Potentiel, histoire et applications de la théorie du chaos utilisée dans la modélisation des marchés financiers (1992)

Cet article au titre austère pourrait cependant être sous-titré « Houston, ton univers impitoyable ». Vous en saurez davantage en suivant le lien renvoyant à mon co-auteur … du seul fait qu’il était mon patron à l’époque. J’aurais sans doute pu obtenir une part de blé plus considérable mais, aussitôt la chose devenue évidente, je fus mis en demeure de restituer, sous peine de poursuites, l’ensemble des salaires qui m’avaient été versés, et comme je n’étais que modérément impressionné, la menace d’ordre pécuniaire fut suivie d’une tentative de m***e qui, elle, me fit … réfléchir. J’ai la faiblesse de croire que l’initiative de la TDM revenait à celle qui la tenta, parce qu’elle bénéficierait substantiellement de mon élimination (voir l’article), mais allez savoir ? Quoi qu’il en soit, que l’on en vienne à envisager des mesures aussi radicales à mon égard me fait penser que les sommes qui me seraient dues étaient dans les 9 ou 10 chiffres. Mais l’argent ne fait pas le bonheur, en particulier si l’on a été a***é 😀 .

P.S. À mon sens, l’étude tient toujours la route.

La raison pour laquelle Terry Woodruff est également mentionné comme co-auteur, vous apparaîtra en cours de lecture.

QANTXX

MÉMORANDUM INTERSERVICES

À : L* G*
DE : W. E. Bosarge, Jr.
Paul Jorion
Terry Woodruff

DATE : 11 février 1992

RE : Potentiel, histoire et applications de la théorie du chaos utilisée dans la modélisation des marchés financiers

Résumé :

INTRODUCTION et POTENTIEL

HISTOIRE

1. La nature déterministe de l’activité humaine
2. Vagues d’Elliott
3. Les phénomènes d’échelle de Mandelbrot
4. Travaux récents

APPLICATIONS

1. Mesures de la dimension fractale
2. Amélioration de la stratégie de trading via d’autres mesures de marché basées sur le chaos
3. Approches d’ajustement des courbes fractales
4. Techniques d’ajustement des courbes par équation du chaos
5. Reconstruction de l’attracteur à partir de séries temporelles
6. Synthèse de prédicteurs utilisant des transformations non-linéaires de données exogènes
7. Modèles dynamiques prédictifs de premier principe
8. Contrôle des marchés financiers à l’aide de la théorie du chaos

CONCLUSION

RÉFÉRENCES

INTRODUCTION et POTENTIEL

Les marchés financiers sont un phénomène naturel pour lequel des progrès spectaculaires sont actuellement réalisés dans l’élaboration de modèles. S’il s’agissait d’entités stochastiques, elles ne pourraient pas être codées dans des formules simples ; elles seraient « algorithmiquement incompressibles ». Cependant, il semble qu’une grande partie de « notre univers tout entier possède la propriété d’être algorithmiquement compressible ». La science est simplement la recherche de ces compressions » (e1, o1). L’avènement de la théorie des fractales et du chaos au cours des deux dernières décennies représente une rupture révolutionnaire par rapport aux tentatives de modélisation de la nature à l’aide de la physique linéaire newtonienne et de la géométrie euclidienne qui ont prévalu pendant des centaines d’années (g1). Elle a permis pour la première fois d’exprimer simplement les caractéristiques non-linéaires et non euclidiennes de la nature, notamment les turbulences, la structure des plantes et de nombreuses structures et flux inorganiques générés par diffusion, les relations biologiques prédateur-proie et l’explication de la distribution des prix des marchandises. Une grande partie de ce qui semblait beaucoup trop complexe à modéliser, ou purement aléatoire, il y a quelques années, peut désormais être exprimée par des équations simples.

Pendant de nombreuses années, les fluctuations des prix des marchés financiers ont été considérées comme imprévisibles en raison des « marcheurs aléatoires » universitaires qui postulent divers processus stochastiques pour la génération des mouvements de prix. La nature égocentrique des êtres humains, en particulier de ceux qui se considèrent comme très instruits et intelligents, a fait que les chercheurs répugnent à accepter l’idée qu’il existe une prévisibilité sur les marchés qu’ils ne sont tout simplement pas assez exercés pour déceler. Il leur a été facile de se leurrer, car si l’on n’a aucune idée du modèle dynamique à appliquer à un marché, il est en effet difficile de montrer qu’il révèle un chaos déterministe. Cependant, si l’on créait un modèle dynamique de marché approprié, il serait relativement facile de vérifier sa capacité de prédiction. Une compréhension naïve du concept de stochasticité a également contribué à leur aveuglement. 

Au cours des deux dernières années, il a été publiquement reconnu que la vision purement stochastique n’était pas valable, et les chercheurs ont donc commencé à rechercher plus activement de meilleurs modèles (c1, p4). Avec la « mort proclamée » en 1991 du « modèle du marché efficient », les arguments en faveur et contre la nature déterministe non-linéaire des prix du marché financier commencent seulement à être avancés et mériteront beaucoup plus de recherches que celles qui ont été consacrées jusqu’à présent.

Tout comme le désir psychologique d’éviter la douleur a poussé les universitaires à promouvoir la stochasticité pendant des années, des forces psychologiques relativement simples motivent les cycles des prix du marché à court et moyen terme. Les humains préfèrent de loin penser que leurs actions sont réfléchies, délibérées et intelligentes, ou qu’ils sont chahutés par des nouvelles imprévisibles. En fait, ils réagissent généralement de manière émotionnelle et non-linéaire à l’évolution des prix dans un environnement fait de nouvelles non pertinentes, décalées, voire manipulatrices. Les études ont montré qu’ont des effets très limités les nouvelles qui sont généralement présentées comme l’explication des mouvements à court terme (c2, p10). Si nous acceptons ces principes, il y a tout lieu de penser que nous pouvons modéliser avec précision cette psychologie humaine collective. Comme la psychologie humaine fondamentale ne change que sur une échelle de temps évolutive (ou peut-être générationnelle), une partie de ce modèle peut même être stationnaire.

HISTOIRE

1. La nature déterministe de l’activité humaine

On a longtemps pensé que l’économie et la finance étaient des domaines bien distincts de la physique. Pourquoi ? Probablement parce que l’économie et la finance résultent du fait que des êtres humains exercent leur libre arbitre dans leur prise de décision. Bien qu’à première vue, on puisse considérer que ce comportement humain est un processus stochastique, un peu plus de réflexion montre clairement qu’il existe une prévisibilité considérable dans le comportement de masse. Depuis peu, c’est un principe de base de la sociologie que les décisions résultant du libre arbitre aboutissent à des processus déterministes. Durkheim a montré à la fin du XIXème siècle la régularité des taux de suicide dans la ville de Paris. La particularité de l’être humain à cet égard réside dans sa capacité à s’adapter grâce à la rétroaction de l’information. Mais c’est le cas des servomécanismes aussi, ce qui ne les rend pas inexplicables par une explication physique.

Il n’y a donc aucune raison fondamentale pour que les phénomènes humains ne soient pas justiciables des méthodes de la physique. Et cela nous amène à la question des processus déterministes. Certaines recherches postulent que les participants au marché réagissent de manière très prévisible aux « nouvelles » qui les amènent à « réviser leurs attentes quant aux perspectives d’avenir d’une action ou d’une devise », bien qu’un tel comportement très prévisible (c’est-à-dire déterministe) conduise « au modèle bien connu de marche aléatoire des prix du marché financier, qui implique la non-prévisibilité des changements dans les prix du marché financier ».

Le comportement des opérateurs étant (plausiblement) déterministe, le caractère aléatoire des variations de prix ne peut donc provenir que de la nature non déterministe des « nouvelles » qui les incitent (prétendument) à acheter ou à vendre, c’est-à-dire qui induisent des fluctuations de prix. Mais d’où viennent ces « nouvelles » ? À l’exception des nouvelles provenant de l’espace (par exemple, une météorite frappant le Chicago Board of Trade), toutes les autres nouvelles sont induites dans le système semi-fermé de la planète Terre, qu’elles soient naturelles, c’est-à-dire politiques, climatiques, géologiques, etc. (tous plausiblement de nature déterministe, linéaire ou non-linéaire), soit comme des phénomènes humains, politiques, économiques, etc. (tous plausiblement de nature déterministe, linéaire ou non-linéaire).

Le caractère non déterministe des fluctuations des prix des marchés financiers n’est donc pas facilement établi, et la plausibilité s’y oppose même fortement. Le médaillé Fields et « inventeur » de la théorie des catastrophes, René Thom, a noté un jour qu’un phénomène est stochastique dans la mesure où il a été modélisé dans un espace de solutions inadéquat (il ajoutait, « ce que l’on appelle « lois du hasard » ne sont en fait que les propriétés du système déterministe le plus général »). 

Une caractéristique inhérente aux phénomènes chaotiques est qu’ils semblent stochastiques (aléatoires), mais ce que nous savons d’eux est précisément qu’ils sont pseudo-stochastiques.

2. Vagues d’Elliott

La théorie des vagues d’Elliott affirme que les marchés présentent un modèle fractal, avec des prédictions possibles pour de nombreux modèles, et implique clairement que les marchés présentent un chaos déterministe. La théorie des vagues d’Elliott a été développée dans les années 1920 et 1930 (p9). Elle a connu un succès considérable, bien qu’il ait été probablement plus facile de l’employer avant que la technique ne soit bien connue. Elle fonctionne à n’importe quelle échelle de temps. Notre compréhension de la façon dont la psychologie humaine dirige les marchés suggère fortement que les modèles déterministes du chaos sont appropriés par quasi-nécessité. La théorie des vagues d’Elliott n’est que le premier exemple primitif de recours à cette compréhension pour générer des prédictions.

3. Les phénomènes d’échelle de Mandelbrot

Dans ses travaux pionniers des années 1960-70, Benoit Mandelbrot a démontré la nature fractale de la variation des prix des marchandises avec son « principe d’échelle de la variation des prix » (m1). Depuis lors, de nombreuses recherches ont exploré les caractéristiques fractales et d’échelle des séries de prix (b3, p3) et ont souligné que les systèmes naturels (contrairement aux systèmes purement mathématiques) ne s’échelonnent que sur une plage finie (p4). M. Olsen, de Olsen Associates (Zurich, Suisse), est connu pour ses travaux théoriques appliqués aux marchés financiers.

4. Travaux récents

Bien que les fluctuations quantiques des objets classiques soient normalement considérées comme très faibles, il est maintenant postulé que lorsque la dynamique est chaotique, les fluctuations quantiques deviennent très importantes (p6). Les marchés financiers semblent présenter des effets quantiques évidents, comme en témoignent certains nouveaux modèles mécaniques quantiques des marchés financiers.

Le chaos est une technologie nouvelle, et même les premiers innovateurs (comme le physicien Doyne Farmer, autrefois aux laboratoires de Los Alamos) commencent tout juste à apprendre comment l’appliquer aux marchés financiers. Dans une interview (v1) réalisée à la fin de 1989, il déclarait : « Dans l’analyse par super-ordinateur des mouvements du marché boursier et d’autres données économiques, des modèles surprenants apparaissent. [Ils clignotent sur les écrans d’ordinateur là où la logique conventionnelle et la théorie financière actuelle ne le permettent pas. … une structure étrange émerge. Un ordre caché. … Pour le Dr Farmer, il s’agit simplement d’un ‘phénomène naturel’. ‘ »

Nous avons compris que depuis l’année dernière, le Dr Farmer a pris un congé de ses recherches en physique et a obtenu un soutien financier pour étudier en profondeur l’application de la théorie du chaos à la modélisation et à la prévision des marchés financiers.

APPLICATIONS

1. Mesures de la dimension fractale

Une technique de filtrage du bruit basée sur le calcul de la dimension fractale a été mise au point et permet de séparer le bruit du signal. « A Los Alamos, des chercheurs comme Doyne Farmer prennent les macro-caractéristiques des données chaotiques et utilisent un réseau neuronal pour effectuer le filtrage sur une série temporelle. » (j1)

Le Dr Woodruff a étudié et expérimenté l’application de la géométrie fractale et de la théorie du chaos aux marchés pendant plusieurs années avant de rejoindre Frontier. Il a développé une technique et un programme permettant d’utiliser les calculs de la dimension fractale à court terme comme indicateur intra-jounalier.

2. Amélioration de la stratégie de trading via d’autres mesures de marché basées sur le chaos

Un certain nombre d’articles ont été publiés au cours des deux ou trois dernières années pour décrire et utiliser diverses mesures basées sur la théorie du chaos appliquées aux données des marchés financiers (outre la dimension fractale). Ces techniques permettent de modéliser plus précisément les distributions des prix et des rendements (s2) afin d’améliorer les stratégies d’arbitrage et d’allocation. Elles permettent également de découvrir et de quantifier diverses formes de périodicité et de persistance au profit des stratégies de négociation (b3, p4, s1).

3. Approches d’ajustement des courbes fractales

Le Dr Woodruff a réalisé un certain nombre d’expériences avant de rejoindre Frontier en utilisant des approches d’ajustement/interpolation de courbes fractales telles que celles de Barnsley (b1). Ce qui pourrait porter ses fruits dans le cadre de recherches plus poussées. Le concept de base consiste à créer un modèle fractal qui s’adapte bien aux données historiques et à vérifier s’il a une utilité prédictive.

4. Techniques d’ajustement des courbes par équation du chaos

L’équation logistique génératrice de chaos a été discutée en relation avec les marchés financiers dans la littérature (s3). Le Dr Jorion a expérimenté l’adaptation de l’équation logistique aux données du marché. Pour l’instant, la composante prédictive de la technologie JRA basée sur l’équation logistique de Jorion ne permet pas, sans tests supplémentaires, de fournir un prédicteur direct et efficace. Cependant, l’application de l’approche de l’équation logistique JRA dans des modèles déterministes chaotiques non-linéaires à la « volatilité » (une transformation non-linéaire des données de prix) fournira probablement des prévisions directionnelles raisonnables à court terme. Beaucoup des meilleurs indicateurs de l’ARP (découverts chez Qantxx/Frontier en 1988) sont basés sur cette corrélation entre les changements de volatilité et les changements directionnels du marché.

5. Reconstruction de l’attracteur à partir de séries temporelles

Takens a prouvé en 1981 qu’il était parfois possible de détecter une structure déterministe dans une série temporelle en reconstruisant le mouvement dans l’espace de phases, créant ainsi une réplique de l’attracteur étrange générateur original (f2, f3, 11, o1, p2, r2). Cette technique est liée à la mesure de l’intégrale de corrélation (b3, f1, r3). D’autres procédures de reconstruction d’attracteurs sont également connues (b2). Ces techniques semblent passionnantes, mais malheureusement, elles sont mal définies pour les systèmes non stationnaires et peu efficaces pour les systèmes présentant une trajectoire fractale dans le temps. Comme le dit le collègue de Takens, Ruelle, à propos de la reconstruction des attracteurs dans le dernier de ses nombreux livres sur la théorie du chaos (r3) :

« [nous devons] obtenir de longues séries temporelles d’une excellente précision. À partir de ces séries temporelles, nous pouvons reconstruire la dynamique, si elle est suffisamment simple… ». En biologie et dans les sciences « molles », nous ne connaissons pas les équations de base du mouvement…. la dynamique n’est généralement pas simple. En outre, dans de nombreux cas (écologie, économie, sciences sociales), les équations de base de l’évolution, quelles qu’elles soient, changent lentement avec le temps (le système « apprend »). »

Certaines études ont réussi à appliquer les techniques de reconstruction d’un attracteur et d’une intégrale de corrélation aux données des marchés financiers avec succès, au point de démontrer l’existence de processus non-linéaires sous-jacents (p3, s3). Cependant, ces techniques ont généralement peu de valeur pour l’analyse des systèmes de marché non stationnaires (bien que nous puissions être sûrs que d’autres chercheurs ont déployé beaucoup d’efforts mal avisés pour essayer de les mobiliser en vue de la prédiction).

6. Synthèse de prédicteurs utilisant des transformations non-linéaires de données exogènes

Sur la base des travaux de Qantxx/Frontier sur les données exogènes dans l’ARP, ainsi que dans les réseaux neuronaux, la prévisibilité des marchés financiers est démontrée de manière simple et fiable. Bien que nous ne disposions pas encore d’un modèle prédictif déterministe non-linéaire chaotique d’ordre inférieur spécifique aux premiers principes, les résultats de la recherche au sein du groupe technologique de l’ARP sont maintenant très près de soutenir la présentation effective de la forme d’un tel modèle. Notre technologie actuelle fournit des preuves empiriques solides et cohérentes (prévisions de transactions quotidiennes) à partir des technologies APR et de réseaux neuronaux de Frontier, qui synthétisent toutes deux une structure déterministe non-linéaire (censée exister).

Bien que cette technologie précieuse semble avoir été reconnue par les économistes, nous savons par expérience que les économistes ont peu de connaissances quant au comportement dynamique des marchés financiers, en particulier quant à la modélisation des modèles causaux des données exogènes, ainsi que sur la création de transformations spécifiques de la volatilité quotidienne qui fournissent des indicateurs et des modèles adaptatifs (pour gérer la non-stationnarité) qui prédisent assez bien les mouvements et les fluctuations à court terme de divers marchés financiers.

7. Modèles dynamiques prédictifs de premier principe

Nous pensons que certaines firmes créent des modèles dynamiques fonctionnels et efficaces fondés sur des principes de base (et nous nous attendons à ce que ce soit bientôt le cas chez Qantxx/Frontier), mais ils ne le crieront pas sur tous les toits. Ils utiliseront leur modèle pour accumuler de la richesse sur une base individuelle ou « corporate » (d’entreprise), et ce n’est que lorsque cette richesse deviendra substantielle (comparée à la liquidité du marché) que nous commencerons à en voir les preuves.

Avant de rejoindre Frontier, M. Woodruff étudiait depuis plusieurs années la création de modèles dynamiques prédictifs de premier principe et s’intéressait à de nouveaux domaines de recherche tels que les modèles quantitatifs et informatisés du comportement humain, les systèmes de vie artificielle et l’écologie des réseaux.

Bien que ces modèles prédictifs seront bien sûr sujets à une dépendance sensible aux conditions initiales, nous pensons que des prévisions à moyen terme ainsi qu’à court terme sont possibles en examinant différentes échelles de temps au sein du système fractal. De nouvelles techniques telles que la prévision d’ensemble permettront de jauger la fiabilité des prévisions basées sur les modèles (m2, r3).

8. Contrôle des marchés à l’aide de la théorie du chaos

Il est parfois possible de pousser les systèmes chaotiques à suivre les cheminements souhaités. Les physiciens ont montré qu’un ruban métallique vibrant de manière chaotique peut être contrôlé pour se déplacer sur une orbite régulière en lui appliquant à intervalles réguliers de petites forces calculées avec précision (p5, p7). Ces forces n’évitent pas le chaos, mais restent dans la région chaotique et tirent parti de la dépendance sensible du système aux conditions initiales. La reconnaissance de la non-linéarité et des rétroactions positives dans les économies justifie les tentatives des décideurs politiques de les stabiliser (ou de produire un déplacement vers un régime plus souhaitable) (a1), bien que leur compréhension semble encore trop faible pour obtenir des résultats fiables. De même, il devrait être possible pour les plus acteurs de marché de premier rang, si leur compréhension est adéquate, d’exercer un contrôle considérable sur les marchés en opérant des « coups de pouce » au bon moment.

CONCLUSION

La théorie du chaos pour la prévision des marchés financiers constitue clairement un domaine de recherche très prometteur pour les firmes de recherche faisant preuve de la clairvoyance et de la sophistication intellectuelle nécessaire pour saisir le potentiel de cette percée intellectuelle majeure dans le domaine scientifique.

RÉFÉRENCES (par auteur):

a1. “Positive Feedbacks in the Economy”, W. Brian Arthur, Scientific American (Feb. 1990), pp 92-99

b1. “Fractals Everywhere”, Michael Barnsley, Academic Press, 1988, pp 190-239

b2. “Nonlinear System Analysis and Identification from Random Data”, Julius Bendat, Wiley, 1990

b3. “Causality, Chaos, Explanation and Prediction in Economics and Finance”, William Brock, in “Beyond Belief: Randomness, Prediction and Explanation in Science”, J. Casti and A. Karlqvist (ed.), CRC Press, 1990, pp 230-279 

c1. “Sorting Out Chaos on Wall Street”, Elizabeth Corcoran, Scientific American (June 1991), p 121

c2. “What Moves Stock Prices?” D. M. Cutler, J. M. Poterba, and L. H. Summers, The Journal of Portfolio Management (Spring 1989), pp 5-12

e1. “The Laws of the Game” M. Eigen and R. Winkler, Allen Lane, 1982, in “God Does Play Dice”, Ros Herman, New Scientist (8 July 1982), p 105

f1. “Comparing a Nearest-Neighbor Estimator of Local Attractor Dimensions for Noisy Data to the Correlation Dimension”, M. E. Farrell, A. Passamante, and T. Hediger, Physical Review A, vol. 41 no. 12 (15 June 1990), pp 6591-6595

f2. “Fractals in the Natural Sciences”, M. Fleischmann, D. J. Tildesley, and R. C. Ball (ed.), Princeton University Press, 1989, pp 103-121

f3. “Information and Entropy in Strange Attractors”, Andrew Fraser, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 35 no. 2 (Mar. 1989), pp 245-262

g1. “The Fractal Explorer”, Linda Garcia, Dynamic Press, 1991

j1. “Chaos Puts Electronics in Order”, R. Colin Johnson, Electronic Engineering Times (20 Mar. 1989), p. t8

l1. “Fractal Geometries, Theory and Applications”, Alain le Mehaute, CRC Press, 1990, pp 30-34

m1. “Price Change and Scaling in Economics” in “The Fractal Geometry of Nature”, Benoit Mandelbrot, W. H. Freeman and Co., 1982, pp 334-339

m2.  “Forecasting Into Chaos”, Richard Monastersky, Science News, vol. 137 (5 May 1990), pp 280-282

o1.  “Chaos Versus Noisy Periodicity: Alternative Hypotheses for Childhood Epidemics”, L. F. Olsen and W. M. Schaffer, Science, vol. 249 (3 Aug. 1990), pp 499-504

p1. “The Dreams of Reason: The Computer and the Sciences of Complexity”, Heinz Pagels, Bantam, 1990, in “Where the Wild Things Are”, John Barrow, New Scientist (21 Apr. 1990), p. 59

p2. “Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems”, T.S. Parker and L. O. Chua, Springer-Verlag, 1989, pp 191-199

p3. “Fractal Structure in the Capital Markets”, Edgar Peters, Financial Analysts Journal (July-August 1989), pp 32-37

p4. “Chaos and Order in the Capital Markets”, Edgar Peters, Wiley, 1991

p5. “Chaotic Systems that Stay in Step”, Ivars Peterson, Nature (24 Mar. 1990), p 191

p6. “Linking Quantum Physics and Classical Chaos”, I. Peterson, Nature (6 Oct. 1990), p. 213

p7. “Ribbon of Chaos”, Ivars Peterson, Science News, vol. 139 (26 Jan. 1991), pp 60-61

p8. “Ecologists Flirt with Chaos”, Robert Pool, Science, vol. 243 (20 Jan. 1989) pp 310-313

p9. “The Major Works of R. N. Elliott”, Robert Prechter, Jr. (ed.), New Classics Library, 1980

p10. “Chernobyl, Commodities, and Chaos: An Examination of the Reaction of Commodity Futures Prices to Evolving Information”, Stephen Pruitt, The Journal of Futures Markets, vol. 7 no. 5 (1987), pp 555-569

r1. “Institutional Dynamics, Deterministic Chaos, and Self Organizing Systems”, Michael Radzicki, Journal of Economic Issues, vol. XXIV no. 1 (Mar. 1990), pp 57-102

r2. “Chaotic Evolution and Strange Attractors”, David Ruelle, Cambridge University Press, 1989, pp 28-32

r3. “Chance and Chaos”, David Ruelle, Princeton University Press, 1991, p. 75

s1. “When Random is Not Random: An Introduction to Chaos in Market Prices”, Robert Savit, The Journal of Futures Markets, vol. 8 no. 3 (1988), pp 271-290

s2. “Nonlinearities and Chaotic Effects in Options Prices”, Robert Savit, The Journal of Futures Markets, vol. 9 no. 6 (1989), pp 507-518

s3. “Chaos on the Trading Floor”, Robert Savit, New Scientist (11 Aug. 1990), pp 48-51

v1. “Chaos on Wall Street”, Atlanta Journal (21 Nov. 1989) in “Intelligent Investor”, Don Vodopich, 1989

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3 réponses à “ Potentiel, histoire et applications de la théorie du chaos utilisée dans la modélisation des marchés financiers (1992)”

  1. Avatar de Jérôme Provost
    Jérôme Provost

    Edifiant ! Vous aurez eu au final une bien meilleure vie, la vie bonne d’un honnête homme en somme, comparée à celle de cet esprit avide et perverti. Il finira bien seul…

  2. Avatar de Christian Brasseur
    Christian Brasseur

    Dallas, c’était de la petite bière 😉

  3. Avatar de Ruiz

    L’éminent co-auteur en lien semble aussi avoir de meilleures connaissances de droit que Jeff Bezos ou Bill Gates (!).
    Est-ce que l’exploitation rémunératrice d’une modélisation par une approche fractale multi échelle, n’est pas justement favorisée par un trading multi fréquence.

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