-temps), par exemple dans son interprétation « catastrophique » des verbes quadrivalents de Tesnière.

      1: Ça me rappelle le métro: attention à la fermeture automatique des portes, tu pourrais te faire pincer très fort (avec un dessin de petit lapin de base en train de se faire pincer une patte).

      2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Hexagramme_de_Pascal

  7. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Je partage notre spectacle « Merci » d’hier : « Merci, l’hommage itinérant adressé au corps soignant ! » – l’Union.

    « L’union, cela veut dire que, consciemment, nous anéantissons les limites de l’individualité et nous vibrons avec le reste du cosmos. »

    1. Avatar de BasicRabbit

      Yu Li: « L’union, cela veut dire que, consciemment, nous anéantissons les limites de l’individualité et nous vibrons avec le reste du cosmos. ».

      En utilisant l’analogie on recule -au risque de l’erreur- les limites de la pensée rationnelle. Je « redescends « ici pour toi un commentaire fait en (1) où l’analogie est à faire entre l’union symbolisée par la danse et l’union des bosons (cf. la dernière phrase de mon commentaire):

      Je ne me suis jamais intéressé « professionnellement » à ces choses, [la Physique quantique] seulement par curiosité. Je m’y intéresse maintenant encore -à 76 ans- du point de vue d’un apprenti philosophique autodidacte, à travers mon prisme thomien : « Il faut être philosophe en science et scientifique en philosophie », martèle mon gourou.

      Thom s’est beaucoup intéressé à la mécanique quantique. Il a écrit quelques articles -certains techniques- à ce sujet, et a toujours cherché à la géométriser, seul moyen, selon lui, de la rendre intelligible. On trouve un aperçu significatif de sa façon de voir les choses en 1985 (il est mort en 2002) dans sa conférence « Hasard, déterminisme et innovation » (1, de 25’20 à 37′).

      Ce qui m’a donné envie de commenter ici, c’est votre allusion aux condensats de Bose-Einstein et aux « atomes » en nuage ou en soupe. Car ça m’a fait me souvenir d’un article philosophique intitulé « Les réels et le calcul différentiel, ou la mathématique essentielle » (que l’on trouve dans le recueil « Apologie du logos ») où, à mon étonnement, Thom parle ainsi des bosons et des fermions (après avoir « mathématisé » le temps et l’espace):

      « Terminons ces considérations sur l’ontogenèse des mathématiques par une remarque de physique. Nous avons invoqué deux phénomènes pour justifier la construction de l’espace réel: la résonance qui synchronise des oscillateurs couplés d’une part, de nature temporelle; et la collision entre individus qui, elle, permet la définition des chemins de létalité, et par suite la construction des espaces. Fort spéculativement, on associera ces deux processus aux deux grands types de particules connus en physique: bosons et fermions. Les bosons, de nature essentiellement radiative, ont tendance à s’associer en champs où ils deviennent indiscernables et non localisables, effet dû à la résonance. les fermions, de nature essentiellement spatiale, matérielle, devraient leur caractère répulsif et individualiste au phénomène de répulsion qui les sépare… ».

      Thom martèle que les grandes découvertes ont été faites par ceux qui avaient la capacité de s’identifier à autre chose, à autrui, à « se mettre dans la peau des choses ». Se mettre dans la peau d’un boson ou d’un fermion pour comprendre la mécanique quantique?

      Une analogie politique (2): réfléchir à mettre les bosons un peu plus en valeur dans un monde -le nôtre!- essentiellement régi par le « struggle for life », selon moi typiquement fermionique?

      1: https://www.youtube.com/watch?v=BXxKQVQFnRo

      2: La théorie des catastrophes est, selon Thom lui-même, un théorie de l’analogie, qui, selon moi, licite ma citation thomienne favorite :

      « Les situations dynamiques régissant l’évolution des phénomènes naturels sont fondamentalement les mêmes que celles qui régissent l’évolution de l’homme [et, pour moi -je rajoute, « évidemment » des espèces] et des sociétés. »

      3: https://www.pauljorion.com/blog/2022/06/10/automates-cellulaires-quantiques-enchevetres-complexite-physique-et-regles-de-boucles-dor-par-lincoln-carr/

    2. Avatar de BasicRabbit

      Thom a écrit un seul article sur la dans « La danse comme sémiurgie » (1) où ce qui l’intéresse c’est l’unité du ballet. En espérant que ça t’intéressera aussi voici le dernier paragraphe:

      « On voit donc à quelle théorie esthétique conduit cette vision de la danse: pour l’esprit explorant les limites de l’univers sémantique, aux confins de la signification, où l’écart entre le signifiant et le signifié s’abolit, l’œuvre d’art fait vibrer les sources organisatrices les plus précieuses, les plus profondes, qui sont à l’origine du sens. Pour cet esprit à l’écoute, tendu à l’extrême de sa sensibilité, tout « sémiurge » est un démiurge. ».

      L’écart entre le signifiant et le signifié: n’est-ce pas justement ce que Gödel a aboli ou crû abolir? Thom consacre quelques lignes aux systèmes formels (haut de p.128)…

      1: On le trouve dans Apologie du logos, Hachette, 1990, pp;118 à 130).

      1. Avatar de BasicRabbit

        À propos du sujet du bac philo (16 juin sur ton blog) : « Les pratiques artistiques transforment-t-elles le monde ? ».

        En grec ancien l’art était τέχνη. De nos jours l’art est devenu technique et l’artisan est devenu technicien. Jacques Ellul écrivait -et je suis d’accord avec ça- que, alors que toutes les autres civilisations avaient, d’une manière ou d’une autre, sacralisé la nature, « notre » civillisation a choisi de sacraliser ce qui la désacralise, à savoir la technique. Art sacré? Art profane (moderne, contemporain)?

        Pour Aristote -et Thom à sa suite- c’est l’art qui imite la nature, et non l’inverse. À la fin de SSM Thom consacre quelques mots à l’art (à côté du délire et du jeu) (1), dans la ligne de la fin précitée de son article sur la danse.

        1: p.318 (2ème ed. 1977)

      2. Avatar de Yu Li
        Yu Li

        Merci pour cette introduction ! Le fait que Thom ait relié la danse à la sémiotique était très visionnaire !

        Je lis dans ce document (Les univers sémiotiques de la danse. – Formes et parcours du sens dans le tango argentin, Valeria DE LUCA , 2016, p.150) :
        – Dans un moment historique et dans un contexte disciplinaire où la gestualité propre de la danse s’était estompée de l’horizon des préoccupations sémiotiques aussi vite qu’elle y avait fait son apparition, et où la sémiotique structurale française achevait son infrastructure théorique et méthodologique en privilégiant des exemples littéraires, les suggestions sur la danse avancées par le mathématicien et sémioticien René Thom pour la première fois en 1981 et reprises en 1990 apparaissent comme une singularité dont tous les effets restent en quelque sorte encore à explorer.

  8. Avatar de BasicRabbit

    Bonjour Yu (c’est bien ton prénom?),

    L’accueil de ton blog « Le Cœur et l’Esprit ». indique: « Réflexions sur le cœur et l’esprit, et plus généralement sur la vie, en ouvrant un espace entre la pensée chinoise et la pensée occidentale. ».

    À partir de mon intuition que la pensée de Thom est plus proche de la pensée chinoise que de la pensée occidentale, j’ai essayé de traduire en termes des huit trigrammes les huit formes qui apparaissent dans la succession cyclique de (1). N’y connaissant quasiment rien, je me suis laissé guider par le fait que pour Thom la catastrophe ombilic hyperbolique est féminine alors que la catastrophe ombilic elliptique est masculine (3), puis.j’ai bêtement recopié à suivre counterclockwise (comme Thom, en commençant comme lui par le n°1) les quatre trigrammes yin (inversés pour que ça colle) suivis des quatre trigrammes yang tels qu’ils apparaissent dans le premier site sur lequel je suis tombé (2). Cela donne:

    1: Kun; 3: Gen; 5: Kan; 7: Xun; 9: Qian; 11: Dui; 13: Li; 15: Zhen.

    Peux-tu commenter mon choix avec ta sensibilité et ta raison, et proposer éventuellement ton propre choix assorti de tes commentaires?

    Ça m’intéresse beaucoup plus que les théorèmes d’incomplétude de Gödel !

    Bien à toi,

    1: Stabilité structurelle et morphogenèse, 2ème ed., p.86 (cette figure cyclique n’apparaît pas dans la première édition).

    2: https://www.cours-de-feng-shui.com/huit-trigrammes/

    3: Consulte éventuellement les pages 190 à 193 pour plus de précisions.

    1. Avatar de Yu LI
      Yu LI

      Associer les huit modèles de catastrophes de Thom aux huit trigrammes du Yi Jing, c’est une très bonne idée !
      Je n’ai pas le livre de Thom en français, seulement une traduction en chinois.

      Le lien (https://www.cours-de-feng-shui.com/huit-trigrammes/) est très bien pour une première compréhension de « bagua » ! Je vais ajouter quelques choses.

      Le bagua (八卦, huit trigrammes) est un concept de base du Yi Jing, représentant tous les phénomènes du monde dans leur état de mouvement.

      1,L’étymologie de “卦”

      卦 = 圭 + 卜
      圭(guī): une règle en jade pour mesurer les ombres de la course du soleil
      卜(bǔ) : une fissure dans la carapace d’une tortue

      Les baguas (八卦, huit trigrammes) constituent un outil de divination, un modèle pour aider à comprendre le monde.

      2,Une citation du Yi Jing

      Le Maître dit : « L’écrit ne peut pas exprimer entièrement les paroles. Les paroles ne peuvent pas exprimer entièrement les pensées. »

      Ne peut-on donc pas voir les pensées des sages ? 

      子曰:“圣人立象以尽意,设卦以尽情伪,系辞焉以尽其言。” – 《易·系辞上》
      Le Maître dit : « Les sages ont tracé les images pour exprimer les idées; ils ont établi des hexagrammes pour exprimer le vrai et le faux; ils ont écrit des annexes pour exprimer les pensées. La transformation et la communication au profit de la réussite du travail, le tambour et la danse au profit de l’encouragement de l’esprit.»

      Tu dis « Ça m’intéresse beaucoup plus que les théorèmes d’incomplétude de Gödel ! » Fais ce qui t’intéresse et ce pour quoi tu es compétent !

      1. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Le Maître dit : « Les sages ont tracé les images pour exprimer les idées; ils ont établi des hexagrammes pour exprimer le vrai et le faux; ils ont écrit des annexes pour exprimer les pensées. La transformation et la communication au profit de la réussite du travail, le tambour et la danse au profit de l’encouragement de l’esprit.»

      2. Avatar de BasicRabbit

        Merci pour ces explications. et citations.

        S’il s’agit de la traduction de la 2ème édition, tu trouveras la figure (cyclique) à la fin du chapitre 5 (fin de 5.4: Catastrophes de corang 2). Et tu trouveras sûrement l’édition française à la bibliothèque de ton université.

        Remarque: ce ne sont pas les huit modèles de catastrophes de Thom que j’associe aux huit trigrammes du Yi-Jing, c’est un cycle de huit états associés à la dernière catastrophe élémentaire -la plus compliquée- qui est l’ombilic parabolique, cycle que je tente d’associer à un cycle (1) des huit trigrammes du Yi-Jing.

        Dans le cycle thomien les 8 mutations sont nommées, en particulier la catastrophe de transition « lèvre », et j’ai vu que la lèvre figure en n°27 (commissures des lèvres 頤) parmi les 64 hexagrammes (2).

        1: Feng Shui note qu’il y en a deux: le bagua du ciel antérieur et le bagua du ciel postérieur.

        2: https://marip.com/le-grand-guide-des-arts-traditionnels-chinois/les-hexagrammes/


    2. Avatar de Yu LI
      Yu LI

      @BasicRabbit J’ai écrit un petit article pour expliquer l’ordre des Bagua (八卦, huit trigrammes) avec les schémas :

      Surtout avec ce schémas, s’il y a un rapport avec les modèles de Thom ?

      X : — (Yang), Y : – – (Yin)
      (X+Y)^0 = 1
      (X+Y)^1 = X+Y
      (X+Y)^2 = X^2+ 2XY + Y^2
      (X+Y)^3 = X^3+ 3X^2Y + 3XY^2+Y^3

      1. Avatar de BasicRabbit

        Il n’y a pas commutativité de la « multiplication » entre yang et yin: yang. yin est différent de yin. yang. Aussi j’écrirais: (x+y) ^2=x^2+xy+yx+y^2.

        Plutôt que le développement « en triangle de Pascal », je suis plus intéressé par la représentation cyclique, ma question étant: y-a-t-il une nécessité ou une naturalité de cette succession ? Autrement dit cette succession cyclique a-t-elle un sens, et si oui lequel ?

        Remarque. Il me semble que les chinois placent de préférence le yang avant le yin. En ce qui me concerne j’ai tendance à faire l’inverse: pour moi la puissance yin précède l’acte yang…

  9. Avatar de BasicRabbit

    Yu : « Tu dis « Ça m’intéresse beaucoup plus que les théorèmes d’incomplétude de Gödel ! » Fais ce qui t’intéresse et ce pour quoi tu es compétent ! ».

    Les rapports entre la pensée chinoise et la pensée occidentale (l’objectif de ton blog) m’intéressent effectivement beaucoup plus. Mais je ne perds pas de vue les théorèmes d’incomplétude de Gödel. Je développe un peu.

    Suite à un article tout récent de PJ sur l’or et le bitcoin, j’ai « remonté » des vieux souvenirs sur les monnaies trouvés chez le physicien François Roddier qui situe le problème de la monnaie dans le cadre de la thermodynamique, avec les analogies suivantes avec le cycle de Carnot : source chaude/monnaie chaude/monnaie yang, source froide/monnaie froide/monnaie yin (1). Le problème de la monnaie apparaît dans les derniers slides où Roddier écrit:

    « La Chine développe une économie ago-antagoniste de type Yin-Yang. Elle a conservé une économie dirigée (de type Yin) pour les services, tout en développant une économie de production libéralisée (de type Yang) pour la production, mais n’a qu’une seule monnaie. ».

    Le problème de l’incomplétude qui vous intéresse, PJ et toi, concerne la philosophie analytique que Wittgenstein a vécue de l’intérieur puis de l’extérieur (et que vous vivez de l’extérieur). Je pense que ce problème, posé dans le cadre de l’arithmétique de Peano du premier ordre, peut être reformulé dans le cadre de la théorie des ensembles finis, que je note Z en souvenir de Zermelo, avec pour axiomes ceux de ZF sauf l’axiome de l’infini. Dans cette théorie il n’y a que deux symboles non logiques: = et x, le premier étant yin/communiste et le second yang/capitaliste, leurs rapports étant réglés par les axiomes de Z, en particulier l’axiome yang d’extensionnalité et les axiomes yin de compréhension (et de remplacement/substitution).

    1: http://francois-roddier.fr/Mines-2018/assets/player/KeynoteDHTMLPlayer.html#0

    1. Avatar de BasicRabbit

      Erreur : ∈ (appartenance) et non x.

  10. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit J’ai lu une citation de René Thom, et je la trouve très important et inspirante !

    J’ajoute un titre : Qu’est-ce qu’un « fait » ? – Un rappel de René Thom

    1. Étymologie de « fact »

    De l’ancien français fact, du latin factum. Apparenté au français fait.

    2. Questionnement sur « fact » par René Thom

    Lorsqu’on a compris – à la suite de T. S. Kuhn – le caractère « automatique » du progrès scientifique, on se rend compte que les seuls progrès qui vaillent sont ceux qui modifient notre vision du monde – et cela par l’élaboration de nouvelles formes d’intelligibilité. Et pour cela il faut revenir à une conception plus philosophique (voire mathématique) des formes premières d’intelligibilité. Nos expérimentateurs, sempiternels laudateurs du « hard fact », se sont-ils jamais demandé ce qu’est un fait ? Faut-il croire – ce qu’insinue l’étymologie – que derrière tout fait, il y a quelqu’un ou quelque chose qui fait ? Et que ce quelqu’un n’est pas réduit à l’expérimentateur lui-même, mais qu’il y a un « sujet » résistant sur lequel le fait nous apprend quelque chose ? Telles sont les questions que notre philosophe devra constamment reposer, insufflant ainsi quelque inquiétude devant le discours volontiers triomphaliste de la communauté scientifique. Bien sûr la Science n’a nul besoin de ce discours pour continuer. Mais il restera peut-être quelques esprits éclairés pour l’entendre, et en tirer profit. – René Thom (1988)

    Référence :
    [1] https://fr.wiktionary.org/wiki/fact
    [2] https://fr.readkong.com/page/citations-de-rene-thom-2165022

    1. Avatar de BasicRabbit

      Je mets celle-ci (deThom) en écho:
      « La synthèse ici entrevue des pensées mécaniste et vitaliste en Biologie n’ira pas sans un profond remaniement de nos conceptions du monde inanimé. ».

  11. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit « 颐卦(Yi / Les Commissures des Lèvres)  » est le 27ième hexagramme du Yi Jing.

    J’ai mis la traduction de Richard Wilhelm dans mon blog :

    1. Avatar de BasicRabbit

      Pour Thom la lèvre est une catastrophe (de transition) qui relie deux lignes de plis (les lèvres supérieure et inférieure) à leurs deux commissures qui sont des points fronce.
      Pour l’instant ça me semble très différent du numéro 27 de l’hexagramme ! J’ai des progrès à faire dans la compréhension de l’hexagramme. Je vais commencer par les trigrammes (j’ai lu qu’il y en avait deux).

  12. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Je partage l’article de Lucie Bombled [1] « VIDEO – Comment Merce Cunningham a révolutionné la danse », dans lequel il a expliqué comment Cunningham a utilisé Yi Jing :
    – En dissociant musique et chorégraphie
    – En utilisant le hasard pour créer
    – Tout geste du quotidien est danse
    – Le mouvement est langage

    [1] https://www.radiofrance.fr/francemusique/video-comment-merce-cunningham-a-revolutionne-la-danse-9438502

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu. J’ai parcouru rapidement. J’ai tiqué devant le « en utilisant le hasard pour créer ». Pour moi (qui n’y connais rien sur le sujet) la danse est un langage corporel qui exprime quelque chose qui n’a rien avoir avec le hasard. Le Yi Jing, manuel des arts divinatoires, est (pour moi qui n’y connais rien) tout sauf dû au hasard (il serait plutôt d’inspiration divine…) et la succession des 64 « figures » est, pour moi, régie par des contraintes qui ne doivent rien à ce prétendu hasard. Thom a fait une conférence-vidéo de 50′ là-dessus en 1985, intitulée « Hazard, déterminisme et innovation », que l’on trouve sur la toile…

      1. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Tout d’abord, je suis impressionnée par le fait que Cunningham a obtenu la base de la liberté créative simplement en dissociant musique et chorégraphie, ce qui montre l’importance de dépouiller l’enchevêtrement !

  13. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Je continue avec le sujet de « self-reference » dans la preuve de Godel, en distinguant la self-reference dans les paradoxes et la self-reference dans les fonctions récursives.

    La self-reference est la «  graine » de la preuve de Gödel, et Gödel l’a transformé « magiquement » en «  la proposition qui dit qu’elle est indémontrable », en utilisant la technique de codage, des fonctions/relations récursives, et la ω-consistance.

    La self-reference apparaît dans la preuve de la proposition VI de l’article de Gödel, où Godel commence par définir une proposition :

    Q(x, y) ≡¬{x Bc[Sb(y 19⁄Z(y))]

    Sb(y 19⁄Z(y)) est la fonction self-reference y(y), déguisée par le codage de Godel, et Q(x, y) exprime qu’il n’y a pas de x pour prouver y(y), ce qui est équivalent à la proposition Q qui dit qu’elle est indémontrable.

    Pourtant, la self-reference y(y) ici est fondamentalement différente de la self-reference dans les fonctions récursives en informatique et en mathématiques :

    Une fonction récursive est un objet réel en mathématiques qui permet de calculer la valeur d’une fonction, comme la « suite de Collatz »:

    fCollatz(n, i) = 1 (n=1)

    fCollatz(n, i) = fCollatz(n/2, i+1) (n est pair)

    fCollatz(n, i) = fCollatz(3n+1, i+1) (n est impair)

    y(y) utilisé par Gödel n’est pas une fonction récursive, mais une «  fonction universelle » : y(x), y est une fonction et x est une variable représentant une fonction donnée, et y(x) porte des jugements sur une propriété de la fonction x, par exemple, si la fonction fCollatz s’arrête à 1.

    En ce sens, y(x) est similar au paradoxe du menteur : Epimenides (y) dit que «  tous les Crétois (x) mentent » . Ainsi, on a le paradoxe du menteur : «  Epimenides a-t-il menti (y(y)) ? »

    Cependant, la «  fonction universelle » comme y(x) n’existe pas dans les systèmes formels tels que PA ou ZF. Ainsi, la self-reference y(y) dans la preuve de Godel devient une « graine stérile », …

  14. Avatar de BasicRabbit

    @Yu. Je suis content de voir que tu reviens sur ce que je considère comme étant la partie cruciale des théorèmes d’incomplétude, à savoir le théorème de représentabilité: voir (1) p. 279. Je te redis encore une fois que je suis incompétent en ce qui concerne les relations entre calculabilité et la récursivité (relations à mon avis cruciales pour connecter les problèmes d’ incomplétude au problème P/NP) . Je note cependant ce que Dehornoy en dit p. 272 (cf. pp. 270 et 271 pour plus de précisions):

    « La différence principale entre le point de vue de la calculabilité (par machine de Turing) et celui de la récursivité est que le premier est local en ce qu’il met en jeu les valeurs de la fonction) pour chaque choix de valeurs pour les arguments, alors que le second est global en ce qu’il considère la fonction par le biais d’une définition indépendante de toute évaluation. « .

    Peut-être Druuh et PJ pourront-ils t’aider ?

    Remarque finale. Si tu te limites à PA1 (arithmétique de Peano du premier ordre) tu n’as pas besoin de l’hypothèse d’oméga-cohérence (en faisant confiance à la fin du commentaire de Dehornoy haut de p. 301).

    Bon courage,

    1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

  15. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Je voudrais partager un message :

    L’année internationale des sciences fondamentales pour le développement durable est officiellement inaugurée par une conférence d’ouverture aujourd’hui au siège de l’UNESCO à Paris :

    DES SCIENCES FONDAMENTALES POUR LE DÉVELOPPEMENT (2022) (https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000371464_fre)

    Objet : Le présent document contient un projet de résolution recommandant de célébrer une Année internationale des sciences fondamentales pour le développement en 2022, afin de mettre en lumière l’importance des sciences fondamentales dans la compréhension des grands enjeux sociétaux et planétaires.

    1. Avatar de BasicRabbit

      2022: année internationale des sciences fondamentales pour le développement.

      René Thom a proposé en sciences fondamentales (biologie théorique) l’analogie (pour moi génialissime) développement de l’embryon/développement de Taylor dont il a tiré en 1967 Stabilité structurelle et morphogénèse (première édition en 1972). Selon lui-et moi… – encore en avance sur son temps plus de 50 ans plus tard…

  16. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit J’ai terminé la conférence de Patrick Dehornoy [1] sur l’infini facile à comprendre et en même temps perspectif, très interessant, merci!

    Je pense que Gödel voulait révéler l’infini par son théorème d’incomplétude, mais paradoxalement, il a fini par nier l’infini dans sa preuve (ce n’est pas étonnant, puisque sa preuve est elle-même un paradoxe).

    L’un des premiers critiques pointus sur la preuve de Gödel venait de Zermelo qui a écrit une lettre à Gödel le 21/91931(voir Yu LI 5 MAI 2022 À 11 H 56 MIN) :
    – … I came subsequently to the clear realization that your proof of the existence of undecidable propositions exhibits an essential gap. … Just as in the Richard and Skolem paradoxes, the mistake rests on the (erroneous) assumption that every mathematically definable notion is expressible by a “finite combination of signs” (according to a fixed system!)-what I call the “finitistic prejudice.”

    Voici une citation de Zermelo pour exprimer sa vision de mathématiques comme « the logic of the Infinite » [2] :
    – A purely “finitistic” mathematics, in which nothing really requires proof since everything is already verifiable by use of the finite model, would no longer be mathematics in the true sense of the word. Rather, true mathematics is infinitistic according to its nature and rests on the assumption of infinite domains; it may even be called the “logic of the infinite”.

    [1] https://webtv.univ-rouen.fr/videos/a-quoi-sert-linfini-conference-de-patrick-dehornoy/
    [2] https://www.researchgate.net/publication/357582750_Mathematics_is_the_Logic_of_the_Infinite_Zermelo's_Project_of_Infinitary_Logic

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu. Ton commentaire du 5 mai faisait suite au mien (4 mai 5h41) où je disais que je trouvais la critique de Zermelo pertinente. Mais je me plaçais alors dans le cadre général du premier théorème d’incomplétude (prop. VI) qui exige (?) une hypothèse de oméga-cohérence que je considère comme ad hoc (elle est là pour que ça marche !). À la lecture du livre de Dehornoy je suis moins sûr que la critique de Zermelo soit valable pour PA1, cas sur lequel je suis convaincu qu’il faut se concentrer avant de considérer les théories plus générales (comme ZF !).

      Je te répète encore une fois que je pense, à la suite de Dehornoy, que le cœur de la preuve se trouve dans son théorème de représentativité (cf. mon commentaire du 30 juin 16h43), car c’est à mon avis là que se rejoignent syntaxe et sémantique (un rapport avec « Le secret de la chambre chinoise », texte jadis écrit par PJ ?).

  17. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit Concernant l’infini, la relation entre syntaxe et sémantique, je voudrais partager Jules Richard (1862-1956)et son antinomie (paradoxe).

    A la fin de Chapitre 1 de l’article de Godel, il a dit :
    The analogy between this result and Richard’s antinomy leaps to the eye; there is also a close relationship with the “liar” antinomy, since the undecidable proposition [R(q); q] states precisely that q belongs to K, i.e. according to (1), that [R(q); q] is not provable. We are therefore confronted with a proposition that asserts its own unprovability.

    Le paradoxe de Richard est le paradoxe suivant, qui apparaît lorsqu’une théorie des ensembles n’est pas suffisamment formalisée :
    Si l’on numérote tous les nombres réels définissables en un nombre fini de mots, alors on peut construire, en utilisant l’argument de la diagonale de Cantor un nombre réel hors de cette liste. Pourtant ce nombre a été défini en un nombre fini de mots.

    Son auteur, le mathématicien français Jules Richard, professeur au lycée de Dijon, le décrivit dans une lettre au directeur de la Revue générale des Sciences Pures et Appliquées. Ce dernier décida de la publier, sous forme d’un court article, dans le numéro du 30 juin 1905 de cette revue.

    Il a joué un rôle important dans les recherches sur les fondements des mathématiques, en particulier au début du xxe siècle, et a suscité depuis sa publication en 1905 de nombreux commentaires.

    Référence :

    1. Avatar de BasicRabbit

      C’est à cause de ce genre de paradoxe qu’est née la distinction entre PA1 et PA2, PA1 ne considérant que les formules du langage de l’arithmétique, PA2 acceptant les formules du langage de ZF, plus puissant que celui de l’arithmétique. Dans « Comment la vérité… » PJ cite Daval et Guilbaud avec Henri Poincaré comme juge de paix. Je ne suis pas convaincu qu’à cette époque -années 1900- la distinction entre PA1, PA2 et l’arithmétique où on accepte les formules exprimées en langage naturel aient été bien comprises. On a fait de grands progrès en introduisant l’arithmétique de Robinson et celle de Pressburger.

  18. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit Dans la conférence de Patrick Dehornoy où il parlait du théorème d’incomplétude de Gödel, expliquant des problèmes indécidables, il avait écrit (11:43) :
    – Des exemples ? Les formules de Godel (codage du paradoxe)

    Patrick Dehornoy a affirmé que personne ne comprenait les formules de Gödel, qu’ils voulaient voir des vraies formules indécidables.

    A ce moment-là, pourquoi Patrick Dehornoy n’a pas posé la question : la preuve de Gödel est-elle correcte ?

    J’ai un ami qui ne comprenait pas pourquoi j’insiste à déchiffrer Gödel, et j’ai cité ce que Pierce a dit (https://personnel.usainteanne.ca/jcrombie/pdf/logsci07.pdf, p.20) :
    – C’est chose terrible à voir, comment une seule idée confuse, une simple formule sans signification, couvant dans une jeune tête, peut quelquefois, comme une substance inerte obstruant une artère, arrêter l’alimentation cérébrale et condamner la victime à dépérir dans la plénitude de son intelligence, au sein de l’abondance intellectuelle. Plus d’un a durant des années caressé avec tendresse quelque vague semblant d’idée, trop dépourvue de sens pour être fausse. Malgré cela, il l’a passionnément aimée et en a fait la compagne de ses jours et de ses nuits ; il lui a consacré ses forces et sa vie, il a pour elle mis de côté toute autre préoccupation, il a en un mot vécu pour elle et par elle, tant qu’enfin elle devienne l’os de ses os et la chair de sa chair. Puis, un beau matin, il s’est réveillé et ne l’a plus trouvée, elle s’était évanouie dans l’air comme Mélusine, la belle fée, et toute sa vie s’était envolée avec elle.

    Parce que je ne veux plus que nos jeunes répètent la tragédie de Gödel et gaspillent leur vie pour des choses aussi illusoires, …

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu. Tu écris:

      « A ce moment-là, pourquoi Patrick Dehornoy n’a pas posé la question : la preuve de Gödel est-elle correcte ? ».

      Parce qu’il a toujours pensé qu’elle l’était, ce qu’il a enseigné et consigné dans des cours polycopiés et des bouquins.

      Avant de tenter une critique des théorèmes d’incomplétude il y a tout un background à assimiler, background qui ne se trouve pas dans l’article de Godel. Je t’ai dit et je te répète encore une fois le point de vue de Dehornoy. Le cœur de la preuve est pour lui -et pour moi…- dans ce qu’il appelle le théorème de représentativité.

      1. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Tu dis : Le cœur de la preuve est pour lui -et pour moi…- dans ce qu’il appelle le théorème de représentativité.

        Je voulais dire que, le théorème de représentativité peut-être est moins intelligible que le théorème d’incomplétude.

        C’est comme lorsque je cherche André dans un immeuble et que tu me dis que André habite à côté de Bernard, alors que je ne connais même pas Bernard, comment je peux trouver André !

        1. Avatar de BasicRabbit

          @Yu (« le théorème de représentativité peut-être est moins intelligible que le théorème d’incomplétude. »).

          En reparcourant la partie du chapitre 8 de (1) il me semble que les théorèmes de représentabilité (pour les fonctions et les relations récursives) ne sont pas insurmontables à comprendre. Là où, à mon avis, il faut un background (peut-être informulé ou insuffisamment formulé dans le papier original de Gödel) c’est à propos du théorème de complétude (de Gödel) car ce qui est crucial -la preuve s’écroulant sinon- c’est de s’assurer que les entiers qui apparaissent dans les démonstrations -a priori quelconques donc éventuellement non standards- sont en fait standards: pour moi c’est là qu’est concentrée toute la subtilité des deux théorèmes d’incomplétude. Voir, entre autres, la preuve de 3.3.6. et la note 6 de bas de page 291. Pour le deuxième théorème d’incomplétude (annoncé sans preuve dans la proposition XI du papier de Gödel) il faut être encore plus précis et introduire la notion de représentation fidèle (voir 3.3.11).

          1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

          Bien à toi,

  19. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    La preuve de Godel est censée donner une explication de ce qui est un problème indécidable (rappeler le titre de son article : On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I).

    Mais la réalité est que, personne n’a vraiment compris la preuve dans son article original depuis 90 ans, et a accepté le paradoxe du menteur comme un exemple de problème indécidable. La conférence de Patrick Dehornoy illustre bien cette situation embarrassante.

    Dans ce cas, pourquoi ne pas changer notre vision du monde : peut-être la preuve de Godel est-elle incorrecte ?

    Rappeler ce que Thom a dit : Lorsqu’on a compris – à la suite de T. S. Kuhn – le caractère « automatique » du progrès scientifique, on se rend compte que les seuls progrès qui vaillent sont ceux qui modifient notre vision du monde – et cela par l’élaboration de nouvelles formes d’intelligibilité.

    1. Avatar de BasicRabbit

      « changer notre vision du monde ».

      Ce que propose Thom c’est de s’intéresser aux modèles continus car ils permettent, selon lui, « l’élaboration de nouvelles formes d’intelligibilité » . Voir -ou revoir- sa carte légendée du sens, avec la place qu’il réserve aux modèles formels: http://strangepaths.com/forum/viewtopic.php?t=41

  20. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Dans une conférence donnée au Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900, Hilbert a posé 23 problèmes mathématiques qui ont influencé le développement des mathématiques, de la logique et de l’informatique,…

    Lorsqu’il a parlé de la difficulté de juger correctement la valeur d’un problème, il a cité un ancien mathématicien [1] :
    – A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street. »

    90 ans se sont passés depuis que Gödel a présenté sa preuve du théorème d’incomplétude en 1931, et pratiquement aucun chercheur n’a compris la preuve présentée dans son article, et encore moins été capable de l’expliquer au premier piéton rencontré dans la rue.

    Mais pourquoi les gens croient-ils avec confiance que le théorème d’incomplétude de Gödel est complet et qu’il n’est plus nécessaire de le critiquer ?

    Note : Selon les documents historiques, ce vieux mathématicien français était Joseph Diez Gergonne. [2]

    Référence :
    [1] http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
    [2] https://quoteinvestigator.com/2021/09/30/street/

    1. Avatar de BasicRabbit


      Dans mon commentaire du 8/07/2022 7h26, je t’indiquais un point qui me semble important, point que PJ n’a, à mon avis, très probablement pas vu puisqu’il suit Ladrière pour qui « Les énoncés vrais sont les axiomes et les théorèmes » (1).

      Je l’ai écrit ici plusieurs fois et Druuh également: en logique formelle mathématisée vérité et démontrabilité sont -sous les hypothèses ad hoc- liées par le théorème de complétude (de Gödel): la démontrabilité d’un énoncé clos -QUELCONQUE par ailleurs- d’une théorie donnée équivaut à la vérité/satisfaisabilité dans TOUS les modèles de cette théorie.

      Le point qui me semble crucial pour la preuve des théorèmes d’incomplétude est que, pour une classe RESTREINTE d’énoncés clos -à savoir les énoncés Σ1- la démontrabilité équivaut à la vérité d’un tel énoncé Σ1 dans le SEUL modèle standard de l’arithmétique (celui que tout le monde connaît). C’est ça pour moi le point fondamental qui permet de relier syntaxe et sémantique (et donne un éclairage différent de celui de PJ au brouillon de lettre de Gödel cité en (2)).

      Mais, alors que nous avons jusqu’à présent assuré la grande majorité des 330 commentaires de ton article, je vois bien que ces points techniques ne t’intéressent pas vraiment et que tu préfères te référer à la doxa de ceux qui pensent que les preuves par Gödel des théorèmes d’incomplétude sont fondamentalement incorrectes…

      Bien à toi,

      1: « Comment la vérité… » p.291 et 298.

      2: Id. p.298.

      1. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        @BasicRabbit Je me suis réalisée qu’il y a peut-être des malentendus dans nos discussions :

        Je suis d’accord avec la conclusion sur l’incomplétude des systèmes formels, et j’ai même cité des exemples concrets de problèmes indécidables pour illustrer cette incomplétude.

        Pourtant, Paul et moi remettions en question la preuve basée sur le paradoxe présentées dans l’article de Gödel ; vous, toi et Druuh, ne parliez pas de la preuve de Gödel, mais des « preuves » académiques acceptées.

        Il existe des preuves correctes de l’incomplétude des systèmes formels, par exemple, la preuve de Turing, …

        1. Avatar de BasicRabbit


          1.  » j’ai même cité des exemples concrets de problèmes indécidables pour illustrer cette incomplétude. »

          Tu as cité la conjecture de Collatz. À ma connaissance, cette conjecture est actuellement indécidée, mais pas indécidable.

          2. « Il existe des preuves correctes de l’incomplétude des systèmes formels, par exemple, la preuve de Turing, … ».

          Cela signifie-t-il que tu refuses dans l’énoncé du premier théorème d’incomplétude l’existence d’une formule vraie dans le modèle standard N mais indémontrable mais que tu acceptes celle d’une formule indémontrable dans PA1 ainsi que sa négation (définition de l’incomplétude), et que tu refuses l’énoncé du deuxième théorème d’incomplétude, directement lié à l’auto-référence)? Je n’ai rien lu de PJ allant dans ce sens (dans « Comment la vérité… » je n’ai rien lu concernant l’existence même du deuxième théorème d’incomplétude -la proposition XI de l’article de Gödel-).

          Qu’entends-tu exactement par preuve de Turing de -disons- l’arithmétique? Le fait que la théorie complète du modèle standard N n’est pas récursivement énumérable alors que celle de PA1 l’est (ce que Dehornoy appelle le théorème d’incomplétude faible)? (Je n’ai à ma disposition qu’un cours de polytechnique où la preuve est esquissée, et la calculabilité ça n’est pas mon fort !).

    2. Avatar de Ruiz

      @ Yu LI Il semblerait donc qu’il reste des théories mathématiques dont la validité* n’est acquise que dans la rue d’Ulm.
      et ne s’étends que guère au delà.
      * achèvement/complétude.

      1. Avatar de Yu LI
        Yu LI

        Il y a deux semaines, je suis allé rue d’Ulm, où j’ai vu l’ancien site de Bourbaki, …

        Je n’ai compris que la moitié de votre commentaire.

        Je trouve que cette citation est inspirante, prononcée par Hilbert, un mathématicien qui a préconisé l’axiomatisation des systèmes formels, …

        1. Avatar de Ruiz

          @Yu LI parfaitement compris, c’est l’une des rares rue où la probabilité que ça marche est la plus élevée …

  21. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    En raison de la richesse et de la difficulté des sujets que nous avons abordés, je n’ai pas eu suffisamment de temps pour digérer et expliquer mes idées, et j’en suis désolée !

    À partir des questions posées à la fin de mon article, et au début de notre discussion, je me suis concentrée toujours sur la question suivante : la preuve de Gödel donne-t-elle un  » paradoxe du menteur  » comme problème indécidable ?

    J’essaie maintenant d’expliquer pourquoi j’attache une telle importance à ce sujet.

    Comme tout le monde sait, au début du XXe siècle, lorsque des paradoxes sont apparus dans la théorie des ensembles, par exemple le paradoxe de Russell etc., ils ont été considérés comme une « catastrophe » et ont provoqué une véritable crise des fondements des mathématiques. Presque tous les intellectuels de premier plan se sont mobilisés pour résoudre cette crise, Zermelo, Hilbert, Gödel, Turing, etc.

    J’ai lu les premier et deuxième chapitres de l’article de Gödel, grâce à nos discussions, et sur la base de tous les travaux que j’ai rencontrés et étudié, je peux maintenant affirmer que la soi-disant « proposition indécidable » donnée par la preuve de Gödel est le « paradoxe du menteur », à savoir « la proposition Q qui dit qu’elle est indémontrable » ! En d’autres termes, selon Gödel : il y a des paradoxes dans le système formel PM ainsi que des systèmes concernés comme PA !

    Pourquoi, alors, les gens traitent-ils les paradoxes de la théorie des ensembles si différemment de ceux de la preuve de Gödel ?

    Depuis 90 ans, à l’exception des personnes qui ont été perturbées par les travaux de Gödel, comme montré dans le commentaire de Russell :
    « I realised, of course, that Gödel’s work is of fundamental importance, but I was puzzled by it. […] If a given set of axioms leads to a contradiction, it is clear that at least one of the axioms must be false »

    Le fait que l’ensemble de la communauté académique ne remette guère en question la preuve de Gödel fondée sur les paradoxes est un phénomène très inquiétant, …

    Ce n’est donc pas que je ne m’intéresse pas aux points techniques, sinon je ne lirais pas les textes techniques ennuyeux de Gödel, mais c’est plutôt ce malaise qui me donne un sentiment de crise, comme vous pouvez vaguement le sentir dans nos discussions de plus de 300 commentaires, …

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu: « Le fait que l’ensemble de la communauté académique ne remette guère en question la preuve de Gödel fondée sur les paradoxes est un phénomène très inquiétant, … ».

      Je pense que l’étude des paradoxes est un phénomène plus intéressant qu’inquiétant.

      Dans le cas particulier des théorèmes d’incomplétude, mon point de vue est qu’il faut tenter d’éliminer de son esprit le côté apparemment paradoxal de la preuve, autrement dit qu’il faut commencer l’article de Gödel à la partie 2, en se concentrant sur les règles logiques et les axiomes non logiques de la théorie considérée 1 -typiquement l’arithmétique de Peano (ou de Robinson) du premier ordre- quitte à revenir ultérieurement sur le paradoxe du menteur pour l’examiner du point de vue de la logique formelle, à l’inverse de ce que font -il me semble- les épistémologues en général et PJ et toi en particulier, qui l’étudient du point de vue d’une autre logique -PJ dit se placer du point de vue de la logique aristotélicienne-.

      Ce qui est pour moi intéressant c’est ce divorce entre la logique aristotélicienne -selon PJ- et la logique mathématisée qui a pris naissance avec Boole, divorce qui relègue la production mathématique à un jeu avec ses règles, jeu finalement insignifiant car sans rapport avec la véritable réalité, la position de PJ étant, selon moi, concentrée dans la phrase suivante, p.285 de « Comment la vérité… »:

      « Pour autant que je puisse en juger, je ne pense pas que Gödel se soit trompé dans sa démonstration d’un point de vue technique, c’est-à-dire aux yeux des mathématiciens…. ».

      Je pense que la quasi-totalité des mathématiciens contemporains sont d’accord avec ça: si une preuve est techniquement correcte, alors elle est correcte, point-barre. Mais la quasi-totalité n’est pas la totalité, mon gourou Thom s’insurgeant contre ce point de vue (1), en visant, selon moi, quasi-directement les mathématiques formalisées (formolisées..):

      « Les adversaires de la thèse ontologique b) [la conception réaliste ou platonicienne] feraient bien de réfléchir au point suivant : il n’est pas, dans l’histoire des mathématiques, d’exemple où l’erreur d’un homme a entraîné la science dans une voie erronée; très fréquemment, les mathématiciens se sont égarés dans le développement formel de théories insignifiantes et sans intérêt. elles l’ont fait dans le passé, elles le font actuellement, et le feront sans doute encore.. Mais jamais une erreur de quelque importance n’a pu se glisser sans qu’elle soit presque aussitôt relevée. Comment un tel « consensus » pourrait-il s’expliquer, s’il ne répondait pas à un sentiment général, fruit d’un conflit de l’esprit avec des contraintes permanentes, intemporelles et universelles. Dans cette confiance en l’existence d’un univers idéal, le mathématicien ne s’inquiétera pas outre mesure des limites des procédés formels, il pourra oublier le problème de la non-contradiction. Car le monde des Idées excède infiniment nos possibilités opératoires, et c’est dans l’intuition que réside l’ultima ration de notre foi en la vérité d’un théorème -un théorème étant avant tout, selon une étymologie aujourd’hui bien oubliée, l’objet d’une vision.
      Il faut en prendre son parti. Il n’y a pas de définition rigoureuse de la rigueur. Nous affirmerons donc: est rigoureuse toute démonstration qui, chez tout lecteur suffisamment instruit et préparé, suscite un état d’évidence qui entraîne l’adhésion. Et cette évidence provient de la possibilité d’avoir une conception assez claire de chacun des symboles utilisés pour que leur combinatoire force la conviction. De ce point de vue la rigueur (et son contraire, l’imprécision) est fondamentalement une propriété locale du raisonnement mathématique. Il n’est pas besoin de grandes constructions axiomatiques, de machineries conceptuelles raffinées pour juger de la validité d’un raisonnement. Il suffit d’avoir une intelligence assez nette du sens de chacun des symboles mis en jeu, une vue assez complète de leurs propriétés opératoires. »

      Il n’est pas du tout impossible que les deux points de vue soient corrects (du point de vue de ceux qui les soutiennent) mais inconciliables. Dans ce cas il y a un choix à faire entre deux logiques. Mon gourou Thom a fait son choix qui n’est clairement pas celui de la logique booléenne et de l’axiomatique de ZF (2), mais son acceptation de la logique aristotélicienne n’est pas claire non plus:

      « Il me semble qu’il y a au cœur de l’aristotélisme un conflit latent (et permanent) entre un Aristote logicien, rhéteur (voire même sophiste quand il critique Platon et les Anciens) et un Aristote intuitif, phénoménologue et topologue quasiment malgré lui. C’est avec ce second Aristote (passablement méconnu) que je travaille, et j’ai tendance à oublier le premier. Il a espéré faire la jonction à l’aide du concept de séparation, fondamental dans sa métaphysique. (…) La séparation [entre l’intérieur et le bord (péras -traduit par limite par Tricot-, note Thom- est-elle purement métaphorique? Si elle a une portée ontologique, alors il faut un substrat étendu -continu- où les choses se découpent. Sinon la séparation n’est qu’un Gedankenexperiment sur lequel on ne saurait fonder l’objectivité. » (Esquisse d’une sémiophysique p.245 et 246).

      On voit dans cette citation apparaître l’opposition discret/continu et donc les paradoxes de Zénon (la limite d’une suite infinie est-elle ou non un élément de la suite?) auxquels est pour moi relié l’axiome de récurrence de Peano (si une propriété P est vraie à chaque pas (dAchille) alors elle est vraie pour tous les pas). Thom remarque que pendant plus de deux millénaires Aristote a été le seul penseur du continu et il reprend le flambeau avec ses modèles continus qu’il oppose aux modèles formels:

      « Dans les deux articles écrits pour L’Âge de la Science -« Topologie et signification » (1969), « Les mathématiques modernes: une erreur pédagogique et philosophique? » (1970) j’exprime ma conviction qu’il y a un immense fossé entre la pensée « naturelle », le bon sens, et cette logique mathématisée artificielle, qui a pris naissance avec Boole et qui s’est imposée comme parangon de la rigueur avec le formalisme et l’axiomatique hilbertienne. » (Apologie du logos, p.66).

      L’étude fine des paradoxes (même ceux de Zénon, considérés comme résolus depuis l’avènement du calcul infinitésimal) est pour moi fascinante car elle amène à des révisions -parfois des inversions- de notre vision du monde.Thom toujours:

      « ‘Pour moi l’aporie fondamentale de la mathématique est bien dans l’opposition discret-continu. Et cette aporie domine en même temps toute la pensée. ».

      1: « Les mathématiques modernes: une erreur pédagogique et philosophique? » (1970) que l’on trouve dans Apologie du logos (1990) (p.560 et 561)à 568 pour ce qui concerne la logique booléenne et la théorie des ensembles).

      2: Id. pp; 565 à 568.

  22. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit Merci pour tes commentaires toujours très riches !

    Pour l’instant, je ne parle pas de savoir s’il existe dans le modèle standard N ou PA1 des formules qui sont vraies mais non démontrables, mais je m’interroge sur la méthode de preuve de Gödel. Je continue à clarifier ma pensée :

    J’affirme la conclusion du théorème d’incomplétude de Gödel, c’est-à-dire, l’existence de problèmes indécidables dans certains systèmes formels.

    On peut dire que, Gödel est arrivé à cette conclusion par intuition (*), ce qui est un aperçu remarquable ! Mais elle n’a pas été prouvée mathématiquement par Gödel, parce que la preuve de Gödel basée sur l’équivalence entre le paradoxe du menteur et un problème indécidable n’est pas une preuve valide, mais un raisonnement fallacieux !

    En prenant du recul, on peut se demander (et je me suis en effet posé la même question) :
    – Étant donné que le théorème d’incomplétude de Gödel présente la conclusion correcte, que des travaux ultérieurs ont corrigé la preuve de Gödel, tels que les travaux de Turing, de Rózsa Péter, etc., et que nous n’utilisons que sa conclusion et non sa preuve, quelle importance s’il y a des erreurs dans la preuve de Gödel ? Alors, pourquoi Paul a-t-il consacré un livre entier pour parler de Gödel ? Pourquoi ai-je continué à décortiquer Gödel après une décennie d’étude de P vs NP ?

    Le problème est que, le théorème d’incomplétude de Gödel n’est pas un théorème habituel, tel que le théorème de Pythagore, mais un « théorème d’existence » !

    En mathématiques, un théorème d’existence est un théorème qui affirme l’existence d’un objet mathématique, dont la preuve est destinée à donner un argument de l’existence de l’objet mathématique pour guider les gens dans la reconnaissance et la recherche d’un tel objet. Par exemple, dans le théorème des accroissements finis [1].

    Alors, que donne la preuve de Gödel ? La preuve de Gödel donne une « proposition qui dit elle-même est indémontrable », c’est-à-dire, le « paradoxe du menteur », en disant que c’est une proposition indécidable dans un système formel !

    Une telle preuve peut-elle aider à reconnaître des propositions indécidables dans les systèmes formels, comme le théorème de Goldstein, la conjecture de Collatz, ou même NP ?

    Thom a dit :
    – En pliant un être dans un cadre conceptuel trop pauvre pour l’exprimer, on ne saurait s’étonner d’aboutir à des incompatibilités et des paradoxes apparents.

    Cela signifie que, il implique des biais cognitifs humains dans les paradoxes. Lorsque les paradoxes apparaissent dans la preuve de Gödel, au lieu d’avoir le sentiment de crise que les gens ont eu au début du 20e siècle lorsque les paradoxes sont apparus dans la théorie des ensembles, Gödel a directement assimilé les paradoxes à des propositions indécidables existants dans les systèmes formels ; en d’autres termes, Gödel a pris l’illusion pour la réalité !

    Du point de vue du bon sens, quelle est la conséquence si l’on est pris dans l’illusion et l’on ne se rend pas compte ?

    Du point de vue de la logique mathématique, la conséquence directe de l’absence de critique suffisante de la preuve de Gödel est la banalisation du travail de Turing, comme le soi-disant « problème d’arrêt », qui n’a pas été proposé par Turing mais critiqué par lui, mais qui a été imposé à la preuve de Turing pour arriver au « problème d’arrêt ». En outre, la nature du problème NP ne peut être correctement comprise sans une bonne compréhension du travail de Turing, ce qui a conduit à ce qu’on appelle le problème du millénaire P vs NP.

    Donc, je ressens une crise et un malaise profonds, …

    P.S (*):dans le livre de Paul :
    – Dans le brouillon d’une réponse à une question posée par un étudiant thésard, Godel indiquait que c’était précisément sa reconnaissance de la différence de circonstances entre la possibilité de définir formellement la démonstration et l’impossibilité de définir formellement la vérité qui le conduisit à la découverte de l’incomplétude. Le fait qu’il ne signala pas ceci (en 1931) s’explique peut-être par son observation (dans un passage raturé du même brouillon) que « en raison des préjugés philosophiques de l’époque (…) le concept d’une vérité mathématique (…) était reçu avec la plus grande suspicion et le plus souvent rejeté comme sans signification ».

    Référence :
    [1] https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_accroissements_finis

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu. Je commence -j’espère- à y voir plus clair : tu acceptes l’énoncé du premier théorème d’incomplétude (existence, éventuellement explicite, sous les hypothèses ad hoc, d’énoncés E indécidables -E et non E tous deux non démontrables), tu refuses toute démonstration basée sur l’argument « paradoxal » de Gödel qui combine autoréférence et négation, en particulier tu refuses toutes les démonstrations faites/rapportées par Dehornoy dans (1) concernant les théorèmes de limitation, et tu regardes tout ce qui concerne la vérité avec suspicion (allusion au brouillon de lettre de Gödel). Par contre du acceptes la démonstration de Turing. C’est bien ça?

      Je n’y connais rien en calculabilité (allergie…). Mais s’il existe une preuve par calculabilité d’un résultat qui concerne la démontrabilité, il y a nécessairement -selon moi- un résultat général qui relie calculabilité et démontrabilité. Dans ce registre je ne connais que ce que j’ai lu de la correspondance preuve-programme dite de Curry-Howard (2), où j’ai été retenu par le paragraphe « Logique et informatique »:

      « Le logicien français Jean-Louis Krivine [mon directeur de thèse] a fait le rapport entre différents théorèmes mathématiques et les programmes informatiques qu’ils représentent (…):
      le théorème d’incomplétude de Gödel qui dit qu’il y a des propositions qui sont indécidables correspond à un programme de réparation de fichiers;
      le théorème de complétude de Gödel correspond lui à un désassembleur interactif de programmes. ».

      S’il y a un résultat général reliant calculabilité et démontrabilité alors l’argument de Turing doit pouvoir se traduire en termes compréhensibles par un matheux basique comme moi qui ai quelque connaissance en démontrabilité (et en indécidabilité en théorie des ensembles -forcing de Cohen-).

      Je t’ai dit dans mon commentaire du 12 juillet 2022 à 17 h 03 min que je n’avais à ma disposition, à propos de la preuve de Turing qu’un cours de Polytechnique (trouvé sur téléphone et dont je suis incapable de te donner le lien car je ne le retrouve pas sur mon ordinateur), cours auquel je ne comprends pas grand’chose (pour ne pas dire rien).

      Peut-être pourras-tu éclairer ma lanterne?

      1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Surveys/DehornoyChap8.pdf

      2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_de_Curry-Howard

  23. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    Au sujet de l’illusion et de la réalité, cela me fait penser à la célèbre phrase de Hamlet :
    « To be, or not to be, that is the question»

    Je vais prendre une retraite d’une semaine.

    Merci à tous et je vous souhaites un été ensoleillé et une méditation inspirante !

    1. Avatar de BasicRabbit

      @Yu. Suggestion de méditation pendant ta semaine de retraite.

      Dans mon premier commentaire j’écrivais : « Pour moi la question « philosophique » posée par les théorèmes d’incomplétude de Gödel est de savoir si on peut tirer une connaissance objective (un théorème) d’une connaissance subjective liée à l’auto-référence (« je me mens »). On est là, à mon avis, dans ce que je considère comme le top de la métaphysique (l’étude de l’être en tant qu’être, selon Aristote). Je n’ai pas de réponse… ».

      Pour moi le top de la métaphysique d’une discipline consiste à résoudre l’aporie fondatrice de cette discipline. Pour Thom l’aporie fondatrice des mathématiques -et de la pensée tout court- est l’opposition discret-continu. Pour le sujet qui nous concerne ici c’est -selon moi- l’opposition vérité-démontrabilité: savoir si cette opposition est dépassable ou non (1). Il y a bien d’autres apories fondatrices, dont les oppositions yin-yang, structure-fonction, signifiant-signifié, etc.

      En ce qui concerne le rapport signifiant-signifié, Thom écrit dans son article « La danse comme sémiurgie » (2):

      « Parler de signes, en l’occurrence, consiste à quitter la définition de Saussure. M. Grize a raison, dans la danse, où signifiant et signifié coïncident, on n’a plus de signe au sens saussurien classique. Mais on observera qu’il y a deux cas bien connus où la distance entre signifiant et signifié s’abolit. D’abord celui des systèmes formels, où, comme Hilbert l’avait vu, chaque signe s’identifie à la lettre qu’il représente; il n’y a plus alors de référent externe. De même, dans les activités ludiques, l’homme construit fréquemment des systèmes qui n’ont d’autre référent qu’eux-mêmes : une pièce d’un jeu d’échec a-t-elle d’autre signification qu’elle-même? la danse, évidemment, participe de la formalisation (figures imposées) et du jeu (activité désintéressée). cette formule -un signifiant sans signifié extrinsèque- évoque évidemment la célèbre définition d’Emmanuel Kant: l’œuvre d’art comme objet pourvu d’une finalité sans fin. si on appelle « renvoi symbolique » l’association Signifiant –> Signifié, alors, lorsqu’ils coïncident, on peut prendre en quelque sorte la « dérivée » du renvoi symbolique comme support du sentiment esthétique. Autrement dit, l’ouvre d’art, objet concret, aurait un référent « abstrait » à savoir l’unité dynamique du champ générateur. ».

      Yu: « Merci à tous et je vous souhaite un été ensoleillé et une méditation inspirante ! ».

      Bonne méditation à toi aussi: inspirante (mais pas trop transpirante -en cas d’été trop ensoleillé-)

      1: PJ écrit p.291 de « Comment la vérité… »: « Ladrière écrit: « Les énoncés vrais sont les axiomes et les théorèmes » « . C’est une façon radicale de régler le problème : si on accepte ça alors le premier théorème d’incomplétude de Gödel est mis en défaut. Point-barre. PJ accepte-t-il le point de vue de Ladrière ? Druuh -qui a disparu de la circulation?-pense que oui dans son commentaire de ton article du 18 avril 2022 à 9 h 28 min:

       » Mr Jorion, le simple fait de m’avoir demandé dans le billet précédent des références à propos de « démontrable équivalent à vrai dans tous les modèles » montre votre méconnaissance totale de la logique mathématique, car ce résultat de base est bien connu de tous les étudiants du domaine en 2ème ou 3ème année d’université. Maintenant que vous savez cela, avez vous toujours un problème avec l’existence d’une formule « vraie dans N sans pour autant être démontrable dans Peano » ? « .

      2: Apologie du logos, p.127 et 128.

  24. Avatar de Yu LI
    Yu LI

    @BasicRabbit Merci pour ta proposition sur la méditation ensoleillé de transpirante à inspirante!

    J’ai passé une semaine en Corse, et j’ai fait un tour, de Batia, Bonifacio à Ajaccio !

    Tu as dit, « Pour moi la question « philosophique » posée par les théorèmes d’incomplétude de Gödel est de savoir si on peut tirer une connaissance objective (un théorème) d’une connaissance subjective liée à l’auto-référence (« je me mens »). On est là, à mon avis, dans ce que je considère comme le top de la métaphysique (l’étude de l’être en tant qu’être, selon Aristote). Je n’ai pas de réponse… ».

    La première question que j’ai soulevée dans mon article était le souhait de faire ce genre d’exploration :
    – Is the paradoxical proposition Q similar to the liar’s paradox an undecidable proposition in PM? 

    En descendant les escaliers qui mènent de la falaise vertigineuse de Bonifacio à la plage de Sutta Rocca, au pied de la cassure [1], je me suis rappelé la théorie des catastrophes de Thom :

    « […] l’essence de la théorie des catastrophes c’est de ramener les discontinuités apparentes à la manifestation d’une évolution lente sous-jacente. Le problème est alors de déterminer cette évolution lente qui, elle, exige en général l’introduction de nouvelles dimensions, de nouveaux paramètres. » 

    Dans le cas du théorème d’incomplétude de Gödel, la première chose à réaliser est que la distance entre le paradoxe du menteur et les problèmes indécidables des systèmes formels est une « falaise » que l’on ne peut pas sauter directement, mais que l’on doit construire un « escalier » qui transforme une « crise » en une « opportunité » !

    Gödel n’avait pas cette conscience à l’époque, et il a directement assimilé le Paradoxe du menteur au Problème indécidable, ce que nous pouvons constater dans la tragédie de sa vie, qui s’est malheureusement poursuivie depuis la publication de son article jusqu’à aujourd’hui.

    Notre proposition de relire l’article de Gödel aujourd’hui afin de sensibiliser à la crise humaine, pour laquelle nous devons, comme le suggèrent Thom, Paul et d’autres, introduire de nouvelles dimensions dans notre vision, ouvrir les barrières de notre pensée et chercher des réponses dans notre action commune, …

    Référence :
    [1] https://www.globe-trotting.com/post/falaise-bonifacio-corse

    1. Avatar de BasicRabbit

      Bonjour Yu,
      Je suis content de voir que tu a passé de bonnes vacances, que tu as vu Bonifacio et que tu es prête à reprendre avec moi le dialogue entamé sur le théorème d’incomplétude.
      Reprise retardée car je suis en mer pour quelques jours.
      Bien à toi en attendant,

  25. Avatar de Bischoff

    Bonjour Monsieur JORION,

    Je suis d’accord avec tout ce que vous avez dit sur la démonstration du théorème d’incomplétude de GÖDEL. Les logiciens formels, comme ils se nomment, ne comprennent pas la nécessité de distinguer le langage-objet d’une théorie logique (qu’ils appellent : un système formel) et le métalangage de celle-ci. GÖDEL commet l’erreur de ne pas effectuer ladite distinction, comme l’a soulignée votre collègue Yu LI. En effet, l’affirmation de la non-démontrabilité d’un énoncé G d’une théorie logique T est un énoncé sur un énoncé de T, en l’occurrence G ; ce nouvel énoncé H appartient donc au métalangage de T. Or, GÖDEL identifie, dans sa démonstration, G à H, alors que G appartient, par hypothèse, au langage-objet de T. Par conséquent, G ne peut pas être le miroir de H.
    Je vous remercie de m’avoir épargné le travail d’analyse du théorème d’incomplétude de GÖDEL, car le vôtre est pertinent et exact. Je tiens à préciser que je lis couramment l’allemand, et que je dispose de l’article original de GÖDEL de 1931.

    BISCHOFF Justin
    Statisticien appliqué, à la retraite

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