UNILOG 2022 – Gödel’s Incompleteness Theorem revisited, par Yu Li

Texte de l’article qu’a présenté samedi ma collègue Yu Li de l’Université de Picardie, au congrès Unilog 2022 qui se tenait à Chania en Crète.

Gödel’s Incompleteness Theorem revisited

– What is the undecidable problem?

 I would rather have questions that can’t be answered than answers that can’t be questioned. – Richard P. Feynman

Yu Li * * Laboratoire MIS, Université de Picardie Jules Verne, 33 rue Saint-Leu, 80090 Amiens, France 

  1. Introduction

In a famous article written in 1931 : «  On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I »  [1], Kurt Gödel claimed to have proved the incompleteness of the system reported in Principia Mathematica (i.e. Peano arithmetic), and by that answered negatively the Entscheidungsproblem (the « decision problem »), a challenge put forward by David Hilbert and Wilhelm Ackermann in 1928. 

The Entscheidungsproblem was originally expressed as « Determination of the solvability of a diophantine equation », i.e., the 10th of the 23 problems proposed by Hilbert in his lecture at the International Congress of Mathematicians in Paris in 1900 [2].  Church formulated the Entscheidungsproblem as : « By the Entscheidungsproblem of a system of symbolic logic is here understood the problem to find an effective method by which, given any expression Q in the notation of the system, it can be determined whether or not Q is provable in the system » [3] (Copeland 2004: 45).  If it is not possible to find such a method, some propositions would be regarded as « undecidable ». Such a realisation would then establish the incompleteness of Principia Mathematica (PM).

Gödel claimed that the PM system is incomplete, as it is possible to show at least one such undecidable proposition. As a proof, Gödel gave a paradox similar in nature to the Liars paradox: a proposition Q asserting about itself that it is unprovable.It is nowadays a commonly accepted view that Gödel proved the incompleteness of the PA system, thus revealing that truth is simply bigger than proof [4].

However, Gödel’s proof of the incompleteness theorem has been continuously challenged since its publication. Let us note that as early as 1936 the logician Chaïm Perelman had drawn the attention to the fact that there wasn’t anything more to Gödel’s demonstration than the generation of a paradox [5]; and the logician Wittgenstein held a similar view [6]. Paul Jorion, a former pupil of Perelman, has claimed in a different context [7] that Gödel’s proof is marred by several other errors, due to his disdain towards the tight or lax persuasive quality of the various steps in his demonstration. Ernst Zermelo stated in a letter to Gödel in 1931 that Gödel’s proof of the existence of undecidable propositions exhibits an « essential gap » [8]. Alan Turing alluded to the errors made by Gödel without mentioning his name and ventured to fix them in his article in 1936, entitled « On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem » [9].

Gödel’s thesis consists of three chapters: Chapter 1 outlines the main idea of the proof; Chapters 2 and 3 formalise the idea of Chapter 1. In this paper, I focus on Chapter 1, where I examine Gödel’s proof from the perspective of a dynamic process by considering the generation of hypotheses and the reasoning from hypotheses to conclusion as an organic whole, and analyze how Gödel constructed the paradoxical proposition Q. 

I try to point out that by confusing the proof of formula with the formula, Gödel’s proof becomes an infinite regress that would have made it impossible to construct any meaningful proposition. Unfortunately, Gödel did not realize this, but introduced improper presuppositions which allow to construct the paradoxical proposition Q. Moreover, he considered Q as an undecidable proposition that exists in PM.

II. The crux of Gödel’s proof

Gödel’s proof is framed by a proof by contradiction [1] (p. 17-19), which assumes that PM is complete, according to him it means that all formulas in PM or their negations are provable; in addition, all formulas in PM can be divided into classes offormulas (class sign) and be enumerated. Gödel then resorts to Cantor’s diagonal argument to construct a paradox similar in nature to the Liar’s paradox: a proposition Q asserting about itself that it is unprovable.

Gödel enumerates accordingly all classes of formulas in PM :

R(1) : [R(1), 1] [R(1), 2] [R(1), 3]… [R(1), n] …

R(2) : [R(2), 1] [R(2), 2] [R(2), 3]… [R(2), n] …

R(3) : [R(3), 1] [R(3), 2] [R(3), 3]… [R(3), n] …

R(4) : [R(4), 1] [R(4), 2] [R(4), 3]… [R(4), n] …

R(q) : [R(q), 1] [R(q), 2] [R(q), 3]… [R(q), q] … [R(q), n] …

R(n) denotes a class of formulas and [R(n), j] denotes the jth formula of R(n). Gödel takes the formulas on the diagonal: [R(1), 1] [R(2), 2] [R(3), 3] [R(4), 4]… [R(n), n], … derives the negations of them, and defines the formula class K, K = {n|Bew¬[R(n); n]}, while Bew x means that the formula x is provable. K is actually the set of the negations of [R(n), n], K = {¬[R(1), 1],¬[R(2), 2],¬[R(3), 3],¬[R(4), 4]… ¬[R(q), q],… }.

Gödel considers that the formula class K falls within the sequence of enumerated formula classes, say corresponding to R(q). Thus, on the one hand, [R(q); q] is the formula A on the diagonal, and on the other hand, it is the formula ¬Q in K. There is a paradox: Q = ¬Q, that is, the proposition Q says about itself that it is unprovable!

The gist of our argument below, is that there exist improper presuppositions inGödel’s proof.

III. An analysis of the proof of Gödel’s Incompleteness Theorem

At the beginning of the proof, Gödel unconsciously took proof of formula as formula, which led to an infinite regress; unfortunately, Gödel was not aware of this and introduced an improper presupposition, provable formulas, which led to the paradoxial proposition Q.

  1. Proof of a formula and formula: confusion of meta-language with object language

We consider a familiar instance :

Illustration 1. Proposition P: √2 is a rational number; its negation ¬P: √2 is not a rational number.

«  √2 is not a rational number »  (¬P) cannot be proved directly, but there exists the familiar proof by contradiction to prove that «  √2 is a rational number »  (P), thus ¬P is proved to be true indirectly.

Proof :

Assume that «  √2 is a rational number » , then √2 = p/q, where p and q are both positive integers and mutually prime;

p = √2 × q, 

p^2 = 2 × q^2,

p^2 is thus even and so is p, since only the even square of an even number is even.

Since p is even, we can regard p as being the double of s : p = 2 x s

Let’s substitute 2s to p in p^2 = 2 × q^2,

(2 x s)^2 =  2 × q^2

4 x s^2 = 2 × q^2

2 x s^2 = q^2

q^2 is thus even and so is q

p and q are even numbers, thus not mutually prime, contradicting the assumption that p and q are mutually prime;

Therefore, the assumption «  √2 is a rational number » is invalid, and «  √2 is not a rational number » has been proven.

P and ¬P are the formulas about the numbers themselves; while the proof by contradiction is about the provability of P and ¬P.

The relation between the formula  and the proof of formula is generally expressed as the relation between the object language and the meta-language. What is about mathematical objects and what is about the provability of formulas are two concepts completely different in nature but intrinsically related.

However, Gödel made such a claim with surprising imprudence: « Similarly, proofs, from a formal point of view, are nothing but finite sequences of formulae (with certain specifiable properties)». In this way, the formula and the proof of formula are confused.

2. A provable formula : infinite regress and improper presumption

As Gödel shows in the end of chapter 1, the provable formula is the key concept in his proof :

« The method of proof just explained can clearly be applied to any formal system that, first, when interpreted as representing a system of notions and propositions, has at its disposal sufficient means of expression to define the notions occurring in the argument above (in particular, the notion ‘provable formula’) and in which, second, every demonstrable formula is true in the interpretation considered. » [1] (p. 19).

What is the meaning of a « provable formula » in PM? 

From common sense, a provable formula means that there exists a valid proof of this formula, that is, the provable formula concerns the existence of the proof.

In illustration 1, the proposition « √2 is not a rational number » is a provable formula since there is a valid proof by contradiction for proving that √2 is not a rational number.

Since Gödel treats the proof of formula as the formula, the provable formula in PM means that the proof is provable in PM, that is, the validity of proof can be verified in PM, which leads to an infinite regress. Lewis Carroll’s fable « What the Tortoise Said to Achilles » provides an illustration of infinite regress [10].

Suppose that « P0 is provable », that implies that there exists  P1, the proof of P0, and since P1 is treated as a formula, « P1 is provable ». Similarly, « P1 is provable »  implies that there exists P2, the proof of formula P1, and «  P2 is provable », … and so on, resulting in an infinite regress (Figure 1). 

A proof of infinite regress cannot establish any conclusion, so the verification of the validity of proof in PM becomes problematic, then the existence of proof in PM becomes problematic, and the existence of provable formulas in PM becomes also problematic.

Consequently, Gödel cannot talk about the enumeration of classes of formulas, nor about the use of diagonal method to construct the paradoxical proposition Q in PM. In other words, the paradoxical proposition Q cannot be constructed in Gödel’s proof.

But Gödel constructed the paradoxical proposition Q after all, because he presupposed the verification of the validity of proof in PM, which made the provable formula an improper presupposition.

Russell gave a simple example of an improper presupposition in « On Denoting » : « the present king of France is bald. » [11] Whether this proposition is judged to be true or false, it presupposes the existence of the present King of France, who, however, does not exist.

IV. Conclusion

The brief analysis in this paper shows that there are improper presuppositions in Gödel’s proof that enable Gödel to construct the paradoxical proposition Q as evidence for the existence of undecidability problems of PM, and thus to conclude that PM is incomplete.

Therefore, taken as a whole, the actual formulation of Gödel’s incompleteness theorem is :

PM is incomplete, because there are undecidable problems similar to the liar’s paradox in PM.

Let’s remember what Bertrand Russell once wrote in a letter to Leon Henkin: « I realised, of course, that Gödel’s work is of fundamental importance, but I was puzzled by it. […] If a given set of axioms leads to a contradiction, it is clear that at least one of the axioms must be false » [1] (p. 90)

I hope to initiate a debate :

  1. Is the paradoxical proposition Q similar to the liar’s paradox an undecidable proposition in PM? 
  2. Is Gödel’s proof valid? If not, what is a valid proof for the incompleteness of PM?
  3. By revisiting Gödel’s incompleteness theorem today, what would be the insights for us from the perspective of epistemology? What would be the insights for solving the « P vs NP » problem, as well as some underlying theoretical problems of artificial intelligence, from the perspective of algorithm theory?

Reference :

[1] S.G. Shanker (ed.), Gödel’s Theorem in Focus, Croom Helm 1988, https://pdfslide.net/documents/godels-theorem-in-focus-philosophers-in-focus.html

[2] David Hilbert, Mathematical Problems, http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html

[3] Brian Jack Copeland, The EssentialTuring, http://www.cse.chalmers.se/~aikmitr/papers/Turing.pdf

[4] Casti, John L. & Werner DePauli, Gödel. A Life of Logic, Cambridge (Mass.) Perseus: 2000

[5] Jean Ladrière, Les limitations internes des formalismes. Etude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques, ed. Nauwelaerts-Gauthier-Villars, Leuven-Paris, 1957, pages 140 à 142

 [6] Kreisel, G. (1958). « Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics ». The British Journal for the Philosophy of Science. IX (34): 135–58. doi:10.1093/bjps/IX.34.135

[7] Paul Jorion, Comment la vérité et la réalité furent inventées (Gallimard 2009)

[8] NOTE Completing the Godel-Zermelo Correspondence, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086085900709

[9] Turing, A.M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society, 2 (published 1937), 42

[10] https://en.wikisource.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles

[11] https://en.wikipedia.org/wiki/On_Denoting

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325 réflexions sur « UNILOG 2022 – Gödel’s Incompleteness Theorem revisited, par Yu Li »

  1. J’ai pratiquement fini la lecture du chapitre 2 de l’article de Godel.

    Je suis surprise de voir que dans l’article de Godel ainsi que presque tous les articles qui parlent de la preuve du théorème d’incomplétude de Godel, aucun exemple n’est donné pour l’expliquer, et je ne le trouve pas normal, …

  2. Bonjour Yu Li. J’ai essayé de relire votre article un peu plus attentivement.

    1. Dans la lettre de Zermelo à Gödel que vous mentionnez, j’ai retenu :

    « In reality, the situation is quite different, and only after this prejudice has been overcome (a task I have made my particular duty) will a reasonable “metamathematics” be possible »,

    que j’interprète -peut-être abusivement- comme : il y a une imprécision dans votre preuve car vous utilisez un argument méta-mathématique. Par mon travail, je gomme cette imprécision en remplaçant « méta-mathématique » par « raisonnablement méta-mathématique ». Peut-être Zermelo veut-il dire ainsi que l’argument devient exclusivement mathématique dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel (ZF)? C’est en tout cas ce que je dis à PJ dans mon commentaire du 01/04 13h21.

    2. Dans la correspondance de Russell à Henkin que vous citez, le problème est pour moi de savoir si « pour chaque entier n, P(n) est vraie » équivaut ou non à « pour tout entier n, P(n) est vrai ». Je discute cette subtilité en mon commentaire du 01/04 8h46 (partie 4&5). (La formule G de Gödel vraie et non démontrable dans PA1 est de la forme ∀nH(n), H(n) étant vrai pour tout entier standard n.)

    Pour faire voir cette subtilité (la différence entre « pour chaque » (en puissance) et « pour tout » (en acte)) je propose l’exemple suivant : -dans un bureau de vote les votants votent sous le regard d’une caméra espion qui constate que chaque votant vote oui. Dans l’urne chaque enveloppe scellée contient donc « oui », mais un « oui » seulement en puissance, car, avant le dépouillement personne -autre que la caméra-espion- ne sait qu’il y a « oui » dans chaque enveloppe. C’est seulement après dépouillement que l’on sait que tous les votants ont dit « oui », ce « oui » étant alors acté par ceux habilités à rédiger ces actes (huissiers, notaires, officiers ministériels).

    Peut-être ce point est-il important pour valider ou invalider le théorème d’incomplétude? (Je n’ai pas de réponse.)
    .
    3. Si en 2 on interprète P(n) par « à l’étape n, Achille n’a pas rattrapé la tortue », alors j’ai bien peur que ce qui précède ne permette pas de résoudre le paradoxe de la course d’Achille, coursier « par récurrence ». René Thom, mathématicien, épistémologue à ses heures, ironise :

    « (…) peut-être faudra-t-il renverser l’interprétation traditionnelle des paradoxes des Eléates. Ce n’est pas le continu qui fait problème, mais bien le continu dans sa réalisation d’infini actuel, qui justifie l’infini
    dénombrable : car, n’est-ce pas, Achille finit par dépasser la tortue… ».

    4. À propos de la descente infinie. La preuve de l’irrationalité de racine carrée de 2 que vous proposez (due à Euclide?) n’est pas obtenue en supposant la rationalité vers une contradiction produite par une suite infinie « descendante », car la contradiction apparaît dès la deuxième étape. Voir (1) pour une preuve par descente infinie. Une autre preuve par descente infinie est due à Aristote (2); mais est-ce bien une preuve?

    « L’assertion d’Aristote est beaucoup plus forte, puisqu’il conclut que, sous l’hypothèse par l’absurde, les nombres impairs deviendraient pairs. Autrement dit il n’y aurait plus de nombres impairs. Et en conséquence, mais seulement dans un deuxième temps, plus de nombres du tout. ».

    1: https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie

    2: https://journals.openedition.org/philosant/2120#tocto2n2

    Bien à vous,
    BR

  3. @ Yu Li.

    À la fin de mon commentaire du 01/05 9h41 j’écrivais : « Ma question demeure. Peut-être Yu Li, très au fait du sujet, aura-t-elle l’amabilité de me répondre? ».

    Cette question se référait à mon commentaire du 30/04 11h39 :

    « Ma position actuelle -compte tenu du commentaire de PJ -est qu’il y a une peut-être une petite erreur dans le théorème de Gödel (très facile à confirmer ou infirmer), mais que cette erreur n’est pas dans la démonstration mais dans l’énoncé qui commence par quelque chose comme : « Si la théorie PA1 [P pour Peano, A pour Arithmétique, 1 pour premier ordre] est cohérente alors … » et qui doit être remplacé par l’énoncé « Si la théorie PA1 a un modèle alors… ». (Il suffit donc préciser ce qu’on entend par théorie cohérente. »

    1. J’ai pratiquement fini la lecture du deuxième chapitre du texte original de Gödel, et je suis presque certaine que la proposition « vraie mais indémontrable » construite par Gödel est au fond encore un paradoxe du menteur. Si ma lecture est correcte, alors cela suggère qu’il y a une grande erreur dans la preuve de Gödel plutôt que une petite erreur.

      Le chapitre 2 du texte original de Gödel semble difficile à lire, mais en fait, il n’est pas si difficile. Nous avons déjà beaucoup parlé de l’extérieur du théorème d’incomplétude de Gödel, nous devons maintenant nous pencher sur l’intérieur. Voulez-vous que nous (@Druuh et toutes les personnes intéressées) lisions ensemble le chapitre 2 ?

      1. @ Yu Li

        Je ne peux pas m’intéresser au chapitre 2 sans avoir lu le chapitre 1 et sans connaître l’énoncé original du théorème de Gödel par Gödel lui-même (en admettant qu’il ait été rédigé en anglais -car je ne lis pas l’allemand-). Or depuis que je suis en retraite je n’ai plus accès aux bibliothèques universitaires. Dans mon commentaire du 03/04 21h59 je vous demande seulement comment Gödel parle de la cohérence des théories auxquelles s’appliquent son théorème: cohérence syntaxique (non contradiction interne), cohérence sémantique (existence d’un modèle externe), cohérence sans autre précision.

        Ce que je fais là, je le fais pour vous aider. J’ai déjà écrit ici, à vous ou à PJ, que je n’étais plus intéressé depuis longtemps par la logique formelle en général, et donc par le théorème d’incomplétude en particulier. Ceci dit la philosophie analytique a toujours eu pour but d’éliminer les ambiguïtés du langage naturel et des principes à partir desquels on peut décider de la véracité d’une assertion formulée dans ce langage. Et cette philosophie a toujours de l’intérêt pour essayer de comprendre en quoi nous pouvons faire confiance à notre propre langage naturel (le chinois pour vous, le français pour moi)., langages qui contiennent des paradoxes : blanc-cheval-qui-n’est-pas-cheval, etc.

        Pour moi la réponse la plus profonde à cette question est celle donnée par Zermelo à Gödel (1): le théorème d’incomplétude appliqué à PA1 est correct dans ZF car, supposant ZF sémantiquement contradictoire (existence d’un modèle externe de ZF -où?-), alors on a l’existence d’un modèle standard de PA1 interne à ce modèle de ZF et l’énoncé de Gödel (restreint à PA1) est un théorème de ZF, théorie plus puissante que PA1.

        1: Voir votre note [8].

        Bien à vous,
        BR.

        1. Pour moi « presque » tout rentre dans ZF, le métalangage naturel devenant le langage de ZF et la méta-mathématique exprimée en langage naturel devient la méta-mathématique exprimée en langage de ZF, c’est-à-dire la mathématique pour les mathématiciens qui acceptent l’axiome de ZF postulant l’existence d’un ensemble infini. Ce que n’accepte peut-être pas PJ au vu de la réaction qu’il a vis-à-vis des oracles en théorie P vs NP…

          Le problème continue si on veut appliquer le théorème d’incomplétude à ZF (et non plus à PA1). Il faut, selon moi, nécessairement partir d’une théorie plus puissante que ZF dans laquelle on peut construire en interne un modèle de ZF : toute la théorie des grands cardinaux est motivée par le théorème d’incomplétude de Gödel. Et Patrick Dehornoy en était, selon moi, l’un des maîtres mondiaux;

        2. Merci pour tout !

          – Je ne peux pas m’intéresser au chapitre 2 sans avoir lu le chapitre 1 et sans connaître l’énoncé original du théorème de Gödel par Gödel lui-même.

          Je suis tout à fait d’accord ! Le chapitre 1 de l’article de Gödel est une présentation non formelle de son idée de la preuve, et le chapitre 2 est une formalisation de son idée de la preuve, donc le premier chapitre est très important à lire !

          La critique de Gödel par Zermelo est très poussée ! Dans sa lettre, Zermelo interroge explicitement sur l’existence du « problème indécidable » (vrai mais indémontrable) construit par Gödel dans le « système » de Gödel.

          La lettre de Zermelo n’est pas longue, et je la cite ici :

          ****
          Dear Mr. Godel,

          I am sending you, enclosed, a proof-sheet of my Fundumenta paper, and I would be pleased if I might count you among the few who have at least tried to take up the ideas and methods developed there and make them fruitful for their own research. While I was engaged in preparing a short abstract of my Elster lecture, in the course of which I had also to refer to yours, I came subsequently to the clear realization that your proof of the existence of undecidable propositions exhibits an essential gap. In order to produce an “undecidable” proposition, you define on page 178 a “class sign” (a propositional function of one free variable) S = R(q), and then you show that neither [R(q);q] = A nor its negation ¬A would be “provable.” But does

          S = Bew¬[R(n);n]

          really belong to your “system,” and are you justified in identifying this function with R(q), just because it is a “class sign “? I know that later on there follows a detailed theory of “class signs,” but for a critique the following consideration suffices here: in your formula (1), let the sign combination “Bew” be omitted and write instead

          n in K* = ¬[R(n);n] = S*

          If you then once more set S*=R(q*), it follows that the proposition

          A* = R(q*; q*)

          can be neither « true » nor « false »; that is, your assumption leads to a contradiction analogous to Russell’s antinomy. Just as in the Richard and Skolem paradoxes, the mistake rests on the (erroneous) assumption that every mathematically definable notion is expressible by a “finite combination of signs” (according to a fixed system!)-what I call the “finitistic prejudice.” In reality, the situation is quite different, and only after this prejudice has been overcome (a task I have made my particular duty) will a reasonable “metamathematics” be possible. Correctly interpreted, precisely your line of proof would contribute a great deal to this and could thereby render a substantial service to the cause of truth. But as your “proof” now stands, I cannot acknowledge it as binding. I wanted to impart this to you early on, to give you time to check it over.

          With best regards

          E. Zermelo

          ****
          Je pense que la question de Zermelo rejoint ce que je souhaite à éclaircir le sen de « vrai » dans notre discussion (Yu LI 25 AVRIL 2022):

          À mon avis, le terme « vrai » a deux significations :
          1, au sens existentiel : réel (vrai) et imaginaire
          2, au sens de la valeur de vérité : vrai et faux

          P.S.:
          1. La traduction en anglais de l’article de Gödel:https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf
          2. La lettre de Zermelo:https://www.sciencedirect.com › science › article › pii › pdf

          1. J’ai donné ma position -la même que celle de Zermelo je crois- dans mon commentaire de 04/04 5h41:

            « Pour moi la réponse la plus profonde à cette question est celle donnée par Zermelo à Gödel (1): le théorème d’incomplétude appliqué à PA1 est correct dans ZF car, supposant ZF sémantiquement contradictoire (existence d’un modèle externe de ZF -où?-), alors on a l’existence d’un modèle standard de PA1 interne à ce modèle de ZF et l’énoncé de Gödel (restreint à PA1) est un théorème de ZF, théorie plus puissante que PA1. ».

            Aussi je réitère ma question posée dans mon commentaire du à laquelle vous devez avoir une réponse immédiate puisque vous avez en permanence sous les yeux l’énoncé original par Gödel du théorème d’incomplétude. La question est: Gödel parle-t-il de cohérence syntaxique (cohérence interne), de cohérence sémantique (cohérence externe -où?- ou de cohérence sans préciser. Pour moi il doit s’agir de cohérence sémantique, et le modèle « standard » de PA1 doit être celui construit dans ZF, et le théorème de Gödel est alors (pour PA1 uniquement) un théorème de ZF. J’imagine que Gödel est très conscient de ça parce qu’il connaît bien le modèle « standard » de ZF, à savoir le sous-modèle des ensemble constructibles.

            Bien à vous,
            BR.

            1. Je ne pense pas que Zermelo conteste l’affirmation de Gödel concernant l’incomplétude de PA ou ZF, parce qu’il y a effectivement des « problèmes indécidables » dans PA ou ZF, comme le théorème de Goodstein qui est indécidable dans PA, et la conjecture de Collatz (qui jusqu’à présent peut être considérée comme un « problème potentiellement indécidable » dans PA ou ZF).

              La critique de Zermelo porte plutôt sur la validité de la preuve de Gödel, arguant qu’il existe un « essential gap » dans la preuve de Gödel. Si le défi de Zermelo est valable, alors ça signifie que « l’incomplétude du système formel » n’a pas été prouvée par Gödel, …

              1. @Yu Li. Dans ZF l’hypothèse du continu est indécidable (Gödel 1938 et Cohen 1963).

                Mais pourquoi ne répondez-vous pas à ma question (que je vous pose -ainsi qu’à PJ- pour la deux ou troisième fois)? La question est: dans l’énoncé original de son théorème d’incomplétude que vous avez sûrement sous les yeux, Gödel parle-t-il -à propos de PA1 ou de ZF pour fixer les idées- de cohérence syntaxique (cohérence interne), de cohérence sémantique (cohérence externe c’est-à-dire existence d’un modèle -où?-) ou de cohérence sans préciser.
                Pour moi, s’il s’agit de cohérence syntaxique, alors il y a peut-être là un « essential gap »: c’est, je crois, le point de vue que défend PJ, lorsqu’il martèle qu’il doit y avoir deux niveaux de langage, l’un « méta » par rapport à l’autre.

                PS: Bien que je sois pas du tout intéressé par l’arithmétique, je sais qu’il y a une quantité des conjectures d’arithmétique du type de celles de Polya (conjecture résolue, je l’apprends ici) ou de Collatz. Je pense qu’ici -sur ce blog- il faut se concentrer sur le théorème d’incomplétude de Gödel et sur ce qui peut intéresser les épistémologues (professionnels -ou amateurs comme PJ-). Je trouve que vous mélangez un peu tout.

                Bien à vous,
                BR

                1. Gödel a formulé « Théorème d’Incomplétude de Gödel » comme Proposition VI au Chapitre 2 de son article. (https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf)

                  Concernant sa preuve, je donne ici juste une brève description de l’idée de la preuve « magique » par Gödel, basée sur ce que j’ai compris jusqu’à présent, et j’ai besoin encore plus de temps pour la comprendre davantage.

                  D’abord, Gödel définit l’énoncé mathématique Q(x, y) :
                  Q(x, y) ≡ ¬{x Bc[Sb(y  19⁄Z(y) )]} 

                  Q(x, y) exprime : « x ne peut pas prouver y(y) ».

                  Ensuite, par la technique de substitution basée sur le codage de Gödel et des propriétés des fonctions récursives établies par Gödel, Gödel transforme « x ne peut pas prouver y(y) » en « Q ne peut pas prouver Q(Q) ».

                  Enfin, par la définition de la ω-consistance de Gödel, Gödel montre que Q est une « proposition indécidable » : Q et ¬Q sont toutes deux indémontrables. Ainsi, Gödel transforme le « paradoxe du menteur » en « théorème », …

                  Vous demandez : dans l’énoncé original de son théorème d’incomplétude que vous avez sûrement sous les yeux, Gödel parle-t-il -à propos de PA1 ou de ZF pour fixer les idées- de cohérence syntaxique (cohérence interne), de cohérence sémantique (cohérence externe c’est-à-dire existence d’un modèle -où?-) ou de cohérence sans préciser.

                  Je cite l’énoncé de Proposition VI et une explication de Gödel à la fin de Chapitre 2.

                  1. Proposition VI (p.57)

                  The general result as to the existence of undecidable propositions reads:

                  Proposition VI: For every ω-consistent recursive class c of formulae there correspond recursive class-signs r, such that neither v Gen r nor Neg (v Gen r) belongs to Flg(c) (where v is the free variable of r).

                  2. Une explication de Gödel à la fin de Chapitre 2 (p.62)

                  In the proof of Proposition VI the only properties of the system P employed were the following:

                  1. The class of axioms and the rules of inference (i.e. the relation “immediate consequence of ”) are recursively definable (as soon as the basic symbols are replaced in any fashion by natural numbers).
                  2.Every recursive relation is definable in the system P (in the sense of Proposition V).

                  Hence in every formal system that satisfies assumptions 1 and 2 and is ω-consistent, undecidable propositions exist of the form x∀ F(x), where F is a recursively defined property of natural numbers, and so too in every extension of such a system made by adding a recursively definable ω-consistent class of axioms. As can be easily confirmed, the systems that satisfy assumptions 1 and 2 include the Zermelo-Fraenkel and the v. Neumann axiom systems of set theory, and also the axiom system of number theory which consists of the Peano axioms, the operation of recursive definition [according to schema (2)] and the logical rules. Assumption 1 is in general satisfied by every system whose rules of inference are the usual ones and whose axioms (like those of P) are derived by substitution from a finite number of schemata.

                  1. Je cite encore le premier paragraphe du Chapitre 2 pour clarifier le contexte de la preuve de Godel :

                    – We proceed now to the rigorous development of the proof sketched above, and begin by giving an exact description of the formal system P for which we seek to demonstrate the existence of undecidable propositions. P is essentially the system obtained by superimposing on the Peano axioms the logic of PM (numbers as individuals, relation of successor as undefined basic concept).

                2. J’ai des questions :
                  1. cohérence = consistance ?
                  2. Pouvez-vous expliquer avec un exemple : qu’est-ce que la cohérence syntaxique (cohérence interne), la cohérence sémantique (cohérence externe) ?

                    1. Votre question sur la cohérence est très importante ! Gödel utilise la « ω-consistance » dans sa preuve, qui est l’une des clés de sa preuve.

                      Dans sa preuve de la proposition 6, Gödel explique la ω-consistance comme suit :

                      ******
                      Let c be any class of formulae. We denote by Flg(c) (set of – consequences of c) the smallest set of formulas which contains all the formulae of c and all axioms, and which is closed with respect to the relation “immediate consequence of ”. c is termed ω-consistent, if there is no class-sign a such that:

                      (n)[Sb(a  v⁄Z(n) ) ∈ Flg(c)] & [Neg(v Gen a)] ∈ Flg©

                      where v is the free variable of the class-sign a.

                      Every ω-consistent system is naturally also consistent. The converse, however, is not the case, as will be shown later.

                      ******
                      Ma compréhension préliminaire de la formule ci-dessus est que :
                      Tout a(n) peut être prouvé dans c, alors que pour tout n, a(n) ne peut être prouvé dans c. Lorsque cela se produit, Gödel dit que le système n’est pas « ω-consistant ».

                      Ma question est :
                      – selon la distinction entre la cohérence syntaxique et la cohérence sémantique,  » ω-consistant  » est plutôt une cohérence sémantique ?

                    2. Bonjour Yu Li,

                      J’ai commencé à parcourir l’article de Gödel dont vous m’avez envoyé le lien. J’essaye de lire la traduction anglaise de son article -je pratique mal l’anglais et, surtout, je suis incapable de penser en anglais (j’ai déjà du mal en français…)-. Je défriche l’article !avec l’idée que Gödel voulait montrer la supériorité de la démontrabilité sur la vérité (idée que l’on retrouve jusqu’à la fin de sa vie où il a cherché à démontrer l’existence de Dieu), et je remarque dans ce sens que, en fin d’introduction, le traducteur en anglais du texte allemand répertorie les symboles que Gödel utilise pour représenter les concepts méta-mathématiques qu’il utilise et que les concepts de vérité et de vrai n’y figurent pas.

                      Je suis d’accord avec votre 09/05 11h20 : la notion de ω-cohérence est importante. Dans (1) il est écrit (en français…):

                      « D’un point de vue sémantique, dans la définition ci-dessus le n fait référence à un entier standard, qui renvoie à un entier « ordinaire » (un entier du méta-langage dans lequel on raisonne sur la théorie) ».

                      Un adage français dit: « Chassez le naturel il revient au galop! ». Une variante pour Gödel -variante qui ne déplaira peut-être pas à PJ-: « Chassez le méta-langage, il revient au galop? ».

                      Bien à vous,
                      BR.

                      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_om%C3%A9ga-coh%C3%A9rente

  4. Je voudrais présenter la conjecture de Polya en rapport avec le code de Gödel, qui nous permet de méditer plus profondément sur des concepts tels que la vérité, la réalité et la démontrabilité etc.

    Conjecture de Pólya

    La conjecture de Pólya a été proposée par le mathématicien hongrois George Pólya (1887 – 1985) en 1919.

    Pendant longtemps, on a cru que la conjecture de Polya était correcte. Ce n’est qu’en 1958 que Haselgrove a prouvé théoriquement l’existence d’un nombre infini de contre-exemples.

    En 1960 Lehman a trouvé un contre-exemple concret : 906 180 359, réfutant ainsi la conjecture de Polya.

    La conjecture de Pólya énonce que pour tout entier n supérieur à 2, si l’on divise les entiers naturels inférieurs ou égaux à n (en ne comptant pas 0) entre ceux qui ont un nombre impair de facteurs premiers et ceux qui en ont un nombre pair, alors le premier ensemble a plus (ou autant) d’éléments que le second.

    Il faut noter que les facteurs premiers sont comptés autant de fois qu’ils sont répétés. Ainsi, 18 = 21 × 32 a 1 + 2 = 3 facteurs premiers, alors que 17 = 17^1 a 1 facteur premier.

    Par exemple :

    18 = 2^1 × 3^2 : 3 prime factors i.e. an odd number
    17 = 17^1 : 1
    16 = 2^4 : 4
    15 = 3 x 5 : 2
    14 = 2 x 7: 2
    13 = 13 : 1
    12 = 2^2 x 3 : 3
    11 = 11 : 1
    10 = 2 x 5 : 2
    9 = 3^2 : 2
    8= 2^3 : 3
    7 = 7 : 1
    6 = 2 x 3 : 2
    5 = 5 : 1
    4 = 2^2 : 2
    3 = 3 : 1
    2 = 2 : 1

    L’ensemble des entiers naturels qui ont un nombre impair de facteurs premiers :
    18, 17, 13, 12, 11, 8, 7, 5, 3, 2 : 10
    L’ensemble des entiers naturels qui ont un nombre pair de facteurs premiers :
    16, 15, 14, 10 9, 6, 4, 1 : 8

    Référence :
    https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_conjecture

  5. @Yu Li. Si vous êtes plus intéressée par l’épistémologie et la philosophie des sciences que par la technique (ce que je crois), alors il faudra que vous alliez regarder du côté de la théorie des ensembles (ZFC), et en particulier du coté de la théorie des grands cardinaux (en rapport quasi-direct avec le théorème d’incomplétude)

    En philosophie occidentale, il y a la célèbre injonction de Socrate: « Connais-toi toi-même ». Dans ZFC cette introspection est impossible: il n’y a pas d’injection élémentaire stricte d’un modèle de ZFC dans lui-même. Mais en rajoutant l’hypothèse de cardinaux de plus en plus grands (les cardinaux de Laver sont actuellement les plus grands(?)), c’est-à-dire en complétant ZFC de plus en plus, on approche de plus en plus cette introspection.

    Patrick Dehornoy était l’un des spécialistes du sujet : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLV.pdf (les repères chronologiques et le résumé du chapitre sont à la fin).

  6. @BasicRabbit Un adage français dit: « Chassez le naturel il revient au galop! ».

    Il existe un adage similaire en chinois: « 江山易改,本性难移 »(Il est facile de changer les rivières et les montagnes, mais difficile de changer le naturel).

    Le théorème d’incomplétude de Gödel, résultat si important, existe depuis de nombreuses années, mais il est difficile de voir Gödel engager un dialogue direct avec les gens au sujet de sa thèse de son vivant. Il est remarquable que Zermelo ait lancé un dialogue constructif avec Gödel en 1931, qui s’est malheureusement terminé peu après par Gödel, comme le commente le wiki (https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems#Criticisms):

    – In September 1931, Ernst Zermelo wrote to Gödel to announce what he described as an « essential gap » in Gödel’s argument. In October, Gödel replied with a 10-page letter, where he pointed out that Zermelo mistakenly assumed that the notion of truth in a system is definable in that system (which is not true in general by Tarski’s undefinability theorem). But Zermelo did not relent and published his criticisms in print with « a rather scathing paragraph on his young competitor » (Grattan-Guinness, pp. 513). Gödel decided that to pursue the matter further was pointless, and Carnap agreed (Dawson, p. 77). Much of Zermelo’s subsequent work was related to logics stronger than first-order logic, with which he hoped to show both the consistency and categoricity of mathematical theories.

    Je pense que la preuve de Gödel comporte trois ingrédients importants : le méta-langage, les fonctions récursives et la ω-cohérence. On ne peut éviter des discussions de ces concepts : Chassez le naturel il revient au galop, …

    1. @Yu Li. Pour moi on voit bien où et comment intervient la ω-consistance dans la remarque de la fin de la page 300 de (1):

      « Dans la démonstration ci-dessus |4.4.4 (et 4.4.5 dans le cas particulier où T=PA1)], la dissymétrie entre ∆ et ¬∆ provient de l’impossibilité de passer directement de T ⊢ Prouvable T ( ‘Φ’ ) à T ⊢ Φ, forçant à utiliser l’hypothèse, a priori plus forte, que T est ω-consistante. En effet, la relation T ⊢ PreuveT(S’Φ’0,Sp0) pour un entier (standard) p implique T ⊢ Φ, mais la relation T ⊢ ∃ y (PreuveT(S’Φ’0,y)), elle, ne garantit pas l’existence d’un tel entier : ».

      (Pour moi utiliser le théorème de complétude permet de voir apparaître sémantiquement (une « vraie » preuve nécessite que ‘Φ’ soit un entier standard) des difficultés très difficiles à voir syntaxiquement.)

      Pour moi on voit dans cette démonstration la différence de niveau de langage qui permet de transformer un paradoxe (celui du menteur) en un théorème (explication ci-dessus complétée par la fin de la remarque p.301), levant (à mon avis…) l’objection majeure de PJ.

      1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

  7. @BasicRabbit

    “Je défriche l’article avec l’idée que Gödel voulait montrer la supériorité de la démontrabilité sur la vérité (idée que l’on retrouve jusqu’à la fin de sa vie où il a cherché à démontrer l’existence de Dieu)”

    Mais dans le livre de Casti & DePauli, il a dit « What Gödel discovered is that even if there exist true relations among pure numbers, the methods of deductive logic are just too weak for us to be able to prove all such facts. In other words, truth is simply bigger than proof » (voir l’article de Paul dans ce blog).

    Qu’a dit Godel ? Que pense-t-on qu’il ait dit ?

    Il me semble que la meilleure façon de savoir ce que Godel a dit réellement est de lire son texte original.

    « J’ai commencé à parcourir l’article de Gödel dont vous m’avez envoyé le lien. » Bravo!

    1. Yu Li: « Il me semble que la meilleure façon de savoir ce que Gödel a dit réellement est de lire son texte original ».

      C’est votre problème (et celui de PJ) de savoir si l’énoncé et la démonstration « historique » de Gödel sont corrects. Ce qui m’intéresse à la rigueur c’est de savoir si les théorèmes d’incomplétude actuels -dans lesquels les hypothèses ont été beaucoup affaiblies et les démonstrations beaucoup simplifiées et clarifiées- sont corrects. J’ai tendance à croire que la réponse à cette question est oui, et que les différences entre démontrabilité et vérité, et entre langage et méta-langage, sont maintenant bien comprises en logique formelle.

  8. @ Druuh. J’ai dit à Yu Li tout ce que je pouvais dire sur le sujet (et je vois que je commence à radoter). À vous de prendre le relais :

     » 30 avril 2022 à 14 h 32 min
    Chers tous,
    je vais prendre le temps nécessaire pour lire tout ceci. Mes activités professionnelles m’engloutissent en ce moment, je mettrai donc peut être quelques jours. Je pense en effet que le dialogue de sourds qui s’est instauré entre moi et vous Mr Jorion est en partie dû au fait que je n’ai pas suffisamment essayé de comprendre votre point de vue, ce que je vais m’efforcer de faire mieux maintenant. » .

    @PJ. À vous aussi de prendre le relais quand vous serez remis sur pied(s?):

     » 1 mai 2022 à 19 h 33 min
    N’interprétez pas mon silence relatif dans les jours qui viennent pour du désintérêt ».

    1. « Chassez le naturel il revient au galop!  »

      Je trouve que cet adage exprime parfaitement une esprit selon lequel il ne faut pas essayer de changer les idées des gens.

      Ainsi, lorsque nous échangeons des idées, il ne s’agit pas de changer les idées de l’autre, mais de prendre conscience de ce que nous ne voyons pas et de nous compléter.

      Nous avons eu des dialogues tellement riches jusqu’à présent, et je le trouve génial ! N’hésitez pas à faire une retraite.

      1. Yu Li : « N’hésitez pas à faire une retraite. ».

        Notre Napoléon, empereur des français -autoproclamé et autocouronné- a fait une piteuse retraite de Russie. Après un séjour à l’île d’Elbe il a fait un retour (« Les Cent jours ») qui s’est achevé à Waterloo où la coalition européenne l’a contraint de se retirer définitivement à l’île de Sainte Hélène.

        En français retour et retraite n’ont pas le même sens…

        1. Par « retraite », j’entends une retraite spirituelle, c’est-à-dire une retraite réguliere et suffisante de notre vie quotidienne afin de nous recentrer et de répondre aux besoins profonds de notre esprit.

          1
          1. Ce « retour » n’était pas forcément celui qu’attendait Basic Rabbit dans sa retraite …

            Mais on ne va pas chinoisé .

            1. @ Juannessy. Bonjour (ça fait une paille).

              1. Exact: je n’avais pas pensé à ce genre de retraite.

              2. En français, quand deux verbes se suivent, on met -en général- le second à l’infinitif. N’oublions pas que nous sommes lus par une chinoise.

              1. Vous avez raison , et à ma courte honte , j’ai perdu la face devant Yu Li .

                Je fais une retraite de 8 jours pour la retrouver .

                    1. Et il en manque une sur « re traite » , que j’ai suggérée en parlant d e reblochon , de « re blocher », soit traire une seconde fois les vaches , cette astuce qu’avaient trouvé les paysans savoyards pour se faire un petit complément de ressource qui échappait aux calculs du seigneur .

                      @Yu Li : Bonjour et pardon pour les petites facéties échangées avec Alice Basic Rabbit , mais je suis émerveillé que vous ayez pu « sentir » et « comprendre  » la moitié de nos jeux de mots , ce que l’on appelle  » co naître  » ( Zhidào ?)

                      Je n’ai plus ( et n’ai jamais vraiment eu dans mes vies antérieures ) la capacité de suivre vos riches et fructueux échanges avec BasicRabbit et Paul Jorion . C’est la faute à un professeur de physique de mathématiques spéciales qui au début des années 1960 avait pour coutume de donner un premier devoir ( costaud ) qu’il annonçait noter comme ça le valait vraiment , le seul de l’année où la note serait juste , à l’aune de la rigueur que les sciences exigent .

                      Je me souviens que le problème portait sur la fameuse relation d’Einstein E = € MC2 (  » euro pour epsilon …) , et les équations aux dimensions , ainsi que sur le choix des unités importantes des grandeurs physiques . Je m’étais passionné pour le sujet , et j’avais passé le samedi et le dimanche sur mon devoir en rendant presque une quinzaine de pages grand format .

                      Nous étions 33 élèves en classe .Lors de la restitution des devoirs les notes s’échelonnaient entre  » 5 /20 « et  » – 35/20″.
                      Pour ma part j’avais la cinquième meilleure note avec 0,5/ 20 , et une appréciation dont je me souviens encore :  » peut être doué pour la métaphysique , mais pas pour la physique « . Il m’a bien fallu deux semaines pour m’en remettre , sans me décourager de poursuivre mes études .Aujourd’hui , les parents d’élèves demanderaient la révocation du professeur, mais on avait la peau plus dure et la formation plus spartiate , à cette époque .

                      C’est ce qui m’a permis de me cantonner aux mathématiques appliquées plus qu’aux mathématiques pures , et me permet de saluer le bonheur de votre heureuse présence sur le blog .

                      1
        2. @Basic Rabbit:

          ça m’avait aussi paru bizarre .

          Signé: un retraité de retour , mais qui , bien que savoyard d’adoption , n’aime pas le  » reblochon » .

          ( mais ça doit encore être dans la relation entre métalangage et langage objet )

  9. Pour la route…

    « Le vrai, le faux, l’insignifiant » par Alain Chenciner (1). À parcourir, en particulier le paragraphe 5 intitulé « Du faux lorsqu’il se révèle fécond. »

    Paragraphe applicable à Gödel ?

    Wikipédia : « Ainsi, cette recherche de démonstrations de cohérence, apparemment rendue vaine par les théorèmes d’incomplétude, fut au contraire extrêmement fructueuse en posant les bases de la théorie de la démonstration moderne. » (2) ;

    Gaspard des montagnes : « … de mon point de vue il n’y a que 2 types de problème : ceux que l’on a déjà résolus et ceux que l’on devra résoudre dans le futur, évitons de mettre des verrous sur des portes que l’on a pas encore vu, pu ou su ouvrir. Et comme disait Mark Twain « Ils ne savaient pas que c’était impossible, alors ils l’ont fait. » (3) .

    1: https://perso.imcce.fr/alain-chenciner/Vrai_faux_insignifiant.pdf

    2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del#G%C3%A9n%C3%A9ralisations_et_conjectures

    3: https://www.pauljorion.com/blog/2022/05/07/video-p-vs-np-problemes-solubles-et-insolubles/

  10. Comme nous avons discuté, la « ω-consistance » est l’une des clés de la preuve de Godel.

    Je voudrais parler de mon questionnement préliminaire sur ce concept : la ω-inconsistance existe-t-elle en logique mathématique ?

    1, « ω-consistance » de Godel (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_om%C3%A9ga-coh%C3%A9rente, voir aussi BasicRabbit 10 MAI 2022 )

    En logique mathématique une théorie arithmétique est appelée théorie ω-cohérente quand, pour toute propriété P des nombres entiers que l’on peut exprimer dans le langage de la théorie,

    si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie (∀x P(n)), alors ¬∀x P(x) n’est pas démontrable dans la théorie (∃x ¬P(n)).

    2. ω-consistance et logique mathématique

    Il est bien connu qu’en logique mathématique, lorsqu’une proposition est prouvée vraie, cela implique que sa négation est prouvée fausse ; inversement, lorsqu’une proposition est prouvée fausse, cela implique que sa négation est prouvée vraie. C’est-à-dire qu’en ce qui concerne l’existence d’une preuve d’une proposition, la démontrabilité de P et ¬P est cohérente.

    J’utilise deux exemples pour illustrer mon propos.

    Exemple 1 (voir mon article dans ce blog)

    P: √2 is a rational number.
    ¬P: √2 is not a rational number.

    « √2 is not a rational number » (¬P) cannot be proved directly, but there exists the familiar proof by contradiction to prove that « √2 is a rational number » (P), thus ¬P is proved to be true indirectly.

    Cela montre que la démontrabilité de P et ¬P est cohérente.

    Exemple 2:La conjecture de Pólya (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_conjecture)

    De façon équivalente, la conjecture peut être formulée avec la fonction de Liouville de la façon suivante :

    L(n) = ∑ (k=1, n) λ(k)^≤ 0, pour tout n > 1.

    Ici, λ(k) = (−1)Ω(k) vaut 1 si le nombre de facteurs premiers de l’entier k est pair, et -1 s’il est impair. La fonction Ω compte le nombre total de facteurs premiers d’un entier.

    Par exemple, L(18) = 8-10 = -2 (voir Yu LI 7 MAI )

    La conjecture de Pólya (∀n L(n))a été prouvé fausse (réfutée) par C. Brian Haselgrove en 1958: ¬∀n L(n); autrement dit, il existe des contre-exemples, par exemple, pour n = 906 150 257, L(n) est faux: ∃x ¬L(n).

    Pour chaque entier n, L(n) est démontrable (comme faux) dans PA1, alors ¬∀x L(n) (∃x ¬L(n)) est aussi démontrable (comme true) dans PA1.

    Cela montre aussi que la démontrabilité de ∀x L(n) et ¬∀x L(n) est cohérente.

    Puisque, la démontrabilité de P et ¬P en logique mathématique est naturellement cohérente, cela a-t-il un sens de proposer la ω-consistance ? En d’autres termes, la ω-inconsistance existe-t-elle en logique mathématique ?

    1. @ Yu Li.

      1. Vous écrivez: « Il est bien connu qu’en logique mathématique, lorsqu’une proposition est prouvée vraie, cela implique que sa négation est prouvée fausse. ». Je présume qu’une proposition -disons P- prouvée vraie est pour vous synonyme de P est un théorème (d’une théorie, disons PA1 pour fixer les idées) et que non P prouvée fausse est pour vous synonyme de non P n’est pas un théorème.

      Pour moi ce que vous écrivez n’est pas bien connu en logique mathématique; car c’est l’une des définitions possibles de la cohérence d’une théorie: il n’existe pas d’énoncé P tels que P et non P soient toutes les deux des théorèmes.

      2 Vous écrivez : « En logique mathématique une théorie arithmétique est appelée théorie ω-cohérente quand, pour toute propriété P des nombres entiers que l’on peut exprimer dans le langage de la théorie, si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie (∀x P(n)), alors ¬∀x P(x) n’est pas démontrable dans la théorie (∃x ¬P(n)). ».

      Attention! Le fait que P(n) soit démontrable (disons dans PA1) pour tout entier standard n n’implique pas nécessairement (si on accepte comme correct le théorème d’incomplétude…) que l’énoncé ∀x P(x) soit lui aussi démontrable dans PA1: l’énoncé G de Gödel non démontrable dans PA1 est de la forme ∀x P(x) alors que les énoncés P(n) sont démontrables dans PA1 pour tout entier standard n.

      (Relire le paragraphe « Existence de théories cohérentes mais ω-incohérentes » de https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_om%C3%A9ga-coh%C3%A9rente .)

      Bien à vous,
      BR.

      1. @ Yu Li.

        Nous n’avons pas la même idée de ce qu’est la cohérence d’une théorie. Vous écrivez :

        « Exemple 1 (voir mon article dans ce blog)

        P: √2 is a rational number.
        ¬P: √2 is not a rational number.

        « √2 is not a rational number » (¬P) cannot be proved directly, but there exists the familiar proof by contradiction to prove that « √2 is a rational number » (P), thus ¬P is proved to be true indirectly. » ,

        et vous concluez :

        « Cela montre que la démontrabilité de P et ¬P est cohérente. » .

        En fait, dans votre article, vous refaites l’une des preuves classiques de ¬P. Mais vous ne dites rien sur P dont, peut-être un jour à venir, on trouvera une démonstration … qui impliquera que PA1 est incohérente.

        Vous me direz que PA1 est cohérente parce que, par le théorème de complétude de Gödel, celle-ci a un modèle. Mais ce modèle est construit dans le cadre -plus large- d’un modèle de PM ou de ZF, théories également supposées cohérentes mais dont, peut-être un jour à venir, on prouvera l’incohérence. L’existence de ce modèle exige de postuler l’existence d’un ensemble infini « en acte » (en pas seulement « en puissance ») (2).

        Dans l’article que vous m’avez fourni (1) l’hypothèse de ω-cohérence est pour Gödel suffisante pour prouver sa proposition VI (et donc son théorème). En fait on sait maintenant que l’hypothèse de cohérence simple est suffisante (et évidemment nécessaire).

        1: https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf

        2: René Thom : « En plaquant ainsi sur le monde l’infini mathématique, l’homme ne fait-il pas preuve de la même présomption inconsciente que le magicien primitif qui commandait aux Dieux… ? ».

        1. Vous dites :
          – En fait, dans votre article, vous refaites l’une des preuves classiques de P (la démonstration par absurde). Mais vous ne dites rien sur ¬P dont, peut-être un jour à venir, on trouvera une démonstration … qui impliquera que PA1 est incohérente.

          Par exemple, un jour à venir, on trouvera une démonstration (¬P: « √2 is irrational ») (voir https://gowers.wordpress.com/2010/03/28/when-is-proof-by-contradiction-necessary/) :
          – We begin by calculating the continued-fraction expansion of √2. We find that √2=1+(√2-1)=1+1/(√2+1). The denominator of the fraction is (√2+1) = 2+(√2-1)=2+1/(√2+1), so we see that the continued-fraction expansion repeats itself, and, in one reasonably standard notation, is [1;2,2,2,…]. In particular, it is infinite. Therefore,  is irrational.

          Cette démonstration prouve toujours que « √2 is irrational » (¬P), qui n’impliquera pas que PA1 est incohérente comme dit Godel, mais au contraire, PA1 est toujours cohérente, …

          1. Je pense que les fameux commentaires de Wittgenstein sur le théorème d’incomplétude de Gödel concernent aussi ce sujet (https://en.wikipedia.org/wiki/Remarks_on_the_Foundations_of_Mathematics) :
            – If one assumes that P is provable in PM, then one should give up “¬P is not provable in PM”.

            Just as we can ask, “ ‘Provable’ in what system?,” so we must also ask, “ ‘True’ in what system?” “True in Russell’s system” means, as was said, proved in Russell’s system, and “false” in Russell’s system means the opposite has been proved in Russell’s system.—Now, what does your “suppose it is false” mean? In the Russell sense it means, “suppose the opposite is been proved in Russell’s system”; if that is your assumption you will now presumably give up the interpretation that it is unprovable. And by “this interpretation” I understand the translation into this English sentence.—If you assume that the proposition is provable in Russell’s system, that means it is true in the Russell sense, and the interpretation “P is not provable” again has to be given up.

          2. @Yu Li. vous écrivez :

            « Cette démonstration prouve toujours que « √2 is irrational » (¬P), qui n’impliquera pas que PA1 est incohérente comme dit Gödel, mais au contraire, PA1 est toujours cohérente, … ».

            Pour moi ce n’est certainement pas une preuve de l’irrationalité de √2 dans PA1 qui dira quoi que ce soit sur la cohérence ou l’incohérence de PA1. Par contre si quelqu’un arrive à prouver la rationalité de √2 dans PA1, alors là oui, jointe à une preuve de l’irrationalité de √2 dans PA1on aura prouvé l’incohérence de PA1. (Mais c’est plutôt dans l’autre sens que ça risque -très hypothétiquement!- de se passer: ce sera une preuve de l’incohérence de PA1 qui -par principe d’explosion- impliquera la rationalité -et d’ailleurs aussi l’irrationalité- de √2.

            (J’en profite pour vous redire que, pour moi, la preuve la plus simple de l’irrationalité de √2 est donnée dans (1). (j’aurais aimé voir écrit que cette preuve est une preuve dans PA1…).

            1: https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie

            1. Oui, ce n’est pas une preuve rigoureuse. Je l’ai utilisé juste pour m’interroger sur la conséquence de la définition de la ω-cohérence :
              – si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie,
              alors ¬∀x P(x) n’est pas démontrable dans la théorie (¬ pour la négation, ∀ pour la quantification universelle, « pour tout »).

              Cette définition pourrait impliquer une compréhension trompeuse de la relation entre la « démontrabilité » et la « valeur de vérité » d’une proposition, qui est le sujet central du théorème d’incomplétude, …

  11. En écho à la citation de Thom ci-dessus: à quoi sert l’infini en mathématiques ? Patrick Dehornoy en parle dans une conférence d’une heure. Il y a deux parties : l’infini est-il nécessaire (de 0′ à 40′) et l’infini est-il utile (de 40′ à 1h) ?

    (Il parle du théorème de Fermat-Wiles à 43′. « La preuve du théorème n’est toujours pas écrite dans le cadre du système ZF »; « Est-ce qu’on peut la faire dans l’arithmétique de Péano? Je ne sais pas. Pour le théorème des nombres premiers il a fallu 50 ans [pour se passer de l’infini]; peut⁻être qu’il faudra tout aussi longtemps. ».)

    https://webtv.univ-rouen.fr/videos/a-quoi-sert-linfini-conference-de-patrick-dehornoy/

    1. À noter dans l’exposé de Dehornoy (15’30): « Il s’agit de trouver des exemples d’énoncés d’arithmétique qui soient vrais mais non démontrables dans Peano (…) Des énoncés vrais, mais s’ils ne sont pas démontrables, qu’est-ce que ça veut dire? Ça veut dire vrais parce que démontrables en utilisant de l’infini. ». Pour moi ce que dit Dehornoy rejoint ce que dit Zermelo dans sa critique , critique que j’ai interprétée plus haut (05/05 22 h 10) ainsi : « vrai et non démontrable dans Peano » = « démontrable dans une théorie plus forte que Peano en utilisant l’infini (typiquement des théories des ensembles comme PM ou ZF) ».

  12. @BasicRabbit Merci beaucoup! Je vais prendre du temps à lire ces documents.

    A vrai dire, je ne sais pas comment exprimer la profonde perplexité et le grand choc que m’a provoqué le déchiffrage de la preuve du théorème d’incomplétude de Gödel, …

    J’explique plus en détail ma question concernant la ω-cohérente :
    – En logique mathématique une théorie arithmétique est appelée théorie ω-cohérente (oméga-cohérente) quand, pour toute propriété P des nombres entiers que l’on peut exprimer dans le langage de la théorie,
    – si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie,
    alors ¬∀x P(x) n’est pas démontrable dans la théorie (¬ pour la négation, ∀ pour la quantification universelle, « pour tout »).

    Cette définition de ω-cohérent implique que Gödel a assimilé la « démontrabilité » de P(x) à la « valeur de vérité » de P(x) :
    – si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie (ça signifie que ∀x P(x) est vrai, donc ¬∀x P(x) est faux), alors ¬∀x P(x) n’est pas démontrable dans la théorie (ça signifie que la preuve utilisée pour prouver ∀x P(x) ne peut pas être utilisée pour prouver ¬∀x P(x)).

    Mais en réalité, la « démontrabilité » de P(x) et « valeur de vérité » de P(x) se situent aux niveaux différents :
    – Du point de vue de la valeur de vérité, ∀x P(x) est vrai et ¬∀x P(x) est faux;
    – Mais du point de vue de la démontrabilité, la preuve pour prouver que ∀x P(x) est vraie est aussi la preuve pour prouver que ¬∀x P(x) est fausse.

    On reprend la conjecture de Pólya comme exemple :
    La conjecture de Pólya (∀n L(n))a été prouvé fausse par C. Brian Haselgrove en 1958,alors la preuve pour prouver que ∀n L(n) est faux est aussi la preuve pour prouver que ∃x ¬L(n) est true.

    1. @Yu Li.

      Pour bien comprendre la définition de la ω-cohérence il faut d’abord voir ce qui se passe quand l’énoncé P de dépend pas de n. Ce qui se passe est écrit dans l’introduction de (1) : on a alors une définition de la cohérence simple (2).

      « Quand on prend pour P un énoncé clos (qui ne dépend pas de x -ni de n) on retrouve la définition de la cohérence, appelée parfois dans ce contexte cohérence simple, qui est donc conséquence de l’ω-cohérence. ».

      Votre « Cette définition de ω-cohérent implique que Gödel a assimilé la « démontrabilité » de P(x) à la « valeur de vérité » de P(x) »

      devient dans ce cas particulier :

      « Cette définition de cohérent implique que Gödel a assimilé la « démontrabilité » de P à la « valeur de vérité » de P ». On est donc confronté au rapport « philosophique » entre « valeur de vérité » et démontrabilité.

      Dans ce cas particulier votre « Mais en réalité, la « démontrabilité » de P(x) et « valeur de vérité » de P(x) se situent aux niveaux différents :
      – Du point de vue de la valeur de vérité, ∀x P(x) est vrai et ¬∀x P(x) est faux;
      – Mais du point de vue de la démontrabilité, la preuve pour prouver que ∀x P(x) est vraie est aussi la preuve pour prouver que ¬∀x P(x) est fausse. »

      devient

      « Mais en réalité, la « démontrabilité » de P et « valeur de vérité » de P se situent aux niveaux différents :
      – Du point de vue de la valeur de vérité, P est vrai et ¬P est faux;
      – Mais du point de vue de la démontrabilité, la preuve pour prouver que P est vraie est aussi la preuve pour prouver que ¬P est fausse. ».

      Pour moi votre dernière phrase est ambiguë car il me semble que vous mélangez « valeur de vérité » et démontrabilité.

      Pour moi le rapport entre vérité et démontrabilité est au cœur des rapports entre philosophie et mathématique. Les matheux qui s’intéressent aux fondements de leur discipline ont -je crois…- la position exprimée en 13/05 17h02 : la vérité n’est pour eux que la démontrabilité dans le cadre plus large d’une théorie plus puissante (comme l’est la théorie des ensembles par rapport à PA1). Mais leur position ne fait que reculer le problème: ils font l’hypothèse que cette théorie plus puissante est cohérente (sinon tout -et la négation de tout- est démontrable (3).

      La définition de la satisfaisabilité/valeur de vérité par Tarski est une définition qui vaut dans le cadre d’un modèle de la théorie des ensembles (modèle supposé exister car la théorie des ensembles est supposée non-contradictoire…). Pour espérer bien comprendre le théorème d’incomplétude de Gödel on ne peut pas faire l’impasse -j’en suis convaincu, et, je crois, Druuh aussi- sur le théorème de complétude de Gödel (4).

      Je pense que c’est typiquement avec PJ qu’il vous faut discuter de ce point fondamental (5).

      Nota Bene: Je pense que vos deux arguments-exemples sont bien proches d’être des tautologies (6).

      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_om%C3%A9ga-coh%C3%A9rente

      2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Coh%C3%A9rence_(logique)

      3: https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d%27explosion

      4: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del

      5: Impasse que semble avoir faite PJ: « En 1930 Kurt Gödel démontra un premier théorème mettant en évidence que « la logique des prédicats du premier ordre est complète, je n’en dirai pas d’avantage. » (« Comment la vérité… », p.286.

      6: https://fr.wikipedia.org/wiki/Tautologie

      1. @ Yu Li.

        Je lis dans (1) que l’ω-cohérence n’est nécessaire dans la preuve originale de Gödel que pour prouver que la négation ¬G de son énoncé (formule close) que je note G (G pour Gödel…) n’est pas démontrable dans T: en fait une forme très affaiblie suffit : le théorème vaut pour toute théorie T qui est une théorie récursivement axiomatisable, cohérente, et qui démontre toutes les formules Σ0 vraies dans N.

        J’en déduis que seule la cohérence simple de T (syntaxique ou sémantique?) est nécessaire pour prouver que G n’est pas démontrable dans T.

        Cependant, puisque vous semblez focalisée sur l’ω-cohérence, je vous re-signale (déjà signalé en 12/05 23h40) que le fait que P(n) soit démontrable pour tout entier naturel n n’entraîne pas que ∀x P(x) soit démontrable (disons dans PA1), ne serait-ce que parce que l’énoncé ∀x P(x) n’a pas de sens dans PA1.

        Par exemple en prenant pour P(n) l’énoncé du « grand » problème de Fermat à l’ordre n, Wiles a démontré le théorème pour tout entier naturel n>2. Mais l’énoncé ∀x>2 P(x) a-t-il un sens? P(n) a un sens pour tout entier naturel n parce que c’est une formule du langage de PA1: 2 n’est pas un terme du langage mais c’en devient un lorsque le remplace par ss0, 0 et s (successeur) étant des symboles du langage. Je ne suis pas du tout convaincu que ∀x P(x) ait un sens; or ce sont, pour moi ,des considérations qu’il faut avoir à l’esprit quand on travaille sur le théorème d’incomplétude.

        1. Complément:

          1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del

          Chaque fois qu’on lit P(n) (où n est sous-entendu être un entier naturel et P(x) une formule du langage à une variable libre -disons x-)il faut lire P(ss..s0) où le nombre de s est n, formule close (donc énoncé) du langage (de, disons, PA1). C’est, selon moi, indispensable pour comprendre la phrase suivante de (1) -section « Diagonalisation »-:

          « On remarque que la formule G en question est équivalente à une formule universelle ∀x H(x), où H est Σ0. Cette formule étant vraie, pour chaque entier n (représenté par s…s 0) H(n) est vraie, donc démontrable étant Σ0. On a donc bien, comme annoncé dans le paragraphe « vérité et démontrabilité », un énoncé universel ∀x H(x) qui n’est pas démontrable dans T, alors que pour chaque entier n, H(n) est démontrable dans T.

  13. Je pense que nous avons fait de grands progrès dans notre échange : nous avons commencé à reconnaître que la différence essentielle entre la ω-cohérence de Gödel et la cohérence de la logique mathématique, qui est une des clés pour comprendre la preuve de Gödel !

    La preuve de Gödel n’implique pas de concepts complexes, et elle peut être comprise par toute personne ayant un niveau moyen de connaissances ; le problème est qu’il faut mobiliser notre bon sens :

    « Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée : car chacun pense en être si bien pourvu que ceux même qui sont les plus difficiles à contenter en toute autre chose n’ont point coutume d’en désirer plus qu’ils en ont. »

    Et je pense que l’utilisation d’exemples représentatifs est un excellent moyen de stimuler notre bon sens !

    Malheureusement, aucun exemple représentatif n’est donné tout au long de l’article de Gödel, ainsi que dans les nombreux articles interprétant le travail de Gödel, laissant le texte original de Gödel entouré de mystère depuis 90 ans, …

    1. @ Yu Li.

      – Quand vous écrivez : « La preuve de Gödel n’implique pas de concepts complexes, et elle peut être comprise par toute personne ayant un niveau moyen de connaissances ; « , vous me semblez plus optimiste que Paul Jorion qui, lui, est, je crois, toujours convaincu que la preuve par Gödel de son théorème d’incomplétude est incorrecte! (Personnellement je suis moins optimiste que vous.)

      – Je suis d’accord avec vous « que l’utilisation d’exemples représentatifs est un excellent moyen de stimuler notre bon sens ! ». À ce sujet il me semble à peu près clair que l’irrationalité de √2 se démontre, par récurrence absurde, dans PA1 (1). Se démontre-t-elle dans RA1 (R pour Robinson (2) -l’axiome de récurrence est-il indispensable?- ?.

      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie

      2: « L’arithmétique de Robinson suffit pour le théorème d’incomplétude de Gödel-Rosser et pour le théorème de Church (indécidabilité du problème de la décision), au sens où l’arithmétique de Robinson, et même toute théorie axiomatique dans le langage de l’arithmétique qui est récursive et cohérente et qui a pour conséquence les axiomes de l’arithmétique de Robinson, est nécessairement incomplète et indécidable. » ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_de_Robinson )

      1. « La preuve de Gödel n’implique pas de concepts complexes, et elle peut être comprise par toute personne ayant un niveau moyen de connaissances », je voulais dire qu’il y a des complications artificielles dans l’article de Godel, et je n’ai pas dit que je pense que la preuve de Godel est correcte, au contraire il y a quelques choses très graves dans la preuve de Godel, … je ne sais pas si vous avez ressenti cela dans notre discussion sur la ω-cohérence ?

        1. @Yu Li. Vous écrivez : « La preuve de Gödel n’implique pas de concepts complexes, et elle peut être comprise par toute personne ayant un niveau moyen de connaissances ». Je suis d’accord avec vous sur la première partie de la phrase (« La preuve de Gödel n’implique pas de concepts complexes »), mais pas sur la seconde « elle peut être comprise par toute personne ayant un niveau moyen de connaissances », car je pense que le théorème d’incomplétude ne peut être compris que par les rares à la fois suffisamment mathématiciens pour dominer la logique mathématique et suffisamment philosophes pour dominer la logique philosophique. Et je ne suis pas sûr que la philosophie analytique ait réussi à atteindre cet objectif (pour moi sûrement pas Russell et Whitehead (1)).

          Pour moi qui découvre ce théorème en même temps que vous -et en quelque sorte pour vous, pour que vous ayez éventuellement un autre son de cloches que celui d’un PJ lorsqu’il se coiffe d’une casquette d’épistémologue- je ne peux m’empêcher de le comparer à d’autres « grands » théorèmes, dont les premières démonstrations étaient fausses, mais qui ont fini par trouver des démonstrations correctes (c’est-à-dire acceptées par la collectivité mathématique de leur temps), théorèmes qualifiés de « grands » parce qu’ils ouvrent de nouvelles perspectives -parfois grandioses- à ladite collectivité (éventuellement étendue aux philosophes).

          C’est dans cette classe que je range la « preuve » d l’irrationalité de √2 par Aristote -preuve qui, pour moi, n’en est pas une (2)- mais « preuve » qui « ouvre » la théorie de la démonstration (et le théorème d’incomplétude de Gödel l’ « ouvre » encore plus, même si la démonstration originale est incorrecte -ce n’est pas mon problème, mais c’est celui de PJ et le vôtre-). C’est pour ça que je vous ai proposé de parcourir « Le vrai, le faux et l’insignifiant » d’Alain Chenciner, autour de cette citation thomienne que je trouve superbe de profondeur : « C’est seulement parce qu’on accepte le risque de l’erreur qu’on peut récolter de nouvelles découvertes ».

          1: Le mathématicien David Bessis vient d’écrire « Mathemtica » (visiblement, pour moi, un clin d’œil à « Principia Mathématica ») avec pour objectif de réhabiliter l’intuition en mathématiques (actuellement complètement étouffée par l’impératif de la démonstration « coûte que coûte » à la Russel et Whitehead). Dans le dernier chapitre il oppose l’arithméticien anglais Godfrey Hardy et l’indien Srinivasa Ramanujan, ce dernier auteur de centaines de conjectures -dont la plupart ont fini par trouver une preuve, et peu se sont avérées fausses-. Bessis -qui a quitté les mathématiques universitaires pour une start-up en intelligence artificielle- écrit p.341 : « Face à Principia Mathematica, ce conseil devient un impératif de santé mentale: « Il ne faut jamais lire les livres de maths ». J’ai envie d’ajouter : il ne faut jamais se lancer dans la preuve d’un théorème si l’on ne s’est pas convaincu au préalable qu’il est « vrai » (Aristote donne l’opposition conjecture/théorème comme un exemple d’opposition puissance/acte). Ramanujan : « « Une équation pour moi n’a aucune signification, à moins qu’elle ne représente une pensée de Dieu.». (Cependant, Hardy tenait à ce qu’on ne considère pas Ramanujan comme un mystique dont les inspirations mathématiques proviendraient « d’une mystérieuse et immémoriale sagesse orientale » ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan ).)

          2: La plus simple que je connais est celle qui figure dans https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie

        2. Il y a une inertie scientifique au moins aussi importante que l’inertie sociale ou l’inertie politique : car l’immense majorité des gens ne pensent pas par eux-mêmes, se contentant de colporter les idées de ceux, très rares, qui pensent par eux-mêmes (1). Aristote fait pour moi incontestablement partie de ceux-là, bien que je n’aie lu que quelques lignes de lui (elles sont dans mon précédent commentaire!). mais tout ce qu’il a écrit ne doit pas être pour autant pris pour argent comptant. Aristote a sans doute en effet lui aussi colporté la doxa de son temps. Ainsi il a écrit :

          « Il est admis qu’il n’existe que trois figures planes qui peuvent remplir le plan : le triangle, le quadrilatère, et l’hexagone, et seulement deux solides, la pyramide et le cube. ».

          L’erreur est passée inaperçue pendant près de 1800 ans, jusqu’à ce qu’un allemand, Johannes Müller (1436-1476), connu sous le nom de Regiomontanus, et l’un des pères de la trigonométrie, la révéla (2).

          PJ a étudié la question de l’irrationalité de √2 par Aristote (cf. son commentaire -ici- du 19/04 11h33) : « la preuve par Aristote de l’irrationalité de racine carrée de 2 se faisait par un argument de régression à l’infini aboutissant à une absurdité. ». Qu’en pense-t-il : « démonstration » ou démonstration? (Voir éventuellement https://journals.openedition.org/philosant/2120).

          1: C’est mon cas. je me contente de faire du prosélytisme pour l’œuvre de René Thom (dont il suffit de lire quelques lignes pour se rendre compte que, lui, pense par lui-même!) (https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/thom/data/citations.pdf).

          2: https://images.math.cnrs.fr/Empiler-des-tetraedres.html

  14. En parlant d’utiliser des exemples représentatifs pour stimuler le bon sens, j’ai été frappée par l’histoire de la règle des signes de Stendhal, auteur de Le Rouge et le Noir en 1830, m’a marqué (http://www.mathkang.org/pdf/reglesigne.pdf) :

    Stendhal raconte ses démélés avec le calcul dans La Vie de Henry Brulard dont voici un extrait :

    Mon enthousiasme pour les mathématiques avait peut-être eu pour base principale mon horreur pour l’hypocrisie, l’hypocrisie à mes yeux c’était ma tante Séraphie, Mme Vignon et leurs prêtres.

    Suivant moi l’hypocrisie était impossible en mathématiques et, dans ma simplicité juvénile, je pensais qu’il en était ainsi dans toutes les sciences où j’avais ouï dire qu’elles s’appliquaient. que devins-je quand je m’aperçus que personne ne pouvait m’expliquer comment il se faisait que : moins par moins donne plus ?

    (C’est une des bases fondamentales de la science qu’on appelle algèbre).

    On faisait bien pis que ne pas m’expliquer cette difficulté (qui sans doute est explicable car elle conduit à la vérité), on me l’expliquait par des raisons évidemment peu claires pour ceux qui me les présentaient. 

    M. Chabert pressé par moi s’embarrassait, répétait sa leçon, celle pré­cisément contre laquelle je faisais des objections, et finissait par avoir l’air de me dire:
« Mais c’est l’usage, tout le monde admet cette explication. Euler et Lagrange, qui apparemment valaient autant que vous, l’ont bien admise… ».

    A la fin, Stendhal a dit, avec frustration :

    Je fus longtemps à me convaincre que mon objec­tion sur – X – = + ne pourrait pas absolument entrer dans la tête de M. Chabert, que M. Dupuy n’y répondrait jamais que par un sourire de hau­teur, et que les forts auxquels je faisais des ques­tions se moqueraient toujours de moi.
 J’en fus réduit à ce que je me dis encore aujourd’hui: il faut bien que – par – donne + soit vrai, puisque évidemment, en employant à chaque instant cette règle dans le calcul, on arrive à des résultats vrais et indubitables. 

    1. Un de mes petits fils potasse actuellement  » le rouge et le noir » pour l’oral du bac ( fin de première ) . Il m’a regardé avec des yeux de chien battu quand je lui ai cité votre commentaire !

    2. Aristote : « Abstraire n’est pas mentir ». Thomas d’Aquin: « Quand il abstrait le mathématicien ne ment pas ».

      Thom (mon gourou) ; « Il n’arriverait plus aux modernes de traiter de « menteur » [tiens, tiens…], celui qui, par jeu ou par conviction, confère un sens à une expression linguistique usuellement considérée comme dépourvue de sens [je mens…]. À ce compte, les poètes, les philosophes, et même les mathématiciens n’échapperaient guère à l’opprobre du mensonge. Ces derniers, par exemple, ont utilisé l’expression (absurde) √-1 pendant deux siècles avant d’en avoir une interprétation plausible. En grande partie la « philosophie » est une affaire d’affirmation (ou de rejet) d’expressions formées à partir de mécanismes formels reconnus, dans un contexte sémantique surprenant [le théorème d’incomplétude…]. Dans les bons cas, c’est la pratique (l’empirie) qui décide; à défaut les « préjugés » du philosophe. Sur le fond, évidemment, reste l’opposition Platon-Aristote. En dépit de mon admiration pour ce dernier, je reste platonicien en ce que je crois à l’existence séparée (« autonome ») des entités mathématiques, étant entendu qu’il s’agit là d’une région ontologique différente de la « réalité usuelle » (matérielle) du monde perçu; (C’est le rôle du continu -de l’étendue- que d’assurer la transition entre les deux régions. » (Esquisse d’une sémiophysique, pp.244 et 245).

      (Les crochets -[ ]- sont « évidemment » de moi. Et cette citation montre tout-à-fait clairement -selon moi- ce qui sépare Thom (et ce qui me sépare) du matérialiste-empiriste PJ -c’est ainsi que je le perçois-.)

  15. @BasicRabbit Aristote : « Abstraire n’est pas mentir ». Thomas d’Aquin: « Quand il abstrait le mathématicien ne ment pas ».

    Vous avez abordé une question fondamentale : lorsqu’on est confronté à un raisonnement, comment savoir s’il est valable ou s’il s’agit d’un raisonnement fallacieux ?

    Si l’on se penche sur l’histoire de la logique, on peut constater que la logique a été fondée comme une discipline par les philosophes grecs pour dénoncer des raisonnement fallacieux (les sophismes)

    Cependant,« Il n’arriverait plus aux modernes de traiter de « menteur » [tiens, tiens…], celui qui, par jeu ou par conviction, confère un sens à une expression linguistique usuellement considérée comme dépourvue de sens [je mens…]. À ce compte, les poètes, les philosophes, et même les mathématiciens n’échapperaient guère à l’opprobre du mensonge. (Thom)

    C’est exactement la situation à laquelle nous sommes confrontés avec la preuve du théorème d’incomplétude de Gödel : comment savoir si la preuve de Gödel est valide ou fallacieuse ?

    C’est pourquoi je pense que Paul soulève une question qui donne à réfléchir:
    – What makes a demonstration worthy of the name?

    1. @Yu Li. Votre « What makes a demonstration worthy of the name? » m’incite à commenter ici alors qu’il aurait été plus naturel de commenter l’article éponyme de PJ (1), car c’est en commentaires de cet article que je me suis demandé non seulement si la démonstration par Gödel du théorème d’incomplétude était correcte, mais aussi si la démonstration de PJ, dans -essentiellement- le chapitre IV Comment la vérité… », était ou non convaincante. Gödel, Jorion, Aristote.

      Le chapitre IV de « Comment la vérité… », chapitre intitulé « La revanche de Pythagore » commence par : « C’est Aristote qui fixe la norme en matière de démonstration ». La première chose à faire, à mon avis, est de critiquer la propre démonstration d’Aristote de l’irrationalité de √2 (1) à l’aune de ses propres critères, avant de s’attaquer à la critique de la preuve par Gödel du théorème d’incomplétude à l’aune de ces mêmes critères. Critiquer la preuve par Aristote de l’irrationalité de √2 c’est, selon moi, critiquer l’une des premières preuves où les mathématiques sont confrontées à l’infini dans une démonstration (pour moi cette preuve « ouvre » la théorie de la démonstration non finitiste en mathématiques).

      Pour moi cette démonstration d’Aristote est incorrecte. Qu’en pensez-vous? Et qu’en pense éventuellement PJ? Ces questions sont pour moi importantes car c’est, à mon avis, la question de l’infini qui est au cœur de la démonstration du théorème d’incomplétude (l’audio-vision de la conférence de Patrick Dehornoy « À quoi sert l’infini en mathématiques? »(3) a clarifié mes idées à ce sujet).

      1: https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/09/what-makes-a-demonstration-worthy-of-the-name-by-paul-jorion-yu-li/

      2: https://journals.openedition.org/philosant/2120).

      3: https://webtv.univ-rouen.fr/videos/a-quoi-sert-linfini-conference-de-patrick-dehornoy/

  16. @Druuh Vous dites que la formule dont parle Godel est une formule du calcul des predicats (25 AVRIL 2022 ):
    – De meme, la fameuse formule de Godel est vraie dans N, mais pas dans d’autres modeles de Peano (et c’est precisement pour cela qu’elle n’est pas demontrable dans Peano).

    Quand vous êtes disponible, pouvez-vous expliquer ce que la fameuse formule de Godel est vraie dans N? et pourquoi ?

  17. Aujourd’hui est le jour où Gautama le Bouddha a réalisé qu’il n’y a pas de chemin vers la Vérité : si vous voulez être illuminée, c’est dans le moment présent.

    Je voudrais partager l’étymologie de Bouddha (Buddhi) :
    « Bu » signifie Buddhi ou l’intellect. Celui qui transcende son intellect et ne s’identifie plus à ses pensées, est un Bouddha.

    1. @Yu Li:  » « Bu » signifie Buddhi ou l’intellect. Celui qui transcende son intellect et ne s’identifie plus à ses pensées, est un Bouddha. »;

      Thom (mon gourou) : »En permettant la construction de structures mentales qui simulent de plus en plus exactement les structures et les forces du monde extérieur -ainsi que la structure même de l’esprit-, l’activité mathématique se place dans le droit fil de l’évolution. C’est le jeu signifiant par excellence, par lequel l’homme se délivre des servitudes biologiques qui pèsent sur son langage et sa pensée et s’assure les meilleures chances de survie pour l’humanité. » (Stabilité structurelle et morphogenèse, 2ème ed. pp.320 et 321).

      Les vrais matheux (1): des Bouddhas ?

      1: Je m’empresse de dire que je n’en suis pas un (et de très loin).

    2. @Yu Li (Suite). Thom encore:

      « … en écrivant ces lignes j’ai acquis une conviction: au cœur même du patrimoine génétique de notre espèce, au fond insaisissable du logos héraclitéen de notre âme, des structures simulatrices de toutes les forces naturelles extérieures agissent, ou en attente, sont prêtes à se déployer quand ce deviendra nécessaire. La vieille image de l’Homme microcosme reflet du macrocosme garde toute sa valeur: qui connaît l’Homme connaîtra l’univers. Dans cet essai d’une théorie générales des modèles [le sous-titre de Stabilité Structurelle et Morphogenèse], qu’ai-je fait d’autre sinon de dégager et d’offrir à la conscience les prémisses d’une méthode que la vie semble avoir pratiquée dès son origine? » (Fin de l’épilogue de SSM).

      Pourquoi cette citation, en partie redondante avec la précédente? parce qu’apparaît implicitement le « Connais-toi toi-même » de Socrate, qui, pour moi, renvoie directement à l’étude de l’ultra-infini en théorie des ensembles et aux plongements élémentaires -plongements introspectifs- d’un univers de ZF dans lui-même (1).

      1: Cf. mon commentaire du 09/05 17h30, https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLV.pdf p.517 et suivantes

  18. @BasicRabbit Je vais prendre du temps à lire et réfléchir ce que vous avez proposé!

    Nous avons discuté de la «  cohérence » , et une autre clé de la preuve de Gödel est la « récursivité » : la proposition G de Gödel est exprimée sous la forme d’une « fonction récursive », et pouvons nous discuter un peu de ce sujet ? (votre commentaire 14 MAI 2022 )

    1. @Yu Li. La seule chose que je crois avoir compris au sujet de fonctions récursives c’est qu’elles sont au langage mathématisé des logiciens formels ce que les fonctions effectivement calculables sont au méta-langage « naturel » (pour moi le français), la thèse de Church étant que c’est la même chose. À part ça je n’y connais techniquement strictement rien, mais je suis conscient qu’une connaissance approfondie des fonctions récursives, des définitions récursives et des preuves récursives, est essentielle pour la compréhension de la preuve du théorème d’incomplétude de Gödel (avoir parcouru (1) m’en a convaincu).

      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del

    2. @Yu Li. J’en profite pour donner ma position actuelle (qui a évolué et qui peut évoluer…). Je considère que le problème de l’irrationalité de √2 est actuellement bien compris et qu’on dispose de plusieurs preuves de l’irrationalité admises par les collectivités mathématiques et épistémologiques contemporaines. Je considère qu’on dispose actuellement de preuves du théorème d’incomplétude de Gödel admises par la collectivité des logiciens formels. Pour moi la preuve originale par Gödel de son théorème d’incomplétude est encore mise en cause par des épistémologues exactement dans le même rapport (eudoxo-aristotélicien) que la preuve de l’irrationalité de √2 par Aristote l’a, elle aussi, longtemps été -et l’est encore? (1)-. Aristote est pour moi un pionnier qui a « ouvert » la méthode de démonstration par descente infinie, et, toujours selon moi, Gödel a « ouvert » une nouvelle page de la théorie de la démonstration.

      Il est bien connu que nombre de « grands » théorèmes ont d’abord eu des preuves incorrectes, et même que des conjectures assorties d’une « preuve » se sont avérées fausses, l’exemple récent le plus connu étant l’erreur de Poincaré, erreur qui « ouvrira » la théorie du chaos. Pour Thom le faux est au vrai ce que l’idéal est au réel (encore une proportion eudoxo-aristotélicienne):

      « Il ne faut pas s’étonner du caractère exceptionnel de la réalisation de l’idéal. Situation bien connue en Science, où fréquemment une situation théorique joue un rôle essentiel dans l’organisation des phénomènes, bien que, en un sens strict, cette situation ne se réalise jamais. En Science, le vrai est souvent secondaire par rapport à un faux qui engendre et canalise la totalité du vrai… Ainsi en va-t-il de même de l’idéal… ».

      1: https://journals.openedition.org/philosant/2120

    3. @Yu Li. À propos de la récursivité. Vous écrivez dans votre article:

      I try to point out that by confusing the proof of formula with the formula, Gödel’s proof becomes an infinite regress that would have made it impossible to construct any meaningful proposition. »

      J’ai jadis entendu dire que les démonstrations les plus subtiles que l’on peut faire par méthode de descente infinie dans le cadre de PA1 sont liées aux ordinaux récursifs (1) (ou, plus généralement, aux relations -récursives- bien fondées (2)): plus la démonstration est subtile, plus l’ordinal récursif est grand (ou plus la relation bien fondée est compliquée). Il me semble que, dans sa conférence sur l’infini (3, 42’55), Dehornoy suggère que la preuve par Wiles du grand théorème de Fermat utilise des méthodes de descente sur des ordinaux « inaccessibles » -et donc très loin d’être récursifs ou même dénombrables- (Dehornoy parle de super-infini).

      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Grand_ordinal_d%C3%A9nombrable

      2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_bien_fond%C3%A9e#R%C3%A9currence_noeth%C3%A9rienne_ou_bien_fond%C3%A9e

      3: https://webtv.univ-rouen.fr/videos/a-quoi-sert-linfini-conference-de-patrick-dehornoy/

      1. @Yu Li. À propos de votre « une autre clé de la preuve de Gödel est la « récursivité ».

        Vous avez posé le 15/05 23h23 la question suivante à Druuh: « pouvez-vous expliquer ce que la fameuse formule de Gödel est vraie dans N? et pourquoi ? ». Sans répondre à vos questions précises, je vous signale l’existence d’une conséquence du théorème de non-définissabilité de la vérité de Tarski:

        Proposition (premier théorème d’incomplétude de Gödel, forme faible) : Pour toute théorie récursive T incluse dans Th 1 (N, 0, S, +, ·, #), il existe une formule vraie dans (N, 0, S, +, ·, #) non prouvable à partir de T.

        C’est dans (1), p.298 (PA1 est une telle théorie récursive, et Th 1 (N, 0, S, +, ·, #) est la théorie -complète- dont toutes les formules closes vraies sont prises pour axiomes).

        Le théorème de Tarski est plus simple à prouver que le théorème d’incomplétude de Gödel parce qu’il n’y est question ni de démontrabilité, ni de ω-cohérence. Mais tous les autres ingrédients y sont: représentabilité du méta-langage par le langage formel codé et argument diagonal de Cantor.

        Dehornoy note p.279 :

        « Le résultat de représentabilité que l’on va établir ici montre que ces fonctions sont également simples du point de vue de la prouvabilité. Ce résultat est essentiel pour l’obtention des résultats d’impossibilité de la section 4, et, en un sens, il constitue le noyau dur de leur démonstration. ».

        Vous avez donc tout-à-fait raison de vous concentrer sur les questions de récursivité, c’est-à-dire sur les trois premiers chapitres ! (Bon courage…). Pour moi ce problème de la représentabilité est aussi le noyau dur de la critique de PJ (et donc de la vôtre?).

        1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del

    4. @Yu Li. Je découvre le jeu de l’hydre de Kirby et Paris (ce sont eux qui ont démontré que le théorème de Goodstein n’était pas démontrable dans PA1). C’est un exemple, plus « concret » que celui de Goodstein, de théorème d’arithmétique démontrable dans ZF mais pas dans PA1(1):

      « Mais ce que Kirby et Paris ont prouvé dans leur article est en réalité bien plus génial : pour prouver que Hercule est toujours plus fort que l’hydre, on ne peut pas faire autrement que d’utiliser les ordinaux. La démonstration du théorème de l’hydre est en fait absolument impossible à réaliser avec les outils de l’arithmétique que l’on connaît, comme les opérations sur les nombres entiers ou la démonstration par récurrence.

      Le théorème de l’hydre est en fait ce que l’on appelle en logique un théorème indécidable pour l’arithmétique : un théorème qui est vrai mais qui ne peut pas être démontré au sein de cette théorie.
      La notion d’énoncé « vrai » est un peu plus précise que cela en mathématiques. Pour dire qu’un énoncé est vrai dans une théorie donné des mathématiques (comme celle de l’arithmétique de Peano), il faut qu’elle soit vraie dans tous les modèles de cette théorie (le modèle le plus simple de l’arithmétique de Peano est celui de la séquence de nombres 0-1-2-3-… que l’on trouve dans la théorie des ensembles ZF). En fait, le théorème de Kirby & Paris montre que l’énoncé est vrai dans la théorie des ensembles (et donc, dans le modèle classique de l’arithmétique), mais ne dit rien de sa véracité de façon générale. Il a donc été un peu précipité pour moi d’affirmer que l’énoncé est vrai sans plus de précisions.

      C’est d’ailleurs ce qu’énonce le théorème de Gödel : la plupart des théories mathématiques contiennent des énoncés qui sont vrais mais qui ne peuvent pas y être démontrés. Mais ça, c’est une autre histoire… »

      1: http://eljjdx.canalblog.com/archives/2016/02/12/33360210.html

    5. @Yu Li.

      1. Erreur dans mon précédent commentaire : la référence (1) à Dehornoy est : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

      2. À propos de l’hypothèse de ω-cohérence dans le théorème d’incomplétude.

      Lorsqu’on se place dans un modèle de ZF, on a un modèle standard de PA1 dont les éléments sont les ordinaux finis, l’ensemble des éléments étant noté N ou ω (plus petit ordinal infini). Dans ce cas on peut se passer de l’hypothèse de ω-cohérence -et même de l’hypothèse de cohérence tout court puisque PA1, ayant un modèle (le modèle standard) est cohérente. Voir la fin du commentaire du théorème d’incomplétude de (1), p.301.

  19. @BasicRabbit Merci beaucoup pour votre générosité et votre enthousiasme ! Je répondrai à vos commentaires au fur et à mesure.

    Vous dites (16 MAI 2022) : « Il est bien connu que nombre de « grands » théorèmes ont d’abord eu des preuves incorrectes, et même que des conjectures assorties d’une « preuve » se sont avérées fausses, l’exemple récent le plus connu étant l’erreur de Poincaré, erreur qui « ouvrira » la théorie du chaos. Pour Thom le faux est au vrai ce que l’idéal est au réel (encore une proportion eudoxo-aristotélicienne): »
    « En Science, le vrai est souvent secondaire par rapport à un faux qui engendre et canalise la totalité du vrai… Ainsi en va-t-il de même de l’idéal… ».

    Exactement, la faille du « grand » théorème de Gödel a « ouvert » le grand travail de Turing (un sujet dont nous aurons l’occasion de parler) !

    Il n’est donc pas étonnant qu’il puisse y avoir des erreurs dans la preuve de Gödel, mais si nous considérons le « faux » comme le « vrai » et n’en sommes pas conscients, alors, au lieu de engendrer et canaliser la totalité du vrai, le faux pourrait emmêler nos perceptions, causant des souffrances mentales indicible et consumant nos vies, …

    Dans le livre de Rebecca Goldstein, « Incompleteness : The Proof and Paradox of Kurt Gödel », il y a des discussions fascinantes sur ce sujet (https://www.rebeccagoldstein.com/publications/incompleteness-proof-and-paradox-kurt-gödel).

    Paul et moi, nous avons des ressentis à ce sujet et remettons donc en question la preuve de Gödel dans l’espoir de pouvoir réfléchir et faire le tri entre ce qui est vrai et ce qui ne l’est pas, …

  20. @ Yu Li. Vous écrivez: « Paul et moi, nous avons des ressentis à ce sujet et remettons donc en question la preuve de Gödel dans l’espoir de pouvoir réfléchir et faire le tri entre ce qui est vrai et ce qui ne l’est pas, … ».

    C’est un chose de remettre en cause la preuve et c’en est une autre de remettre en cause l’énoncé. Ma position est que, après 90 ans de clarifications, de simplifications et d’améliorations, les énoncés et les démonstrations « modernes » sont corrects (je fais confiance à des gens comme Dehornoy, Laver, Kirby, Paris, Harrington (1), etc.). mais peut-être allez-vous trouver avec PJ la faille qui va tout écrouler et « ouvrir » autre chose (2). C’est ce qui est arrivé à Lusin et Souslin lorsqu’ils ont trouvé une erreur dans une preuve de Lebesgue qui affirmait à tort que la projection sur la droite d’un borélien du plan était un borélien de la droite, « ouvrant » ainsi la riche théorie descriptive des ensembles (3), théorie qui génère et étudie une hiérarchie analytique (4) analogue à la hiérarchie arithmétique (5) cruciale dans la preuve du théorème d’incomplétude.

    NB: En ce qui me concerne je n’irai pas jusqu’à parler d’enthousiasme (qui vient du grec ancien ἐνθουσιασμός (« possession divine »)!

    1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Paris-Harrington

    2: Je pense qu’il vous faut « rentrer dans le sujet » beaucoup plus profondément que ne le montrent vos deux articles, ne serait-ce que pour pouvoir établir des correspondances preuve-programme (à la Curry-Howard) entre démontrabilité et calculabilité, correspondances qui me semblent intéressantes pour l’étude du problème P vs NP (je pense -au flair car je n’y connais rien- que les correspondances que donne J.L Krivine (mon directeur de thèse) (6,7) sont intéressantes à considérer de ce point de vue). Je pense qu’il vous faut trouver un « vrai spécialiste » de ces sujets côté logiciens formels (tous ceux que j’ai connus sont en retraite depuis longtemps…), afin de pouvoir échanger avec lui.

    3: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_descriptive_des_ensembles

    4: https://fr.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%A9rarchie_analytique

    5: https://fr.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%A9rarchie_arithm%C3%A9tique

    6: https://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_de_Curry-Howard

    7: http://www.pps.jussieu.fr/~krivine/articles/completude.pdf

  21. Tout d’abord, je suis vraiment désolée de ne pas avoir informé ma petite retraite à temps!

    @BasicRabbit Je lis et relis vos commentaires, car elles sont très riches en informations et j’ai besoin de temps pour les digérer, un grand merci !

    J’étais toujours perplexe quant à la raison pour laquelle j’ai eu le sentiment que certaines problèmes fondamentaux de la théorie des algorithmes n’étaient pas clairs, qu’il me semblait y avoir quelques choses de caché, du problème de P vs NP au théorème d’incomplétude de Gödel,…

    Un jour, ce que a dit une collègue de longue date et aussi une bonne amie m’a réveillée : il lui semblait que certains de mes idées et comportements étaient très contraignants, mais je n’y étais pas sensible, et je ne le ressentais pas, alors elle m’a dit que tu pourrais peut-être remettre en cause certaines des valeurs de la culture chinoise,…

    Du coup, j’ai compris pourquoi je suis sensible à des problèmes liés à la logique etc, car je ne suis pas contrainte par le mode de pensée logique occidentale, …

    1. Bonjour Yu Li (votre absence a été de courte durée).

      Vous écrivez : « j’ai compris pourquoi je suis sensible à des problèmes liés à la logique etc, car je ne suis pas contrainte par le mode de pensée logique occidentale, … ».
      Je suis content de lire ces lignes car c’est essentiellement pour cette raison que je m’intéresse à votre approche de la logique formelle mathématisée.

      Je ne connais de la pensée chinoise que ce qu’en écrit PJ dans les premières pages de « Comment le vérité… » : pensée symétrique où « le principe qui préside au regroupement de notions n’est pas, comme chez nous, celui de la ressemblance visible, mais celui de la similarité de la réponse affective ». Je ne sais pas si vous êtes d’accord avec ce qu’écrit PJ à propos de la pensée chinoise, mais je m’intéresse à cette pensée parce que Alexandre Grothendieck, pour moi l’un des plus grands mathématiciens du XXème siècle (sinon plus) puise visiblement son intuition dans l’opposition yin/yang, comme on le voit quasi-immédiatement lorsqu’on feuillette « La clef des songes » (1) ou « Récoltes et semailles » (2).

      Pour moi la logique formelle mathématisée est indissociable de la théorie des ensembles (et Gödel maîtrisait parfaitement cette théorie) dont les seuls symboles non logiques sont les relations binaires = et ∈, la première étant symétrique et la seconde antisymétrique (selon PJ la théorie des ensembles devrait donc vous poser problème) : une opposition brutale du communisme et du capitalisme résolue par l’axiome d’extensionnalité ?

      Selon PJ la théorie des ensembles devrait donc vous poser problème. Et l’approche yin/yang de Grothendieck me laisse penser que vous seriez sans doute plus .à l’aise avec la théorie des catégories (qui est le « fond de commerce » de AG).

      Bien à vous,
      BR.

      1: http://cm2vivi2002.free.fr/AG-biblio/AG-clesonges.pdf (Extraits)

      2: https://www.quarante-deux.org/archives/klein/prefaces/Romans_1965-1969/Recoltes_et_semailles.pdf

      1. J’ai été impressionnée quand j’ai lu l’image donnée par Alexandre Grothendieck sur la tâche de démontrer un théorème avec deux approches, mais je ne savais pas que c’était dans Récoltes et Semailles. Merci pour ta présentation !

        – Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème qui reste hypothétique (à quoi, pour certains, semblerait se réduire le travail mathématique). Je vois deux approches extrêmes pour s’y prendre. L’une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s’agit d’atteindre l’intérieur, la chair nourricière protégée par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu’à ce que la coque se casse – et on est content.

        – Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l’image de la noix qu’il s’agit d’ouvrir. La première parabole qui m’est venue à l’esprit tantôt, c’est qu’on plonge la noix dans un liquide émollient, de l’eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu’elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s’assouplit au fil des semaines et des mois – quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s’ouvre comme celle d’un avocat mûr à point !

        – L’image qui m’était venue il y a quelques semaines était différente encore, la chose inconnue qu’il s’agit de connaître m’apparaissait comme quelque étendue de terre ou de marnes compactes, réticente à se laisser pénétrer. On peut s’y mettre avec des pioches ou des barres à mine ou même des marteaux-piqueurs : c’est la première approche, celle du « burin » (avec ou sans marteau). L’autre est celle de la mer. La mer s’avance insensiblement et sans bruit, rien ne semble se casser rien ne bouge l’eau est si loin on l’entend à peine. . . Pourtant elle finit par entourer la substance rétive, celle-ci peu à peu devient une presqu’île, puis une île, puis un îlot, qui finit par être submergé à son tour, comme s’il s’était finalement dissous dans l’océan s’étendant à perte de vue. . .

        1. @Yu Li. Tu écris : « l’image donnée par Alexandre Grothendieck sur la tâche de démontrer un théorème avec deux approches, ». Un chinois ne préfère-t-il pas « naturellement » l’approche « Grothendieck » (c’est-à-dire une approche yin?) ? A fortiori une chinoise ? L’approche de Thom (1) n’est-elle pas aussi une approche yin ?

          Pour moi les approches de Grothendieck et de Thom sont fondamentalement opposées car je vois Grothendieck comme un Galois des temps modernes (et Galois comme un Pythagore des temps modernes), donc fondamentalement comme un algébriste -voire un arithméticien- qui a besoin de la géométrie/topologie -d’où sa théorie des topoï- pour s’éclaircir les idées alors que Thom se dit lui-même fondamentalement un géomètre/topologue.

          1: Voir la citation de mon commentaire du 25/05 8h31

          1. Si la première fois par hasard que j’ai lu le texte plein d’âme de Grottendick parlant de son approche de « la mer qui monte » a été une belle surprise pour moi, parce qu’un tel texte me semblait n’avoir été lu que dans les oeuvres de Jung ; lire « Récoltes et Semailles » maintenant est pour moi une inspiration, un encouragement, une compréhension et une sympathie pour Grottendick !

            Dans la section 8.2.6.4 (d) “la mer qui monte”, il a dit :
            – Peut-être que dans mes oeuvres publiées, conformément aux canons du métier de mathématicien, c’est l’aspect yang, l’aspect « structure » ou « logique » ou « méthode », qui est le plus apparent, le plus évident pour le lecteur. Pourtant, je sais bien que ce qui mène et domine dans mon travail, ce qui en est l’âme et la raison d’être, ce sont les images mentales qui se forment au cours du travail pour appréhender la réalité des choses mathématiques.

            – Cette pulsion très forte qui me porte vers la découverte des bonnes questions, plutôt que vers celle des réponses, et vers la découverte des bonnes notions et des bons énoncés, beaucoup plus que vers celle des démonstrations, sont d’ailleurs autant de traits « yin » fortement marqués, dans mon approche de la mathématique. C’est pourquoi aussi, sans doute, je suis particulièrement sensible, quand je vois ce que j’ai su apporter de meilleur en mathématique, traité avec désinvolture ou avec dédain par certains de ceux qui furent mes élèves, c’est-à-dire par ceux-là mêmes qui en ont été les tout premiers bénéficiaires.

            Par conséquent, je me suis rendu compte que cette forte caractéristique « yin » se manifestait aussi naturellement dans mes années de recherche sur le problème P et NP et maintenant sur le théorème d’incomplétude de Gödel.

            Merci d’avoir fait venir Grottendick dans mon cœur !

            1. @ Yu Li.

              La seule chose que j’ai vraiment retenue de mes très maigres lectures d’Aristote est l’exemple que celui-ci donne d’une conjecture mathématique « en puissance-yin » la conjecture démontrée étant « en acte-yang ». Grothendieck était connu comme un maître es-conjectures et laissait les démonstrations à ses élèves qu’il considérait comme des tâcherons (il écrit ça à peu près en ces termes dans Récoltes et semailles).

              Mon gourou Thom distingue les mathématiques de la maîtrise et les mathématiques de l’intelligibilité (1). Il y a les « problem solvers » et les « problem setters », ceux -très nombreux- qui pensent que la tâche principale du mathématicien est de démontrer et ceux -rarissimes- qui pensent qu’elle est de chercher les problèmes à résoudre. Pour moi Thom et Grothendieck sont des problem setters, ils sont de ceux qui ouvrent de nouveaux horizons aux mathématiques.

              1: Apologie du logos p.331

  22. Chapitre 2 de l’article de Gödel est consacré à la construction de la « proposition qui dit qu’elle est indémontrable » en terme de «  fonctions récursives » et de « relations récursives », et des « relations récursives » sont basée sur «  fonctions récursives », de sorte que les fonctions récursives sont le véhicule de la preuve de Gödel.

    La théorie des fonctions récursives a été étudiée comme un sous-domaine distinct des mathématiques, marqué par l’introduction du concept de « fonctions récursives primitives » et la distinction entre « fonctions récursives primitives » et « fonctions récursives générales ».

    La théorie des fonctions récursives était en cours de formation lorsque Gödel a publié son article en 1931. Gödel n’a donc utilisé que le terme « fonctions récursives » dans son article, en d’autres termes, il n’a pas fait de distinction entre les « fonctions récursives primitives » et les « fonctions récursives générales ».

    J’aimerais partager une brève histoire des « fonctions récursives primitives » dans l’espoir qu’elle nous aidera à mieux comprendre la preuve de Gödel davantage.

    Voici une brève histoire à ce sujet sur le wiki (https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function#History
    ) :

    Recursive definitions had been used more or less formally in mathematics before, but the construction of primitive recursion is traced back to Richard Dedekind’s theorem 126 of his Was sind und was sollen die Zahlen? (1888). This work was the first to give a proof that a certain recursive construction defines a unique function.

    Primitive recursive arithmetic was first proposed by Thoralf Skolem in 1923.

    The current terminology was coined by Rózsa Péter (1934) after Ackermann had proved in 1928 that the function which today is named after him was not primitive recursive, an event which prompted the need to rename what until then were simply called recursive functions.

    1. @Yu Li. Vous écrivez : « J’aimerais partager une brève histoire des « fonctions récursives primitives » dans l’espoir qu’elle nous aidera à mieux comprendre la preuve de Gödel davantage. ».

      Comme je vous l’ai laissé entendre plus haut (19 mai 2022 à 10 h 35 min) ce sera sans moi car je fais une allergie à la calculabilité , allergie renforcée depuis que j’ai fait connaissance de la théorie des modèles continus de Thom. Je remets ici partie de mon commentaire du 19/0510h35 :

      « Dehornoy note p.279 (1):

      « Le résultat de représentabilité que l’on va établir ici montre que ces fonctions sont également simples du point de vue de la prouvabilité. Ce résultat est essentiel pour l’obtention des résultats d’impossibilité de la section 4, et, en un sens, il constitue le noyau dur de leur démonstration. ».

      Vous avez donc tout-à-fait raison de vous concentrer sur les questions de récursivité, c’est-à-dire sur les trois premiers chapitres ! (Bon courage…). Pour moi ce problème de la représentabilité est aussi le noyau dur de la critique de PJ (et donc de la vôtre?). ».

      Je suivrai avec intérêt les échanges entre PJ, Druuh et vous qui auront lieu ici.

      1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

      1. Complément.

        La raison essentielle qui fait que je ne m’intéresse plus à la logique formelle -théorie de la démonstration et théorie des modèles- et à la théorie des ensembles est que ce sont des théories purement algèbriques, la géométrie en étant totalement absente. Ce n’est pas le cas de la théorie des modèles continus de René Thom qui est au contraire une théorie essentiellement géométrique. Je suppose que les chinois, qui expriment leur pensée à l’aide d’idéogrammes, seront plus sensibles que les occidentaux à ce genre de théorie à mon avis très prometteuse. Confucius ne disait-il pas qu’une image valait mille mots?

        1. Miss.Tic semblait penser cependant que dix petits mots en sus d’un dessin ne nuisaient pas à l’affaire .

          Mais les lettres ne sont elles pas en fait des dessins , et le zéro et l’infini aussi  » symbolisés  » par des images ?

          A propos de géométrie , de sa théorie ou de son  » esprit » , est ce que Thom et Blaise Pascal parlent bien de la même …chose ?

          1. Les lettres sont bien des dessins représentant quelque chose, dessins de plus en plus stylisés au fil du temps (au moins en Occident) si j’en juge par: https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_de_l%27alphabet . Les caractères chinois ont peut-être moins évolué (dans le sens d’une simplification/stylisation que les caractères indo-européens (je n’y connais rien). J’ai trouvé en (1) l’étymologie des caractères Yin et Yang :
            – 陰 : Le caractère yīn
            • 陰 = 阝(colline) + 侌 (parSe nuageuse)
            • 陰 : le côté sombre de la colline.
            – 陽 : Le caractère yáng
            • 陽 = 阝(colline) + 昜 (parSe brillante)
            • 陽 : le côté lumineux de la colline.

            En ce qui concerne Thom et Pascal je pense que s’il y a un rapport alors ce rapport est distant: Thom est en effet un penseur du continu, peut-être le premier depuis Aristote, alors que je pense que ce n’est pas le cas de Pascal.

            1: https://home.mis.u-picardie.fr/~yli/docs/DdR-4/chap4.pdf

              1. @juannessy. J’ai parcouru « votre » article de Russo concernant la vision que Pascal avait de l’analyse infinitésimale.

                Russo : « Nous ne nous attarderons pas à cet aspect de la pensée mathématique de Pascal car, avec lui, nous pensons que la discussion sur les indivisibles est assez stérile. ». Je pense au contraire que la question des indivisibles est une question centrale et que c’est la position adoptée face aux paradoxes de Zénon qui est pour moi le critère permettant de savoir si untel est un penseur du discret ou un penseur du continu (1). Ceci dit Pascal est pour moi d’abord un géomètre « mystique » (2), donc a priori plutôt un penseur du continu (mais je ne connais pas la position de Pascal à ce sujet). C’est ainsi que Thom (qui, lui, se revendique penseur du continu) voit la géométrie/topologie :

                « (…) il y a une certaine opposition entre géométrie et algèbre. Le matériau fondamental de la géométrie, de la topologie, c’est le continu géométrique ; étendue pure, instructurée, c’est une notion « mystique » par excellence. L’algèbre, au contraire, témoigne d’une attitude opératoire fondamentalement « diaïrétique ». Les topologues sont les enfants de la nuit ; les algébristes, eux, manient le couteau de la rigueur dans une parfaite clarté. » (3)

                Remarque finale. Je trouve complètement ratée par PJ la partie « Calcul différentiel » (pp.332 à 346) de « Comment la vérité… ». J’en ferai peut-être ici une critique.

                1: Pour moi René Guénon est -comme Aristote- un penseur du continu : cf. son « Principes du calcul infinitésimal » http://classiques.uqac.ca/classiques/guenon_rene/Principes_calcul_infinitesimal/Principes_calcul_infinitesimal.pdf

                2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Hexagramme_de_Pascal

                3: Yu Li, si elle lit cette citation, y verra peut-être une opposition « à la yin/yang ».

                1. Je prolonge un peu sur le rapport entre le discret et le continu -rapport qui me passionne voire me fascine- .

                  Dans le calcul intégral (le sujet de l’article de Russo sur Pascal) le problème est de « saucissonner » le continu en tranches; c’est donc au fond le rapport entre somme continue symbolisée par ∫ , et somme (infinie) discrète symbolisée par Σ. C’est lors de l’audiovision d’une conférence d’Alain Connes (un matheux médaillé Fields spécialisé en Physique quantique) que j’ai entrevu -grâce à AC- le cadre naturel (pour un matheux…) dans lequel ces deux notions se confondent. C’est précisément le cadre de l’approche théorique de la mécanique quantique formulée par von Neumann, à savoir celui des espaces de Hilbert séparables (1) : L²[0;1] = L² (2) est isomorphe à ℓ²(ℕ) = ℓ².

                  1: Tout espace de Hilbert séparable (et de dimension infinie) est isomorphe à ℓ²(ℕ) = ℓ². » https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hilbert#Classification

                  2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_L2

                2. @BasicRabbit l' »opposition entre géométrie et algèbre » n’est elle pas comparable ou résultante de la séparation entre sens de la vue (2D/3D) et de l’audition (1D linéaire et sémantique) ?
                  Y a t il une mathématique du toucher de l’odorat, du goût …?

              2. @juannessy Avec la « Pascaline », célèbre calculateur, Pascal s’intéressait en effet visiblement au discret.
                Il existe cependant des calculateurs analogiques (électroniques mais pas numériques) qui relèvent manifestement du continu (pas du courant, quoique).

            1. @Juannessy. Je suis tout-à-fait d’accord avec votre « dix petits mots en sus d’un dessin ne nuisaient pas à l’affaire » : il y a en effet un « plus » à décrire/interpréter ce que l’on voit (à l’aide de signes -phonétiques ou scripturaux- plus ou moins stylisés).

              Pour mon gourou Thom le langage a une origine géométrique : écrire c’est d’abord décrire. Et pour lui c’est l’opposition aporétique discret/continu qui domine non seulement la mathématique mais aussi toute la pensée.

            2. @BasicRabbit Merci pour cet éclairage Yin et Yang seraient adret et ubac mots qui rapelleront des souvenirs à certains mais d’usage plus terrestre et limité !

              1. @Ruiz Concernant les images mentales, François Jullien a écrit un livre pour en discuter : « La Grande Image n’a pas de forme. Ou du non-objet par la peinture ».

                Je cite le résume de ce livre :
                La conquête de l’objectivité est une avancée théorique – héroïque – de l’Occident, redonnant sens à cette appellation douteuse. C’est à penser sa possibilité que s’est attachée la philosophie; c’est elle qui a permis le succès vérifié de la science; c’est à sa représentation que s’est vouée passionnément, y quêtant l’illusion du vrai, la peinture classique.

                Mais cette construction rationnelle de l’objet n’a-t-elle pas enseveli d’autres possibilités de cohérence resurgissant génialement, par effraction, dans la peinture moderne et dans la poésie?

                C’est au désenfouissement d’une telle intelligence qu’invitent de leur côté, en toute sérénité, les Arts de peindre de la Chine ancienne que nous abordons ici: en traitant d’une image qui ne se laisse pas cantonner dans l’exiguïté de la forme, mais se transforme par respiration du vide et du plein, et écrit dans les polarités du paysage l’incitation qui tend la vie.

                Référence :
                https://www.seuil.com/ouvrage/la-grande-image-n-a-pas-de-forme-ou-du-non-objet-par-la-peinture-francois-jullien/9782020518161

                1. Yin et Yang par leur définition sont donc inséparables, l’un ne peut exister sans l’autre et ils révèlent la colline.
                  Comme les pôles opposés d’un aimant.
                  En mème temps ils n’existent que par la lumière.
                  Rien de nouveau sous le soleil.

                  1. Je trouve interessant d’associer le soleil à Yin et Yang.

                    Pourrais-tu expliquer un peu la signification du soleil dans ce cas ?

                    1. @Yu LI C’est juste une association d’idée :
                      cf. Basic Rabbit
                      陰 : Le caractère yīn => côté sombre de la colline.
                      陽 : Le caractère yáng => côté lumineux de la colline.

                      nécessite l’intervention du soleil.

                      Je lis dans un autre commentaire que démonstration allie soleil et lune !
                      (de préférence pleine – et pas gestante)

                      Mais pour désigner 2 parties plus ou moins visibles de la même chose celà nous conduit aussi à l’Iceberg (alors inégales).

                      A moins que mon interprétation ait zappé le caractère nuageux (cité initialement) du Ying et non pas ombre.
                      Celà reste invisible / visible, mais pas sous l’action du soleil, peut-être dans certaines circonstances sous l’influence d’un vent dominant révèlant le relief par son action sur l’hygrométrie de l’air.

                  2. Perso , en tant que membre du clan du loup , je ne suis pas d’accord avec Salomon .

                    Derrière l’éternelle inéluctabilité de la marche du soleil ( et Salomon , pour amoindrir son pessimisme, promettait l’au delà des délices divins , pour encourager à vivre  » malgré tout ») , il y a l’imprévu et le mystère de  » la lune » , vers laquelle je hurle chaque nuit .

                    En gros , si le soleil était mon Yin , la lune serait mon Yang.

            3. @BasicRabbit Merci d’avoir remarqué le poly de mon cours « découverte de la recherche »!

              C’est une matière très libre pour les étudiants de Master 1 et j’ai eu la chance d’avoir quelques années pour explorer avec mes étudiants certains des contenus que je n’aurais pas pu enseigner dans une matière classique.

  23. Les caractères chinois sont des images mentales formés en prenant de près pour le corp et de loin pour des choses de l’univers.
    J’utilise le caractère chinois 愁 (nostalgie) pour expliquer :
    愁 (nostalogie)= 秋(automne)+ 心(coeur)
    秋 (automne)= 禾(céréale)+ 火(feu)
    秋 (L’automne) est la saison où les feuilles sèchent et peuvent être brûlées.
    愁 (La nostalgie) est le ressenti de l’automne.

    Lorsque je rencontre un concept abstrait et complex, j’ai toujours l’intention de chercher des images mentales pour le comprendre. C’était le cas lorsque j’essayais de comprendre la preuve du théorème d’incomplétude de Godel et j’ai été étonnée de constater qu’aucun exemple n’était donné dans l’article de Godel, …

    1. @Yu Li. Je suis curieux de voir quel caractère chinois tu (1) associes au théorème d’incomplétude de Gödel. Et je suis encore plus curieux de connaître l’étymologie de ce caractère.

      1: Je te tutoie désormais (tu as initié le processus le 24/05 23h41).

      1. Je voudrai associer au théorème d’incomplétude de Gödel deux couples de caractères : « 實(réel)-虚(imaginaire)» , «真(vrai)-假(faux)».

        1. Whaow! Que voilà une belle idée pour la couverture de l’édition chinoise de « Comment la vérité et la réalité furent inventées » !

          1. La « démonstration » s’écrit en chinois avec deux caractère : 证明

            证(justifier) = 言(parôle) + 正(droit)

            明(clair) = 日(soleil) + 月(lune)

            1. @Yu Li. Merci. Y a-t-il en chinois une nuance -en mathématiques- entre montrer et démontrer? En français les matheux ne font en général pas la différence. Personnellement j’en fais une : on montre en géométrie (car on raisonne -en principe…-sur une figure) et on démontre en algèbre. Pour moi le théorème d’incomplétude se démontre mais ne se montre en aucun cas (car la géométrie y est totalement absente).

              À ce propos comment ranges-tu l’algèbre et la géométrie dans les catégories yin et yang (et, éventuellement leurs différenciations successives en digrammes, trigrammes, etc.) ?

        1. Ça je n’en sais rien. Mais je suis persuadé que tout le monde fera une exception pour toi si tu nous dis qu’en chinois on ne fait pas la distinction (même si tu mens aussi mal que Gödel…) !

          1. J’ai trouvé ça , dont je ne sais pas si c’est exact :

            En chinois (mandarin)
            En mandarin, le tutoiement et le vouvoiement sont très différents. Si vous parlez à un chinois qui a à peu près le même âge que vous, il emploiera souvent le tutoiement 你 nĭ. Cependant, le vouvoiement existe aussi dans cette langue mais est généralement réservé aux personnes plus âgées, comme les grands-parents, ou les personnes hiérarchiquement supérieures, comme les professeurs par exemple. Dans ce cas-là, on emploiera 您 nín. C’est surtout une marque de politesse et de respect.

            Si vous n’êtes pas sûr duquel employer, écoutez les Chinois parler entre eux. Vous découvrirez très vite dans quelle situation employer le tutoiement ou le vouvoiement. Dans le doute, utilisez le vouvoiement pour ne pas paraître trop familier. Utilisez tout d’abord le tutoiement uniquement avec des amis et familiarisez-vous avec son usage.

              1. @Yu LI En France il me semble que l’usage du « tu » corresponds plutôt au fait d’avoir vécu des choses ensemble*, d’appartenir à une même confrérie et au fait de ne pas vouloir mettre de distance dans la relation, ou s’il n’y a pas d’aspect formel vis à vis d’un public tiers.

                * dialoguer sur un blog pourrait en faire partie.

  24. En parlant de fonctions récursives, je voudrais parler de Rózsa Péter [1], fondateur de la théorie des fonctions récursives, et je cite deux passages de l’article [2] :

    – Rózsa Péter (originally Politzer) grew up in a country torn by war and civil strife in which simply living from day to day was never easy. She made ajor contributions to mathematical theory for which she received some recognition in her lifetime, but her name, which should be written together with the names of the founders of computational theory (Gödel, Turing, Church, Kleene), is all but forgotten today. In this, she no doubt shares the fate of other Eastern European scientists of the same period.

    – She died on the eve of her birthday in 1977. In her eulogy, her student Ferenc Genzwein recalled that she taught « that facts are only good for bursting open the wrappings of the mind and spirit » in the « endless search for truth. »

    Référence :
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3zsa_P%C3%A9ter
    [2] Founder of Recursive Func

  25. Ce qui suit est un plaidoyer, pas une démonstration.

    Le temps n’existe pas, par contre l’histoire est omniprésente en nous et autour de nous.
    Le présent, c’est la frontière entre l’histoire et le temps de nos modèles scientifiques (culturels).
    C’est le principe même des horloges qui structure notre quotidien. De vulgaires compteurs qui avance au rythme d’un oscillateur très stable, l’invariant de service, alors que le compteur lui se trouve être le digne représentant de l’histoire.

    Tout individue qui recherche une solution à un problème sans solution de son point de vue, sait qu’il doit rechercher des invariants sous la forme de structure aussi simple que possible.
    L’invariant central de notre histoire, c’est le Soleil et les structures cosmiques et atomiques dont il fait partie.

    Les mathématiques sont un outil de l’esprit et du langage comme tant d’autres, on peut l’utiliser à bon escient et efficacement pour prévoir le réel «physique» avec une bonne précision sans avoir besoin de décider qui du continu ou du discret est, serait le meilleur axiome. Il faut dissocier la recherche d’une vérité « absolue », un invariant mythique, de l’utilité de l’outil. Je vous avoue qu’au seuil de notre disparition plus que probable, ne pas faire cette distinction alors que les physiciens ont admis depuis longtemps l’équivalence du modèle corpusculaire avec celui ondulatoire me fait tristement penser à la quête futile du sexe des anges. Pour gravir la montagne de la connaissance il faut des outils et de la conviction. C’est depuis des nouveaux points de vue que l’on peut juger de la pertinence des choix opérés par ses maîtres.
    L’histoire regorge d’épisodes dans lesquelles des disciplines scientifiques, entendues et rapportées au niveau de la connaissance de l’époque, supplantent la préférée du pouvoir par sa plus grande efficacité à le perpétuer.
    Nous vivons sous le règne des «siences économiques» (une église de merde) sur lesquelles s’appuient les gouvernements, crétins utiles des marchands qui les manipules comme des pantins désarticuler, à proférer des discours «économique» qui servent leurs intérêts, bien sûr, sans aucun rapport avec la dite science, mais bassement égoïste.
    Les idées sont des graines qui peuvent pousser sur plusieurs substrats. Les sciences sont autant de substrat ou d’escabeau pour affiner et augmenter notre connaissance.
    La théorie des catégories, ANELA, les travaux Wolfram, l’IA, notre cerveau présentent des similitudes structurelles qui ne sont pas un hasard, mais une idée fertile qui doit nous sortir de l’impasse.

    Celui qui ignore l’histoire est condamné à la répéter.
    Nous sommes condamnés à nous «inventer» un futur pour que notre histoire avance.

    La difficulté à définir l’intelligence est la conséquence directe de sa rareté. C’est comme la valeur.
    Le substrat de l’intelligence et de la valeur c’est la Philia.

    Soyons fou, faisons preuve d’intelligence avant que la connerie nous engloutisse.

    1. Beaucoup d’axiomes et de postulats dans ces vérités assénées !

      Voire des affirmations contredites depuis un siècle s’agissant du temps .

    2. – Il faut dissocier la recherche d’une vérité « absolue », un invariant mythique, de l’utilité de l’outil.
      – Pour gravir la montagne de la connaissance il faut des outils et de la conviction.

      Ca me fait penser à deux articles représentatifs de Charles S. Peirce :
      1. How to Make Our Ideas Clear,1878
      https://courses.media.mit.edu/2004spring/mas966/Peirce%201878%20Make%20Ideas%20Clear.pdf
      2. The Fixation of Belief,1877
      https://en.wikisource.org/wiki/The_Fixation_of_Belief

      1. Merci pour vos liens. De ma première lecture diagonale, j’en retire cette impression paisible d’être à la maison.
        Je trouve très productif le travail de Gödel et de tous les scientifiques qui osent marcher sur les plates-bandes des autres disciplines. PJ le fait superbement. Ces actes, qui peuvent être très dangereux, sont indispensable pour faire progresser la connaissance. Des flibustiers des dogmes derrière lesquels les églises se protègent pour vivre à l’abri du pouvoir.
        Il manque dans la description de la méthode scientifique un chapitre qui conditionne l’entrée d’un membre dans son «silo» un défi lancé à un autre «silo».
        La science n’est jamais neutre, encore une crétinerie que l’on assène au jeune étudiant.

        A l’abordage moussaillon !

    3. @ un lecteur.

      Je suppose que je suis concerné par votre commentaire parce je suis le commentateur principal de cet article et parce que vous parlez de l’opposition discret/continu.

      I. Vous écrivez: « Les mathématiques sont un outil de l’esprit et du langage comme tant d’autres ». Si je suis à peu près d’accord avec le début (« Les mathématiques sont un outil de l’esprit » (1)), je ne le suis plus du tout avec la suite (« outil du langage comme tant d’autres »). Car pour Galilée c’est le langage même de la nature, ce qui tend à donner à ce langage un statut tout-à-fait spécial. Et, pour moi -et pas que pour moi- le problème des rapports entre mathématique et réalité est un problème philosophique fondamental qui ne reçoit pas actuellement, à mon avis, toute l’attention qu’il mérite (PJ traite de ce problème à sa façon dans « Comment la vérité… » (2)). Thom a consacré tout un bouquin (Apologie du logos) à ce problème :

      – « La langue usuelle a pour fonction primaire (…) de décrire les processus spatio-temporels qui nous entourent, processus dont la topologie transparaît dans la syntaxe des phrases qui les décrivent. Dans la géométrie euclidienne, on a affaire à la même fonction du langage, mais cette fois le groupe d’équivalences jouant sur les figures est un groupe de Lie, le groupe métrique, par opposition aux groupes d’invariance plus topologique des
      « Gestalten » qui nous permettent de reconnaître les objets du monde extérieur décrits par un nom du langage usuel. En cela, la géométrie est un intermédiaire naturel, et peut-être irremplaçable, entre la langue usuelle et
      le langage formalisé des mathématiques, langage dont l’objet se réduit au symbole et le groupe d’équivalences à l’identité du symbole écrit avec lui-même. »; (pp.563 et 564)

      – « (…) une vision plus claire du programme métaphysique de la théorie des catastrophes : fonder une théorie mathématique de l’analogie, qui vise à compléter la lacune ouverte par Galilée entre quantitatif et qualitatif. » (p.395).

      II. Pour Thom l’opposition discret/continu domine non seulement toutes les mathématiques mais aussi toute la pensée (Thom n’est pas démarcationniste (3)), Il traite de cette opposition (entre autres) pp.468 à 481.

      1: Thom (mon gourou) : « Langage, mythologie, institutions sociales sont des techniques de l’imaginaire. C’est seulement avec la mathématique qu’on voit apparaître la première technologie de l’imaginaire. » ; « L’outil n’est guère qu’un verbe solidifié. ».

      2: Voir éventuellement ma critique en commentaires de https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/09/what-makes-a-demonstration-worthy-of-the-name-by-paul-jorion-yu-li/

      3: « Le « philosophe de la nature » que j’envisage aura un point de vue résolument anti-démarcationniste. On peut imaginer un spectre quasi-continu joignant les assertions les plus solidement établies (par exemple un
      théorème de mathématique) aux affirmations les plus délirantes. La pratique de notre épistémologue peut être ainsi décrite. Partant des points de contact obligés entre science et philosophie, il s’efforcera d’épaissir
      l’interface entre science et philosophie ; il sera donc philosophe en sciences, et scientifique en philosophie. ».

      1. C’est mieux ici.
        Je vous oppose logiquement l’histoire. Un petit peu par taquinerie récursive, parce qu’elle avance par la sélection des meilleures idées, ou bien des plus intelligentes car elle permet à la totalité du vivant terrestre d’accroître sa connaissance en bonne harmonie (La Phillia).
        Historiquement, il y a une succession d’étapes qui nous permettent de parler et d’écrire. Des premières cellules qui ont libéré l’oxygène dans l’atmosphère, en passant par le développement du végétal puis de toutes les autres formes de vivant qui graduellement, par échange de signaux au sein d’une «espèce» et avec d’autres, en les mangeant par exemple, ont évolué comme un tout baigné par les rayons du Soleil et le rythme imposé par le métronome que forme la Lune, la Terre et le Soleil.
        La sophistication des formes vivantes a évolué de concert avec la richesse des signaux. La langue parlée, le vocabulaire et la grammaire précède l’écriture.
        C’est comme ça que je voie l’histoire.

  26. @Yu Li. Entiers infiniment grands dans des modèles non standard de l’Arithmétique de Peano du 1er ordre (PA1).

    J’ai annoncé ça en clôturant ma critique de « Comment la vérité… » (1). Mon intention est ici de montrer comment exhiber un modèle de PA1 possédant des éléments infiniment grands -naturellement qualifiés d’entiers puisqu’il s’agit de modèles de PA1 -bien que ces entiers ne soient pas naturels!-, modèle évidemment non standard puisque le modèle standard N ne contient que des entiers naturels.

    La réponse est une conséquence du théorème dit de compacité (2) qui est l’un des théorèmes fondamentaux de la théorie des modèles formels. Ce même théorème permet d’exhiber des « droites réelles » non-standard comportant des éléments infiniment petits et infiniment grands « en acte » -éléments naturellement qualifiés de réels, bien qu’ils ne le soient pas-, droites réelles non standard distinctes de la droite réelle standard qui, elle, est constituée des seuls nombres réels standard étudiés dès le lycée (3).

    Ce qu’il faut faire pour atteindre l’objectif fixé en appliquant le théorème de compacité est quasiment droit devant : on rajoute un symbole -classiquement noté ω- et l’infinité d’axiomes 0<ω, s0<ω, ss0<ω, sss0<ω, etc. On note naturellement cette nouvelle théorie du premier ordre PA1ω, théorie du premier ordre car on ne considère les axiomes de récurrence uniquement pour les formules du langage de PA1ω, le symbole ω étant évidemment destiné à être interprété par un "entier" infiniment grand dans tout modèle de PA1ω, s'il en existe. Et cette existence est assurée par le théorème de compacité puisque le modèle standard N de PA1 est modèle de tout sous-ensemble fini d'axiomes de PA1ω. Les s…s0 apparaissant dans ces axiomes étant en effet en nombre fini il suffit d'interpréter ω par un entier plus grand que tous les entiers qui interprètent ces s…s0 (4).

    Commentaire. Ce résultat n'est pas, je crois, nécessaire pour la preuve par Gödel du théorème d'incomplétude, mais il l'est -au moins pour moi- pour sa compréhension et pour mesurer la subtilité de sa preuve. En effet une démonstration de longueur non-standard n'est pas une démonstration! Cf. par exemple (5), remarque de bas de p.300, pour plus de précision.

    1: https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/09/what-makes-a-demonstration-worthy-of-the-name-by-paul-jorion-yu-li/

    2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compacit%C3%A9

    3: https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard (PJ écrit dans "Comment la vérité…" que "ce sont les travaux de Robinson en Analyse non standard, dans les années 1960, qui établirent -enfin- le recours à la limite [en calcul différentiel] sur une base solide.")

    4: Dans le modèle standard N s0 est interprété par 1, ss0 par 2, sss0 par 3, etc.

    1. Je vous oppose logiquement l’histoire. Un petit peu par taquinerie récursive, parce qu’elle avance par la sélection des meilleures idées, ou bien des plus intelligentes car elle permet à la totalité du vivant terrestre d’accroître sa connaissance en bonne harmonie (La Phillia).
      Historiquement, il y a une succession d’étapes qui nous permettent de parler et d’écrire. Des premières cellules qui ont libéré l’oxygène dans l’atmosphère, en passant par le développement du végétal puis de toutes les autres formes de vivant qui graduellement, par échange de signaux au sein d’une «espèce» et avec d’autres, en les mangeant par exemple, ont évolué comme un tout baigné par les rayons du Soleil et le rythme imposé par le métronome que forme la Lune, la Terre et le Soleil.
      La sophistication des formes vivantes a évolué de concert avec la richesse des signaux. La langue parlée, le vocabulaire et la grammaire précède l’écriture.
      C’est comme ça que je voie l’histoire.

      1. Je suis d’accord, la sophistication des formes vivantes est toujours une grande source d’inspiration pour l’humanité.

      2. D’ailleurs, le dessin ou la projection à l’origine de la géométrie précède aussi l’écriture qui est le support indispensable des mathématiques du discrète. Le passage de la parole à l’écrit est une émergence phénoménale du vivant, avec des conséquences culturelles radicales selon les choix de transposition qui se sont imposés aux femmes et aux hommes.

      3. Encore une remarque, je postule le prima de la dualité du signal.
        – Sous forme local, ou matériel, il prend la forme d’une « mémoire ».
        – Sous forme diffuse, ou globale, c’est un flux (ondulatoire).
        Si la langue parlée est une forme diffuse de signaux alors l’écriture correspond à sa forme locale. Le passage de l’une à l’autre se fait dans le réseau neuronal de notre cerveau, que l’on peut voir comme une matrice bidirectionnelle ou duale (discret – continue).
        La géométrie, ou plutôt le dessin son précurseur, pris en sandwich historique entre la langue parlée et écrite, hérite de la forme diffuse du signal.
        Le concept d’atome et de briques élémentaires pour expliquer la nature de la matière par nos ancêtres est apparu après l’écriture.
        La chronologie des événements suit un principe d’évolution vers la sophistication que je suis obligé de qualifier d’intelligent, sinon l’humanité n’existerait tout simplement pas puisqu’elle l’a inventé pour se qualifier, nombrilisme oblige.
        Il semblerait que l’IA, ce machin/prototype qui relie discret et continue, soit un passage obligé de notre coévolution technique, sinon RESET.
        A bon entendeur.

        1. Je n’ai pas la même position que vous en ce qui concerne les signaux sonores et lumineux: Pour moi -à la suite de mon gourou Thom- un signal est une singularité qui se détache sur un fond uniforme -qu’il soit sonore ou lumineux (typiquement un top sonore au milieu du silence, un flash lumineux au milieu de la nuit).

          – « La chronologie des événements suit un principe d’évolution vers la sophistication ». Il y a pour moi effectivement évolution d’une parie de l’humanité vers une sophistication de plus en plus rapide. Reste à savoir si cette sophistication est naturelle ou artificielle.

          – « Il semblerait que l’IA, ce machin/prototype qui relie discret et continue, soit un passage obligé de notre coévolution technique, sinon RESET. ».

          L’ordinateur est pour moi indissociable de l’IA. Et, par construction, un ordinateur ignore le continu.

          En ce qui concerne notre coévolution, je pense au contraire que si un Reset advient, ce sera parce que l’élite mondiale actuelle -ceux qui ont le pouvoir de dire et de faire- nous aura obligés à tester cette option : « Pense, porc », faisait dire Samuel Beckett à Pozzo s’adressant à Lucky dans « En attendant Godot ».

          Thom (à la fin d’un article sur l’innovation qu’on trouvait -trouve encore?- dans le thésaurus de l’EU) :

          « Décourager l’innovation

          Les sociologues et les politologues modernes ont beaucoup insisté sur l’importance de l’innovation dans nos sociétés. On y voit l’indispensable moteur du progrès et -actuellement [années 1980]- le remède quasi-magique à la crise économique présente; les « élites novatrices » seraient le cœur même des nations, leur plus sûr garant d’efficacité dans le monde compétitif où nous vivons. Nous nous permettrons de soulever ici une question. Il est maintenant pratiquement admis que la croissance (de la population et de la production) ne peut être continuée car les ressources du globe terrestre approchent de la saturation. Une humanité consciente d’elle-même s’efforcerait d’atteindre au plus vite le régime stationnaire (croissance zéro) où la population maintenue constante en nombre trouverait, dans la production des biens issus des énergies renouvelables, exactement de quoi satisfaire ses besoins: l’humanité reviendrait ainsi, à l’échelle globale, au principe de maintes sociétés primitives qui ont pu -grâce, par exemple à un système matrimonial contraignant- vivre en équilibre avec les ressources écologiques de leur territoire (les sociétés froides de Lévi-Strauss). Or toute innovation, dans la mesure où elle a un impact social, est par essence déstabilisatrice; en pareil cas, progrès équivaut à déséquilibre. Dans une société en croissance, un tel déséquilibre peut facilement être compensé par une innovation meilleure qui supplante l’ancienne. On voit donc que notre société, si elle avait la lucidité qu’exige sa propre situation, devrait décourager l’innovation. Au lieu d’offrir aux innovateurs une « rente » que justifierait le progrès apporté par la découverte, notre économie devrait tendre à décourager l’innovation ou, en tout cas, ne la tolérer que si elle peut à long terme être sans impact sur la société (disons, par exemple, comme une création artistique qui n’apporterait qu’une satisfaction esthétique éphémère -à l’inverse des innovations technologiques, qui, elles, accroissent durablement l’emprise de l’homme sur l’environnement-). Peut-être une nouvelle forme de sensibilité apparaîtra-t-elle qui favorisera cette nouvelle direction? Sinon, si nous continuons à priser par-dessus tout l’efficacité technologique, les inévitables corrections à l’équilibre entre l’homme et la Terre ne pourront être -au sens strict et usuel du terme- que catastrophiques. ».

          1. Je place le signal à l’origine du vivant et dual par nature, alors que Thom le considère comme une singularité parmi d’autres phénomènes je suppose.
            Mes commentaires sur ce fil présupposent aussi d’abandonner le temps et sa flèche que les thermodynamiciens expriment par l’inexorable augmentation de l’entropie pour des « flèches d’histoires », stockées dans des structures (mémoires) imbriquées (fractales), disséminées aux quatre coins de l’Univers.
            Tout ce beau monde communique à la vitesse de la lumière et instantanément par intrication de particule (un anti-message). Ce dernier morceau, c’est pour le fun, petit délire pour la route.

            1. Thom postule l’existence d’un champ morphogénétique :

              « (…) on pourrait rapporter tous les phénomènes vitaux à la manifestation d’un être géométrique qu’on appellerait le champ vital (tout comme le champ gravitationnel ou le champ électromagnétique) ; les êtres vivants seraient les particules ou les singularités structurellement stables de ce champ ; les phénomènes de symbiose, de prédation, de parasitisme, de sexualité seraient autant de formes d’interaction, de couplage entre ces particules… La nature ultime dudit champ, savoir s’il peut s’expliquer en fonction des champs connus de la matière inerte, est une question proprement métaphysique ; seule importe au départ la description géométrique du
              champ, et la détermination de ses propriétés formelles, de ses lois d’évolution ensuite. ».

              Aussi je me demande parfois, comme ici, s’il ne refuse pas implicitement le deuxième principe de thermodynamique (je n’ai rien lu de lui où il le refuse explicitement).

  27. @Yu Li. En reparcourant l’article de Gödel daté de 1930 sur lequel vous (et PJ?) travaillez, j’ai été étonné de voir que l’usage de formuler précisément les théorèmes démontrés n’a pas été respecté (il apparaît caché sous la forme de la Proposition VI). Il a fallu que je parcoure l’article jusqu’à la fin pour comprendre pourquoi: pour moi cet article est ce qu’on appelle maintenant un préprint, c’est-à-dire un article préliminaire fait essentiellement pour prendre date. En voici les dernières phrases à l’appui de mes dires:

    « Throughout this work we have virtually confined ourselves to the system P, and have merely indicated the applications to other systems. The result will be stated and proved in fuller generality in a fortcoming sequel. There too, the mere outline proof we have given in proposition XI will be presented in detail. ».

    Pouvez-vous me donner un lien vers l’article « in fuller generality » (traduit, de nette préférence en français -je n’ai plus accès aux bibliothèques universitaires depuis maintenant 15 ans…- ) dont il parle (1)?

    Remarque 1. Gödel précise dès le début de son preprint qu’il se place dans PM ou ZF pour étudier exclusivement P (l’arithmétique de Peano du premier ordre -que je note PA1-). Le premier commentaire de Druuh dans (2) : « la logique aristotélicienne n’est PAS de la logique mathématique », est, selon moi, à lire dans ce sens.

    Remarque 2. La proposition XI deviendra, sauf erreur de ma part, le deuxième théorème d’incomplétude, dont, ai-je lu, Gödel ne publiera jamais une démonstration plus détaillée que celle esquissée ici (et, ai-je lu, c’est Bernays qui s’en chargera dans un article cosigné par Hilbert).

    1: « Les théorèmes d’incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). » ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del )

    1. Il s’agit du même article célèbre de Gödel, pas du préprint !

      J’ai appris que Jean-Batiste Campesato a traduit l’article de Gödel en français et je lui ai écrit pour lui demander de partager sa traduction. S’il ne me répond pas, je pourrai le traduire, mais cela prendra un peu du temps.

      Tu a dit, « j’ai été étonné de voir que l’usage de formuler précisément les théorèmes démontrés n’a pas été respecté (il apparaît caché sous la forme de la Proposition VI) ».

      Exact! c’est dans la preuve de Proposition VI que Gödel a construit sa fameuse proposition « vraie mais indémontrable ».

      Je suis très contente que tu aies commencé à lire le texte original de Gödel, et je suis sûre que tu trouveras d’autres surprises beaucoup plus importantes!

      1. @Yu Li.

        – « Il s’agit du même article célèbre de Gödel, pas du préprint ! ». Effectivement, Gödel parle d’un preprint antérieur dans la foot note 1 (où le 1 est minuscule à la fin du titre en majuscules). Dans ces conditions il faut modifier le tout début de ton article, car celui de Gödel a été reçu par l’éditeur le 17 novembre 1930.

        – « J’ai appris que Jean-Batiste Campesato a traduit l’article de Gödel en français et je lui ai écrit pour lui demander de partager sa traduction. S’il ne me répond pas, je pourrai le traduire, mais cela prendra un peu du temps. (…) Je suis très contente que tu aies commencé à lire le texte original de Gödel, et je suis sûre que tu trouveras d’autres surprises beaucoup plus importantes! « . Tu fais ce qu’il faut pour me motiver.

        – Tout ça m’éclaircit un peu les idées. Je pense qu’il faut se concentrer sur l’arithmétique de Peano (noté P par Gödel, PA1 par moi). Deux choses me gênent.

        La première concerne la ω-cohérence car je n’ai pas trouvé où Gödel indique que la théorie PA1 est ω-cohérente, ce qui me semble être la moindre des choses (sinon ça laisse entendre que Gödel a rajouté l’hypothèse uniquement pour que ça marche, ce qui est pour moi typiquement un sophisme). (Cette remarque vaut peut-être aussi pour l’article de Dehornoy et sa ω-cohérence faible.)

        La seconde est de savoir ce qu’il entend exactement par modèle standard de l’arithmétique de Peano: est-ce que les entiers dont il parle sont les entiers naturels que l’on apprend maintenant à manipuler dès l’école primaire, où est-ce que ce sont les entiers définis « à la von Neumann » dans un modèle de PM ou de ZF (dans lesquels Gödel se place sans le dire -ou inconsciemment- car il a besoin de s’y placer pour avoir un N « en acte » et pas seulement « en puissance »). Pour moi c’est peut-être là que se niche le cœur de votre critique (PJ et toi) de la preuve par Gödel de son théorème d’incomplétude.

        1. En relisant mon « Tu fais ce qu’il faut pour me motiver », je dois préciser: « en me communiquant le lien vers la traduction de J.B Campesato (ou autre, car il y a peut-être une ou plusieurs traductions françaises plus anciennes), et cela seulement. ».

          1. Il existe une traduction française de l’article de Godel dans ce livre, mais je n’ai pas trouvé de lien vers l’article. Au fait, je me suis trompée de traducteur, c’est Jean-Baptiste Scherrer, pas J.B Campesato.

            Le théorème de Gödel. Traductions de l’anglais et de l’allemand par Jean-Baptiste Scherrer. Sources du savoir, Paris : Éditions du Seuil, 1989, 170 p. (https://www.amazon.fr/dp/2020327783?psc=1&smid=A1X6FK5RDHNB96&ref_=chk_typ_imgToDp)

            Résume :

            Par sa profonde originalité et sa supposée complexité, le théorème de Gödel a acquis un statut mythique.

            Énoncé en 1931, ce théorème d’« incomplétude » a bouleversé la question du fondement des mathématiques. Si sa portée méthodologique et philosophique est considérable, ses difficultés techniques ont été très surestimées.

            Pour prendre en compte ces deux aspects, le présent ouvrage rassemble la traduction de l’article original de K. Gödel, une version vulgarisée de sa démonstration par E. Nagel et J. R. Newman, et un essai du logicien J-Y. Girard qui fait le point sur les problèmes d’interprétation de ce célèbre théorème.

            1. Merci pour le lien: je vais investir 7,80€.

              Pour moi le problème de fond est que ces gens -je pense à J.Y Girard que je côtoyais dans l’ « équipe » de logique de Paris VII dans les années 1970- ont peut-être eu trop « le nez dessus » toute leur vie professionnelle pour avoir un recul suffisant. C’est ça, je pense, que PJ leur reproche. Mais pour moi PJ est un peu comme Rantanplan: il sent confusément que quelque chose cloche parce que Wittgentsein et d’autres pensaient ça et il étale ses « états d’âme » le long du chapitre IV de « Comment la vérité… ». Mais, scientifiquement, il reste à mettre précisément le doigt sur les points qui clochent -s’il y en a…-. Et pour cela il faut convaincre un bon logicien (je n’en suis pas un) de reprendre tout, pas à pas, avec l’idée de PJ en tête…

              Si on suit Dehornoy le noyau dur de l’affaire est ici :

              « Le résultat de représentabilité que l’on va établir ici montre que ces fonctions sont également simples du point de vue de la prouvabilité. Ce résultat est essentiel pour l’obtention des résultats d’impossibilité de la section 4, et, en un sens, il constitue le noyau dur de leur démonstration. ».

              Dehornoy se plaçant dans le cadre de l’arithmétique de Robinson, plus faible que celle de Peano mais néanmoins suffisante pour prouver l’incomplétude de cette arithmétique-là, je pense que c’est de ce côté-là qu’il faut chercher : comprendre pourquoi l’arithmétique de Pressburger (sans multiplication mais avec axiomes de récurrence) est complète alors que celle de Robinson (avec multiplication mais sans axiome de récurrence) ne l’est pas (1).

              C’est dans cette optique que je me pose les deux questions de la fin de mon commentaire du 30/0510h09.

              1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_de_Presburger

              1. Complément. En reparcourant Dehornoy (1), je tombe sur 3.2.5 p.285, introduite ainsi :

                « On parle d’absoluité pour exprimer que la valeur « vrai/faux » d’une formule ne change pas entre une structure et une autre. Le résultat suivant exprime que les formules closes ∆0 sont absolues et les formules closes Σ1 semi-absolues vers le haut vis-à-vis des extensions finales. ».

                Le problème de absoluité ou non de la valeur de vérité entre méta-langage et langage formalisé est, à mon avis, au cœur de la critique de PJ.

              2. En fait ma première question est résolue dans (1), haut de p.301, dans les dernières lignes (je le savais et l’avais même écrit plus haut ici -j’ai la flemme de retrouver où exactement- (je n’ai jamais eu beaucoup de mémoire et ça ne s’arrange pas avec l’âge!). Il reste donc à savoir si Gödel fait une remarque analogue dans son article à propos de son hypothèse de ω-cohérence. Vous vous en chargez, Yu Li ?

                Il reste donc pour moi ma deuxième question: y a-t-il unicité « à isomorphisme près » du modèle « naïf » de (N, 0, s, +, ·, <ou=) avec sa "copie" "à la von Neumann" dans un modèle de ZF ou de PM? Et, si oui, que signifie alors "à isomorphisme près".

                1 : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

  28. @juannessy J’ai relu le blog et je me suis rendu compte que j’avais manqué ton commentaire (12 MAI 2022 À 14 H 42 MIN), c’est très gentil de ta part!

    Il s’avère que Basic Rabbit est Alice Basic Rabbit ! J’ai découvert des trésors chez Lewis Carroll, grâce à ma recherche sur Godel et à mon cours de logique.

    Le théorème de l’incomplétude de Gödel touche de différents niveaux de choses, et différentes points de vue apportent différents éclairages. Nous apprenons et complétons les uns des autres !

    J’explique l’étymologie de caractères chinois 知道 (pinyin: Zhidào, connaître)
    知 = 矢(flèche) + 口(bouche)
    知: Les paroles agiles comme une flèche, connaître
    道 = 辶(chemin) + 首 (tête)
    道 : la guide, la voie

    1. @Yu Li.

      – « Basic Rabbit est Alice Basic Rabbit ». J’aiété initialement formé -je trouve que formaté est plus adéquat- à la logique formelle. Il est en effet très clair que, pour moi avec le recul de l’âge, l’école française formate et ne fait pratiquement que ça (même l’enseignement de la philosophie se réduit bien souvent à l’enseignement de l’histoire de la philosophie). J’ai jadis choisi ce pseudo pour une citation attribuée à Mirabeau (certains, ai-je lu, l’attribue à Aristote) : les hommes sont comme des lapins, ils s’attrapent par les oreilles (et maintenant également par les yeux, grâce aux « progrès » de l’audiovisuel. Penser par soi-même est très difficile -voire impossible si l’on en croit un lecteur-. Je crois qu’en définitive c’est seulement par le rêve que qu’on peut penser par soi-même et se connaître soi-même. Ce n’est pas à la portée de tout le monde, loin s’en faut, pas à la mienne en tout cas. Grothendieck dit l’être (lire « La clé des songes »), Thom aussi (1).

      – Je suis étonné par l’étymologie chinoise, qui suggère que la connaissance vient seulement de l’extérieur pour s’imprimer à l’intérieur (suggérant qu’initialement l’intérieur du nouveau-né est une tabula rasa, une tablette de cire qu’il s’agit d’imprimer -et qui s’exprimera ultérieurement…-). Ce n’est pas ce que suggère l’étymologie du mot français connaissance qui est une co-naissance: double mouvement de l’extérieur vers l’intérieur et de l’intérieur vers l’extérieur.

      –  » 道 : le guide, la voie « . Je ne connais que deux passages où Thom parle de la philosophie chinoise. L’un d’eux concerne explicitement le guide et la voie. Et ce passage apparaît dans le premier article intitulé « Rêveries ferroviaires » du recueil « Apologie du logos » (il y en a 35) où Thom parle de sa passion enfantine pour les chemins de fer (passion qu’il conservera toute sa vie) :

      « La voie est un passage obligé, une « chréode » (1) au sens de Waddington. Entre les deux rails, le vide. (…) Comme l’avaient si bien vu les anciens Chinois du Tao, voie et vide sont synonymes. ».

      1: « Une grande partie de mes affirmations relèvent de la pure spéculation; on pourra les qualifier de rêveries… J’accepte le qualificatif; la rêverie n’est-elle pas la catastrophe virtuelle en laquelle s’initie la connaissance? Au moment où tant de savants calculent de par le monde, n’est-il pas souhaitable que d’aucuns, qui le peuvent, rêvent? » (dernières phrases de « Stabilité structurelle et morphogenèse », la première œuvre majeure de Thom).

      2: Plus loin dans l’article Thom refait allusion aux chréodes à propos du triage. Pour moi en rapport direct avec « Principes des systèmes intelligents » de PJ (voir la note de fin du chapitre IV).

      1. Voici l’autre citation de Thom concernant la philosophie chinoise:

        « (…) les états elliptiques doivent s’interpréter comme des états de tension, les états hyperboliques comme des états de relâchement ; on s’expliquera ainsi qu’un état de tension, bien que nécessaire à la vie, soit toujours de durée limitée et suivi de relâchement. Cette dialectique perpétuelle elliptique–hyperbolique n’est pas sans rappeler l’opposition yin-yang de la médecine chinoise ou encore l’opposition excitation-inhibition chère aux neurophysiologistes. Le sexe masculin présente, à cause de la nature même de transport spatial de l’acte sexuel mâle, une nature plus elliptique que le sexe féminin ; on pourra peut-être ainsi s’expliquer – chose grosso modo vérifiée de E. Coli jusqu’à l’homme – que les mâles soient plus velus (en un sens généralisé) que leurs compagnes et qu’ils soient aussi biologiquement plus fragiles.

        Dans le même ordre d’idées, on sait le rôle étendu que Freud a attribué au symbolisme sexuel (dans les rêves notamment) ; il faut bien admettre que si les formes géométrico-dynamiques représentant les processus sexuels se rencontrent dans tant d’objets de la nature animée ou inanimée, c’est parce que ces formes sont les seules structurellement stables dans notre espace-temps à réaliser leur fonction fondamentale comme l’union des gamètes après transport spatial. On pourrait presque affirmer que ces formes préexistent à la sexualité, qui n’en est peut-être qu’une manifestation génétiquement stabilisée. » (Stabilité structurelle et morphogenèse, 2ème ed. p.97).

        Je la cite ici (on s’éloigne de Gödel!) parce que Thom précise sa position p.190 dans le chapitre 9 consacré à l’épigenèse en général et au cas des chréodes sexuelles dans le cas de l’épigenèse tardive, ce qui renvoie à la footnote du chapitre IV de « Principes des systèmes intelligents » de PJ.

        Pour moi la théorie des catastrophes de René Thom est en rapport étroit avec le 易经 , je la sens même comme sa version occidentale (voir p.312). Ces choses m’intéressent beaucoup plus que le théorème de Gödel et je ne comprends pas pourquoi ce n’est pas le cas de PJ qui cite s’intéresse au Turing « illuministe » à la toute fin de « Comment la vérité… » (on se rapproche de Gödel). Dans ses travaux sur la morphogenèse Turing a dit se situer dans la filiation de d’Arcy Thompson -qui lui-même se situait dans la filiation d’Aristote-. Selon moi il aurait été beaucoup plus cohérent que PJ prolonge sur Thom, parce que l’écossais se situait « naturellement » dans la filiation de l’Aristote de la Physique et non dans celle de l’Aristote de l’organon.

        1. Je suis en train de découvrir la théorie des catastrophes de René Thom, et j’ai le sentiment que les travaux d’Alexandre Grothendieck et de René Thom modernisent les mathématiques, tout comme la peinture occidentale s’est modernisée, …

          1. En ce qui concerne Thom je pense qu’il ne s’agit pas d’une modernisation: que ce soit dans sa partie strictement mathématique (théorie du cobordisme et topologie différentielle, en gros jusqu’à sa médaille Fields en 1958) ou dans l’implication de ces théories mathématiques en théorisation de la biologie et de la linguistique, il s’agit pour moi d’un retour aux sources de la connaissance qu’à une modernisation :

            – « En vérité, il existe une réelle unité dans ma réflexion. Je ne la perçois qu’aujourd’hui, après y avoir beaucoup réfléchi, sur le plan philosophique. Et cette unité, je la trouve dans cette notion de bord. Celle de cobordisme lui était liée. »;

            – « La physique moderne a sacrifié la stabilité structurelle à la stabilité; je veux croire qu’elle n’aura pas à se repentir de ce choix. ».

            Je crois que Thom n’est pas du tout moderniste, ni en maths ni ailleurs. En maths son article de 1970 « Les mathématiques modernes : une erreur pédagogique et philosophique? » (1) est, paraît il le plus lu de son abondante production. Thom cherche à relier physique moderne et physique aristotélicienne qui ont été séparées lors de la coupure galiléenne (qui a eu un grand impact en Occident).

            J’admire ton écléctisme. Mais il faut que je fasse maintenant un effort pour ne pas trop te distraire de l’objectif fixé par toi: le théorème d’incomplétude de Gödel.

            1: que l’on trouve dans Apologie du logos, Hachette, 1990.

      2. Il est difficile de l’interpréter de cette façon, et je pense qu’il est préférable de voir un caractère chinois comme une image mentale.

        J’explique le caractère chinois « 想(penser) » afin de mieux cerner cette image mentale :
        想 = 相(image mentale) + 心(coeur)
        相 = 木(arbre) + 目(oeil)
        相: au sens propre, l’image mentale obtenue par l’œil qui observe l’arbre; au sens figuré, une co-naissance: l’homme regarde l‘arbre et l‘arbre regarde l’homme.

        1
        1. @ Yu Li. Tu écris : « l’homme regarde l‘arbre et l‘arbre regarde l’homme ».

          En marge de sa liste des sept catastrophes élémentaires, Thom parle des catastrophes de transition, en particulier des catastrophes obtenues comme couplage de deux fronces dos à dos (lèvre, « œil ») ou face à face (bec à bec) (1), catastrophes que l’on retrouve sur l’écorce des arbres. Dans l’un de ses premiers articles en biologie théorique Thom cite Baudelaire à ce propos:

          « La Nature est un temple où de vivants piliers
          Laissent parfois sortir de confuses paroles ;
          L’homme y passe à travers des forêts de symboles
          Qui l’observent avec des regards familiers. » .

          Maintenant, lorsque je vois deux lignes d’écorce se diviser pour se refermer peu après en lèvre, je vois un arbre qui me regarde qui me regarde avec cet œil…

          1: J’ai retrouvé la lèvre dans l’hexagramme Yi-jing : les Commissures des lèvres ䷚ , dont le dual ䷛ (obtenu en échangeant trait plein et pointillé) ne semble pas être le bec à bec ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Hexagramme_Yi_Jing )

    2. A propos de « bouche » et de  » connaitre » , je note qu’effectivement et heureusement pour les muets chinois et français , on a inventé (  » la tête » ) le langage des signes .

      Bonne journée !

  29. Je trouve ce passage très inspirante :
    « […] l’essence de la théorie des catastrophes c’est de ramener les discontinuités apparentes à la manifestation d’une évolution lente sous-jacente. Le problème est alors de déterminer cette évolution lente qui, elle, exige en général l’introduction de nouvelles dimensions, de nouveaux paramètres. » — René Thom (1991)

    1. @ Yu Li. Je suis content de voir que tu t’intéresses à la pensée de Thom : j’ai essayé pendant 5 ans sur ce blog et je n’ai eu en (rares) retours que des commentaires ironiques voire sarcastiques ()dont ceux de PJ lui-même. Le seul à m’avoir renvoyé un commentaire positif a été Marc Peltier. Je t’ai déjà dit, mais je te le répète quand même, que je préfère de beaucoup parler de l’œuvre de Thom que de celle de Gödel; c’est pour moi « Connais-toi toi-même » qui respire la vie, contre « Mens-toi à toi même » qui respire la mort (et qui est pour moi typique de « ma » (1) civilisation occidentale finissante);

      Pour moi « rentrer » dans l’œuvre de Thom a été très difficile (et avancer dedans l’est aussi, vingt ans après). Je pense que ce que j’appelle sa vidéo-testament (2) est une bonne entrée en matière. Il y a aussi la vidéo de sa conférence « Hasard, déterminisme et innovation » (3) (Thom est déterministe). Ça permet de se faire une idée sur le bonhomme -c’est pour moi important-. Ensuite il y a un recueil de 90 pages de citations (4) que je ne me lasse pas de méditer presque journellement.

      Mais nous (toi, PJ et moi, entre autres) sommes ici d’abord pour régler son compte à la mort. N’est-ce pas?

      1: Pas « ta », j’espère pour toi.

      2: https://www.youtube.com/watch?v=fUpT1nal744

      3 : https://www.youtube.com/watch?v=BXxKQVQFnRo

      4: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/thom/data/citations.pdf

  30. Les « fonctions récursives » et les « relations récursives » sont la véhicule de la preuve formelle de Chapitre 2 de l’article de Gödel, mais Godel n’a pas discuté de leur signification.

    Ici, j’utilise deux exemples représentatifs comme « images mentales » pour aider à comprendre la sens de ces deux concepts fondamentaux.

    1. Fonctions récursives et relations récursives définies par Godel

    Godel a dit ([1], p.46-47):
    A number-theoretic function Φ(x1, x2, …xn) is said to be recursively defined by the number-theoretic functions Ψ(x1, x2, …xn-1) and μ(x1, x2, …xn + 1), if for all x2, … xn, k  the following hold:

    Φ(0, x2, …xn) = Ψ(x2, …xn)
    Φ(k + 1, x2, …xn) = μ(k, Φ(k, x2, …xn), x2, …xn). (2)

    A number-theoretic function Φ is called recursive, if there exists a finite series of number-theoretic functions Φ1, Φ2, … Φn which ends in Φ and has the property that every function Φk of the series is either recursively defined by two of the earlier ones, or is derived from any of the earlier ones by substitution, or, finally, is a constant or the successor function x + 1. The length of the shortest series of Φi that belongs to a recursive function Φ, is termed its degree.

    A relation R(x1, x2, …xn) among natural numbers is called recursive, if there exists a recursive function Φ(x1, x2, …xn) such that for all x1, x2,… xn

    R(x1, x2, …xn) ≡ [Φ(x1, x2, …xn) = 0]

    2. « Images mentales » : la sens des fonctions récursives et des relations récursives

    Exemple 1 : Le plus grand commun diviseur pgcd(a, b)

    – Définition recursive de pgcd(a, b), a et b sont deux entiers naturels, et a >b :
    pgcd(a, b) = a b=0
    pgcd(a, b) = pgcd(b, mod(a, b)) b/=0

    – Déterminez si b peut atteindre à 0 pour savoir si a et b sont mutuellement premiers :
    R(a, b) ≡ si b peut atteindre à 0.
    (je ne suis pas sure la formule de R(a, b))

    D’un côté, pgcd(a, b) calcule le plus grand commun diviseur de a et b en un nombre fini d’étapes, donc pgcd(a, b) est la fonction récursive primitive.

    D’un autre côté, pgcd(a, b) est elle-même une preuve pour prouver R(a, b), par exemple :

    pgcd(12, 8) = 4, 12 et 8 ne sont pas des entiers mutuellement premiers, R(12, 8) est vrai.
    pgcd(12, 5) = 1, 12 et 5 sont des entiers mutuellement premiers, R(12, 5) est vrai.

    Donc R(a, b) est prouvable.

    Exemple 2 : Conjecture de Collatz

    – Définition récursive de la séquence de Collatz:
    fCollatz(n, i) = 1 (n=1)
    fCollatz(n, i) = fCollatz(n/2, i+1) (n is pair)
    fCollatz(n, i) = fCollatz(3n+1, i+1) (n is impair)

    – Déterminez si la séquence de Collatz peut se terminer à 1 :
    R(n) ≡ si fCollatz(n, 1) peut se terminer à 1
    (je ne suis pas sure la formule de R(n))

    fCollatz(n, i) est une fonction récursive générale, mais nous ne savons pas si R(n) est vraie pour tout n.

    Conjecture : fCollatz(n, i) n’est pas une fonction récursive primitive et R(n) n’est pas prouvable.

    3. Relations récursives et relations récursives, métamathématiques

    Comme on peut constater, la fonction récursive exprime elle-même une preuve, mais la validité de cette preuve doit être vérifiée, et la relation récursive R se réfère à cette vérification, c’est-à-dire à déterminer si la fonction récursive Φ est la fonction récursive primitive.

    Cependant, si une fonction récursive non primitive est confondue avec une fonction récursive primitive, ça revient à présupposer que la relation recursive R est prouvable, autrement dit, le problème de determiner si une fonction récursive est primitive a disparu, pourtant c’est le coeur de l’indécidabilité !

    C’est justement ce que a fait Godel dans sa preuve:
    en se référant aux « fonctions récursives » de manière générale dans son article, Gödel n’a pas fait la distinction entre « fonctions récursives primitives » et « fonctions récursives non primitives », car cette distinction a été développée plus tard (voir mes commentaires : 23 MAI 2022 À 22 H 31 MIN, 28 MAI 2022 À 0 H 56 MIN) .

    Je pense que c’est peut-être ce dont Paul a parlé :
    Gödel sera obligé en particulier de faire intervenir la notion de « classe récursive » qu’il traitera comme une composante légitime de l’arithmétique. Ce faisant il opère un saut que tous les mathématiciens ne sont pas prêts à faire. Daval et Guilbaud en particulier considèrent au contraire que la récursion est elle-même une notion méta-mathématique et non arithmétique. « S’il y a une méta-mathématique elle est constamment menacée d’expropriation par la mathématique. L’induction (récurrence) est-elle autre chose qu’un constat méta-mathématique ? » (Daval & Guilbaud 1945 : 144)

    Référence :
    [1] https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf

    1. Tu m’invites aimablement à rentrer dans la partie « calculabilité » de la preuve par Gödel de son théorème d’incomplétude. Je t’ai dit que je n’étais plus du tout motivé par et pour le calcul. C’est idiot de ma part mais c’est comme ça, car je sais bien que la calculabilité n’est pas le calcul (pour moi, ces deux notions sont dans le même rapport que la technologie et la technique -le calcul comme technique et la calculabilité comme technologie-).

      Tu écris : « C’est justement ce que a fait Gödel dans sa preuve: en se référant aux « fonctions récursives » de manière générale dans son article, Gödel n’a pas fait la distinction entre « fonctions récursives primitives » et « fonctions récursives non primitives », car cette distinction a été développée plus tard ».

      C’est en lisant Dehornoy (1) (que j’ai compris -j’espère- pourquoi cette distinction a été développée plus tard. Pour moi Gödel n’a pas besoin de la récursivité primitive parce que dans PA1 ‘il y a les axiomes de récurrence. Dans les versions modernes du théorème d’incomplétude c’est l’arithmétique de Robinson qui remplace celle de Peano dans les hypothèses. Dans cette arithmétique, il n’y a pas d’axiomes de récurrence, et c’est la récursivité primitive qui la remplace et qui fait que ça marche : il y a une fonction de codage similaire à celle utilisée par Gödel qui est primitive récursive (cf. (1) p. 266).

      Tu écris : « Je pense que c’est peut-être ce dont Paul a parlé ». Moi aussi. J’y ai répondu ici aux points 4 et 4&5 de mon commentaire du 1 mai 2022 à 8 h 46 min.

      À propos de la fonction de Collatz.

      Pour moi, au flair, cette fonction est récursive mais pas primitive récursive, parce qu’on ne sait pas -conjecturalement- borner le temps de vol, et c’est pour ça -peut-être…- qu’Erdôs dit que c’est un problème difficile. Par contre je pense que la fonction de Collatz simplifiée qui est proposée dans la partie discussion (la dernière en date) de l’article Wikipédia (2) est primitive récursive. Mais je te répète que j’y vais au flair: je ne me suis pas penché sur la question de la récursivité quand j’aurais dû le faire (années 1970/1980, quand je travaillais en logique) et je ne vais certainement pas m’y pencher maintenant que je n’ai plus d’obligation de ce type!).

      1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

      2 « On peut peut-être généraliser à des polynômes à coefficients dans F2. On part d’un polynôme quelconque P0(X) et on fait évoluer par Pn+1 = (X+1)Pn +1, en renormalisant à chaque fois par division successive par X jusqu’à avoir 1 comme coefficient constant, avant de passer à l’étape suivante. (On remplace 2 par X et 3 par X+1, sauf, bien entendu, dans le 2 de F2.)  » ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Conjecture_de_Syracuse )

      1. Je pense que la théorie des catastrophes de René Thom est d’une grande pertinence pour confronter les crises du monde actuel, telles que le Covid, le changement climatique, la crise de la terre, etc.

        Une crise est aussi une opportunité, à condition que les gens en soient conscients.

        En regardant le théorème d’incomplétude de Gödel d’un point de vue de la théorie des catastrophes, je pense que ce théorème est une vraie « catastrophe » , si nos questionnements, y compris ceux de Zermelo, Wittgenstein, Turing etc., sont justifiés !

        Lorsque le paradoxe (le paradoxe de Russell) est apparu dans la définition d’un ensemble, il y a eu un fort sentiment de crise dans la communauté scientifique, et une série de solutions ont été proposées, telles que l’axiomatisation des ensembles de Zermelo.

        Cependant, lorsque le paradoxe est apparu dans la preuve de Gödel, on n’en avait pas conscience, ce phénomène m’a troublé et rendu perplexe, et m’a aussi motivé de déchiffrer le texte original de Gödel, …

        Merci de faire venir René Thom dans mon coeur !

        1. Les catastrophes de Thom ne sont pas toujours les catastrophes au sens usuel car beaucoup d’entre elles sont bénéfiques, en particulier la catastrophe « fronce » (la deuxième de ses sept catastrophes élémentaires -les seules qui ,selon lui, sont perceptibles dans notre espace-temps) que Thom prend pour modèle d’un grand nombre de phénomènes que l’on rencontre dans la nature animée ou non, du cœur en particulier (opposition diastole/systole) puisque tu en parles.

          Crises et catastrophes. Thom distingue ces deux notions : voir son article « Crises et catastrophes » (1);

          Le théorème d’incomplétude de Gödel n’est pas pour moi une catastrophe, ni au sens thomien ni au sens commun. Pour moi ce théorème montre les limites de la philosophie analytique et je pense qu’il y a mieux à faire que de prolonger dans cette voie trop formelle comme anglo-saxons -essentiellement- semblent continuer de le faire (2).

          Dans « Comment la vérité… » PJ fait remarquer à ses lecteurs que la logique formelle couvre une « minuscule » partie du discours (p.276). Thom s’insurge contre cette logique (3) et, en philosophe de la nature qu’il se dit être, il propose une autre logique:

          « La classe engendre ses prédicats comme le germe engendre les organes de l’animal. Il ne fait guère de doute (à mes yeux) que c’est l’unique façon de définir la logique naturelle. ».

          Une question finale qui m’intéresse : l’œuvre de Thom est-elle connue en Chine? Ses bouquins principaux (Modèles mathématiques de la morphogenèse, Stabilité structurelle et morphogenèse, Esquisse d’une sémiophysique, Apologie du logos) sont-ils traduits en chinois?

          1: https://www.persee.fr/doc/comm_0588-8018_1976_num_25_1_1379

          2: https://fr.wikipedia.org/wiki/Philosophie_analytique

          3: « Les mathématiques modernes : une erreur pédagogique et philosophique? » (1970), que l’on trouve dans le recueil de 35 articles « Apologie du logos » (1990).

          1. Le livre de Rene Thom, « Modèles mathématiques de la morphogenèse, Stabilité structurelle et morphogenèse » a été traduit en chinois en 1991:
            https://book.ixueshu.com/book/ed09ef31fd7e4e25.html

            Lorsque René Thom a appris la traduction de ce livre en chinois, il a écrit avec des sentiments sincères et amicaux : « Une grande partie de la théorie de Lao Tzu est un traité éclairant sur la théorie des catastrophes, et je crois que parmi le vaste lecteur chinois d’aujourd’hui, il y aura encore beaucoup de génies scientifiques qui apprécieront cette doctrine. J’espère qu’à travers ce livre, ils apprendront comment la théorie des catastrophes confirme ces anciennes doctrines d’origine chinoise. » (当托姆得知他的这本专著“”译为中文时,他怀着真挚友好的感情写道:“在老子的理论中,有很大一部分是关于突变理论的启蒙论述,我相信在今天的广大中国读者中,仍然会有许多喜欢这个学说的科学天才。我希望通过这本书,他们将会了解突变理论是如何证实这些源于中国的古老学说的。”)

            1. Merci. Je suis très heureux de lire que Thom relie explicitement sa théorie des catastrophes aux anciennes doctrines chinoises (cf. éventuellement la fin de mon commentaire du 30 mai 2022 à 12 h 30 min).

              Mon intuition est que les chinois sont, de par leur langue et leur culture, mieux armés pour comprendre l’œuvre de Thom dont celui -ci dit à 49′, dans ce que j’appelle sa vidéo-testament :

              « Quand j’ai écrit Stabilité structurelle et morphogenèse je pesais avoir cinquante ans d’avance sur la biologie de mon temps. Je crois que j’étais encore optimiste. ».

          2. Je sais que les catastrophes de Thom ne sont pas toujours les catastrophes au sens usuel. C’est pour ça je dis, en regardant le théorème d’incomplétude de Gödel d’un point de vue de la théorie des catastrophes, je pense que ce théorème est une vraie « catastrophe », où j’utilise « catastrophe » pour signifier que ce terme est interpretable.

            La théorie des catastrophes est traduit en chinois comme 突变理论, littéralement, la théorie des mutations.

            Justement Yi Jing est traduit comme « le livre des mutation s» :

            https://fr.wikipedia.org/wiki/Yi_Jing#:~:text=Le%20Yi%20Jing%20(chinois%20simplifi%C3%A9,mutations%20%C2%BB%20ou%20encore%20%C2%AB%20Livre%20des

            1. La théorie thomienne des catastrophes est effectivement une théorie herméneutique et Thom cite souvent Héraclite :

              « Le Maître, dont l’oracle est à Delphes, ne dit ni ne cache, il signifie », que Thom traduit :

              « La nature nous envoie des signes qu’il nous appartient d’interpréter. ».

              Il est clair qu’il y a des interprétations différentes du théorème d’incomplétude de Gödel : celles des logiciens formels et celle des épistémologues (celle des « syntaxiques » et celle des « sémantiques »?).

              Le chinois Hao Wang, ami de Kurt Gödel ,s’est beaucoup exprimé , techniquement et philosophiquement sur ces deux aspects de la logique formelle (1). L’avis d’une chinoise sur son compatriote?

              1: https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_2001_num_54_2_2118

              1. Je n’ai fait que survoler deux livres de Wang Hao sur Gödel et ne peux pas les commenter, mais l’impression générale que j’ai est que nous avons des positions différentes : Wang Hao est avant tout en plein accord avec la preuve de Gödel, alors que je la remets en question parce que je suis perplexe par la preuve de Gödel basée sur le paradoxe, …

                1. Je me doutais de ta réponse! (J’ai lu, je ne sais plus où, que quand Wang Hao a rapporté la position de Wittgenstein à Gödel, celui-ci aurait répondu qu’il avait perdu la raison ou quelque chose comme ça.) Ceci dit j’espérais qu’une chinoise allait peut-être examiner plus systématiquement les deux faces de la colline :

                  陰 : le côté sombre de la colline ; 陽 : le côté lumineux de la colline.

            2. La théorie thomienne des catastrophes est effectivement une théorie herméneutique et Thom cite souvent Héraclite :

              « Le Maître, dont l’oracle est à Delphes, ne dit ni ne cache, il signifie », que Thom traduit :

              « La nature nous envoie des signes qu’il nous appartient d’interpréter. ».

              Il est clair qu’il y a des interprétations différentes du théorème d’incomplétude de Gödel : celles des logiciens formels et celle des épistémologues (celle des « syntaxiques » et celle des « sémantiques »?).

              Le chinois Hao Wang, ami de Kurt Gödel ,s’est beaucoup exprimé , techniquement et philosophiquement sur ces deux aspects de la logique formelle (1). L’avis d’une chinoise sur son compatriote à ce propos?

              1: https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_2001_num_54_2_2118

              1. Pour mieux comprendre l’influence de Leibniz sur Gödel, j’aimerai présenter « Comment rendre nos idées claires ? » de Peirce, où il parle de la grande différence qui séparait Leibniz de Descartes (https://personnel.usainteanne.ca/jcrombie/pdf/logsci07.pdf, p.18-19):

                Lorsque Descartes entreprit de reconstruire la philosophie, son premier acte fut de commencer en théorie par le scepticisme et d’écarter la tradition scolastique, qui était de considérer l’autorité comme base première de la vérité. Cela fait, il chercha une source plus naturelle de principes vrais et déclara la trouver dans l’esprit humain. Il passa pour ainsi dire de la méthode d’autorité à la méthode à priori, telle qu’elle est décrite dans notre première partie. La perception intérieure devait nous fournir les vérités fondamentales et décider ce qui agréait à la raison. Mais, comme évidemment toutes les idées ne sont pas vraies, il fut conduit à remarquer comme premier caractère de certitude qu’elles devaient être claires. Il n’a jamais songé à distinguer une idée qui paraît claire d’une idée qui est réellement telle.

                S’en rapportant, comme il le faisait, à l’observation intérieure, même pour connaître les objets extérieurs, pourquoi aurait-il mis en doute le témoignage de sa conscience sur ce qui se passa it dans son esprit luimême ? Mais alors il faut supposer que, voyant des hommes qui lui semblaient avoir l’esprit parfaitement clair et positif appuyer sur des principes fondamentaux des opinions opposées, il fut amené à faire un pas de plus et à dire que la clarté des idées ne suffisait pas, mais qu’elles devaient encore être distinctes, c’est-à-dire ne contenir rien qui ne fût clair. Par ces mots, il entendait sans doute, car il ne s’est pas expliqué avec précision, qu’elles doivent être soumises à l’épreuve de la critique dialectique, qu’elles doivent non-seulement sembler claires au premier abord, mais que la discussion ne doit jamais pouvoir découvrir d’obscurités dans ce qui s’y rattache.

                Telle était la distinction faite par Descartes, et l’on voit que cela est en harmonie avec son système philosophique. Sa théorie fut un peu développée par Leibniz. Ce grand et singulier génie est aussi remarquable parce qui lui a échappé que par ce qu’il a vu. Qu’un mécanisme ne pût fonctionner perpétuellement sans que la force en fût alimentée de quelque façon, c’était là une chose évidente pour lui : cependant il n’a pas compris que le mécanisme de l’intelligence peut transformer la connaissance, mais non pas la produire, à moins qu’il ne soit alimenté de faits par l’observation. Il oubliait ainsi l’axiome le plus essentiel de la philosophie cartésienne : qu’il est impossible de ne pas accepter les propositions évidentes, qu’elles soient ou non conformes à la logique. Au lieu de considérer le problème de cette façon, il chercha à réduire les premiers principes en formules qu’il est contradictoire de nier, et sembla ne pas apercevoir combien grande était la différence qui le séparait de Descartes. Il revient ainsi au vieux formalisme logique ; les définitions abstraites jouent un grand rôle dans son système.

            3. Tu écris : « La théorie des catastrophes est traduit en chinois comme 突变理论, littéralement, la théorie des mutations. ».

              Je ne suis pas certain que l’appellation de catastrophe soit de Thom : j’ai lu en effet que ce serait Christopher Zeeman qui aurait trouvé ce mot. Thom considérait une catastrophe comme une rupture phénoménologique, sens pas très éloigné, selon moi, de celui de mutation (sachant que, malgré cette connotation de rupture, une mutation catastrophique est néanmoins toujours continue).

              Je trouve que la traduction chinoise (mutation) est, pour moi, excellente. Peut-être Thom y a-t-il pensé ? Mais peut-être a-t-il aussi pensé à se distinguer du Yi Jing ?

              1. Je suis d’accord. Je pense qu’il est préférable de parler de catastrophe plutôt que de mutation dans le contexte du français, afin de contraster avec des travaux antérieurs sur les systèmes tels que la systématique, la cybernétique ou la théorie de l’information, tout comme on parle du raisonnement fallacieux par rapport au raisonnement valide.

                1. Yu Li : « … afin de contraster avec des travaux antérieurs sur les systèmes tels que la systématique, la cybernétique ou la théorie de l’information ».

                  Thom ne trouve pas grand intérêt à la cybernétique dans son état au moment où il le critique (1) et reproche à l’information un flou sémantique (2) qui le conduit à systématiquement préciser son sens à partir de la forme dont les matheux ont une définition précise -en partie grâce à ses travaux sur les singularités-. Par contre il porte un grand intérêt à la théorie générale des systèmes dont le problème central est pour lui la définition de l’être individué :

                  « … doit-on faire croire que la théorie générale des systèmes est une « science », ou ressort de la science, alors qu’en fait, c’est une forme de métaphysique? Je crois qu’il y aurait intérêt pour les « systémistes » à hisser haut leur pavillon en déclarant fort explicitement que ce qu’ils ont en vue, c’est le problème de la définition de l’être individué » (Apologie du logos, p.207).

                  Je découvre ton blog « Cœur et esprit ». Il m’apparaît que tu es beaucoup plus attirée par l’épistémologie et la philosophie des sciences que par la science elle-même (confirmant l’impression que j’ai eu dès nos premiers échanges) (ce qui m’explique pourquoi tu t’es rapprochée de quelqu’un comme PJ). Je me trompe? L’article tout récent (4) « Pensée chinoise et philosophie platonicienne : la complémentarité de la culture chinoise et de la culture occidentale, » par JianMing Zhou, me laisse penser que tu n’es pas opposée au platonisme alors que, dans « Comment la vérité… », PJ montre qu’il l’est farouchement (5)…

                  1: « Jusqu’à présent toutes les tentatives pour créer une théorie de la « régulation des systèmes » ne sont pas allées plus loin que la cybernétique de N. Wiener (c’est-à-dire pas bien loin). ».

                  2: Lire « Un protée de la sémantique: l’information » dans « Modèles mathématiques de la morphogenèse » (1974). Voir aussi le court-métrage « René(e)s »que le cinéaste Jean-Luc Godard a fait sur lui, essentiellement à partir de 40′.

                  3: « … doit-on faire croire que la théorie générale des systèmes est une « science », ou ressort de la science, alors qu’en fait, c’est une forme de métaphysique? Je crois qu’il y aurait intérêt pour les « systémistes » à hisser haut leur pavillon en déclarant fort explicitement que ce qu’ils ont en vue, c’est le problème de la définition de l’être individué » (article « Individuation et finalité », dans « Apologie du logos », p.207)

                  4: https://coeur-et-esprit.blogspot.com/2022/05/

                  5: Voir mon commentaire de « Remarquables » (https://www.pauljorion.com/blog/2022/06/01/remarquables-9-paul-jorion-par-thomas-gauthier/comment-page-1/#comment-910018)

          3. Je voudrai expliquer l’étymologie des caractères chinois « 危机 (caractères anciens, 危機)  » (crise) où est impliqué la mutation :

            危 = 厃(un homme sur une falaise) + 卩(arrêter)
            危 : un homme sur une falaise (厃) et un autre homme en bas qui essaie de l’arrêter (卩), la danger.

            機 = 木(bois) + 幾(Soies emmêlées)
            機: des événements subtils (幾) provoquent des changements, l’opportunité.

            La calligraphie des 危機 se trouve sur mon blog en français :
            https://coeur-et-esprit.blogspot.com/2020/10/les-caracteres-chinois-crise.html

              1. Pourquoi ce symbole (危) te fait-il penser plutôt au « destin » qu’à « danger » ?
                Pourrais-tu partager ta formation accélérée avec un tuto youtube?

                1. Bonjour Yu Li,

                  Désolé, c’était une « blague ». L’homme en haut et celui qui l’interpelle en bas dans ton exemple m’ont fait penser immédiatement à cette petite vidéo parodique des Inconnus « c’est ton destin » … (https://www.youtube.com/watch?v=1V0IE87waHU), comme quoi les interprétations …

                  En revanche je suis toujours émerveillé quand j’apprends un truc sympa sur les systèmes d’écritures, et c’est absolument génial la manière simple et efficace avec laquelle tu rends les caractères de ta langue.

                  Et dans le sens de tes propos explicatifs, une courte vidéo Youtube sur la langue chinoise bien montée je trouve :

                  https://www.youtube.com/watch?v=oS5xURRP4PE

                  1
                  1. Merci de m’encourager!

                    Tu sais que c’était en France que j’ai recommencé à apprendre les caractères chinois, …

                    Marc était l’un des premiers collègues avec lequel j’ai travaillé lorsque je suis entrée à l’Université de Picardie Jules Verne. Marc appréciait la culture chinoise et nous avons eu des occasions d’en discuter.

                    Lorsque Mark a atteint l’âge de la retraite, je l’ai invité à déjeuner dans un restaurant le jour où il a terminé son dernier cours. A la table, Mark m’a dit :
                    – « Yu, les caractères chinois sont très beaux !
                    – Que veux tu dire par là ?
                    – Par exemple, 愁 (nostalgie)= 秋(automne)+ 心(coeur), ce qui signifie « le ressenti de l’automne » !

                    J’ai été stupéfaite pendant un instant : je suis née et j’ai grandi en Chine, bien sûr je sais comment écrire 愁, 秋 et 心, mais je n’ai jamais pensé que 愁 signifiait « le ressenti de l’automne » ! Et en grandissant, personne ne me l’a jamais dit, mais c’est seulement aujourd’hui qu’un Français me l’a révélé !

                    Il s’avère que je n’ai pas « compris » les caractères chinois, et je pensais que c’était juste des signes, …..

                    1. Yu Li : « Il s’avère que je n’ai pas « compris » les caractères chinois, et je pensais que c’était juste des signs, ….. » . C’est dingue ça! Tous les chinois sont comme ça?

                      Je transpose : « Il s’avère que je n’ai pas « compris » les caractères latins, et je pensais que c’était juste des signes, ….. ». C’est dingue ça! Tous les occidentaux sont comme ça?

                      Quelle est l’origine du langage? Le langage humain dit-il quelque chose sur l’homme? Dans l’article « Nominalisme » (1), Ivar Ekeland (un matheux qu’a rencontré PJ) apparaît dans l’article « Nominalisme » de Wikipédia (1) :

                      « Ivar Ekeland à propos de la critique de la théorie des catastrophes de René Thom cite cette boutade du mathématicien argentin Hector José Sussmann : « En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d’appeler un opérateur auto-adjoint un « éléphant » et une décomposition spectrale une « trompe ». On peut alors démontrer un théorème suivant lequel « tout éléphant a une trompe ». Mais on n’a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris. »

                      Le langage est-il une convention ou est-il plus que ça? PJ, nominaliste, pense que c’est une convention (et pense qu’Aristote pense comme lui). Thom, réaliste platonicien (réalisme des idées) pense que le langage humain est plus que ça car il a une origine géométrique.

                      Le dernier chapitre de la deuxième édition de Stabilité Structurelle et morphogenèse, « De l’animal à l’homme : pensée et langage » (1977) a été, selon les dires de Thom lui-même, considérablement remanié par rapport à la première édition (1972, tapuscrit reçu par l’éditeur en 1968…).

                      On trouve dans Modèles Mathématiques de la Morphogenèse (1974) l’article « De l’icône au symbole » (écrit en 1967?) qui parle de la conception que Thom a du langage. L’article commence par la classification de Pierce (icône, signe, symbole) et se termine par : « La voix de la réalité est dans le sens du symbole ». Cet devrait plaire aux pratiquants d’une langue possédant une symbolique incomparablement plus riche que nos pauvres langues occidentales.

                      Thom consacre enfin le chapitre 8 de « Esquisse d’une Sémiophysique », intiulé « Perspectives aristotéliciennes en théorie du langage », qui débute par des considérations sur la querelle des universaux.

                      Une citation thomienne pour résumer la position développée dans les pages indiquées ci-dessus:

                      « Je suis convaincu que le langage, ce dépositaire du savoir ancestral de notre espèce, détient dans sa structure les clés de l’universelle structure de l’être. ».

                      Pour en revenir à Gödel (qui doit, en principe, guider ici nos commentaires…), le langage mathématique a aussi une origine qu’il est sûrement intéressant de retrouver. Thom toujours (2):

                      « L’ambition ultime de la théorie des catastrophes, en fait, est d’abolir la distinction langage mathématique-langage naturel qui sévit en science
                      depuis la coupure galiléenne. ».

                      1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Nominalisme

                      2: « Le statut épistémologique de la théorie des catastrophes » (1976), article que l’on trouve dans « Apologie du logos » (1990, Hachette)

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