Paul Jorion

Banque de l'Union Européenne

 

Juin 1990

 

 

 

Note sur l'utilisation de méthodes empruntées à

la physique dans l'analyse technique des marchés

 

 

 

 

Résumé: L'utilisation de méthodes empruntées à la physique dans l'analyse technique des marchés permet d'obtenir pour chacun de ceux-ci, une analyse très fine de leur comportement particulier. Cette analyse permet, par l'estimation de divers instruments, de restreindre considérablement les fourchettes de prévisions.

Cette analyse permet aussi de mettre en évidence les divers attracteurs d'un marché et autorise l'opérateur, soit à suivre la ligne de l'attracteur, soit, au contraire, à l'entraîner dans la direction souhaitée.

 

Introduction

 

Le jeu boursier repose essentiellement sur la difficulté de prévision des cours.

 

Prédire avec exactitude les cours permettrait en principe un gain infini. Il s'agit dans l'état actuel de nos connaissances d'un but inaccessible.

 

Réduire la fourchette des cours prévus constitue au contraire un objectif raisonnable. Envisager l'évolution des cours de marché comme un processus physique, analysable par les méthodes de la physique permet de rencontrer cet objectif.

 

Conduire les cours dans une direction souhaitée a jusqu'ici été considéré un espoir déraisonnable en raison de suppositions relatives à la nature statistique des marchés. On verra que cette nature statistique n'est pas établie et que l'action des opérateurs individuels n'est pas sans influence sur l'évolution des cours.

 

Les cours boursiers comme "courbes"

 

La présentation d'un cours boursier sous forme d'une série chronologique joignant des cotations successives, placées régulièrement de gauche à droite, est aujourd'hui classique. Elle permet de considérer un cours comme une courbe constituée de cotations passées qui sont connues, et qu'il suffirait de prolonger dans le futur pour deviner des cotations encore inconnues, c'est-à-dire pour obtenir une prévision juste.

 

On pourrait alors, par exemple, déterminer l'équation de la courbe passée (sous forme d'un polynôme) et son prolongement dans le futur permettrait de deviner les cotations à venir. Ou bien, on s'efforcera de trouver la "loi" d'un marché que l'on représentera par une équation différentielle.

 

Les tentatives dans ce sens se sont toujours révélées décevantes.

 

En réalité, la représentation des cours comme courbes de séries chronologiques est essentiellement conventionnelle: on pourrait tout aussi valablement représenter les mêmes données de tout autre manière. Par exemple, en mettant en rapport le cours d'un jour avec celui de la veille, le cours d'un jour avec la différence entre celui-ci et le cours précédent, et ainsi de suite.

 

Ceci veut dire que, dans une large mesure, c'est la méthode classique - mais arbitraire - de représentation des cours boursiers qui a imposé ses principes aux techniques de prévision (l'analyse chartiste repose de manière quasi exclusive sur les diverses figures qui apparaissent dans ce mode de représentation).

 

Prévisions et effets statistiques

 

Le fait incontestable que les cours boursiers s'établissent à l'occasion de transactions nombreuses de multiples opérateurs a conduit à penser que le caractère imprévisible des variations est précisément dû à cette multiplicité de causes. En conséquence, il a paru possible d'envisager la prévision des cours par la statistique, méthode adaptée à l'étude des phénomènes résultant de l'influence d'une multitude de facteurs.

 

La statistique repose effectivement sur certains postulats pouvant guider la prévision. Par exemple, que la fréquence passée d'un phénomène constitue une bonne évaluation de sa probabilité future. Ou bien, que son degré de variabilité peut avoir une certaine permanence. D'où le recours aux moments statistiques: moyenneet variance (ou écart-type comme racine carrée de la variance). Les méthodes statistiques sont aujourd'hui d'utilisation standard dans la prévision financière.

 

Prévisions et effets aléatoires

 

Le caractère décevant des méthodes statistiques pour la prévision, a conduit à penser que leur présupposé de constance de la variation pouvait être erroné. Certains ont pensé alors que la variation était arbitraire: aléatoire ou stochastique.

 

On a supposé aussi que la variation des cours relevait d'un arbitraire particulier: partiellement contraint par la loi des grands nombres (ce qui constitue un choix). Cette supposition optimiste d'un "hasard apprivoisé" (normal au sens de Pearson [Laplace - Gauss]) a conduit à des prévisions qui se sont également révélées décevantes.

 

 

Fonctions classiques et fonctions itératives

 

La représentation classique d'une série chronologique s'étend donc de la gauche vers la droite. On pourrait aussi bien représenter les changements de valeurs comme une oscillation verticale (la méthode "points et figures" utilise partiellement cette possibilité, ainsi que celle en "chandelles"). La représentation classique suggère par sa forme que les cotations futures dépendent de l'histoire entière du marché, la représentation par oscillation verticale suggérerait au contraire la dépendance d'une cotation par rapport à une seule: la précédente.

 

Au sens de la physique, un cours boursier est une dynamique: un processus dont les valeurs de certains paramètres changent avec l'écoulement du temps. Si une dynamique est linéaire ("si de petites causes ont nécessairement de petits effets, et de grandes causes nécessairement de grands effets"), on pourra effectivement la représenter par la courbe d'une équation polynomiale, ou plus sûrement - pour donner au temps sa dimension privilégiée - à l'aide d'une équation différentielle par rapport au temps.

 

Mais si une dynamique est non-linéaire ("si de petites causes peuvent avoir de grands effets, et de grandes causes de petits effets"), il sera vain de représenter son processus par une fonction "classique"- qui donne toutes les valeurs "d'un coup", ou par un système d'équations différentielles - souvent pratiquement insoluble -, et il sera préférable de la représenter par une fonction itérative qui détermine chaque valeur à partir de la précédente.

 

Fonction itérative et phénomène à expliquer

 

Si on essaie d'ajuster une fonction polynomiale sur une série de cours dont deux valeurs successives sont, par exemple, 100,22 et 100,34, il faut que l'équation rende compte successivement de la valeur 100,22 puis de la valeur 100,34. Si on essaie au contraire de découvrir une fonction itérative qui modélise les mêmes chiffres, il ne sera pas nécessaire de rendre compte entièrement du passage de 100,22 un jour, à 100,34 le lendemain.

 

L'équation de la fonction itérative sera en effet de la forme,

 

            x (n+1) = f [x (n) ]

 

Dit en langage courant, "la valeur de demain est celle d'aujourd'hui à laquelle il est arrivé quelque chose".

 

Dans notre exemple, on pourrait dire - de manière triviale:

 

            100,34 = 100,22 + 0,12

 

Le "100,34" est - dans la perspective itérative - un "100,22" auquel il est arrivé quelque chose, à savoir d'avoir été augmenté de 0,12. Ce qui veut dire que pour une fonction itérative, il ne s'agit plus de rendre compte entièrement de 100,34, comme ç'aurait été le cas pour une fonction polynomiale linéaire, mais seulement du 0,12 qui s'est ajouté au 100,22 pour faire 100,34.

 

Fonction itérative et auto-corrélation

 

La fonction itérative qui modélise de manière très satisfaisante les futures est une fonction classique en physique dynamique:

 

            x (n+1) = x (n) + alpha x (n) - alpha [ x (n) ]^2

 

ou        x (n+1) = x (n) + alpha x (n) [ 1 - x (n) ]

 

où alpha peut être défini comme coefficient itératif.

 

On voit que la valeur de demain est une fonction polynomiale (quadratique) de la valeur d'aujourd'hui, où alpha intervient comme multiplicateur à la fois de x (n) et du carré de x (n) - valeur d'aujourd'hui.

 

Pratiquement, sur notre exemple:

 

            102,34 = 102,22 + alpha 102,22 (1 - 102,22)

 

Dans l'illustration triviale que nous avions donnée plus haut, il s'agissait de rendre compte pour la prévision de l'"intervention" d'un "0,12" - différence entre 102,34 et 102,22. Ici, - vu la présence répétée de x (n) au premier et au deuxième degré, il ne s'agit plus que de rendre compte de l'"intervention" d'un alpha, la valeur de cet alpha étant minime: -.0000116.

Imaginons que notre cours boursier ait sauté de 102,22 à 104 (ce qui constitue un mouvement tout à fait considérable), la valeur d'alpha resterait encore très faible: cette fois, -.000172.

 

Ceci signifie que dans la perspective des fonctions itératives, la modification des cours d'un jour sur l'autre est fonction, d'une part - massivement - du premier prix, et d'autre part, d'un coefficient itératif de valeur minime. En d'autres termes, on rend compte du passage d'une valeur de 102,22 à 102,34 par l'intervention d'un coefficient itératif (ici appelé alpha), de l'ordre du cent millième - une "vibration" que l'on pourrait juger "négligeable" si ses conséquences n'étaient aussi lourdes.

 

Le fait que le cours de demain dépende de manière aussi massive du cours d'aujourd'hui (en tant que tel, et par son carré), révèle l'auto-corrélation considérable des cours boursiers. Par exemple, l'auto-corrélation du Dollar/Mark future est de .999, des Treasury Bonds, de .998, du Notionnel MATIF, de .988, etc.

 

Variations du coefficient itératif

 

La fonction itérative  mentionnée précédemment,

 

            x (n+1) = x (n) + alpha x (n) [ 1 - x (n) ]

 

indique que la valeur de demain sera la même que celle d'aujourd'hui si le deuxième terme est nul, ce qui se passe dans deux cas: si alpha est nul et si x (n) = 1. Dans tous les autres cas, le cours varie. Si alpha était constant pour une valeur quelconque, le cours évoluerait dans le même sens indéfiniment, selon un mouvement paraboloïde. Le fait est, cependant, que dans la réalité, la valeur de alpha fluctue.

 

Pour certains cours, alpha est partiellement prévisible d'un jour sur l'autre - c'est-à-dire que ses valeurs sont elles-mêmes auto-corrélées (au signe près), pour d'autres, elle ne l'est pas, l'auto-corrélation est nulle ou quasi-nulle. Pour le Dollar/Yen futur, l'auto-corrélation des alpha (n+1) et alpha (n) (au signe près) est de .999, pour l'Eurodollar, de .992. Alors que pour le Mark, elle est quasi-nulle: .027. D'autres cours présentent des valeurs intermédiaires: .579 pour le Notionnel MATIF, .440 pour les Treasury Bonds.

 

Plus l'intervalle de temps augmente, moins l'auto-corrélation est marquée: entre alpha (n+2) et alpha (n), elle reste (au signe près) à .960 pour l'Eurodollar mais tombe à .602 pour le Yen, à .259 pour le Notionnel MATIF, et .244 pour les Treasury Bonds. Pour le Mark, elle demeure quasi-nulle à -.021.

 

S'il existe (au signe près) entre les valeurs successives de alpha une auto-corrélation non-négligeable, on a affaire à un mouvement brownien fractal, et dans le cas contraire, à un bruit blanc.

 

Dans le cas d'un alpha guidé par un mouvement brownien fractal, on peut exprimer l'auto-corrélation des valeurs successives à l'aide de la même fonction itérative qui guide les prix, à savoir,

 

            alpha (n+1) = alpha (n) + bêta alpha (n) [ 1 - alpha (n) ]

 

Dans ce cas, le coefficient itératif bêta du coefficient itératif alpha se rapproche d'un bruit blanc, mais peut révéler encore une certaine auto-corrélation. Il est probable que l'on tend asymptotiquement par emboîtements successifs vers un bruit blanc.

 

L'auto-corrélation des bêta (n+1) et bêta (n) (au signe près) est de -.163 pour le Notionnel MATIF, de -.144 pour les Treasury Bonds, de -.102 pour le Yen, de -.010 pour l'Eurodollar et de -.014 pour le Mark.

 

Prévisibilité

 

Le calcul des prévisions à partir des fonctions itératives permet de réduire considérablement les fourchettes de prévision, puisque le diagnostic s'établit non à partir d'une analyse statistique des variations des prix, mais d'une analyse statistique des valeurs des alpha et des bêta. Ceci ne devrait cependant être que provisoire: en attendant que les lois de comportement de ces coefficients itératifs soient mieux connues.

 

De plus, les variations journalières de ces coefficients sont étroitement corrélées avec les variations de la dérivée première de la fonction itérative, qui révèle pour certaines cours (Mark, Notionnel MATIF) une réelle persistance. Par ailleurs, les prévisions fondées sur ces coefficients peuvent être éclairées par la connaissance des attracteurs qui régissent les différents marchés. Les corrélations élevées qui peuvent apparaître entre les alpha et la vitesse ou entre celle-ci et la dérivée, permettent de déterminer l'espace de phase d'un marché et de prévoir l'accélération et l'ampleur de tous les mouvements qui se poursuivent dans le même sens.

 

Conclusion

 

Le mouvement brownien fractal et le bruit blanc sont aujourd'hui au centre de l'intérêt des théoriciens. Il est possible que l'indétermination qu'ils révèlent soit irréductible. Il est possible en particulier, qu'ils puissent être modélisés par des distributions Lévy-stables dont le caractère aléatoire est beaucoup plus marqué que celui des distributions normales (absence de l'effet d'une loi des grands nombres, moments de valeur infinie, etc.).

 

Ces particularités pourraient apparaître décevantes dans la mesure où elles nient la possibilité d'effets statistiques. Mais elles sont encourageantes dans la mesure où elles soulignent l'importance des opérations individuelles. Conduire les cours dans une direction souhaitée a jusqu'ici été considéré un espoir déraisonnable dans la mesure où l'influence des opérateurs sur ceux-ci était supposée proportionnelle aux volumes dont ils ont la maîtrise. Cette opinion est liée à l'hypothèse que les marchés sont réglés par la loi des grands nombres, dont une des implications est que les interventions individuelles  tendent à se neutraliser statistiquement.

 

En réalité, les marchés sont des systèmes loin de l'équilibre dont la dynamique est sensible aux plus petites variations. Cette propriété donne à l'opérateur individuel un pouvoir beaucoup plus grand dans la détermination des cours qu'il ne l'a supposé jusqu'ici.