129 réflexions sur « Vidéo – Que font les mathématiciens ? »

  1. “Sans doute l’éloge de “l’ anthropologue” inclut-il la permanence de sa création, mais non sa planification par avance de quelque chose qui doit seulement devenir réalité pour ceux qui viennent après et qui est encore inaccessible à ceux qui actuellement partagent sa vie.”

  2. Et si les mathématiques étaient plus une langue, qu’une science universaliste, ou au mieux une science appliquée ? Avec les mêmes problèmes linguistiques de traduction des idées que vous avez soulevés avec les idéogrammes chinois… On voit que selon les domaines du réel, ce sont des formes de mathématiques alternatives qui s’imposent ; les mathématiques fractales pour tous les phénomènes de chaos, les mathématiques non commutatives pour les observations de la physique quantique, le monde d’Euclide pour les menuisiers et maçons…etc. Les liens entre ces mathématiques alternatives, dont les hypothèses s’isolent du corpus général dans des domaines de définition, nécessitent des modes de “traduction” linguistiques (ou une sociologie de la transformation) pour les rattacher dans une “théorie du tout” à laquelle les mathématiciens veulent croire comme si elle était la réalité. Mais en réalité, et par construction d’ailleurs, les mathématiques ne sont-elles pas qu’une métrologie rapportée à un domaine de la réalité qui s’y prête, et dont on extrapole un langage humain pour lier tous ces domaines dans une parole conceptualisant la mosaïque de ce que l’on conçoit.
    Dans ce cas , les problématiques mathématiques sont tout autant linguistiques que scientifiques…Et d’ailleurs, la séparation entre physique et mathématique ne viserait en fait tout à la fois à n’être qu’un alibi et qu’une volonté de séparer la langue dans laquelle la physique s’exprime, des problématiques de métrologie du réel qu’elle rencontre…?
    Et si c’est le cas, ne devrait-on pas enseigner les mathématiques avec les pédagogies qui s’appliquent à une langue étrangère?

    1. Vous approchez du but: pas une langue mais un langage
      Les mathématiques sont le langage de la nature. Quelqu’un a dit une chose comme ça, il y a assez longtemps.

      Wikipédia nous dit: ‘Le langage est la capacité d’exprimer une pensée’ etc. et plus loin: ‘la langue est une des nombreuses manifestations du langage.’
      Je crois beaucoup à la communication non verbale. Les maths sont un de ces moyens.

  3. “La difficulté est avant tout psychologique. Nous ne sommes pas habitués ; nous vivons le formalisme linguistique et le formalisme mathématique comme deux domaines disjoints de l’activité psychique. Je serais personnellement tenté de dire que c’est le domaine linguistique, qui est réellement le domaine fondamental.”

  4. Que font les mathématiciens? Pour une fois, j’ai une réponse claire. Ils lisent le blog de P. Jorion, évidemment: le seul où l’on parle à la fois de logique, de politique américaine, d’écologie, de totémisme, d’économie, d’Aristote et de chanteurs pop; d’une façon qui suscite régulièrement une certaine réflexion, sinon toujours l’adhésion, et sans préjudice d’amusement, souvent, et parfois d’une pointe d’agacement. What else? 🙂
    Continuez! comme disait Mac-Mahon.
    La question de la vérité, voilée comme Isis, obscure comme le Tao, et métaphysique, comparée à la démontrabilité dans un système axiomatique donné (dont parle Gödel), est inépuisable. Bon, je vais lire ce livre, après l’avoir acheté, non point en ligne bien sûr, mais au Silence de la Mer, havre de civilisation. Bon dimanche ensoleillé.

  5. Quant aux mathématiques, il est courant aujourd’hui de vouloir en faire un “langage”. Ca fait bien sûr écho à la grande place donnée à la linguistique dans les sciences de l’Homme au XXème siècle: le structuralisme! place que pour ma part je n’ai jamais bien comprise. Le risque est d’oublier que c’est la science des nombres et des figures (l’une des rares dont le nom ne fasse pas référence au Logos!). On confond l’aspect formel des textes avec le contenu, qu’on croit tout aussi formel. Le mathématicien, lui, a souvent le vif sentiment d’amener au jour des objets bien réels, et la preuve, c’est qu’ils lui résistent. D’ailleurs chacun peut réfléchir à l’épistémologie des maths avec ce qu’il en connaît: l’arithmétique et géométrie élémentaire apprise à l’âge de dix ans. Le nombre 47, le pentagone régulier, le théorème de Pythagore sont-ils des effets de langage? Une invention des hommes? une convention formelle? Ou bien appartiennent-il au monde concret au même titre que le continent Antarctique? que l’espèce rouge-gorge? que la Grande Dépression? que l’électron? que les coutumes matrimoniales des Nambikwaras? que la force gravitationnelle? En fait, dans chaque science, un peu de réflexion fait voir que la nature de cette sacrée réalité n’est pas si évidente: il n’y a pas que dans les maths. Un autre aspect est l’incroyable adéquation de certains chapitres des mathématiques, même très élaborés, avec la réalité physique, qui fait qu’en physique théorique les maths ne sont pas seulement un outil, mais une composante inévitable de la réalité physique elle-même. Le “i” dans l’équation de Schrödinger n’est pas un artefact.

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    1. Boah, “pas un artefact”. Il faudrait remonter aux groupes de Lie. On veut des générateurs qui aient une certaine symétrie, et l’ensemble des réels n’est pas complet pour cela.
      Après, le “i” n’a pas de signification physique en tant que tel (dans Schrödinger ou autre), on pourrait décrire les opérateurs comme oscillants entre deux formes comme dans l’oscillateur harmonique classique (cinétique et potentiel).
      C’est peu ou prou la démarche quand on introduit la seconde quantification, d’ailleurs, on part d’une équation du second ordre avec un hamiltonien (sans unité blog oblige) H=p²+q², et on en cherche la racine (p+iq)(p-iq), qu’on écrit ensuit savamment “a^+a” (“a croix a ou pour faire chic {a “dagger” a}) en disant que l’un est annihilation et l’autre création parce que s’ils sont appliqués seuls ils ont un rôle simple sur les solutions propres de l’équation (l’un augmente le nombre quantique de 1 et l’autre le diminue). Mais on pourrait faire tout ça avec des matrices réelles de taille 2 ou 4 suivant les goûts et les couleurs.
      Plus intrigant me parait cette intuition sur le rapport “fondamental” entre multiplication et addition (au niveau operateur) qui a conduit le théoricien américain Carl Bender à proposer une route inattendue pour la solution de la conjecture de Riemann bien connue sur les zéros non triviaux de la fonction de Riemann (liés aux nombres premiers), autour des pseudo-Hamiltoniens.
      https://mathoverflow.net/questions/266935/pt-symmetry-and-the-riemann-hypothesis
      https://link.aps.org/pdf/10.1103/PhysRevLett.118.130201
      (enfin pas si inattendue si vous voyez les diverses sources… et Michael Berry était passé par là en 1999, un type bien).

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      1. Merci pour la référence intéressante; et pour amener un peu d’eau à mon moulin avec les groupes de Lie…

    2. A = A est un point de vue mathématique mais Houat = what = ouate = watt est un point de vue auditif.
      Une sou est un sou, n’est pas 1 sou = 1 sou.
      Au lycée, l’arithmétique ça m’allait, la littérature aussi. Il y avait les chiffres d’un coté et les lettres de l’autre et pas de mixité. Quand avec l’algèbre un jour les pédagogues ont voulu faire copuler les uns avec les autres, j’ai trouvé ça très sexuel, en plus avec des x inconnus…

      Lacan était préoccupé par les mathématiques et les mathématiciens, quelques extraits questionnant :

      […Dites-moi ce que vous en pensez, parce que quand même, c’est la seule chose dont on puisse dire qu’on y croit avec raison, et qui repose entièrement sur cette formule : y croire. Tout ceux que je connais comme mathématiciens distinguent très bien entre ce qui est la mathématique et ce qui ne l’est pas et la seule chose non pas qu’ils croient mais à quoi ils croient, c’est à la mathématique. C’est ce qui définit un mathématicien…]

      […Le mathématicien a la mathématique comme symptôme …]

      […Ça pourrait quand même se soutenir qu’une personne, pouvant être considérée essentiellement comme ce qui est substance pour une pensée, c’est-à-dire ce qui est substance qu’on appelle pensante, il n’est pas exclu qu’on puisse pousser les choses assez loin que d’identifier la mathématique à une personne…].

      […Le propre du langage mathématique une fois qu’il est suffisamment resserré quant à ses exigences de pure démonstration, est très précisément ceci de tout ce qui s’en avance, s’en avance non pas tant dans le commentaire parlé mais dans le maniement des lettres, suppose ceci qu’il suffit qu’une ne tienne pas pour que tout le reste, tout le reste des autres lettres, non seulement ne constituent par leur agencement rien de valable, mais se dispersent…].

      […l’insertion de l’effort de Russell dans cette même direction, en mathématiques aboutit à la formation de ce qu’on appelle la théorie des ensembles, dont on peut caractériser la portée générale en ce qu’on s’y efforce de réduire tout le champ de l’expérience mathématique accumulée par des siècles de développement, et je crois qu’on ne peut pas en donner de meilleure définition que c’est la réduire à un jeu de lettres…]

      [ …Ce désir de savoir, pour autant qu’il prend substance, il prend substance du groupe social. À la vérité je n’irai pas à me contenter de vous faire cette réponse pour ce qui est de l’invention mathématique n’est ce pas il est tout à fait clair que, qu’il y a des mordus n’est ce pas, je veux dire que, c’était pas une façon de se faire valoir à la Sorbonne que de résoudre les problèmes de la cycloïde, que y avait comme çà enfin temps miraculeux, au temps que dont je voudrais voir se reproduire, n’est ce pas, sous la forme des psychanalystes, je voudrais s’y voir reproduire cette espèce de République n’est ce pas qui faisait que Pascal correspondait avec Fermat, avec Roberval, avec Carcavi, avec des tas de gens, n’est ce pas qui étaient tous entre eux, enfin, pour ceci on ne sait pas quoi s’était produit, c’est bien ce que je voudrais un jour tirer de l’histoire, on ne sait pas quoi s’était produit qui faisait qu’il y avait des gens qui désiraient plus en savoir à propos de ces choses invraisemblables, n’est ce pas, si un cycloïde que sais je si c’est un cercle, une roulette qui tourne autour d’une autre, vous voyez ce que ça peut donner, ça donne, je ne sais pas, une chose comme ça un cycloïde mais rien que le fait qu’ils étaient mordus qui croyez le, à ce moment là, ne rapportait rien auprès d’aucun Seigneur, n’est ce pas, qui leur faisait leur réputation, enfin leur truc strictement entre eux, n’est ce pas, ils ne sortaient pas de là. Bien sûr, de là est sortie votre télévision, cette télévision grâce à quoi vous êtes définitivement abrutis …]

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      1. “cette télévision grâce à quoi vous êtes définitivement abrutis ”
        Lacan avait des inspirations de génie.

        1. L’ époque où on opposait science bourgeoise et science prolétarienne a vécu, mais le bonhomme était élitiste. Bon, il n’avait pas connu le charme des films en streaming confiné sur télé couleur mais l’occupation. « Je hais la réalité mais c’est quand même le seul endroit où se faire servir un bon steak » énonçait Woody Allen, mais sec sur La Vérité.

      2. “Mon père avait raison” – Le jour de la mort de Lacan, adolescent, j’ai naïvement demandé à mon père, qui se targuait d’avoir quitté l’Ecole Freudienne avant tout le monde, si finalement l’on pouvait voir dans Lacan un génie, ou bien un charlatan. Sa réponse: “si c’était un charlatan, c’était un charlatan génial. Et si c’était un génie, c’était un génie… charlatanesque”.

        1. Le fil à couper le beurre, c’est l’exploitant du transfert et l’exploiteur du transfert, et votre père ne manquait pas de raison, tel père tel fils, les maîtres installés cherchent toujours des élèves pour le demeurer.

    3. “Un autre aspect est l’incroyable adéquation de certains chapitres des mathématiques, même très élaborés, avec la réalité physique, qui fait qu’en physique théorique les maths ne sont pas seulement un outil, mais une composante inévitable de la réalité physique elle-même.”

      Un nouveau regard sur cette très ancienne question : les structures mathématiques, ainsi que les entités et lois physiques, pourraient toutes découler d’un hypergraphe relationnel abstrait, en amont de tout. Cet hypergraphe est simplissime dans sa structure mais “inévitable” dans son développement colossal (10e500 hyperliens), et il se déploie à la façon d’un automate cellulaire. C’est le modèle de Steve Wolfram. C’est tout nouveau (un an à peine), en plein développement, et, à mon très humble avis, explosivement fécond.

      Voici un compte-rendu récent. A partir de là, ceux qui seront intéressés pourront remonter les liens :
      https://writings.stephenwolfram.com/2021/04/the-wolfram-physics-project-a-one-year-update/

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      1. “… en physique théorique les maths ne sont pas seulement un outil, mais une composante inévitable de la réalité physique elle-même”

        C’est une profession de foi “platonicienne”, c’est-à-dire du mysticisme pythagoricien : le mysticisme n’a rien à faire dans le cadre d’une démarche de type scientifique.

        1. @Paul
          “le mysticisme n’a rien à faire dans le cadre d’une démarche de type scientifique.”
          Et réciproquement ! Pourtant, les deux existent.
          Faut-il établir une hiérarchie ou bien un dialogue ?

            1. Personnellement, je choisis le Mysticisme philosophique.
              “Le mysticisme philosophique est une doctrine qui, constatant l’impuissance de la raison humaine à résoudre les problèmes métaphysiques fondamentaux, s’adresse pour y suppléer à une connaissance intuitive spéciale. Les Orientaux (Bouddhistes) pensent que c’est le seul moyen de se libérer du monde sensible. Tous se proposent d’atteindre une sorte de fusion avec le monde divin au cours de l’extase (Porot1960)”. https://www.cnrtl.fr/definition/mysticisme
              Si seule la pensée scientifique pouvait définir le réel (dans sa causalité), que faire du mysticisme en tant qu’approche intuitive du réel (dans sa globalité) ?

            2. On peut cependant se demander si pour beaucoup l’au delà et l’ici bas sont au bon endroit .

              Faut dire qu’il n’y a personne à la frontière pour contrôler les entrées sorties .

              1. C’est la pensée rationnelle qui définit un “ici bas” et un “au delà”. C’est elle aussi qui définit des frontières et cherche à mettre l’infini en équation. C’est elle qui cherche à contrôler, maîtriser.
                La pensée mystique cherche a établir une relation directe avec l’absolu (d’autres diraient Dieu, le Tout). C’est elle qui cherche à ressentir, harmoniser.
                Si l’être humain est doté de ces deux capacités, pourquoi chercher à en faire des adversaires ?

                  1. Je ne cherche pas à en faire un tout mais un dialogue.

                    Quand Paul parle de “séparation des domaines”, c’est normal. Il se place du point de vue de la pensée rationnelle qui à besoin de “diviser”, mettre des “frontières” pour ensuite pouvoir définir, classifier et organiser en système pour aboutir à des modélisations. Dit autrement, c’est la “pensée scalpel” qui va disséquer le corps pour y délimiter des organes, un squelette… qu’ensuite on organise en système vasculaire, digestif, nerveux… La quète ultime serait d’aboutir à une “clé” (peut-être mathématiques pour certains) qui permettrait une compréhension ultime du vivant et du réel par extention. Mais l’expérience scientique séculaire nous a apprit qu’en cherchant à répondre à une question, il n’y avait jamais de réponse ultime mais au contraire “l’ouverture” vers dix ou cent nouvelles questions.

                    La “pensée” mystique (telle que je la conçois) ne juge pas la pensée rationnelle, elle constate simplement ses limites. D’ailleurs, c’est certainement une erreur de ma part de parler de “pensée” mystique, il faudrait plutôt parler “d’exprience” mystique. Dès lors, cette approche mystique vise par d’autres moyens que la pensée, une expérience différente du réel dans sa globalité perceptible. C’est aussi une approche empirique du réel.

                    L’acupuncture me semble un très bon exemple de dialogue possible (et de complémentarité) entre la pensée rationnelle et l’expérience mystique. Par ailleurs, la pensée rationnelle est d’une redoutable efficacité pour donner à l’homme la capacité de transformer le “monde extérieur”, son environnement. Mais la crise climatique montre bien notre incapacité à modifier notre “rapport” à cet environnement, au réel. Nous continuons à foncer droit dans le mur. On peut y donner des justifications politiques, économiques mais c’est avant tout notre incapacité à changer notre “rapport” au monde, notre “être” au monde.
                    La pensée rationnelle nous offre une extraordinaire capacité à agir sur le monde, sur le réel perceptible mais elle nous aveugle aussi. Si l’on prend par exemple du concept de “vie”. Pour la pensée rationnelle, la vie est avant tout définit par un ensemble de caractéristiques (naissance, croissance, reproduction, mort) qui permet de diviser le réel perceptible en vivant et non vivant. La modélisation du vivant devient (surtout) au XXème siècle une arborescence évolutioniste (héritée de Darwin) qui classifie les espèces et les hiérarchises en matère de compléxité faisant ainsi de l’homme, un être vivant supérieur. Inutile d’aller plus loin pour comprendre notre incapacité a appréhender notre rôle destructeur. L’exemple des génocides nous montre que dans sa mise en oeuvre, la première des choses à faire en tant que génocideur, c’est de retirer à l’autre (génocidé) son caractère humain pour justifier sa destruction. De même dans l’écocide, la première des choses à considérer c’est que l’ensemble des êtres vivants n’ont pas tous la même valeur, ce qui nous permet de détruire le vivant en toute bonne conscience.

                    L’expérience mystique est avant tout une expérience individuelle (dès qu’elle s’institutionnalise, elle devient une secte ou une religion pour le meilleurs et le pire). Elle vise à modifier individuellement notre rapport au réel (perceptible). Ainsi, il me devient possible de considérer que je ne suis pas (moi, Pascal, être humain, français, mâle, quincagénère, occidental…) en train de “faire ma vie” mais de considérer plutôt (de prendre conscience), que la vie s’exprime au travers de ce corps (que je considère comme mien) comme elle s’exprime au travers de chaque être vivant. Dès lors, je ne suis plus que l’expression de la vie qui m’a donné ce corps dont l’évolution m’a permis de prendre conscience. Pour tenter de le dire rationnellement, cela me permet de me décentrer de mon identité humaine (sans y renoncer) pour accéder à une représentation du réel qui fait de la vie une entité dont je ne suis qu’une modeste cellule.

                    La pensée rationnelle et l’expérience mystique permettent de nourrir la conscience de chacun.
                    Le 0 est un concept (rationnel) et le vide est une expérience (mystique). Ils ne s’excluent pas mais nourrissent notre conscience.

                    1. Pourquoi voulez-vous un dialogue ? De quoi voulez-vous me convaincre ? Que le mysticisme est une expérience personnelle ? J’en suis déjà convaincu. Que c’est une manière “supérieure” d’appréhender le monde ? Là, vous ne me convaincrez pas : c’est le royaume de toutes les suggestions, de toutes les méthodes Coué qui furent jamais inventées.

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                    2. C’est bien vous qui avez parlé de “tout” ( en visant dieu , c’est vrai et avec des restrictions ).

                      Comme Paul Jorion , je ne comprends pas trop pourquoi ayant eu une ” expérience mystique individuelle ” , vous tenez absolument à en faire la promotion que je reçois comme une forme de prosélytisme , que je récuse autant en spiritualité qu’en politique .

                      Si le vide est une expérience mystique , je dois en faire une chaque nuit ou presque , quand je dors sans rêver ( ce qui m’arrive assez souvent , en tous cas lorsque e n’ai pas souvenir d’avoir rêvé).

                      Quant à nourrir la conscience , pour autant qu’on parvienne à une définition universellement admise de la conscience , j’ai vaguement l’impression qu’elle s’est nourri et qu’elle se nourrit toute seule de ses expérience smultiples et de son environnement .

                      PS : en dépit de nos divergences , comme j’en avais avec Jducac , je pourrais cependant vous confier le soin de mes enfants comme je l’aurais fait avec lui . Sous réserve que vous leur lâchiez les baskets avec l’expérience mystique pour leur laisser leurs propres expériences .

                    3. @Juannessy
                      J’ai déjà deux grands ados qui régulièrement me rembarrent quand j’ai le malheur d’évoquer le blog, en me disant quelques choses comme : tu nous casses les pieds avec ton Paul Jorion ! (avec toutefois un vocabulaire beaucoup plus actuel et direct ;-)). Alors vous imaginez bien que je ne parle pas mysticisme avec eux ! Mais j’aime bien discuter avec mon fils notamment sur la notion de réel, car pour lui, qui vient de rentrer dans une école d’informatique, ce qui se passe sur son écrant, c’est la réalité, voire “mieux” !

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                    4. @Paul
                      “Que c’est une manière “supérieure” d’appréhender le monde ?”
                      Non, que c’est une manière complémentaire d’appréhender le monde.
                      Je comprends votre position, qui a longtemps été la mienne, par rapport au mysticisme. D’autant qu’il est tellement plus fréquent d’être confronté à des mystificateurs de tout poil qu’à un mystique. Mais n’y a-t-il pas aussi des mystificateurs en science ?
                      Je participe au blog pour tenter d’apporter modestement (mais aussi parfois avec passion) ma petite pierre aux idées qui y bouillonnent, avec au loin l’idée qu’il y a quelque chose à tenter pour réorienter notre course vers le mur. Dans ce sens, j’ai fait mienne cette phrase d’Albert Einstein : “On ne résout pas un problème avec les modes de pensée qui l’ont engendré”. C’est cet “autre” mode de pensée qui m’intéresse. Et c’est aussi, pour moi, une manière de mettre cet “autre” mode de pensée à l’épreuve de la sagacité des autres participants.
                      Je crois (aïe, aïe, aïe) sincèrement que notre mode de pensée occidental issu des grands philosophes grecs (entre autres) nous a amené là où nous en sommes, cette sorte d’impasse scientifique dont la géo-ingénierie serait le summum et le bouleversement climatique le symptome. Il ne s’agit pas pour autant de condamner la pensée rationnelle et scientifique qui a permis cet exploit merveilleux de faire voler un petit drone à la surface de Mars ces derniers jours et ma dernière opération par coelioscopie. Mais la pensée rationnelle n’étaient-elle pas aussi à l’oeuvre dans “la solution finale” ou dans l’entreprise Monsanto depuis le gaz de combat jusque dans le glyphosate ? La pensée rationelle qui domine aujourd’hui le fonctionnement de l’humanité n’a-t-elle pas besoin d’être rééquilibrée avec un autre mode de pensée ? L’émergence des fanatismes de tout poil n’est-il pas le signe que la pensée rationnelle a atteind une certaine limite ? Limite au delà de laquelle s’engouffrent des mystificateurs dont la violence destructrice est la seule jouissance. N’est-il pas de notre responsabilité de tenter de combler ce manque avant que les nationalismes, les identitaires et les fascistes n’en profitent ? Est-ce que la remise en cause par Trump, et acceptée par un grand nombre d’américains, de la vérité scientifique n’en est pas un symptome de plus ?
                      Mais je ne voudrais pas abuser de l’hospitalité du blog.

        2. Certes. Vous l’avez très bien illustré dans “Comment la vérité…”, et j’agrée complètement. Vous avez compris que je citais le commentaire assez emblématique de Gael Meigniez. Ce n’est pas mon opinion, au moins pas dans ces termes.

          Cependant, le modèle de Wolfram fait beaucoup plus que suggérer que maths et réalité physique sont faits de la même pâte, et il le fait de façon complètement inattendue par rapport à ce que l’histoire de la pensée nous a légué, et que vous avez pertinemment critiqué. Je vous recommande la réécriture en termes computationnels qu’a faite Wolfram des “Eléments” d’Euclide. C’est assez saisissant…

          https://writings.stephenwolfram.com/2020/09/the-empirical-metamathematics-of-euclid-and-beyond/

          Pensez-vous que le travail récent de Wolfram nécessiterait un nouveau chapitre à votre livre “Comment la vérité et la réalité furent inventés” ?

          1. Moi aussi, je répondais à Gael Meigniez.

            Je suis en train d’intégrer Wolfram à ma communication “Prédestination et futurs contingents chez Philip K. Dick”.

        3. Franchement, je ne crois pas. Ce n’est pas une profession de foi, mais une constatation empirique mêlée de surprise; Einstein l’exprimait de même. Le tenseur de courbure se révèle en 1915 exactement ce qu’il faut pour modéliser les interactions de l’espace-temps avec la matière et faire une théorie de la gravitation. De même entre la mécanique classique et la géométrie hamiltonienne; récemment, la géométrie des connexions d’Elie Cartan, datant de cent ans, et les théories “de jauge”; etc. Je suis pour ma part plutôt anti-platonicien, et peu mystique. Quant à Pythagore, difficile de savoir ce que ça recouvrait à l’origine. Mais peut-être, pour reprendre votre mot, mettrais-je en avant la formule “je préfère avoir raison avec Pythagore plutôt que tort avec Platon” :):):) “Tout est nombre”, oui. L’immortalité de l’âme, les archétypes, et autres platonneries, non. Ce n’est pas pareil! Et c’est même contraire.

    4. Si les mathématiques semblent aujourd’hui universellement reconnues comme langage, il n’en demeure pas moins que dans tout langage la question sémantique offre quelques pierres d’achoppement. En mathématiques, la question du zéro en est une. Lorsque le zéro de position est validé par toutes les numérations, le zéro comme symbole de” l’absence” ou du “vide” soulève la question sémantique de ceux-ci. C’est ce zéro que Parménide et Aristote ont toujours refusé parce qu’elle pose la question du “vide” qui dérangeait grandement leur représentation du réel. La sémantique du mot “vide” diverge grandement d’une culture à l’autre et notamment entre l’Orient et l’Occident. Pourtant le mot arabe Sifr, qui désigne le zéro, signifie bien la notion de vide (Sifr issu du sanskrit sunnya avec le même sens).

      Pour allez plus loin, je vous conseille cette vidéo : La notion de vide par Etienne Klein
      https://www.youtube.com/watch?v=eYJCrfLYabA
      Etienne Klein qui conclut ainsi sa conférence : « Ce que vous allez appeler le vide va dépendre de la théorie physique que vous prenez comme référence. D’où l’idée qu’il y aura en physique, autant de vides différents qu’il y a de théories physiques différentes ». […] « Bref, c’est un peu la foire. Le vide, c’est vraiment pas clair ! » ( 40 min)

      Pour le 0 “inventé” en Inde, la sémantique du “vide” s’apparente culturellement à la notion bouddhiste de “vacuité” qui n’est pas la même chose que le “vide taoiste” chinois, lui même différent du “vide zen” japonais. Nous n’en avons donc pas fini avec la sémantique du zéro.

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    1. Quel rapport entre le nombre et la mémoire ? Est ce que la puissance d’une mémoire ( si on est capable de la définir) conditionne la complexité mathématique que nous sommes capables d’atteindre ?

      PS : mon corbeau totem sait mémoriser sans erreurs jusqu’à 7 à 8 . Je me demande ce qu’un corbeau chinois peut faire :

      https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_chinoises#:~:text=Les%20math%C3%A9matiques%20chinoises%20sont%20apparues%20vers%20le%20XIe,plusieurs%20si%C3%A8cles%20les%20r%C3%A9sultats%20analogues%20des%20math%C3%A9maticiens%20occidentaux.

  6. Prendre des solutions transitoires et contextuelles pour des vérités. C’est un peu le terreau de notre “réalité “. Cette description du monde à laquelle on adhère sans distinction ne serait-elle pas faite que de cela ?

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  7. D’abord merci à Paul pour ce cours de math anthropologique ! J’ai eu l’occasion de lui dire que nous n’avions pas comme référence le même Benveniste. Le mien c’est le chercheur de la “mémoire de l’eau”, expression d’un journaliste qu’il a eu tort d’accepter mais qui n’enlève rien à l’ensemble de son œuvre qui révèlera encore des résultats dérangeants.
    Il y a sous chaque analyse et découverte scientifique, des approches culturelles différentes ; les chiffres peuvent souvent masquer des différences culturelles. Il est reconnu que nombre de molécules utilisées en pharmacie ne passeraient pas les tests exigés aujourd’hui par des administrations qui ont d’autres préoccupations. Et réciproquement des médicaments les plus simples – comme l’eau de mer du sérum de Quinton – ne sont pas autorisés car nul ne veut financer ce travail ! Je suis d’autant plus intéressé par les approches médicales asiatiques.
    En matière de culture chinoise, Mme Anne Cheng dans une de ses conférences raconte (de mémoire) que la dynastie Han s’est emparé du pouvoir en respectant l’étiquette établie « mieux » que les lettrés de l’époque corrompus par paresse. Bref la méthode et la communication étaient déjà très efficaces sans autres besoins techniques ou scientifiques ! La charge sémantique des mots changent effectivement avec la culture !
    Notre prof de “quantique” a un jour déclaré que le vétérinaire que je suis, faisait de la “topologie”. Je crois comprendre ce que cela signifie mais l’avis d’un expert mathématicien me serait utile. On aboutit à des conclusions fonctionnelles que l’approche “cartésienne” et “simplement métrique” ne permettent pas car la topologie prend en compte des cinétiques de réaction que la seconde aura du mal à intégrer tant elles sont complexes : chaque erreur d’aiguillage peut entrainer des catastrophes – nous les avons vécus !
    Ainsi il est reconnu après une année de piétinements médicaux que les dérèglements induits par le coronavirus sont des réactions similaires au choc septique, phénomène connu depuis longtemps (Henry Laborit) : c’est donc ce risque de dérive qu’il faut soigner et prévenir dès le premier jour et ne surtout pas attendre en renvoyant les patients chez eux sans rien. La cohérence scientifique inclut un devoir de prévision des phénomènes avant qu’ils ne se révèlent.
    Un des cours fondateur de médecine vétérinaire est la “pathologie générale” qui construite des liens entre tous les autres cours, de magnifiques leçons de topologie – expression que j’ignorais à l’époque. Comment un symptôme, une pathologie, une maladie s’expriment selon des modes similaires chez les espèces différentes, mammifères, oiseaux, poissons, mollusques, …. Il faudra en tenir compte pour guérir et mieux, prévenir. Vu de l’extérieur cela peut paraître dérangeant mais les mécanismes du vivant se conservent et l’approche topologique prend en compte la continuité de la biochimie ce que les découpages en domaines dit-indépendants éliminent – précisément parce qu’ils le sont rarement.
    Peu importe le nom de baptême du virus ou de la bactérie, il faut aider l’organisme à se défendre avant que les analyses les plus pointus n’en aient défini les caractéristiques. Et cela impose une médecine de prise en charge générale. Là où le « scientifique » aimerait soigner avec précision quelques réactions spécificiques pathologiques, le généraliste par approche topologique veut stimuler les défenses non spécifiques par différentes techniques oserai-je dire « périphériques » : refuser de les utiliser dès le premier jour est une faute professionnelle. Le médecin généraliste peut faire appel à des molécules qui ont fait leurs preuve dans ce contexte même si elles n’avaient pas d’autorisation administratives particulières. Les Ordres de médecins ou des pharmaciens suivent des consignes « administratives » au premier degré, au lieu de faire de la science topologique, sans doute trop compliquée pour eux. Comme il a été écrit plus haut : ils ne parlent pas, ni ne pensent pas les mêmes langages. Pour soigner il faudra bien s’en sortir par le haut.

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    1. @Le Bitoux Jean François
      “l’approche topologique prend en compte la continuité” ne surprendra pas un mathématicien mais l’usage proposé ici est peut être une définition un peu “élastique”, qui veut recouvrir une approche fort intéressante de résolution de problème par prise de recul, analogie, biomimétisme, refus de spécialisation, approche trans disciplinaire.
      “les dérèglements induits par le coronavirus sont des réactions similaires au choc septique” conduit à souhaiter en conséquence “stimuler les défenses non spécifiques”
      La gravité des conséquences n’étant pas certaine, toute approche qui permettrait d’éviter une vaccination universelle et récurrente serait appréciable.
      Après l’HCQ ? next ?
      La presse ne semble pas se faire l’écho actuellement de recherches diversifiées en ce sens, qui si elle mets en oeuvre des traitements traitements existants hors brevet ne peut intéresser que de la recherche publique ou de fondation..

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      1. Un grand merci. Effectivement les conséquences de cette activité virale ne sont pas certaines, heureusement pour nous. Celles des thérapeutiques proposées à titre préventif se doivent donc d’être inoffensives !
        Le choc septique peut être déclenché par de nombreux paramètres non spécifiques, c’est pourquoi je suis très étonné que les préoccupations de H. Laborit n’aient pas trouvé de réponses satisfaisantes en plus de 50 ans, comme si cela n’intéressait pas vraiment la médicine.
        En attendant mieux, je dénonce aussi le fait que “la recherche privée » cherche une réponse spécifique et immédiate (brevetable !) au lieu de reprendre plusieurs approches thérapeutiques traditionnelles qui “cumulées” ne peuvent qu’améliorer le terrain et limiter la gravité des symptômes. (repositionner des molécules éprouvées puisque les étapes pathologiques peuvent être communes à différents maux.
        Je crains que cette approche ne trouve pas d’expression “statistique” satisfaisante pour une administration et soit ainsi niée sans même avoir été prise en compte. Voilà ce que m’inspirait la réflexion de Paul Jorion. Mais comme ces approches thérapeutiques directes et indirectes sont également utiles et même indispensables en oncologie, on y reviendra forcément; c’est en cours.
        Parmi les réflexions affligeantes entendu dans une discussion celle d’un médecin niant l’homéopathie et disant : citer moi une maladie que l’homéopathie soigne et qui ne guérirait pas toute seule ? C’est absurde puisque l’homéopathie et d”autres thérapies alternatives visent à freiner puis inhiber les dysfonctionnements physiologiques qui dérivent vers des maladies plus ou moins spécifiques.
        Ce que nous avos su faire il y a 50 ans et qui est appliqué dans le monde entier, c’est bloquer l’apparition de la virulence dans des élevages aquacoles et d’éviter maladies et mortalités jusqu’alors inéluctables. Nous avons d’abord utilisé des « antibiotiques » sans autorisation administrative – que personne n’aurait done!). En quelques années, quelques professionnels mieux inspirés les ont remplacés par des probiotiques et ça marche depuis plus de 30 ans. L’explication “cartésienne” n’est pas encore disponible mais elle ne tardera pas car c’est une solution d’avenir qui aura toute sa place dans la médecine de ce siècle – mais qui déplaira à Big Farma.
        Un pas en avant vient de paraître : (4) (PDF) Metabolic Shifts as the Hallmark of Most Common Diseases: The Quest for the Underlying Unity (researchgate.net) (MAtc Henry, Laurent Schwartz et al.)
        Bonne lecture

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      2. @Ruiz; J’ai oublié ci-dessous le paramètre qui parait sans doute le plus difficile à accepter : “l’élasticité” en topologie. Comme dans une course de montagne, il faut établir une via ferrata et des plateformes de repos pour construire une cohérence dont la solidité et la résistance puissent être testées régulièrement. – de façon à permettre une prévision dans des conditions différentes. Cela demande quand même une expérience certaine du terrain ! Mais c’est ainsi qu’on pourra construire une prophylaxie efficace.
        Elle impliquera des normes sanitaires plus exigeantes. Tant de précautions ne sont plus étonnantes aujourd’hui.
        J’avais écrit quelque part dans des commentaires de ce blog qu’il faudrait commencer par désinfecter l’air des crèches – comme dans les avions – après une épidémie de bronchiolite. Il parait qu’il y en eut moins cette année. Par contre je viens d’apprendre qu’une crèche pourtant bien tenue avait subi une épidémie virale digestive. On ne gagne pas à tous les coups ! Y’a encore du boulot!

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        1. Vous auriez pu le dire plus tôt que votre “topologie”, c’est le “terrain.”

          Je suis de votre avis: c’est essentiel et c’est complètement oublié par la médecine moderne, ou presque.

          S’il faut définir le terrain comme virtualisation médicale d’une notion agronomique, j’emploierais l’image suivante:
          Une flopée de méchantes bactéries ou virus tombent sur un organisme affaibli , aussitôt ils font leurs nids et la maladie commence.
          A l’inverse, si cette même flopée s’escrime à envahir un organisme pétant la santé, elle n’y arrivera pas. Les dégâts seront donc limités.

          Chus d’accord, mon truc n’est pas glamour. Il fait l’impasse sur des tas de notions biologiques très pointues, mais dans la vie de tous les jours, ça aide bien le quidam.

          Remarque perso: suite à des ennuis type rhume-bronchite interminables, j’ai chopé le virus de la rubéole. A mon âge, faut le faire. Le (la) médecin traitant a fortement attiré mon attention sur l’affaiblissement préalable des défenses. Ce pourquoi, je la garde comme médecin traitant. Outre le fait essentiel qu’elle ne m’a rien prescrit, cause virus et virus. ( Sauf de me tenir à distance de ma fille ainée enceinte. La séparation de 60 km étaient suffisante.)

          Prenons soin de notre terrain.

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          1. @daniel Le terrain c’est essentiel, comme le sol, l’humus, les vers de terre … Celà rapelle l’intérêt de la lutte biologique par le choix d’espèces adaptées (tomates bio …) et amène à se demander (statistiques svp ?) si une suite habituelle de rhumes (coronavirus) est un signe de défenses affaiblies ou au contraire l’occasion d’avoir développé un début de co-immunité …

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          2. Daniel, Merci de la rebuffade !
            Il m’afallu plus de 30 ans pour dire Topologie à la place de terrain ! Il y a 50 ans je croyais que c’était seulement de la théorie des ensembles.. ( Pas du complot !!!)
            Ce n’est pas exactement la même théorisation mais entre gens de métier, le sens est bien le même ( = le fonctionnement et les dysfonctionnements et même les thérapies) . J’essaie de me faire comprendre de ceux qui ne veulent pas faire l’effort de changer de lunettes, de langue, de langage… de référents !

  8. 1 + 1 = 3 !

    Merci petit Jésus !

    Sinon au dessus de 3, moi, toi, eux, au dessus aucun intérêt de savoir compter, sauf chez les blancs avides de contrôle et de puissance.

    Langage des cupides et des apprentis sorciers, souvent les mêmes en fait, mais qui s’ignorent.

        1. Mon corbeau capable d’apprécier sans se tromper jusqu’à 7 ou 8 y serait donc un savant , et les grands singes des extraterrestres .

          PS : mais la vision de Clo Clo en pagne dans la jungle amazonienne , c’est 20/20 !

        2. Heureux donc les Pirahãs qui vivent sans compter.
          Pensez-vous qu’on puisse en conclure qu’il n’y a pas de chicaya chez les Pirahãs?
          Maintenant de là à généraliser: “au-dessus (de 3) aucun intérêt de savoir compter, sauf chez les blancs avides de contrôle et de puissance”, il y a un abysse logique que vous franchissez d’un bel élan et sans peur d’y cheoir.

          1. Quand vous vivez comme les oiseaux dans le ciel, il y a des savoirs qui sont très secondaires.

            Mais effectivement, excessif est ma marque de fabrique, ça pose les limites. Je zoome et flash trop.

  9. J’ai eu 2 sur 20 en math au bac. C’est un language qui ne m’a pas séduit, malheureusement car c’est quand même considéré comme “la voie royale”.

  10. Mr Jorion, je suis mathématicien et je me demande : dans le fond, ne seriez vous pas ce qu’on appelle un “finitiste” (i.e. n’accepter comme valide que les énoncés et les preuves qui ne font intervenir que des ensembles et des procédures finies), ou tout du moins un constructiviste ? Par exemple, considérez vous comme valide l’utilisation (courante en mathématiques depuis le début du 20eme siècle) du lemme de Zorn pour “prouver” l’existence de certains objets mathématiques (idéaux maximaux d’un anneau unitaire, clôture algébrique d’un corps, etc..) ?

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    1. Un début de réponse, dans Comment la vérité et la réalité furent inventées (2009), pages 226-227.

      L’approche que je propose est, bien entendu, distincte de celle postulée par la « philosophie spontanée » des mathématiciens quant à leur pratique mathématique. Du fait qu’ils contribuent au développement historique de l’espace de modélisation « Réalité-objective », et comme cet espace fictif est tenu par la science non pour une fiction mais pour un réel, les mathématiciens peuvent entretenir la croyance qu’ils travaillent – dans une certaine mesure – au sein du monde de l’Existence-empirique. Cette croyance se voit renforcée par le sentiment qu’ils ont souvent de se laisser guider par l’intuition dans le processus de production des mathématiques. Ainsi pour Alan Turing : « le raisonnement mathématique peut être considéré schématiquement comme l’exercice d’une combinaison de deux facultés, que nous pouvons appeler l’intuition et l’ingéniosité […] L’activité de l’intuition consiste à produire des jugements spontanés qui ne sont pas le résultat d’enchaînements conscients de raisonnements » (Hodges 1983 : 144). Ils ne s’aperçoivent pas que si cette intuition dans le processus de « découverte » a effectivement (à l’origine même des mathématiques) un ancrage dans le monde phénoménal, cette intuition est cependant massivement « éduquée », modelée sur le comportement « habituel » des objets (non empiriques) qu’ils manipulent professionnellement. Car le fait qu’ils soient fictifs n’empêche pas ces objets d’avoir un comportement, qui résulte tout simplement des propriétés qui leur sont assignées conventionnellement. L’introduction en mathématiques d’objets dont il n’était plus possible de penser avec la moindre vraisemblance qu’ils entretiennent un lien quelconque avec le monde phénoménal de l’Existence-empirique (par exemple, les suites infinies ou la composante imaginaire des nombres complexes) serait pour les mathématiciens l’occasion d’une crise. Crise injustifiée, car si une partie des mathématiques qu’ils créaient pouvait servir dans la stylisation du monde de l’Existence-empirique opérée par la phénoméno-métrie, la plupart des objets créés par eux n’auraient jamais à intervenir que comme outils au sein d’espaces de modélisation (nécessairement fictifs), et en particulier au sein de celui que s’est donnée la science, à savoir, la Réalité-objective.

      1. La paire “Existence-empirique” / “Réalité-objective” doit elle se comprendre comme une autre dénomination du mythe de la caverne ?
        Ce texte n’éclaire pas vraiment ma question initiale, a moins que je en sois pas assez intelligent pour le comprendre…. mais je suppose tout de même a partir de ces fragments que, en effet, vous êtes au moins constructiviste (corrigez moi je me trompe). Pour conclure a finitiste, je n’ai pas encore assez d’éléments. Que pensez vous par exemple du statut des nombres réels en maths modernes ? Acceptez vous cette construction, ou pour vous seuls sont acceptables les entiers et les rationnels ?

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        1. Comment la vérité et la réalité furent inventées :

          Il convient maintenant d’en dire davantage sur le contexte au sein duquel Gödel démontra son théorème, et comment il se situait lui-même au sein de l’évolution contemporaine des mathématiques. On trouve, comme nous l’avons vu, parmi les mathématiciens contemporains des « réalistes » (ceux que Meyerson qualifiait d’idéalistes mathématiques) et des « antiréalistes » (ou « constructivistes »). En général, à titre individuel, ils n’éprouvent pas le besoin de se situer à l’un de ces pôles, la raison en est toutefois que, dans leur grande majorité, ils se révèlent être spontanément des réalistes. Certains cependant, comme ce fut le cas pour Kurt Gödel, se font un point d’honneur de s’affirmer tels.

          On appelle les réalistes de cette manière parce qu’ils estiment que les mathématiques rendent compte de quelque chose de réel. À leurs yeux, elles sont une « science » : celle qui décrit le monde particulier où vivent les entités mathématiques. Pour eux donc, les mathématiciens ne sont pas des inventeurs mais des découvreurs : ils mettent à jour les objets cachés de ce monde qui aux yeux du commun des mortels demeure invisible. Cet univers caché où vivent les entités mathématiques se confond alors avec la Réalité-objective, la réalité ultime pour autant qu’elle nous est connaissable, par opposition à l’Être-donné, qui nous demeure lui inapprochable. Dans cette optique, le monde sensible est la matérialisation de la Réalité-objective de nature mathématique. Dans l’usage actuel, les réalistes sont encore appelés « Platoniciens ». La raison en est que, comme on l’a vu, Platon est considéré comme un disciple de Pythagore et supposait comme son maître que la réalité ultime était faite de nombres ou, comme nous l’avons vu, selon Aristote, « … alors que les pythagoriciens disent que les choses existent par imitation des nombres, Platon affirme qu’elles existent par participation – un simple changement de terminologie » (Aristote, Métaphysique : 987b, 11-15). Comme on l’a vu aussi, selon Kojève, Platon était conscient de l’incapacité de son mythe du monde des Idées à rendre compte entièrement de la nature des choses : « … un mythe n’est authentiquement platonicien », écrivait-il, « que dans la mesure où il admet un Quelque-chose dont il ne parle pas parce que ce Quelque-chose est “transcendant” par rapport à ce qu’il dit, étant “au-delà” de ce dont il parle … » (Kojève 1972 : 34). Cette conscience d’un au-delà transcendant (l’Être-donné) faisait peut-être défaut à Pythagore lui-même puisqu’Aristote disait, comme nous l’avons vu, des pythagoriciens qu’ils considèrent que « les nombres sont les choses ultimes de l’univers physique tout entier, ils pensent que les éléments constitutifs des nombres sont les composants de toutes choses et que l’univers tout entier est une proportion ou un nombre » (Aristote, Métaphysique, 986a, 4-7). Il faudrait peut-être alors qualifier les mathématiciens réalistes de « Pythagoriciens » plutôt que de « Platoniciens » ; je ne me conformerai donc pas dans les pages qui suivent à l’usage courant en philosophie des mathématiques contemporaine et je parlerai d’eux et de leurs conceptions comme étant « pythagoriciens », mais que l’on garde alors à l’esprit que « pythagoricien » renvoie à la même chose que « platonicien » dans une interprétation erronée du mythe platonicien.

          Alors que pour certains, les mathématiques sont une méthode d’abstraction de propriétés simplifiées du monde empirique ayant son origine dans les problèmes pratiques de mesure, pour les réalistes, c’est au contraire le monde sensible qui n’est qu’une vaste « application » des mathématiques. C’est à raison, dans leur perspective, qu’ils s’interrogent alors pourquoi il n’existe pas de Prix Nobel de mathématiques : loin d’être la « servante des sciences », les mathématiques seraient la « mère de toutes les sciences ».

          Pour les antiréalistes les nombres sont des fabrications de l’intellect humain : ils ne sont pas découverts mais inventés, et il en va ainsi de l’ensemble des mathématiques. Les nombres furent abstraits de la réalité empirique, et de la même manière, les règles pour générer à partir de ces nombres d’autres abstractions. En conséquence, les antiréalistes font partie des mathématiciens qui comprennent fort bien pourquoi il n’existe pas de Prix Nobel de mathématiques, souscrivant à l’opinion d’Alfred Nobel lui-même pour qui celles-ci sont la servante des sciences : une méthodologie pour les réaliser, et non l’une de leurs parties intégrantes.

          Pour Platon, le monde sensible concrétise de manière imparfaite les Nombres (aussi appelés « Idées ») qui en tant que configurations sont aussi les Formes parfaites. Cette représentation suppose nécessairement qu’une compréhension de la manière dont ces nombres se comportent, nous met en possession du plan général ou plutôt de l’ensemble des patrons des entités physiques, et qu’il ne reste plus – en vue de constituer une Physique proprement dite – qu’à montrer pour chaque chose quelle est la Forme idéale à laquelle elle participe, de manière statique et dynamique.

          Pour l’antiréaliste ou constructiviste, il n’existe pas de récompense de cet ordre à la pratique mathématique, à savoir qu’une fois le modèle mathématique d’une partie phénoménale du monde empirique construit, on aurait atteint une certitude quant à l’ordre des choses. Ce qu’un modèle offre, selon eux, c’est une représentation stylisée de ce qui fut l’objet de la recherche : une autre illustration possible du « principe d’économie mentale » de Mach que j’évoquais plus haut à propos de la définition. De ce point de vue comme sur beaucoup d’autres Aristote prenait le contre-pied de Platon. On ne pourrait en effet être plus antiréaliste que ne le fut le Stagirite : pour lui, rien dans l’activité du mathématicien ne constitue la révélation d’une réalité cachée, il ne s’agit jamais que de stylisation d’un réel complexe. Ou dans ses propres termes : « … le mathématicien étudie les abstractions (car dans ses recherches il commence par abstraire tout ce qui est sensible, comme la pesanteur et la légèreté, la dureté et son contraire, et aussi la chaleur et la froideur, et toute autre paire de contraires dans le monde sensible, pour ne laisser que la quantité et la continuité – parfois dans deux et parfois dans trois dimensions – et leurs propriétés en tant que quantitatives et continues, et ne les étudie sous aucun autre aspect, et dans certains cas envisage les positions relatives des choses et les propriétés de ces configurations, et dans certaines autres, leur commensurabilité ou leur incommensurabilité, et en d’autres encore leurs proportions. Quoi qu’il en soit, on considère qu’il n’existe ici qu’une seule et même science, à savoir la Géométrie)… » (Aristote, Métaphysique, 1061a, 28 – 1061b, 4).

          Les travaux de Gödel se situent dans ce contexte. La simple supposition qu’il existe en arithmétique des propositions qui sont vraies, alors qu’elles ne sont ni des définitions, ni des propositions démontrables – déductibles – suppose, comme on l’a vu plus haut, que les propositions vraies non-déductibles qu’évoque Gödel doivent être vraies pour la seule autre raison possible pour qu’une proposition quelconque soit vraie : parce que leur vérité « tombe sous le sens ». C’est très exactement la position pythagoricienne : les entités mathématiques sont susceptibles de tomber sous le sens du mathématicien parce qu’elles existent effectivement, sinon dans le monde sensible, du moins dans un autre monde « réel », à savoir la Réalité-objective pythagoricienne faite des nombres et de leurs configurations, version connaissable de la vérité ultime des choses et des états-de-choses que constitue l’Être-donné. Or, cet engagement pythagoricien de Gödel était bien connu, et Bertrand Russell écrivit dans le second volume de son Autobiography que « Gödel s’avéra être un platonicien pur porc, et croyait apparemment qu’il existait au firmament un “non” éternel, où les logiciens les plus vertueux, ayant quitté ce bas-monde peuvent espérer le rencontrer » (cité par Dawson 1988a : 8). C’est à cette croyance en la réalité du monde des entités mathématiques que Gödel fait allusion dans le brouillon de lettre cité précédemment, quand il parle de « préjugés philosophiques de l’époque », suggérant par-là que les temps plus récents se sont montrés plus favorables au type de métaphysique auquel il souscrivait personnellement.

          Si les mathématiques décrivent un monde caché mais réel, on peut imaginer – avec Gödel – qu’il existe, pareils à des îles inconnues, des théorèmes qui restent non pas à construire mais à découvrir. Sinon, si l’on adopte une position non-pythagoricienne, c’est-à-dire si l’on ne croit pas à l’existence séparée d’un univers mathématique, le concept-même d’une proposition mathématique vraie qui ne soit ni démontrée ni une définition, est vide de sens.

          Le second théorème de Gödel recourt à certains modes de preuve parmi les plus faibles : comme ici, la preuve « par l’absurde » et comme on l’a vu plus haut, la récursion ou « induction complète », sans que Gödel ni ses commentateurs ultérieurs ne fassent la moindre observation à ce sujet. Or, les adversaires « constructivistes » de Gödel avaient adopté quant à la preuve par l’absurde une position très claire : ils l’avaient exclue des modes de preuve valides. Barrow explique cela : « N’accepter comme arguments logiques que ceux acceptés par les constructivistes, signifie éliminer certains procédés familiers tel que l’argument par contradiction (la reductio ad absurdum) […] Si l’on adopte la philosophie constructiviste, le contenu des mathématiques s’en trouve considérablement réduit » (Barrow 1991 [1990] : 186). Or, et comme le souligne encore Barrow, l’exclusion de la preuve par l’absurde a d’autres conséquences sérieuses : en particulier en physique où elle interdit le recours au « Big Bang » comme principe explicatif : « Les conséquences d’un tel recalibrage sont également significatives pour le scientifique. Nous serions obligés en effet d’abandonner certaines déductions fameuses telles que les “théorèmes de singularité” de la relativité générale qui spécifient les conditions qui, lorsque la structure d’un Univers et de son contenu matériel les satisfont, suffisent à indiquer l’existence d’un moment passé où les lois de la physique ont dû être suspendues – la singularité que nous appelons “Big Bang”. Car ces théorèmes ne constituent pas ce moment explicitement, en fait, ils recourent au procédé de la reductio ad absurdum pour montrer que sa non-existence conduirait à une contradiction logique » (ibid. : 187).

          Pour [Gödel], il existe – en mathématiques – d’une part la foi du savant, d’autre part la croyance populaire qui exige des preuves. Shanker note très justement à propos des mathématiciens : « Pour [les Platoniciens] la preuve se réduit […] à un appendice trivial qui fut introduit pour le bénéfice des incrédules ou des moins doués ; alors que pour les [constructivistes] la preuve constitue l’essence-même des mathématiques » (Shanker 1988 : 185). Il existe aux yeux de Gödel deux modes d’accès aux entités mathématiques vraies : le mode de la perception directe et celui la démonstration. Le croyant – ou, faudrait-il plutôt dire le « voyant », l’« extralucide » – dispose de la capacité à reconnaître les propositions mathématiques vraies, alors que le vulgaire ne peut se passer de la preuve qu’apporte la démonstration. C’est ainsi que doit se comprendre ce qui sinon ne serait qu’une simple contradiction dans l’énoncé du théorème de Gödel : qu’il existe des propositions arithmétiques vraies qu’on ne peut démontrer. L’accès privilégié dont dispose le croyant authentique au monde des Nombres l’autorise à distinguer les propositions mathématiques vraies, quelle que soit la possibilité empirique d’en apporter la preuve parce que sa foi n’a pas à être soutenue par le miracle de la démonstration.

          Pour moi qui pose un regard anthropologique sur les mathématiques, il ne peut exister de manière vulgaire et de manière savante de le faire : il n’y a que des pratiques qui se révèlent conformes ou non aux systèmes de représentation définissant la validité de ces pratiques. Soutenant l’activité des mathématiciens, on peut découvrir à l’occasion, comme c’est le cas pour le second théorème de Gödel et de sa démonstration, une théologie très particulière : celle d’une religion pythagoricienne professée par certains mathématiciens pour qui la réalité ultime est constituée de nombres dont il est permis aux initiés d’obtenir une intuition immédiate. Gödel fait partie de ces derniers, mais il cache son jeu : semblable aux grands initiés, il justifie de manière sibylline la nécessité du secret par « les préjugés philosophiques de l’époque ». Il nous met cependant la puce à l’oreille quand il affirme qu’il n’est pour rien dans l’encryptage du commentaire au sein de la proposition commentée (qu’il s’agit en fait d’un « simple hasard ») : s’il n’en est lui l’auteur, c’est que, prophète des temps modernes, une vérité transcendante a trouvé par son truchement le moyen de se révéler. Quant à ses collègues, qui autorisèrent son tour de passe-passe sans piper, furent-ils subjugués par la complexité de sa démonstration ou bien, croyants de la même religion, souscrivaient-ils à la même théologie ?

          P.S. S’il vous faut encore davantage d’informations, je risque en effet de conclure qu’il s’agit bien d’une question d’intelligence 😉 .

          1. Cette fois ci c’est très explicite en effet. Vous critiquez donc le théorème de Gödel depuis le point de vue constructiviste, et j’en déduis donc que avez une approche constructiviste des mathématiques. C’est tout à votre honneur. Je ne suis pas un mathématicien constructiviste, mais j’admire et respecte cependant cette position courageuse. Mais j’ai un doute : un constructiviste admet il la notion d’ensemble infini ? Si ce n’est votre cas, j’en conclue en toute logique que vous n’admettez pas non plus les nombres réels, du moins tels que construits à partir des suites de Cauchy de suites de rationnels.

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            1. L’infini “en acte”, par opposition à l’infini “en puissance” (défini en compréhension), n’est pas dénombrable, donc pas définissable en extension, donc insaisissable : pas explorable par recherche exhaustive et on peut lui faire dire tout et n’importe quoi.

              1. Je saisis mieux votre position. Encore une fois elle est courageuse et je la respecte en tant que telle. Vous êtes vous rapproché de mathématiciens ouvertement constructivistes ? Au passage, on ne peut pas vraiment faire dire n’importe quoi à l’infini non dénombrable en acte, il suffit pour s’en convaincre de se pencher sur les résultats relativement récents de théorie axiomatique des ensembles : à partir des axiomes de Zermelo Frankel plus axiome du choix, certaines propriétés des cardinaux infinis sont très contraintes et non ambigües, bien que d’autres dépendent du modèle choisi.

                Je peux vous expliquer pourquoi je me considère platonicien en mathématique : face aux propriétés surprenantes de nombreux objets mathématiques, face à la beauté et à l’harmonie apparente de certains théorèmes profonds, face à l’ubiquité de nombreuses notions dans des domaines des maths qui n’ont à priori rien à voir (par exemple la notion de groupe compact), j’ai du mal à concevoir qu’il ne s’agit que d’une pure construction de l’esprit humain. Je vous conseille chaleureusement à ce propos la lecture des écrits non mathématiques de Grothendieck. En plus d’avoir été un mathématicien hors norme, il était un représentant extrême des idéalistes, et il avait un beau coup de plume, ce qui ne gâche rien bien au contraire.

                Pouvez vous m’expliquer quelles sont les raisons profondes qui vous font pencher pour le constructivisme ?

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                1. Je ne penche pas pour le constructivisme : je ne suis pas mathématicien, je suis anthropologue, j’observe les mathématiciens. Je constate que certains respectent les règles qu’ils se donnent et que d’autres les enfreignent, délibérément ou accidentellement. Je vois aussi que certains sont des mystiques : ils croient aux fétiches qu’ils ont inventé eux-mêmes, et je le dis.

                  Les écrits non mathématiques de Grothendieck sont malheureusement ceux d’un psychotique. J’en ai lu un peu mais j’ai dû m’arrêter : cela me fend le cœur. Rien que d’y penser j’ai envie de pleurer.


                  1. Je vois aussi que certains sont des mystiques : ils croient aux fétiches qu’ils ont inventé eux-mêmes, et je le dis.

                    Il y a trop longtemps que j’ai arrêté d’étudier les mathématiques pour me targuer d’avoir quelque vision que ce soit… Mais vous n’êtes pas frappé par un truc comme le nombre pi ? Qui s’obstine à apparaître dans des domaines des mathématiques, bien loin de la géométrie. Qui est apparu à au moins deux reprises (https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel et https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transcendant) comme plus complexe que ce que le genre humain avait pu rêver ?

                    Ne serait-ce pas un excellent candidat au titre d’objet platonicien “pur” ?

                    1. @ Huurd
                      D’où, pour Grothendieck, sa métaphore à la noix (littéralement : on manipule une noix assez longtemps jusqu’à trouver le point faible où elle s’ouvre).
                      Le peu que j’ai lu (2 pages sur les foncteurs sans doute), j’ai eu l’impression d’une logique s’appuyant sur ce que le commun des mortels énoncerait comme “toutes choses égales par ailleurs”, pour analyser des “paquets” de choses et concepts qui sont analogue, mais qui est souverainement précise sur les “toutes choses”. Après construites par Zermelo et Frankel ou d’autres…

                  2. Si je vous comprends bien, vous n’avez pas de compétences en mathématiques au sens technique du terme (i.e. une connaissance de première main des objets et méthodes utilisées en mathématiques), mais vous convoquez vos connaissances en anthropologie pour questionner les systèmes de croyances des mathématiciens. Ai je bien compris ?
                    Grothendieck : oui, quiconque connait ses écrits non mathématiques ne peut que se poser légitimement des questions sur sa santé mentale.
                    Mais ce qui est d’autant plus surprenant c’est qu’il a révolutionné plusieurs branches des mathématiques, probablement pour les siècles a venir… est ce vraiment compatible avec la psychose ?

                    1. La psychose est-elle une contrindication pour faire des mathématiques ?

                      Pour la vie quotidienne, certainement, mais pour les maths, non, je ne pense pas.

                    2. Qui peut lire les écrits mathématiques de Grothendieck ? Lui même admettait qu’il y avait peut être 20 mathematiciens sur terre qui pouvaient y comprendre quelque chose et s’en excusait ; Même Juannessy qui a pourtant fait math elem dans les années 60 donc un très bon niveau ne pourrait pas !

                    3. @Phil : détrompez vous, les écrits mathématiques de Grothendieck sont d’une grande clarté (en même temps qu’une grande profondeur) et lisibles par n’importe quel mathématicien professionnel (algébriste et/ou géomètre) qui accepte d’y passer suffisamment de temps. Grothendieck avait aussi un grand talent de pédagogue, ce que peu de gens savent.

                    4. @Phil : je confirme qu’au début des années 60 en math elem , sup ou spe , on n’entendait pas parler de Grothendieck au “bahut” .

                      Que j’aurais été et suis toujours bien incapable de comprendre .

                      Je crois d’ailleurs qu’une armée de matheux est encore en train d’essayer de déchiffrer et comprendre ses notes finalement rendues publiques par l’université de Montpellier.

                      Je me contente de relever qu’il a fait un passage par un lycée de Mende , ville où l’un de mes petits fils est actuellement pensionnaire .

                      Mais côté bosse des maths c’est plutôt la qualité de l’un de mes autres petits enfants et de sa petite sœur de 11ans .

                    5. En fait ce qui est spectaculaire dans la manière de faire des maths de Grothendieck, c’est qu’il part de notions qui paraissent presque enfantines et trop générales pour avoir un quelconque intérêt, et que de fil en aiguilles il échafaude à partir de la juxtaposition judicieuse de ces notions enfantines un édifice de plus en plus complexe qui aboutit sans qu’on comprenne vraiment comment à la preuve de résultats très profonds qu’on aurait jamais pensé être attaquables par ce biais.

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          2. Mais, ce qui est appelé ici le “platonisme” de Gödel, à tort ou à raison, plus proprement l’existence de vérités indémontrables, n’est nullement une option philosophique de sa part, mais bien un résultat scientifique subtil, corollaire de son théorème d’incomplétude. Il se comprend assez bien aujourd’hui. J’emploierai les matrices 3×3 à éléments entiers (positifs ou négatifs), et leur multiplication “ligne par colonne”. Etant données deux telles matrices A, B, je considère les “mots” (de longueur finie) qu’elles engendrent, par exemple ABAABBBAABBBBBAA. Je me donne une axiomatique comprenant l’arithmétique entière. Le théorème de Gödel, sous forme moderne, a par exemple la forme suivante: il existe deux matrices A, B (explicitement calculables à partir des axiomes) telles que la proposition P suivante est indécidable:
            P: il existe un mot en A et B égal à la matrice unité I.
            “Indécidable” signifie que dans mon axiomatique, il n’y a ni preuve de P, ni preuve de (non P).
            Bien entendu, P est fausse! Car s’il existait un tel mot, en l’exhibant j’aurais tout de suite une preuve de P dans mon axiomatique. Donc (non P) est une proposition vraie, au sens commun, mais il n’y en a aucune preuve dans mon axiomatique. (Le raisonnement que je viens de faire est extérieur à cette axiomatique). Ce fait, sous une forme un peu différente, a vivement frappé Gödel.
            Est-ce là du “platonisme”? Du “mysticisme”?
            Il faut savoir de quoi l’on parle.

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            1. Si l’on passe à une définition algorithmique de l’axiomatique, peut-être n’est-on plus très loin des “algorithmes génétiques”, avec propagation jusqu’à des optimums locaux des solutions par mutations simples (énumération et sélection de choix de propositions qu’on applique par exemple) mais impossibilité d’atteindre l’optimum global sans “cross-over”, gros chamboulement de l’ordre des choses qui fait qu’on n’y reconnaitrait plus ses concepts de départ.

      2. Les suites infinies entretiennent un lien avec le monde phénoménal par exemple la suite
        1/2 + 1/2^2+1/2^3+…+1/2^n=1 et elle permet de résoudre le paradoxe d’Achille et de la tortue

  11. Si si, j’ai regardé jusqu’à la fin, et je le ferais une seconde fois, pas simple cette vidéo!
    Au début vous parlez de l’Occident (et du bassin méditerranéen), de la Chine (et du Pacifique) et de leurs pensées si diverses.
    Et l’Afrique?

    1. Paul Jorion qui aime l’Afrique ( comme moi ) , les pêcheurs du lac Edouard et les nombres premiers , peut nous parler de l’os d’Ishango ( 25 000 ans dit on ) .

  12. Lorsqu’à 23.00 vous parlez “d’erreur”, n’est-ce pas plutôt de “simplification commode” qu’il faudrait parler?

    Il me semble que l’une des caractéristiques de la science (et donc des Maths) est de simplifier la réalité.
    Ensuite, la légitimité d’une simplification se mesure à l’adéquation entre les déductions que l’on peut en tirer et l’observation du réel.

    Ainsi, si vous souhaitez ne pas mettre un signe égal entre “vérité” et “problème résoluble”, c’est votre droit. Nous jugerons de la pertinence (de l’utilité) de votre proposition en jugeant la qualité des fruits que cela apportera (les nouveaux théorèmes).

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      1. Afin de comprendre votre thèse, pourriez-vous définir, ou du moins donner une référence à l’un de vos écrits, pour l’expression “observation du réel”?

        1. N.B. Si vous vous sentez prêt à entrer dans ce genre de débats, il faut supposer qu’une expression comme “observation du réel” vous est compréhensible sans consultation préalable d’un livre.

          La physique décrit (en réalité, modélise) le réel (en réalité, le monde empirique).

          Les mathématiques interprètent des propositions valides (bien-formées) constituées à partir d’un langage symbolique dont les signes sont sans ambiguïté.

          “Interpréter” : remplacer certains des symboles (ceux qui ne représentant pas des opérations) par des nombres.

          1. l’interpretation des propositions valides est loin de ne se faire que par des nombres en mathematiques !!!

              1. Ah oui bien volontiers : l’interprétation se fait en général dans des structures qui peuvent parfaitement ne pas être les nombres entiers. Par exemple : des groupes, des ensembles ordonnés, des graphes, des espaces topologiques, des treillis, des espaces métriques, des espaces affines, des espaces projectifs,
                des catégories. etc… D’ailleurs, dans la pratique quotidienne des mathématiciens, les nombres tiennent une place marginale, sauf si on est spécialiste de théorie des nombres/arithmétique bien entendu.

                1. “… des structures qui peuvent parfaitement ne pas être les nombres entiers”

                  Donc “certaines structures” sont cependant “les nombres entiers”.

                  Pouvez-vous donner l’exemple d’une structure qui soit un nombre entier ?

                  1. L’ensemble des nombres entiers muni de l’addition et de la multiplication constitue une structure. Mr Jorion, ne le prenez pas mal, mais le problème dans notre échange est que je ne sais pas de quelles connaissances en mathématiques vous partez exactement. Très sincèrement, je trouve votre démarche de questionner les croyances des mathématiciens et les fondements de la logique intéressante. Mais afin d’éviter des malentendus à n’en plus finir il serait fort utile de savoir quelles sont vos connaissances en mathématiques. Pourriez vous les détailler ? Cela permettrait d’avoir un échange plus agile et plus constructif, car sinon je crains qu’il ne s’agisse d’un dialogue de sourds. En ce qui me concerne, je déclare mon incompétence en anthropologie, afin de clarifier les choses de mon côté. Une dernière chose : je vous sens tendu et sur la défensive dans notre échange. Vous pouvez vous détendre, car je ne cherche nullement a vous piéger ou à vous combattre, bien au contraire je suis animé de curiosité bienveillante envers votre réflexion , et je ne souhaite absolument pas jouer au match de boxe avec vous.

                    1. Merci pour votre bienveillance, et l’autorisation de me détendre. En échange, et à titre de remerciement sincère, je vous pardonnerai votre cuistrerie 😉 .

                    2. Huurd essaye d’amorcer un dialogue construit avec vous.

                      Nous n’avons pas la même définition de la cuistrerie

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                    3. Pourquoi veut-il “amorcer un dialogue” ? Pourquoi ne dit-il pas ce qu’il a envie de dire – comme tous les commentateurs qui viennent ici ?

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                    4. Existe-t-il une “démonstration du théorème de Gödel” (ou une transposition de la pseudo-démonstration) dans une structure la plus “a-numérique” qui soit ?

                      (ensemble ordonné, je crains que ça ne le fasse pas, il faut qu’on ne puisse même pas parler de cardinal d’ensemble à la limite. Un peu comme démontrer le théorème des quatre couleurs sans compter jusqu’à 4, mais juste sur un groupe d’arrangement des bons objets entre eux, dont le cardinal est lié à sa seule énumération, disons. En fait je dis ça à la hussarde)

                    5. Et puisque j’apparais sous la réponse de PJ,
                      et qu’il a 7 vies, il est temps qu’il mette les maths (non numériques ou numériques) au service de la psychanalyse des robots:

                      Ils se mettent à causer dans le poste paraît-til :
                      https://www.theguardian.com/technology/2021/apr/21/study-inner-life-ai-robot-thinks-out-loud
                      Et leur “moi” leur dit “scrongneuneu” en cas de petite double bind (injonction [faiblement] contradictoire).

                      Condition ajoutée dans l’appel d’offre prochainement publié par la DARPA et dont j’ai déjà eu vent :
                      Ni le robot à étudier ni son analyseur ne doivent être crétois.

                    6. Très bien, il apparait clairement à présent que vous n’êtes pas du tout intéressé par un dialogue sur ce sujet avec un mathématicien, ce qui serait pourtant pertinent. Vous restez sur vos positions défensives. Je m’efforce d’être aimable et courtois avec vous et montrer mes bonnes intentions, et en retour vous m’insultez (et n’allez pas me dire que mettre trois points d’exclamation est un manque de courtoisie..). Encore une fois, vous vous trompez d’adversaire. Vous avez peu être l’habitude de trouver de l’hostilité de la part des mathématiciens, mais ce n’est pas mon cas. Je regrette votre méprise.

                    7. Vous avez simplement la flemme de lire Comment la vérité et la réalité furent inventées et exigez des résumés de chacune des parties. J’avais commencé à le faire mais vous en demandez chaque fois davantage. Mon livre est là, avec ses centaines de pages sur les fondements de la logique et des mathématiques : je suis un spécialiste de la question et n’ai aucune garantie que vous y connaissiez vous quoi que ce soit.

                      J’ai maintenant fait trois vidéos sur le sujet que vous pouvez regarder et critiquer aussi. Vous m’offrez “gentiment” d’évaluer mes connaissances en mathématiques, j’ai trois distinctions importantes pour mes travaux en mathématiques (fellowship de la Nuffield Foundation en 1983, academic fellowship de British Telecom en 1987, Regents’ fellowship de l’Université de Californie en 1997) : croyez bien que votre évaluation de mes connaissances en mathématiques ne m’est absolument d’aucun usage.

                    8. @timiota : à ma connaissance non. En revanche, le théorème d’incomplétude peut facilement se généraliser a des théories du premier ordre dans lesquelles on peut coder les entiers, par exemple la théorie axiomatique des ensembles ZFC. De telles théories ne peuvent donc pas prouver leur propre consistance.

                    9. @Paul Jorion : je suis titulaire d’un doctorat en théorie des modèles, qui est une branche des mathématiques pures qui se fonde sur la logique du premier ordre. On est donc pile dans le sujet. Mon intention n’était pas “d’évaluer” vos connaissances en maths ni de vous piéger, mais plutôt de circonscrire ce que vous en savez afin d’éviter un dialogue de sourds. Vous semblez avoir décidé depuis le début d’être hostile envers moi, mais je m’abstiendrai d’aller dans votre sens et de vous retourner vos sarcasmes. C’est juste dommage.

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                    10. Très bien, mais comment voulez-vous qu’on le devine ? Tout le monde peut voir que je suis Paul Jorion. Vous oubliez que vous êtes ici sous le nom “Huurd” et que “Huurd” n’est pas un grand mathématicien : c’est un pseudo permettant de dire n’importe quoi en toute impunité dans des commentaires sur un blog.

                    11. P.S. Je sais maintenant que vous pourriez comprendre ce qui est écrit dans Comment la vérité et la réalité furent inventées, alors allez-y, bonne lecture ! Le dialogue est ouvert 😀 !

                  2. @Paul Jorion : D’accord, j’accepte la proposition, je le lirai et je vous soumettrai mes eventuelles objections, en esperant un dlaiogue plus convivial 🙂

                    1. Et vous aurez gagné un modèle de “comment on interagi avec quelqu’un hors des silos zuzuels” !

                    2. @timotia : “comment on interagi avec quelqu’un hors des silos zuzuels”…. que cela signifie t il ?…

                    3. Parce que, aussi, je suppose que vous êtes d’accord que le monde scientifique tel qu’il est tend à se structurer en silo, et que ce n’est pas du tout facile quand on “sens” ce qui se dit dans un autre silo, mais qu’on n’a pas l’énergie de “bridger”, de faire le pont de ses concepts avec ceux de l’autre silo. A ma connaissance, il faut des appels du pied très poussés ou un intérêt déjà très concrétisé pour que quelqu’un d’un autre silo accepte de passer 20% du temps que vous avez passé à aller voir son silo (écumer 100 publis en 5 jours en gros).

                2. Plus particulièrement à partir de page 269 .

                  PS : 26 € doit rester accessible à un doctorant .

                  1. Ne pas confondre un “doctorant” (en cours de thèse, “PhD student”) et un docteur (titulaire du diplôme de thèse, la “nouvelle thèse” s’il faut préciser pour ceux qui ont plus de 20 ans, née vers 1986 en remplacement en France du duo “thèse de 3ème cycle / thèse d’état”, et en accord avec la classification EU des diplômes “LMD”, les ECTS y-afférents, la stratégie de Lisbonne tant qu’on y est (3% du PIB … snif) et le toutim)

                    1. Pourquoi ces suppositions gratuites ?…. Y a t il une seule chose dans mes propos qui vous fait penser que je suis doctorant et non docteur ? Je suis docteur.

                    2. Merci docteur de la juste rectification .
                      Ça me permet de remarquer qu’une consultation chez le toubib à 25 euros coûte moins cher que le bouquin à Paul Jorion et qu’elle a l’avantage d’être remboursée par la SS et les mutuelles .
                      Mais allez savoir lequel est le plus efficace pour soigner le patient …..

                    3. Pour répondre à Juannessy qui suggère que vous êtes “doctorant”. J’avais bien compris que vous étiez docteur.

                    4. Moi aussi j’en ai une très grosse ! Et mon jet va plus loin que le votre !

                      Mathématique est ma petite sœur !

                      Un lexomil et au lit !

                  2. @timiota : Upps pardon, je n’avais pas vu le commentaire précédent de Juannessy, d’où la méprise…

      2. Avec une calculette graphique il est possible d'”observer” une exponentielle, c’est mathématique, mais ce n’est peut être pas réel ?
        Mandelbrot est célèbre pour avoir visualisé des fractales dès que les moyens informatique l’on permis.

  13. Merci Ruiz pour votre remarque, c’est à cela que je pensais, c’est-à-dire:
    1) de nombreux concepts mathématiques peuvent être rendus tout à fait “réels” si l’on accepte comme réel la médiation d’une machine,
    2) d’autre part, certains concepts mathématiques, je pense à la géométrie hyperbolique, ont d’abord été pensés indépendamment de toute observation avec le réel, pour ensuite faire la découverte de leur pertinence pour comprendre les observations du réel (dans le cadre d’observation astronomique motivées par la relativité générale).

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    1. Merci Ruiz et David – Je crois que c’est le lieu et le moment de poser une réflexion d’Etienne Klein à deux philosophes (Conversation scientifique 3-4-21 https://www.franceculture.fr/emissions/la-conversation-scientifique/les-limites-ont-elles-des-bornes)

      Mn 45-46 Etienne Klein corrige déclare une limitation de notre pouvoir de tout connaître.
      Le principe d’incertitude de 1927 ne règne plus sur la physique, car il est devenu le principe d’indétermination. Les objets quantiques ont des propriétés qu’on ne peut pas traduire en toute circonstance : c’est une révolution « ontologique ». Il en résulte que « Les objets classiques n’existent pas et les objets quantiques ont des propriétés que la physique classique ne peut pas transcrire ».

      OK, ça surprend à la première écoute puis on s’y fait très bien et cela ne change rien à une approche topologique de la biologie et surtout de la thérapie – car sans thérapeutique ce n’est que du bavardage.
      Mais je ne sais pas comment l’ENA, les administrations et les juristes traduiront cette ignorance ontologique !

  14. Medellín, le 20 avril 2021

    En ce qui concerne l’ethnomathématique, veuillez voir les liens suivants.

  15. @Johan Leestemaker
    Il est possible que le système n’accepte pas les liens nombreux.
    Certains liens peuvent être refusés.

  16. @Huurd. À côté de la théorie des modèles formels, René Thom a proposé il y a maintenant plus de 50 ans une théorie des modèles continus (le sous-titre de Stabilité structurelle et morphogenèse (1968) est : Essai d’une théorie générale des modèles). RT comme PJ sont deux admirateurs de la pensée d’Aristote, topologue pour RT (le sous-titre de Esquisse d’une sémiophysique est : Physique aristotélicienne et théorie des catastrophes -mais Thom reste cependant platonicien-), logicien pour PJ (lire Comment la vérité…). Pour Thom c’est l’opposition discret/continu qui domine non seulement les mathématiques (l’opposition algèbre/géométrie) mais aussi toute la pensée et les mathématiques sont une conquête du continu par le discret. Thom est un penseur du continu (peut-être le premier depuis Aristote, écrit-il) alors que Jorion est pour moi un classique penseur du discret (d’où son attirance pour l’IA -lire son Principes des systèmes intelligents-) qui résume p.192 de Comment la vérité… le clivage entre deux visions du monde et deux rapports entre mathématiques et réalité. Les curieux pourront consulter la fin -et plus si affinité- de sa vidéo-testament “La théorie des catastrophes”, avec Émile Noël, disponible sur la toile.

    1. Comme j’étais plus doué en sciences physiques qu’en mathématique , j’ai aussi plutôt un penchant pour la pensée ” discrète” qui , via Planck , dénie un peu à Einstein le caractère continu de l’espace temps .

      Mais , dans les deux modes de pensées , j’ai encore de la difficulté avec le zéro .

      Mais ça ne m’empêche plus de dormir .

      1. @ Juannessy Je ne vois pas comment la pensée “discrète” peut résoudre les paradoxes de Zénon. (Thom : “… où se trouve le monde réel, l’univers concret où nous vivons ? La réponse est simple : le monde concret se trouve immergé dans cet abîme, qui sépare le vrai continu, celui que nous procure l’intuition immédiate du temps, du faux continu pseudo-numérique que nous fabriquent les Logiciens et autres théoriciens des fondations de la Mathématique”.)

        Que font le mathématiciens? On trouve dans le recueil Apologie du logos (Hachette, 1990) un article où Thom distingue les mathématiques de la maîtrise -celles de l’immense majorité des matheux- et celles de l’intelligibilité -qu’il revendique-. Dans le même recueil figure une critique des “mathématiques modernes, une erreur pédagogique et philosophique”, l’erreur philosophique étant “pour nous, la question de l’acceptabilité sémantique d’une assertion est un problème ontologiquement antérieur à celui de sa vérité. La vérité présuppose une signification. L’idéal des logiciens (et de certains mathématiciens) d’éliminer la signification au bénéfice de la seule vérité est un contre-sens philosophique.” Thom y défend sa position de géomètre/topologue “continuiste” face aux arithméticiens/algébristes “discrets” (pour lui le continu précède ontologiquement le discret), ainsi que sa position platonicienne : “Dans cette confiance [platonicienne] en l’existence d’un univers idéal, le mathématicien ne s’inquiétera pas outre mesure de la limite des procédés formels, il pourra oublier le problème de la non-contradiction. Car le monde des Idées excède infiniment nos possibilités opératoires, et c’est dans l’intuition que réside l’ultima ratio de notre foi en la vérité d’un théorème -un théorème étant avant tout, selon une étymologie aujourd’hui oubliée, l’objet d’une vision”.

        La théorie thomienne des catastrophes est une théorie hors substrat, donc platonicienne. Aussi je ne comprends pas pourquoi PJ la cite -pour moi en bien- à propos d’une tribu africaine dans le premier chapitre de Comment la vérité… consacré à la pensée primitive (de mémoire vers la page 80 -ma doc est confinée-) alors que la suite contient un chapitre qui est une violente attaque contre le platonisme (essentiellement par Gödel interposé).

        1. C’est un débat que vous aviez conduit tous les deux , déjà dans ces termes . Je vais attendre que vous soyez parvenus à un communiqué commun , pour m’offrir une nouvelle prise de tronche fondamentale ( si Corona ne m’a pas complètement ” gaspillé” , comme on disait à Moanda , d’ici là ) afin de mourir l’esprit tranquille , cramponné quand même à la primauté de la réalité de l’expérience matérielle sur la modélisation du réel et l’infaillibilité de la logique .

          PS : j’ai pas compris pourquoi votre doc est confinée !

  17. @juannessy : “PS : j’ai pas compris pourquoi votre doc est confinée !”. Parce que j’ai dû regagner mes pénates avec un minimum de bagages, laissant ma doc à un endroit auquel je n’ai actuellement pas accès, Covid oblige.

    Ceci dit d’accord avec vous en ce qui concerne l’infaillibilité de la logique. Je suis plus réservé en ce qui concerne “la primauté de la réalité de l’expérience matérielle sur la modélisation du réel, étant plutôt d’accord avec Laurent Schwartz -un matheux médaillé Fields- qui disait que “le concret n’est guère que de l’abstrait auquel on s’est habitué”.

  18. Ça ne doit pas être avec cette affirmation qu’il a eu la médaille Fields !

    Qu’est ce qu’ils peuvent être bavards tous ces médaillés Fields ( Grothendieck , Thom, Villani …) .
    De même Misha Gromov , prix Abel , que j’avais lu avec plaisir , dans ” Introduction aux mystères “.

  19. Monsieur,

    Je vous présente ici mes propres tentatives de refuter
    les théorèmes d’incomplétude de Kurt Gödel.

    Je viens de la Suisse et je vous ai rendu visite à Bruxelles en 2015
    lors de la parution de votre livre “Penser tout haut l’économie
    avec Keynes” Vous n’aviez même pas accordé un RDV,
    ce qui m’a faché un peu; mais retrospectivement je comprends
    bien que j’étais en pleine délire psychotique à l’époque.
    Je me pose des questions sur les théorèmes de Kurt Gödel depuis
    longtemps, même si mon meilleur ami (qui est mathématicien)
    me l’a fortement déconseillé. Il soutient que ce n’est pas une
    bonne chose d’être un “penseur abstrait”, que la mathèmatique
    est basé sur des conventions et rien d’autre, et qu’il faudrait plutôt
    être un “cochon heureux” dans la vie. Je peux respecter ce choix,
    mais j’ai décidé d’ârreter de lui débattre. J’ai recamment relu
    votre livre “Comment la vérité et la realité furent inventées”
    et je me suis rendu compte que j’étais tombé sur des conclusions
    similaires aux votres. Je vous demande d’attentivement lire
    mon commentaire et de me renseigner sur les possibilités de
    publier mon texte dans une revue philosophique ou scientifique
    (J’ai écrit 3 versions, français, anglais, allemand. Je pourrais
    également vous envoyer la version en PDF, si vous voulez.
    Il y a en outre d’autres textes sur ce sujet sur mon Blog
    “Analytische Sozialkritik. Der Blog von Dr. Wintermute”)

    http://analytischesozialkritik.blogsport.eu/

    Meilleures salutations,

    S.M. Genève en avril 2021
    _________________________________________________________________________________

    Silvan Mühlemann, 28.04.2021

    REFUTATION DES THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE DE KURT GÖDEL

    VERSIONS DISPONIBLES EN: FRANÇAIS ▪ ANGLAIS ▪ ALLEMAND

    ABSTRACT: Le but de cet essai est de soutenir l’idée que la mathématique n’est bas basée sur l’abstraction, mais, qu’elle est, tout au contraire (et en contraste frappant avec la logique) une science intuitive (dans le sense de l’esthètique transcendentale d’Emmanuel Kant) et concrète. Par ailleurs, nous aimerions opposer le préjugé que les notions basales de la mathématique auraient un statut conventionnel (c’est à dire qu’ils seraient arbitraires. C’est Ludwig Wittgenstein qui a montré que les «conventions» sont en fait arbitraires, ils n’ont rien à faire avec ce qu’on appelle le «consensus» de scientifiques. Le consensus lui-même demande une explication.). En lieu de cela, les équations mathématiques devraient être plutôt vues comme des tautologies, non-réfutables et vraies par définition – même s’ils nous renseignent pas sur la nature des choses-en-soi qui, eux, constituent le sujet des sciences empiriques.
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    Avec l’éducatrice allemande Elisabeth Dägling et le philosophe postkantien Ernst Cassirer, nous assumons qu’il y a exactement 2 types complémentaires de pensée scientifique, non-réductible entre eux, ce qui implique, par exemple que toute tentative de fonder un système de pensées sur des prémisses monistiques est destinée à faillir. La pensée mathématique (fonctionnelle) est analytique-a-priori, la pensée (substantielle) des sciences empiriques est analytique-a-posteriori. Les types de formes d’inférence synthétiques (l’induction et l’abduction dans la systématique de C.S. Peirce) ne jouent pas un rôle justifiant (fondateur) en science, même si leur analyse porte un certain intérêt d’un point de vue psychologique, ce qui leur donne un statut historique-génétique important. La pensée substantielle (ou «prédicative» selon les élaborations de Elisabeth Dägling) opère avec des relations argument/prédicat, la pensée fonctionnelle (Ernst Cassirer apelle cela aussi, à mon avis d’une façon peu convaincante, la pensée «relationelle». Peut-être est-ce par ce que la catégorie de relation est «sécondaire» aux substances chez Aristote sur qui Ernst Cassirer base une large partie de ses analyses) opère avec des relations fonction/objet (une distinction qui vient de Gottlob Frege).
    Une disposition pour l’un ou l’autre mode de pensée a déjà été découvert en psychologie statistique et classifiée comme une préférence du cerveau pour le “codage spatiale”, respectivement le “codage verbal”. (C’est deux dispositions sont d’ailleurs distribués de manière inégalitaire parmi les deux sexes reproductifs humains. Par conséquence, Elisabeth Dägling appelle ces deux disposition le «sexe mentale», ce qui est, à mon avis, ce a quoi le concept sociologique du «genre» renvoit en réalité. Les troubles de déficit de l’attention/hyperactivité sont corrélés fortement au «codage spatial», et, non surprenant, plus des garçons que des filles sont diagnosés avec ce type d’issu de santé mentale.)

    La «logique» binaire peut être projeté sur l’arithmétique – c’est cela qu’implique, à mon avis, la procédure de la Gödelisation; mais cette procédure techniquement brillante comprend un prix épistémologique haut à payer pour ceux qui s’y fient. A partir de l’arithmétique il est en effet impossible de RECONSTRUIRE la logique, puisque la logique est essentiellement modale, et, pour ce fait, elle connait 4 et non pas 2 valeurs. (Les deux valeurs en mathématique sont {=, ≠}, les 4 valeurs en logique sont {nécessaire, contingent, possible, impossible}. La proposition «Cette proposition est fausse», de l’autre côté est dénué de sens en cela que la distinction vrai/faux est sémantiquement ambigüe.) Ainsi, il faut se demander si les théorèmes d’incomplétude de Kurt Gödel sont effectivement à comprendre comme des théorèmes mathématiques. En fait (consistant avec Ernst Cassirer), la mathématique généralise d’habitude d’une façon qui n’a pas de caractère «abstractive», c’est-à-dire que la mathématique, contrairement à la philosophie, n’ «abstrait» pas des déterminations particulières (concrètes) de son sujet. (Il est évident que le raisonnement mathématique (i. E. déductive) ne permet pas des expansions ni des diminutions de nos information sur le monde – David Hume et une longue liste d’autres grands philosophes parlent de ça – contrairement au raisonnement par analogie, qui était le paradigme privilégié de l’inférence pour Aristote.)

    A partir de la démonstration de Louis-Auguste Cauchy, il est possible (si je le comprends bien) de reconstruire la géométrie sur une base algébrique. Après tout, l’arithmétique est elle-même – selon Henri Lebesgue – rien d’autre qu’une géométrie unidimensionnelle (linéaire), la géométrie la plus simple. En outre et en stricte analogie (comme il avait déjà été conçu dans la parallèlisation de l’«esthétique transcendantale» avec une «logique transcendantale» d’Emmanuel Kant) la logique modale, seule, suffit pour reconstruire la discipline entière de la logique (la logique des quantificateurs, la logique relationnelle, etc.) Le RAPPORT entre les différents sous-domaines de la logique est déductif, c’est-à-dire arithmétique. Le quantificateur de l’existence correspond à la catégorie modale de la «possibilité», le quantificateur universel à la catégorie de «nécessité». Les différences apparentes, ici, ne sont pas à chercher dans la nature du sujet en question, mais seulement dans une convention linguistique. En effet, quand on comprend la logique modale, on a déjà tous les moyens nécessaires pour comprendre la logique de quantificateurs, puisque les déterminations de la logique des quantificateurs peuvent être défini en termes de déterminations de la logique modale. En plus, la relation «>» correspond à la nécessité logique, la relation «<» correspond à l’impossibilité logique, la relation «≤ » à la contingence, et la relation «≥» à la possibilité. (Ce type des relations ont une apparence mathématique, tandis qu’effectivement, ils se rapportes plutôt à des phénomènes de type économico-sociaux, plus spécifiquement l'échange des marchandises).

    Les choses ont l’air différent une fois qu’on essaye de «démontrer» quelque chose «à partir» de la logique. La logique est en-soi non-binaire, non-tautologique et non-déductive, mais plutôt FALSIFIANT et METADEDUCTIVE; ça veut dire qu’elle est la MÉTHODE des sciences empiriques, et SEULEMENT de la science empirique et RIEN D’AUTRE. Si quelque chose (une prémisse qui est représenté par une proposition non-évaluée, construit à partir d’une position d’argument et une position de prédicat) est empiriquement prouvé d’être non-nécessaire, dans ce cas – et seulement dans ce cas – la valeur modale de la prémisse en question est contingente; si une prémisse, représenté par une proposition non-évaluée est empiriquement prouvé d’être non-impossible, dans ce cas, et dans ce cas seulement, la prémisse en question est possible. (Les jugements de nécessité et de l’impossibilité ont le statut de hypothèses initiales dans le sens de Karl Popper. Par l’auto-application itérée de l’opération de la CONTINGENTISATION, TOUTES les notions logiques peuvent être inférés à partir des quatre particules logiques basales (à savoir {non, nécessaire, suffisant, et}). Kurt Gödel lui-même a déjà fait des suggestions dans cette direction dans son commentaire sur la logique hégelienne, ou il soutient que c’est la "possibilité", et non le "devenir", qui seraient la «synthèse» entre l’être et le néant.

    Aucune prémisse dans la science empirico-logique peut être définitivement prouvé par une bivalente «Reductio ad absurdum» – c’est-à-dire, par une preuve par l’absurde (Paul Jorion). Néanmoins, cela n’implique pas que les sciences empiriques ne soient pas exactes; elles peuvent, effectivement, devenir exactes dans la mesure où ils réfléchissent correctement sur leurs propres limites. Puisque les oppositions logiques sont des oppositions contraires (ce qui me semble être aussi l’opinion de Paul Jorion) et non pas des oppositions contradictoires, le progrès de la science nous n’ira jamais faire rentrer «en arrière», vers les hypothèses initiales desquelles nous partions (et qui sont causés par des processus de pensée du type synthétique – c’est à dires que ces pensées sont INCONSCIENTES). Ce qui arrive est que, régulièrement, nous incluons nos prémisses limitées dans un cadres plus vaste. Tout de même, les hypothèses initiales ne seront jamais pleinement réfutées non plus; ils seront plutôt transformés en des cas-limites très spécifiques.

    Source: Analytische Sozialkritik. Der Blog von Dr. Wintermute;
    http://analytischesozialkritik.blogsport.eu/
    blog@wintermute.one

  20. René Thom : “Si on regarde comment, en quelque sorte, se forme, évolue, une théorie mathématique, on constate qu’il y a trois phases : il y a d’abord une phase d’élucidation d’un matériau primitif relativement brut, c’est la phase du chaos primitif ; puis, à la suite de ce chaos, on élucide des structures fondamentales, des concepts-clés qui donnent immédiatement un sens aux théorèmes principaux de la théorie, aux résultats essentiels ; puis, par la
    suite, la théorie se développe en se raffinant et en se sophistiquant – comme on dit en franglais – et on en vient, après avoir résolu les problèmes centraux du domaine considéré, à étudier des questions de plus en plus
    fragmentaires, de plus en plus difficiles d’accès, de plus en plus construites, de plus en plus artificielles, en un certain sens. C’est là ce que Kuhn, dans son livre, appelle « l’époque du puzzle-solving », l’époque où les gens
    s’amusent à résoudre des devinettes. Or, l’immense majorité de la production scientifique actuelle n’est pas autre chose, en effet, que la résolution de devinettes. Ces devinettes étant en général d’un intérêt
    extraordinairement faible.” ;

    “De même que le sens d’un concept pourrait se définir par la totalité de ses mécanismes de régulation (images analogiques des mécanismes de régulation de l’être référé), de même le sens d’un être mathématique
    pourrait se définir par sa place dans l’échelle des êtres mathématiques, la totalité des dégradations sémantiques qu’il peut encore subir avant de s’éteindre dans l’insignifiance. C’est la malédiction foncière des mathématiques (comme peut-être de toute science) qu’elle ne peut se construire qu’en tuant ses objets. Seul un retour périodique aux sources, une confrontation avec les applications expérimentales, ou avec les problèmes fondamentaux de l’être (la génération implicite qui sépare le sujet de l’objet) la sauve de l’inéluctable suicide. C’est en cherchant à
    conférer un sens aux choses que la mathématique découvre son propre sens ; c’est l’intelligible du réel qui sans cesse recrée l’intelligible mathématique.”

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